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Spectral signatures of nonstabilizerness and criticality in infinite matrix product states

यह शोध पत्र अनंत मैट्रिक्स उत्पाद अवस्थाओं (infinite matrix product states) में स्टेबलाइज़र रेनी एंट्रॉपी (stabilizer Rényi entropy) के लिए एक स्पेक्ट्रल ट्रांसफर-मैट्रिक्स ढांचे को विकसित करता है, जो एक विशिष्ट स्टेबलाइज़र रेनी एंट्रॉपी सहसंबंध लंबाई (SRE correlation length) को प्रकट करता है जो क्रिटिकैलिटी पर अपसारी (diverge) होती है और यह प्रदर्शित करता है कि कैसे नॉन-स्टेबलाइज़रनेस (nonstabilizerness), क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम्स में चरण संक्रमण (phase transitions) और स्थानीय विक्षोभों (local perturbations) के सार्वभौमिक हस्ताक्षरों को कैप्चर करती है।

मूल लेखक: Andrew Hallam, Ryan Smith, Zlatko Papić

प्रकाशित 2026-07-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andrew Hallam, Ryan Smith, Zlatko Papić

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम गणित का जादू

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसा सुपर-कंप्यूटर बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो उन समस्याओं को हल कर सके जिन्हें कोई सामान्य कंप्यूटर कभी नहीं कर सकता। यही क्वांटम कंप्यूटिंग का सपना है। लेकिन यहाँ एक पेच है: वह "जादू" जो इन मशीनों को शक्तिशाली बनाता है, वह अविश्वसनीय रूप से नाजुक और बनाने में कठिन है। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, "स्टेबलाइजर स्टेट्स" (stabilizer states) नामक विशेष अवस्थाएं होती हैं जो बनाना आसान है और जिन्हें एक सामान्य लैपटॉप पर सिम्युलेट करना भी आसान है। वे ब्रह्मांड के उबाऊ, अनुमानित बैकग्राउंड शोर की तरह हैं। अत्यधिक शक्तिशाली चीज़ पाने के लिए, आपको सिस्टम में "मैजिक" (या नॉनस्टेबिलाइज़रनेस/nonstabilizerness) इंजेक्ट करने की आवश्यकता होती है। इसे एक रेसिपी में गुप्त मसाला डालने जैसा समझें; बिना इसके, व्यंजन केवल ठीक-ठाक होता है, लेकिन इसके साथ, वह एक उत्कृष्ट कृति बन जाता है।

वह बड़ा रहस्य जिसे वैज्ञानिक सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, वह यह है कि अरबों कणों से बनी जटिल प्रणालियों में यह "जादू" कहाँ से आता है? हम जानते हैं कि जब सामग्रियां एक अवस्था से दूसरी अवस्था में बदलती हैं—जैसे पानी का बर्फ में बदलना, या किसी चुंबक का अपना चुंबकत्व खोना—तो वे एक "क्रिटिकल पॉइंट" (क्रांतिक बिंदु) से गुजरती हैं। इन क्षणों में, कण जंगली और समन्वित तरीकों से व्यवहार करने लगते हैं। भौतिक विज्ञानी कण कितने जुड़े हुए हैं, यह मापने के लिए "एंटैंगलमेंट" (entanglement) नामक उपकरण का उपयोग लंबे समय से करते आए हैं। लेकिन एंटैंगलमेंट केवल कहानी का एक हिस्सा है। नया सवाल यह है: क्या यह "जादू" भी इन क्रिटिकल पॉइंट्स पर दिखाई देता है? और यदि हाँ, तो क्या हम यह समझने के लिए इसे माप सकते हैं कि वास्तविक दुनिया में क्वांटम कंप्यूटर कैसे काम करेंगे? यह शोध पत्र उसी प्रश्न में गहराई से उतरता है, जो क्वांटम सूप में छिपे हुए जादू के पदचिह्नों की तलाश कर रहा है।

शोध का निष्कर्ष: "जादू" का पैमाना खोजना

इस अध्ययन में, लीड्स विश्वविद्यालय के एंड्रयू हॉलम, रयान स्मिथ और ज़्लाट्को पापिच ने इन क्वांटम प्रणालियों को देखने का एक नया तरीका विकसित किया। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम स्टेट पर ध्यान केंद्रित किया जिसे "इनफिनिट मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट" (iMPS) कहा जाता है, जो कणों की एक अनंत श्रृंखला के लिए एक गणितीय मॉडल की तरह है। उनका मुख्य लक्ष्य यह पता लगाना था कि इन अनंत श्रृंखलाओं में "जादू" (नॉनस्टेबिलाइज़रनेस) को कैसे मापा जाए और यह देखना था कि क्या यह एक पैमाने (रूलर) की तरह व्यवहार करता है जो यह पता लगा सके कि कब कोई सिस्टम एक नाटकीय परिवर्तन करने वाला है।

