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Towards a complete scheme of cosmological neutrino self-interactions: Collision term for a wide range of mediator masses

यह शोध पत्र बोलत्ज़मैन पदानुक्रम (बोल्ट्ज़मान पदानुक्रम) में न्यूट्रिनो-न्यूट्रिनो टकराव पद की गणना के लिए एक नवीन ढांचे को प्रस्तुत करता है जिसमें न्यूट्रिनो और मध्यस्थ (मीडिएटर) दोनों के द्रव्यमानों को मुक्त मापदंडों के रूप में शामिल किया गया है, जो हल्के और भारी मध्यस्थ शासन के बीच एक सहज संक्रमण को सक्षम बनाता है और व्यापक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थितियों में न्यूट्रिनो स्व-परस्पर क्रिया परिदृश्यों के परीक्षण के लिए एक सुदृढ़ उपकरण प्रदान करता है।

मूल लेखक: Ivan Pérez-Castro, Josue De-Santiago, Gabriela Garcia-Arroyo, Jorge Venzor, Abdel Pérez-Lorenzana

प्रकाशित 2026-04-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ivan Pérez-Castro, Josue De-Santiago, Gabriela Garcia-Arroyo, Jorge Venzor, Abdel Pérez-Lorenzana

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, फैलता हुआ बॉलरूम (नृत्य कक्ष) है। इस बॉलरूम के भीतर, अरबों नन्हे, अदृश्य नर्तक हैं जिन्हें न्यूट्रिनो (neutrinos) कहा जाता है। ये कण हर जगह मौजूद हैं, लेकिन वे बहुत शर्मीले होते हैं; वे आपस में या किसी और चीज़ से टकराने से बचते हैं। ब्रह्मांड विज्ञान की मानक कहानी में, वे बस भीड़ के बीच से गुजर जाते हैं, और शायद ही कभी किसी से टकराते हैं।

हालाँकि, हाल के अवलोकन संकेत देते हैं कि यह "गुजर जाने वाली" कहानी में कुछ गलत हो सकता है। यहाँ कुछ ब्रह्मांडीय तनाव (cosmic tensions) हैं—जैसे कि अभी ब्रह्मांड कितनी तेज़ी से फैल रहा है और अतीत में यह कितनी तेज़ी से फैल रहा था, इसके बीच का अंतर। वैज्ञानिक संदेह करते हैं कि शायद ये न्यूट्रिनो नर्तक केवल गुजर नहीं रहे हैं; शायद वे वास्तव में एक-दूसरे का हाथ थाम रहे हैं, जोड़ों में नाच रहे हैं, या जितना हमने सोचा था उससे कहीं अधिक आपस में टकरा रहे हैं। इसे न्यूट्रिनो सेल्फ-इंटरेक्शन (NSI) कहा जाता है।

यह शोध पत्र एक विशाल, बिल्कुल नए निर्देश मैनुअल (instruction manual) की तरह है कि कैसे ठीक-ठीक गणना की जाए कि जब न्यूट्रिनो आपस में टकराते हैं तो क्या होता है। यहाँ बताया गया है कि लेखकों ने क्या किया, सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए:

1. समस्या: "बहुत भारी" और "बहुत हल्की" उपकरण

पहले, इन न्यूट्रिनो टकरावों को मॉडल करने की कोशिश करने वाले वैज्ञानिकों को "मैसेंजर" कण (जिसे मीडिएटर/मध्यस्थ कहा जाता है) के आकार के आधार पर दो बहुत अलग, सरलीकृत उपकरणों का उपयोग करना पड़ता था, जो उनके बीच बल (force) ले जाता है।

