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Non-Uniform Quantum Fourier Transform

यह शोध पत्र नॉन-यूनिफॉर्म क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (NUQFT) के लिए एक संसाधन-कुशल क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो सटीकता के साथ पॉलीलॉगैरिद्मिक स्केलिंग और ग्रिड कंडीशनिंग पर लॉगरिदमिक निर्भरता प्राप्त करने के लिए लो-रैंक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन, ब्लॉक एनकोडिंग और क्वांटम सिग्नल प्रोसेसिंग का लाभ उठाता है, जिससे अनियमित रूप से नमूनाकृत डेटा को संसाधित करने के लिए एक ठोस क्वांटम ढांचा स्थापित होता है।

मूल लेखक: Junaid Aftab, Yuehaw Khoo, Haizhao Yang

प्रकाशित 2026-03-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Junaid Aftab, Yuehaw Khoo, Haizhao Yang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक संगीत निर्माता (music producer) हैं जो एक गाने का विश्लेषण करने की कोशिश कर रहे हैं। आमतौर पर, आपके पास एक आदर्श रिकॉर्डिंग होती है जहाँ ध्वनि तरंगों (sound waves) को समान समय अंतराल पर सैंपल किया जाता है (जैसे कि हर मिलीसेकंड में बजने वाला एक मेट्रोनोम)। यह डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) है। यह ध्वनि को फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम (जो बास, ट्रेबल आदि को दर्शाता है) में बदलने का मानक उपकरण है।

लेकिन वास्तविक दुनिया में, चीजें शायद ही कभी पूर्ण होती हैं। हो सकता है कि आपका माइक्रोफ़ोन खराब हो, या आप एक लाइव कॉन्सर्ट रिकॉर्ड कर रहे हों जहाँ ध्वनि दीवारों से अनियमित रूप से टकरा रही हो। अंत में, आपके पास एक ऐसी रिकॉर्डिंग होती है जो नॉन-यूनिफॉर्म (non-uniform) होती है—कुछ सैंपल्स एक-दूसरे के बहुत करीब होते हैं, तो कुछ दूर-दूर। यह नॉन-यूनिफॉर्म डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (NUDFT) है।

एक क्लासिकल कंप्यूटर पर इस गणित को करना धीमा और जटिल होता है। यह पेपर एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके इसे करने का एक नया तरीका पेश करता है, जिसे नॉन-यूनिफॉर्म क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (NUQFT) कहा जाता है।

यहाँ उनके समाधान का सरल उपमाओं (analogies) के साथ विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "मेसी ग्रिड" (The Messy Grid)

कल्पना कीजिए कि आपके पास समय को दर्शाने वाला टाइल्स का एक विशाल ग्रिड है।

यूनिफॉर्म (मानक): टाइल्स एक सीधी रेखा में पूरी तरह से संरेखित (aligned) हैं। आप उन्हें आसानी से गिन सकते हैं और संगीत की फ्रीक्वेंसी निकाल सकते हैं।
नॉन-यूनिफॉर्म (वास्तविक दुनिया): टाइल्स बिखरे हुए हैं। कुछ आपस में दबे हुए हैं, तो कुछ खिंचे हुए हैं। यदि आप मानक "गिनती" पद्धति का उपयोग करने की कोशिश करेंगे, तो यह टूट जाएगी।

2. समाधान: "लो-रैंक एप्रोक्सिमेशन" (The Magic Shortcut)

लेखकों ने हर एक बिखरे हुए टाइल को व्यक्तिगत रूप से ठीक करने की कोशिश नहीं की। इसके बजाय, उन्होंने बिखराव के पैटर्न को देखा और महसूस किया: "अरे, यह अव्यवस्थित ग्रिड वास्तव में एक के ऊपर एक रखी कुछ सरल, साफ पैटर्न्स की तरह दिखता है।"