भारी मीडिएटर (The Heavy Mediator): कल्पना कीजिए कि मीडिएटर एक विशाल चट्टान है। यदि न्यूट्रिनो दूर हैं, तो वे चट्टान को महसूस नहीं कर सकते। वैज्ञानिकों ने एक सरलीकृत नियम का उपयोग किया: "यदि चट्टान भारी है, तो विवरणों को अनदेखा करें और बस मान लें कि वे आपस में बात नहीं करते।" यह कुछ परिदृश्यों में अच्छा काम करता था, लेकिन जब ब्रह्मांड गर्म था और न्यूट्रिनो ऊर्जावान थे, तब यह विफल हो गया।
हल्का मीडिएटर (The Light Mediator): कल्पना कीजिए कि मीडिएटर एक पंख है। यह हर जगह तैरता रहता है। वैज्ञानिकों ने एक अलग सरलीकृत नियम का उपयोग किया: "यदि पंख हल्का है, तो मान लें कि न्यूट्रिनो लगातार उससे टकरा रहे हैं।"

समस्या यह है कि समय के साथ ब्रह्मांड ठंडा होता जाता है। एक मीडिएटर गर्म ब्रह्मांड में एक भारी चट्टान की तरह व्यवहार कर सकता है, लेकिन जैसे-जैसे ब्रह्मांड ठंडा होता है, वह एक हल्के पंख में बदल सकता है। पुराने उपकरण इस सुचारू परिवर्तन को नहीं संभाल सकते थे। वे एक घड़ी को ठीक करने के लिए हथौड़े का उपयोग करने और फिर बीच में ही पेचकस पर स्विच करने की तरह थे, बिना किसी मैनुअल के कि स्विच कैसे किया जाए।

2. समाधान: "यूनिवर्सल ट्रांसलेटर" (Universal Translator)

लेखकों ने एक यूनिवर्सल कैलकुलेटर (एक नया गणितीय ढांचा) बनाया है जो किसी भी आकार के मीडिएटर के लिए काम करता है, सबसे भारी चट्टान से लेकर सबसे हल्के पंख तक, और इन दोनों के बीच की हर चीज़ के लिए।

कोई अनुमान नहीं (No More Approximations): अनुमान लगाने के बजाय, उन्होंने सटीक "कोलिजन टर्म" (collision term) की गणना की। भौतिकी में, कोलिजन टर्म बस एक फैंसी तरीका है यह बताने का कि कण कितनी बार और कितनी ज़ोर से टकराते हैं।
सुचारू संक्रमण (The Smooth Transition): उनका नया गणित दिखाता है कि जैसे-जैसे ब्रह्मांड ठंडा होता है, न्यूट्रिनो का व्यवहार सुचारू रूप से बदलता है। यह एक डिमर स्विच (dimmer switch) की तरह है न कि एक लाइट स्विच की तरह। आपको "हेवी मोड" से "लाइट मोड" में कूदने की ज़रूरत नहीं है; गणित पूरे ग्रेडिएंट को संभाल लेता है।

3. विवरण: कौन नाच रहा है?

लेखकों ने यह भी सुनिश्चित किया कि नर्तकों की विशिष्ट "पहचान" का हिसाब रखा जाए:

डायरैक बनाम मेजरना (Dirac vs. Majorana): न्यूट्रिनो या तो अपने स्वयं के एंटी-पार्टिकल्स (मेजरना) हो सकते हैं या उनसे अलग (डायरैक)। यह पूछने जैसा है कि क्या नर्तक लाल जूते पहने हुए हैं या नीले जूते। लेखकों का नया मैनुअल दोनों संभावनाओं के लिए टकराव की दरों की गणना करता है, यह दिखाते हुए कि हालांकि कुछ विशिष्ट, उच्च-ऊर्जा परिदृश्यों में "जूते का रंग" मायने रखता है, लेकिन अक्सर भारी मीडिएटर्स के लिए यह बड़े चित्र को नहीं बदलता है।
द्रव्यमान का महत्व (Mass Matters): उन्होंने न्यूट्रिनो के वास्तविक वजन को भी शामिल किया। अतीत में, वैज्ञानिक अक्सर मानते थे कि न्यूट्रिनो भारहीन भूत थे। यह शोध पत्र कहता है, "आइए उनका वास्तविक सूक्ष्म वजन शामिल करें," जो पता चलता है कि जब ब्रह्मांड पर्याप्त ठंडा हो जाता है, तो यह महत्वपूर्ण है।

4. यह क्यों मायने रखता है?