उन्होंने लो-रैंक एप्रोक्सिमेशन (Low-Rank Approximation) नामक एक गणितीय ट्रिक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि कपड़ों का एक बिखरा हुआ ढेर है। हर एक मोज़े और शर्ट को अलग-अलग तह करने के बजाय, आप महसूस करते हैं कि वह ढेर मुख्य रूप से तीन प्रकार की वस्तुओं से बना है: टी-शर्ट, जींस और मोज़े। आप उस पूरे बिखरे हुए ढेर को केवल उन तीन श्रेणियों को व्यवस्थित करके वर्णित कर सकते हैं।
पेपर में, वे जटिल, अव्यवस्थित गणितीय समस्या को K सरल, साफ "परतों" (layers) के योग में तोड़ देते हैं (जहाँ K एक छोटी संख्या है)।

3. क्वांटम टूलकिट: वे मशीन कैसे बनाते हैं

इसे क्वांटम कंप्यूटर पर काम करने योग्य बनाने के लिए, उन्होंने तीन विशिष्ट "उपकरण" (primitives) का उपयोग किया:

"ब्लॉक एनकोडिंग" (The Transparent Box):
क्वांटम कंप्यूटर चोंचले करते हैं; वे केवल पूर्ण, प्रतिवर्ती (reversible) ऑपरेशन्स (यूनिटरी मैट्रिसेस) के साथ काम करना पसंद करते हैं। लेकिन अव्यवस्थित ग्रिड का गणित पूर्ण नहीं है।
उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक नाजुक, अनियमित पत्थर को एक पूर्ण कांच के घन (cube) के अंदर रखना चाहते हैं। आप उसे बस अंदर नहीं धकेल सकते। इसके बजाय, आप एक विशेष बॉक्स बनाते हैं जहाँ पत्थर ऊपरी-बाएँ कोने में बैठता है, और बाकी बॉक्स को "पैडिंग" (शून्य/zeros) से भर दिया जाता है। क्वांटम कंप्यूटर पूरे पूर्ण बॉक्स को देखता है, लेकिन जब वह ऊपरी-बाएँ कोने को देखता है, तो उसे पत्थर दिखाई देता है। यही ब्लॉक एनकोडिंग है।
क्वांटम सिग्नल प्रोसेसिंग (The Sculptor):
उन्हें टाइल्स के अव्यवस्थित निर्देशांकों (coordinates) को चिकनी वक्र रेखाओं (चेबिशेव पॉलिनोमिअल्स) में बदलने की आवश्यकता थी।
उपमा: एक मूर्तिकार के बारे में सोचें जो केवल छेनी के कुछ विशिष्ट, सरल घुमावों के साथ काम कर सकता है। कई छोटे, सटीक घुमावों को जोड़कर, वे एक जटिल मूर्ति उकेर सकते हैं। क्वांटम कंप्यूटर जटिल गणितीय कार्यों का अनुमान लगाने के लिए "क्यूबिट्स" (qubits) को बहुत विशिष्ट तरीकों से घुमाकर यह कार्य करता है।
लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज (The Mixer):
याद है लो-रैंक एप्रोक्सिमेशन से मिलने वाली "तीन परतें" (टी-शर्ट, जींस, मोज़े)? क्वांटम कंप्यूटर को उन्हें वापस मिलाने की आवश्यकता है।
उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास तीन अलग-अलग रंगों की लाइटें (लाल, हरा, नीला) हैं। आप एक विशिष्ट बैंगनी रंग बनाना चाहते हैं। आप सही अनुपात में इन लाइटों को मिलाने के लिए एक मिक्सर (LCU एल्गोरिदम) का उपयोग करते हैं। क्वांटम कंप्यूटर अंतिम उत्तर को फिर से बनाने के लिए गणित की "परतों" को मिलाता है।

4. परिणाम: तेज़ और कुशल

यह पेपर सिद्ध करता है कि यह नई क्वांटम विधि अविश्वसनीय रूप से कुशल है:

सटीकता (Precision): यदि आप चाहते हैं कि उत्तर अत्यंत सटीक हो (जैसे बाल की चौड़ाई मापना), तो कंप्यूटर को बहुत अधिक मेहनत करने की आवश्यकता नहीं है। प्रयास केवल लॉगारिदमिक रूप से (बहुत धीरे-धीरे) बढ़ता है जैसे-जैसे आप अधिक सटीकता मांगते हैं।
गति (Speed): यह बड़े डेटासेट के लिए क्लासिकल कंप्यूटरों की तुलना में बहुत बेहतर तरीके से स्केल करता है।
मजबूती (Robustness): भले ही "मेसी ग्रिड" बहुत अधिक विकृत (एक स्थिति जिसे वे $\kappa$ कहते हैं) हो, यह एल्गोरिदम इसे सहजता से संभाल लेता है। "अव्यवस्था" केवल थोड़े से अतिरिक्त काम को जोड़ती है, न कि कोई बड़ा धीमापन।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

वर्तमान में, यदि आपके पास अव्यवस्थित डेटा है (जैसे एमआरआई मशीन से प्राप्त मेडिकल इमेजिंग जो हिल रही है, या एक डगमगाते एंटीना वाले सैटेलाइट से रेडियो सिग्नल), तो आपको धीमी, अनुमानित क्लासिकल विधियों का उपयोग करना पड़ता है।

यह पेपर एक ब्लूप्रिंट प्रदान करता है कि कैसे एक क्वांटम कंप्यूटर इस अव्यवस्थित डेटा को सीधे संभाल सकता है। यह एक क्वांटम कंप्यूटर को एक नया चश्मा देने जैसा है जो उसे अनियमित डेटा के "कोहरे" के माध्यम से स्पष्ट रूप से देखने की अनुमति देता है, और इसे किसी भी क्लासिकल कंप्यूटर की तुलना में बहुत तेज़ी से एक स्पष्ट, उपयोगी सिग्नल में बदल देता है।

संक्षेप में: उन्होंने एक तरीका खोजा है जिससे एक बिखरे हुए, अनियमित पहेली को लिया जा सके, उसे कुछ सरल टुकड़ों में तोड़ा जा सके, और क्वांटम कंप्यूटर की जानकारी को मिलाने और घुमाने की अनूठी क्षमता का उपयोग करके इसे तेजी से और सटीकता से हल किया जा सके।

यहाँ जुनैद अफ़ताब, यूहौ खो और हाइझाओ यांग के शोध पत्र "नॉन-यूनिफॉर्म क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म" (Non-Uniform Quantum Fourier Transform) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) सिग्नल प्रोसेसिंग और संख्यात्मक विश्लेषण का एक आधार स्तंभ है, लेकिन इसके लिए अनिवार्य रूप से समान रूप से नमूना लिए गए (uniformly sampled) डेटा की आवश्यकता होती है। कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों (जैसे, मेडिकल इमेजिंग, खगोल विज्ञान, एडेप्टिव मेश रिफाइनमेंट) में, डेटा गैर-समान स्थानों (non-uniform locations) पर नमूना लिया जाता है। इसके लिए नॉन-यूनिफॉर्म डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (NUDFT) की आवश्यकता होती है।

जबकि NUDFT के लिए कुशल शास्त्रीय एल्गोरिदम (जैसे, नॉन-यूनिफॉर्म FFT) मौजूद हैं, और क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) समान डेटा के लिए एक मौलिक प्रिमिटिव है, गैर-समान मामले के लिए व्यवस्थित, पूर्णतः क्वांटम एल्गोरिदम की कमी रही है। मौजूदा प्रस्ताव अक्सर हाइब्रिड दृष्टिकोणों (क्वांटम DFT के बाद शास्त्रीय इंटरपोलेशन) पर निर्भर करते हैं, जो संभावित क्वांटम स्पीडअप को सीमित करते हैं।