ब्रह्मांड के इतिहास को एक फिल्म के रूप में सोचें। कहानी को समझने के लिए, आपको यह जानने की आवश्यकता है कि पात्र कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।

"कॉस्मिक टेंशन" (The Cosmic Tension): हमारे पास ब्रह्मांड के विस्तार को मापने के दो अलग-अलग तरीके हैं, और वे असहमत हैं।
समाधान (The Fix): यदि न्यूट्रिनो परस्पर क्रिया कर रहे हैं (आपस में टकरा रहे हैं), तो यह प्रारंभिक ब्रह्मांड के "साउंडट्रैक" को बदल देता है। यह समझा सकता है कि हमारे माप असहमत क्यों हैं।
नया उपकरण: इस शोध पत्र से पहले, यदि वैज्ञानिक न्यूट्रिनो इंटरैक्शन के बारे में किसी विशिष्ट सिद्धांत का परीक्षण करना चाहते थे, तो उन्हें उम्मीद करनी पड़ती थी कि उनका सिद्धांत पुराने, सरलीकृत बक्सों में से किसी एक में फिट बैठता है। अब, वे किसी भी सिद्धांत, किसी भी मीडिएटर मास और किसी भी न्यूट्रिनो मास को डाल सकते हैं, और एक सटीक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह शोध पत्र कॉस्मोलॉजिस्ट के लिए एक मास्टर की (master key) है। यह विशिष्ट, टूटी हुई चाबियों के एक सेट को एक मास्टर की से बदल देता है जो "न्यूट्रिनो इंटरैक्शन" के घर के हर दरवाजे को खोलती है।

यदि भविष्य के टेलीस्कोप और प्रयोग यह संकेत देते हैं कि न्यूट्रिनो वास्तव में परस्पर क्रिया कर रहे हैं, तो यह शोध पत्र उस संकेत की व्याख्या करने के लिए आवश्यक सटीक गणितीय इंजन प्रदान करता है, जिससे यह पता चल सके कि किस प्रकार का "मैसेंजर" कण शामिल है, और शायद अंततः इस रहस्य को सुलझाया जा सके कि ब्रह्मांड जिस तरह से फैल रहा है वह ऐसा क्यों है। यह एक धुंधली, अनुमान-आधारित तस्वीर को न्यूट्रिनो डांस फ्लोर के हाई-डेफिनिशन, सटीक मानचित्र में बदल देता है।

यहाँ पेपर "Towards a complete scheme of cosmological neutrino self-interactions: Collision term for a wide range of mediator masses" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

मानक ब्रह्मांडीय मॉडल कई तनावों (जैसे, $H_0$ तनाव, $S_8$ तनाव) का सामना करते हैं जिन्हें गैर-मानक न्यूट्रिनो इंटरैक्शन (NSI) संभावित रूप से हल कर सकते हैं। एक नए स्केलर कण द्वारा मध्यस्थता (mediated) वाले न्यूट्रिनो स्व-परस्पर क्रियाओं (NSI) को इन मुद्दों को संबोधित करने के लिए प्रस्तावित किया गया है। हालाँकि, NSI को मॉडल करने के लिए मौजूदा सैद्धांतिक ढांचे विशिष्ट सन्निकटन (approximations) पर निर्भर करते हैं जो उनकी प्रयोज्यता को सीमित करते हैं:

हैवी मीडिएटर लिमिट (HML): यह मानता है कि मीडिएटर द्रव्यमान $m_\phi$ मोमेंटम ट्रांसफर से बहुत अधिक है ( $m_\phi \gg T_\nu$ ), और अक्सर न्यूट्रिनो द्रव्यमान को नजरअंदाज करते हुए इसे एक कॉन्टैक्ट फोर-फर्मियन इंटरैक्शन के रूप में मानता है।
लाइट मीडिएटर लिमिट: यह मानता है कि $m_\phi \ll T_\nu$ , और अक्सर रिलैक्सेशन टाइम एप्रोक्सिमेशन (RTA) का उपयोग करता है जो कोलिजन इंटीग्रल को सरल बनाता है लेकिन सटीकता खो सकता है।
रेजोनेंट रिजीम (Resonant Regime): यह तब होता है जब $m_\phi \sim T_\nu$ , जहाँ मीडिएटर का रेजोनेंट उत्पादन होता है। इस रिजीम को मॉडल करना कठिन है और इसे अक्सर अलग से माना जाता है या अनदेखा कर दिया जाता है।
न्यूट्रिनो द्रव्यमान: अधिकांश पिछले गणनाओं में शून्य न्यूट्रिनो द्रव्यमान ( $m_\nu$ ) मान लिया जाता है, जो अब ज्ञात है कि गैर-शून्य हैं और प्रिसिजन कॉस्मोलॉजी के लिए प्रासंगिक हैं।