लेखक एक नॉन-यूनिफॉर्म क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (NUQFT) के निर्माण की चुनौती का समाधान करते हैं जो पूरी तरह से एक क्वांटम ढांचे के भीतर कार्य करता है, और किसी भी प्रकार के गैर-समान सैंपलिंग ग्रिड $\{t_j\}$ और फ्रीक्वेंसी पॉइंट्स $\{ \omega_k \}$ को संभाल सकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित एल्गोरिदम NUDFT मैट्रिक्स के लो-रैंक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन (low-rank matrix factorization) पर आधारित है, जिसे मूल रूप से एंटोलिन और टाउनसेंड द्वारा शास्त्रीय गणना के लिए विकसित किया गया था, और इसे यहाँ क्वांटम कार्यान्वयन के लिए अनुकूलित किया गया है।

A. गणितीय आधार (Mathematical Foundation)

यह शोध पत्र टाइप-II NUDFT पर केंद्रित है, जहाँ सैंपलिंग स्थान $\{t_j\}$ गैर-समान हैं, लेकिन फ्रीक्वेंसी पॉइंट्स समान ( $\omega_k = k$ ) हैं। NUDFT मैट्रिक्स $F_{II}$ को रैंक-1 अपडेट के योग के रूप में अनुमानित किया जाता है:
$F_{II} \approx \sum_{r=0}^{K-1} D_{\vec{u}_r} F M_{\vec{s}} D_{\vec{v}_r}$
जहाँ:

$F$ मानक यूनिटरी DFT मैट्रिक्स है।
$M_{\vec{s}}$ एक परम्यूटेशन/मैपिंग मैट्रिक्स है जो गैर-समान बिंदुओं को निकटतम समान ग्रिड तक राउंड करने से प्राप्त होता है।
$D_{\vec{u}_r}$ और $D_{\vec{v}_r}$ डायगोनल मैट्रिसेस हैं जिनमें चेबिशेव बहुपद विस्तार (Chebyshev polynomial expansions) से प्राप्त गुणांक होते हैं।
$K$ ट्रंकेशन रैंक है, जिसे वांछित शुद्धता $\epsilon$ के आधार पर चुना जाता है।

B. क्वांटम कार्यान्वयन रणनीति (Quantum Implementation Strategy)

लेखक इस शास्त्रीय गुणनखंड को तीन प्रमुख प्रिमिटिव्स का उपयोग करके एक क्वांटम सर्किट में अनुवादित करते हैं:

ब्लॉक एनकोडिंग (Block Encoding): गैर-यूनिटरी डायगोनल मैट्रिसेस $D_{\vec{u}_r}$ और $D_{\vec{v}_r}$ को बड़े यूनिटरी ऑपरेटर्स ( $U_{\vec{u}_r}$ और $U_{\vec{v}_r}$ ) के भीतर ब्लॉक्स के रूप में एम्बेड किया जाता है।
क्वांटम सिग्नल प्रोसेसिंग (QSP): चेबिशेव बहुपदों $T_r(x)$ और डायगोनल प्रविष्टियों के लिए आवश्यक जटिल घातांकीय चरणों (complex exponential phases) को लागू करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसमें $\arccos(x)$ की गणना करना और नियंत्रित रोटेशन लागू करना शामिल है।
लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज (LCU): लो-रैंक सन्निकटन में $K$ पदों को सुसंगत रूप से (coherently) जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है। इसके लिए एक स्टेट प्रिपरेशन ऑरेकल की आवश्यकता होती है ताकि रैंक इंडेक्स के सुपरपोजिशन को बनाया जा सके और संबंधित यूनिटरीज को लागू करने के लिए एक सेलेक्ट ऑरेकल की आवश्यकता होती है।

C. ऑरेकल धारणाएं (Oracle Assumptions)

एल्गोरिदम निम्नलिखित के लिए ऑरेकल एक्सेस की धारणा लेता है:

सैंपलिंग पॉइंट्स: $O_{\vec{t}}$ जो गैर-समान स्थानों $t_j$ का $m$ -बिट परिशुद्धता प्रदान करता है।
इनवर्स मैपिंग: $O_{\vec{s}}$ और रो-एक्सेस ऑरेकल जो गैर-समान से निकटतम समान ग्रिड बिंदुओं तक मैपिंग को संभालने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

प्रथम पूर्णतः क्वांटम NUQFT: यह पेपर टाइप-II NUDFT के लिए पहला व्यवस्थित, पूर्णतः क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जो हाइब्रिड क्लासिकल-क्वांटम बाधाओं से बचता है।
स्पष्ट सर्किट निर्माण: लेखक आवश्यक यूनिटरीज ( $U_{\vec{u}_r}, U_{\vec{v}_r}$ ) के लिए स्पष्ट गेट-लेवल निर्माण प्रदान करते हैं, जिसमें $\arccos$ और चेबिशेव मूल्यांकन के लिए रिवर्सिबल अरिथमेटिक शामिल है।
कठोर त्रुटि विश्लेषण: एक व्यापक त्रुटि विश्लेषण कुल त्रुटि को विभाजित करता है:
1. ट्रंकेशन एरर (Truncation Error): लो-रैंक चेबिशेव सन्निकटन से।
2. ऑरेकल एरर (Oracle Error): सैंपलिंग पॉइंट्स के परिमित-परिशुद्धता प्रतिनिधित्व से।
3. इम्प्लीमेंटेशन एरर (Implementation Error): परिमित-परिशुद्धता QSP ( $\arccos$ सन्निकटन) से।
  पेपर एक लक्ष्य सटीकता $\epsilon$ प्राप्त करने के लिए मापदंडों $K$ (रैंक), $m$ (ऑरेकल परिशुद्धता), और $p$ (QSP परिशुद्धता) के लिए स्पष्ट सीमाएँ व्युत्पन्न करता है।
जटिलता सीमाएं (Complexity Bounds): लेखक सिद्ध करते हैं कि एल्गोरिदम एक $\epsilon$ $ϵ$ -सटीक ब्लॉक एनकोडिंग प्राप्त करता है:
- क्यूबिट्स: $O(n + \log(1/\epsilon) + \log(1 + \kappa \log(1/\epsilon)))$ , जहाँ $n$ ग्रिड आकार ( $N=2^n$ ) के लिए क्यूबिट्स की संख्या है और $\kappa$ एक ज्यामिति-निर्भर कंडीशनिंग पैरामीटर है।
- गेट काउंट: $1/\epsilon$ में पॉिलोगारिदमिक (Polylogarithmic) और $n$ में द्विघाती (Quadratic), जो मानक QFT कार्यान्वयन द्वारा संचालित है।
- कंडीशनिंग: गैर-समानता की ज्यामिति ( $\kappa$ ) पर निर्भरता केवल लॉगरिदमिक है, जो अत्यधिक क्लस्टर्ड सैंपलिंग पॉइंट्स के लिए भी मजबूती सुनिश्चित करती है।

4. परिणाम (Results)