लेखक साहित्य में एक अंतराल की पहचान करते हैं: एक एकीकृत, सामान्य ढांचा जो मीडिएटर द्रव्यमान या न्यूट्रिनो द्रव्यमान को प्रतिबंधित किए बिना न्यूट्रिनो-न्यूट्रिनो कोलिजन टर्म की गणना करता है, और डिरैक (Dirac) तथा मेजरना (Majorana) न्यूट्रिनो के बीच अंतर करता है, तथा सभी ब्रह्मांडीय युगों में मान्य रहता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक विचलित FLRW ब्रह्मांड में रिलेटिविस्टिक बोल्ट्ज़मैनन पदानुक्रम (Relativistic Boltzmann hierarchy) पर आधारित एक नवीन सैद्धांतिक ढांचे का विकास करते हैं।

फॉर्मलिज्म (Formalism): वे एक स्केलर फील्ड $\phi$ द्वारा मध्यस्थता वाले 2 $\to$ 2 इलास्टिक स्कैटरिंग प्रक्रियाओं ( $\nu_i + \nu_j \to \nu_k + \nu_l$ ) के लिए सामान्य सापेक्षतावादी बोल्ट्ज़मैन समीकरण से शुरुआत करते हैं।
इंटरैक्शन लैग्रेंजियन (Interaction Lagrangian): वे एक स्केलर इंटरैक्शन $L_{int} = \sum g_{ij} \phi \nu_i \nu_j$ पर विचार करते हैं, जो डिरैक-जैसे और मेजरना दोनों प्रकार के न्यूट्रिनो को कवर करता है।
कोलिजन टर्म का व्युत्पन्न (Collision Term Derivation):
- वे फूरियर स्पेस में कोलिजन टर्म $C_\ell$ को व्युत्पन्न करते हैं, वितरण फलन विचलन $\Theta$ को लेजेंड्रे मल्टीपोल ( $\ell$ ) में विस्तारित करते हैं।
- वे डिरैक और मेजरना दोनों मामलों के लिए स्क्वेर्ड स्कैटरिंग एम्प्लीट्यूड $|\mathcal{M}|^2$ की स्पष्ट गणना करते हैं, जिसमें $s, t,$ और $u$ चैनल और उनके इंटरफेरेंस टर्म शामिल हैं।
- वे 4-बॉडी फेज स्पेस इंटीग्रल्स को मैंडेलस्टैम वेरिएबल्स ( $s, t, u$ ) और काइनेमैटिक बाधाओं के शामिल $J_{n\ell}$ के सेट में रिड्यूस्ड एंगुलर इंटीग्रल्स में कम करते हैं।
सिंगुलैरिटी हैंडलिंग (Handling Singularities): कोलीनियर इन्फ्रारेड सिंगुलैरिटीज और ऑन-शेल मीडिएटर उत्पादन (रेजोनेंस) से जुड़ी काइनेमैटिक सिंगुलैरिटीज से निपटने के लिए, वे $h$ -फंक्शंस पेश करते हैं। ये फंक्शन उन विशिष्ट काइनेमैटिक क्षेत्रों में योगदान को शून्य करके इंटीग्रल्स को रेगुलराइज करते हैं जहाँ प्रोपेगेटर डायवर्ज (diverge) हो सकता है, जिससे रेजोनेंट योगदान को अलग किया जा सके।
संख्यात्मक कार्यान्वयन (Numerical Implementation): परिणामी कोलिजन टर्म्स को आयामहीन ऊर्जा वेरिएबल्स ( $z = E/T_\nu$ ) और एंगुलर वेरिएबल्स के इंटीग्रल्स के रूप में व्यक्त किया जाता है। इन इंटीग्रल्स का मूल्यांकन VEGAS एल्गोरिदम का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से किया जाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

एकीकृत ढांचा (Unified Framework): यह पेपर पहला पूर्ण गणना प्रदान करता है जहाँ मीडिएटर द्रव्यमान ( $m_\phi$ ) और न्यूट्रिनो द्रव्यमान ( $m_\nu$ ) को मुक्त पैरामीटर के रूप में माना गया है, न कि निश्चित सीमाओं के रूप में।
डिरैक बनाम मेजरना का अंतर: लेखक डिरैक-जैसे और मेजरना न्यूट्रिनो के लिए कोलिजन टर्म्स को स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न और तुलना करते हैं। वे दिखाते हैं कि जबकि हैवी मीडिएटर लिमिट उन्हें अविभेद्य बनाती है, पूर्ण गणना उपलब्ध स्कैटरिंग चैनलों (जैसे मेजरना बनाम डिरैक के लिए $s$ -चैनल योगदान) में अंतर प्रकट करती है।
लाइट मीडिएटर के लिए थर्मल करेक्शन: वे रिलैक्सेशन टाइम एप्रोक्सिमेशन (RTA) पर निर्भर रहने के बजाय लाइट मीडिएटर रिजीम के लिए एक सटीक गणना प्रदान करते हैं। यह पहले से अज्ञात थर्मल करेक्शन फैक्टर $\xi_\ell$ और मल्टीपोल ऑर्डर $\ell$ पर इसकी निर्भरता को निर्धारित करने की अनुमति देता है।
ट्रांजिशन विश्लेषण (Transition Analysis): यह ढांचा जैसे-जैसे ब्रह्मांड ठंडा होता है (तापमान $T_\nu$ के सापेक्ष $m_\phi$ में परिवर्तन), हैवी मीडिएटर लिमिट, रेजोनेंट रिजीम और लाइट मीडिएटर लिमिट के बीच एक सुचारू संक्रमण (smooth transition) प्रदर्शित करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

हैवी मीडिएटर लिमिट (HML) की वैधता:
- लेखक पुष्टि करते हैं कि मानक HML सन्निकटन (कॉन्टैक्ट इंटरैक्शन) $m_\phi \gtrsim 10^2$ eV और $T_\nu \lesssim 100$ eV के लिए वैध है।
- वे दिखाते हैं कि $m_\nu \lesssim 0.06$ eV के लिए, न्यूट्रिनो द्रव्यमान प्रभाव HML रिजीम में नगण्य हैं, जो उस विशिष्ट सीमा में पिछले मासलेस सन्निकटन को न्यायसंगत ठहराता है।
- हालाँकि, वे प्रदर्शित करते हैं कि उच्च तापमान ( $T_\nu \gtrsim m_\phi$ ) पर, इंटरैक्शन रेट संतृप्त (saturate) हो जाता है और सरल पावर-लॉ स्केलिंग ( $\Gamma \propto T^5$ ) से विचलित होता है, जिसके लिए पूर्ण संख्यात्मक उपचार की आवश्यकता होती है।
न्यूट्रिनो द्रव्यमान प्रभाव:
- निम्न तापमान (विलंबित ब्रह्मांड) पर, न्यूट्रिनो द्रव्यमान कोलिजन टर्म को दबा देते हैं।
- $m_\nu \approx 0.1$ eV के लिए, द्रव्यमान रहित मामले से विचलन क्वाड्रुपोल ( $\ell=2$ ) मोमेंट में दृश्यमान हो जाते हैं, हालांकि वे मानक द्रव्यमान सीमाओं ( $m_\nu < 0.05$ eV) के लिए छोटे रहते हैं।
लाइट मीडिएटर और RTA:
- $m_\phi \lesssim 10^{-3}$ eV के लिए, आयामहीन फॉर्मूलेशन में इंटरैक्शन रेट स्थिर (तापमान से स्वतंत्र) हो जाता है।
- वे $\beta_\ell$ और थर्मल करेक्शन फैक्टर्स $\xi_\ell$ की गणना करते हैं (तालिका 1)। वे पाते हैं कि $\xi_\ell$ , $\ell \geq 20$ के लिए संतृप्त हो जाता है और डिरैक मामले में $s$ -चैनल सप्रेशन के कारण मेजरना और डिरैक मामलों के बीच लगभग 2 के कारक से भिन्न होता है।
रेजोनेंट रिजीम:
- ढांचा रेजोनेंट रिजीम को लगभग $\mu_\phi = m_\phi/T_\nu \sim 2\times 10^{-3} - 50$ पर पहचानता है।
- वे नोट करते हैं कि एम्प्लीट्यूड को सटीक रूप से वर्णित करने के लिए वन-लूप सुधारों की आवश्यकता के कारण रेजोनेंट रिजीम को पूरी तरह से मॉडल करना चुनौतीपूर्ण है, जो इस ट्री-लेवल गणना के दायरे से बाहर है।
डिरैक बनाम मेजरना अंतर:
- रेजोनेंट और लाइट मीडिएटर रिजीम में, स्कैटरिंग चैनल काफी भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, डिरैक-जैसे न्यूट्रिनो $\nu-\nu$ स्कैटरिंग (समान मास आइगेनस्टेट) में रेजोनेंस उत्पादन प्रदर्शित नहीं करते हैं, लेकिन $\nu-\bar{\nu}$ स्कैटरिंग में करते हैं, जबकि मेजरना न्यूट्रिनो दोनों में $s$ -चैनल रेजोनेंस की अनुमति देते हैं।