सैद्धांतिक सत्यापन: थ्योरम 24 और कोरोलरी 29 स्थापित करते हैं कि सर्किट NUDFT मैट्रिक्स का $(\alpha, \epsilon)$ -ब्लॉक एनकोडिंग लागू करता है। जटिलता $O(n^2 + \text{polylog}(1/\epsilon))$ के रूप में स्केल होती है, जो विशिष्ट क्वांटम वर्कफ़्लो के लिए शास्त्रीय $O(N \log N)$ विधियों की तुलना में एक संभावित घातीय गति (exponential speedup) प्रदान करती है।
संख्यात्मक प्रयोग:
- लो-रैंक ट्रंकेशन: सिमुलेशन पुष्टि करते हैं कि जैसे-जैसे रैंक $K$ बढ़ता है, स्पेक्ट्रल नॉर्म एरर तेजी से घटता है, जो विभिन्न नोड ज्योमेट्री (परेशान, क्लस्टर्ड, रैंडम) के लिए सैद्धांतिक ट्रंकेशन बाउंड्स को मान्य करता है।
- परिशुद्धता संवेदनशीलता: प्रयोग दिखाते हैं कि आवश्यक ऑरेकल परिशुद्धता $m$ , कंडीशनिंग पैरामीटर $\kappa$ के साथ बहुत मामूली रूप से (लॉगरिदमिक रूप से) स्केल होती है, जो पुष्टि करती है कि अत्यधिक गैर-समानता भी संसाधन आवश्यकताओं को नाटकीय रूप से नहीं बढ़ाती है।
- घटक सत्यापन: लेखकों ने छोटे $n$ और $K$ के लिए स्टेटवेक्टर सिम्युलेटर्स का उपयोग करके क्वांटम सब-रूटीन जैसे $\arccos$ , चेबिशेव बहुपद ( $U_{\vec{v}_r}$ ), और LCU संयोजन ( $U_{\vec{u}_r}$ ) को सत्यापित किया। परिणाम उच्च निष्ठा (high fidelity) के साथ सैद्धांतिक भविष्यवाणियों से मेल खाते हैं।
- $M_{\vec{s}}$ का ब्लॉक एनकोडिंग: विभिन्न स्पर्सिटी पैटर्न के लिए स्पार्स मैट्रिक्स एनकोडिंग को मशीन परिशुद्धता तक सत्यापित किया गया था।

5. महत्व और भविष्य की दिशाएं (Significance and Future Directions)

एक अंतर को भरना: यह कार्य क्वांटम एल्गोरिदम डिजाइन में एक महत्वपूर्ण अंतर को भरता है, जिससे शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग पर निर्भर किए बिना गैर-समान डेटा (जो वास्तविक दुनिया के भौतिकी और इंजीनियरिंग समस्याओं में एक सामान्य परिदृश्य है) पर फूरियर विश्लेषण को लागू करना संभव हो जाता है।
स्केलेबिलिटी: परिशुद्धता पर पॉिलोगारिदमिक निर्भरता और ज्यामिति पर मामूली निर्भरता इस एल्गोरिदम को बड़े, अनियमित डेटासेट के लिए सैद्धांतिक रूप से स्केलेबल बनाती है।
अनुप्रयोगों के लिए आधार: NUQFT अनियमित डोमेन पर आंशिक अंतर समीकरणों (PDEs) को हल करने, क्वांटम इमेजिंग और गैर-स्थिर संकेतों के स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए क्वांटम एल्गोरिदम में एक सब-रूटीन के रूप में कार्य कर सकता है।

लेखकों द्वारा पहचाने गए भविष्य के दिशा-निर्देश:

ऑरेकल कार्यान्वयन: आवश्यक ऑरेकल (QRAM या डेटा-जेनरेशन मॉडल) के कुशल भौतिक कार्यान्वयन विकसित करना।
सन्निकटन रणनीतियाँ: अतिरिक्त अनसांडा ओवरहेड को कम करने के लिए तर्कसंगत सन्निकटन (rational approximations) या QSVT का पता लगाना।
फॉल्ट टॉलरेंस और NISQ: एल्गोरिदम को फॉल्ट-टोलरेंट गेट सेट्स में कंपाइल करना और छोटे-कोण रोटेशन का अनुमान लगाकर NISQ उपकरणों के लिए अनुकूलित करना।
उच्च आयाम: बहु-आयामी (multidimensional) NUDFTs और अन्य गैर-समान इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म्स (जैसे, लैप्लेस, लेजेंड्रे) के ढांचे का विस्तार करना।

संक्षेपsummary में, यह शोध पत्र गैर-समान ग्रिडों पर क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करके फूरियर ट्रांसफॉर्म करने के लिए एक कठोर, रचनात्मक और संसाधन-विश्लेषित ढांचा प्रदान करता है, जो व्यावहारिक क्वांटम सिग्नल प्रोसेसिंग की ओर एक महत्वपूर्ण कदम है।