5. महत्व और भविष्य की संभावनाएं (Significance and Future Outlook)

ब्रह्मांडीय डेटा विश्लेषण: यह कार्य भविष्य के ब्रह्मांडीय डेटा विश्लेषण (जैसे, CMB-S4, Euclid, DESI) के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करता है ताकि केवल प्रभावी कपलिंग के बजाय सीधे $(g, m_\phi, m_\nu)$ पैरामीटर स्पेस का परीक्षण किया जा सके।
प्रिसिजन कॉस्मोलॉजी: न्यूट्रिनो द्रव्यमान को शामिल करके और डिरैक/मेजरना प्रकृति के बीच अंतर करके, यह ढांचा NSI पर प्रतिबंधों की सटीकता में सुधार करता है, जो संभावित रूप से ब्रह्मांडीय तनावों को हल करने या विशिष्ट मीडिएटर मॉडलों को खारिज करने में मदद कर सकता है।
NSI से परे: लेखक नोट करते हैं कि इस फॉर्मलिज्म को वॉर्म डार्क मैटर स्व-परस्पर क्रियाओं या अन्य हल्के स्व-परस्पर क्रिया वाले कणों जैसे अन्य परिदृश्यों के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।
भविष्य का कार्य: वे इस फॉर्मलिज्म को ब्रह्मांडीय बोल्ट्ज़मैन सॉल्वर (जैसे CLASS या CAMB) में लागू करने की योजना बना रहे हैं ताकि अवलोकनीय (observables) के लिए भविष्यवाणियाँ की जा सकें और वर्तमान एवं भविष्य के डेटासेट का उपयोग करके मीडिएटर द्रव्यमान और कपलिंग स्ट्रेंथ को सीमित किया जा सके। वे बाद के अध्ययनों में उच्च-क्रम सुधारों के साथ रेजोनेंट रिजीम को संबोधित करने का भी इरादा रखते हैं।

संक्षेप में, यह पेपर सरलीकृत विश्लेषणात्मक सन्निकटन और न्यूट्रिनो स्व-परस्पर क्रियाओं की जटिल वास्तविकता के बीच के अंतर को पाटता है, जो अगली पीढ़ी के ब्रह्मांडीय अन्वेषणों के लिए एक मजबूत, सामान्य-उद्देश्य वाला उपकरण प्रदान करता है।