लेखकों ने पाया कि इन प्रणालियों में "जादू" केवल एक एकल, अव्यवस्थित संख्या नहीं है। इसके बजाय, उन्होंने पाया कि यदि आप इसे तोड़ते हैं, तो इसमें तीन अलग-अलग भाग होते हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक गाने में एक तेज़ कोरस, एक शांत वर्स और एक फीका पड़ता हुआ ईको (गूँज) होता है।

तेज़ कोरस (एक्सटेंसिव टर्म): यह जादू का मुख्य हिस्सा है, जो सिस्टम के बड़ा होने पर बढ़ता है। हालाँकि, लेखकों ने पाया कि यह हिस्सा "नॉन-यूनिवर्सल" है, जिसका अर्थ है कि यह सामग्री के विशिष्ट विवरणों पर निर्भर करता है, जैसे कि परमाणु कैसे व्यवस्थित हैं। यह क्रिटिकल पॉइंट का विश्वसनीय संकेत नहीं है।
शांत वर्स (बाउंड्री टर्म): यह भाग श्रृंखला के दो पड़ोसी खंडों के बीच साझा किए गए "जादू" का प्रतिनिधित्व करता है। यह दो पड़ोसियों के बीच हाथ मिलाने (handshake) जैसा है।
फीका पड़ता हुआ ईको (एक नई खोज): यह सबसे रोमांचक हिस्सा है। लेखकों ने एक "फीके पड़ते ईको" के रूप में जादू को पाया जो सिस्टम के माध्यम से यात्रा करता है। उन्होंने एक नई लंबाई को परिभाषित किया जिसे SRE कोरिलेशन लेंथ कहा गया। इसे एक "जादू के पैमाने" (magic ruler) के रूप में सोचें। सामान्य सामग्रियों में, यह पैमाना छोटा होता है। लेकिन जब सिस्टम एक क्रिटिकल पॉइंट (जैसे फेज ट्रांजिशन) पर पहुँचता है, तो यह पैमाना अचानक अनंत तक फैल जाता है।

यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से दिखाता है कि यह "जादू का पैमाना" उन मानक "एंटैंगलमेंट रूलर" से अलग है जिनका उपयोग भौतिक विज्ञानी वर्षों से कर रहे हैं। हालाँकि दोनों पैमाने क्रिटिकल पॉइंट्स पर फैलते हैं, लेकिन वे अलग-अलग गति से फैलते हैं। लेखकों ने इसे "क्लस्टर-आइसिंग मॉडल" नामक एक विशिष्ट मॉडल का उपयोग करके प्रदर्शित किया। उन्होंने इस मॉडल के एक सरलीकृत संस्करण के लिए गणित की सटीक गणना की और फिर पूर्ण मॉडल पर सिमुलेशन चलाया। उनके परिणाम दिखाते हैं कि "जादू का पैमाना" क्रिटिकल पॉइंट पर विवर्तित (diverge/अनंत की ओर) होता है, जो यह सिद्ध करता है कि नॉनस्टेबिलाइज़रनेस वास्तव में इन क्वांटम फेज ट्रांजिशन के मजबूत संकेत हैं।

हालाँकि, लेखक सावधानी बरतते हुए नोट करते हैं कि यह हर चीज़ के लिए जादुई समाधान (magic bullet) नहीं है। उन्होंने पाया कि "मैजिक डेंसिटी" (प्रति कण जादू की कुल मात्रा) हमेशा क्रिटिकल पॉइंट्स पर नाटकीय रूप से नहीं बढ़ती है; कभी-कभी यह बहुत सहज और उबाऊ दिखती है। यह समझाता है कि पिछले अध्ययन भ्रमित क्यों थे: यदि आप केवल जादू की कुल मात्रा को देखते हैं, तो आप क्रिटिकल पॉइंट को पूरी तरह से मिस कर सकते हैं। लेकिन यदि आप कोरिलेशन लेंथ (जादू कितनी दूर तक पहुँचता है) को देखते हैं, तो क्रिटिकल पॉइंट स्पष्ट रूप से उभर कर आता है।

टीम ने यह भी परीक्षण किया कि जब वे सिस्टम को छेड़ते हैं तो यह "जादू" कैसे प्रतिक्रिया करता है। उन्होंने श्रृंखला के एक हिस्से पर एक छोटा सा ट्विस्ट (एक यूनिटरी ऑपरेशन) लगाने का अनुकरण किया और देखा कि दूर स्थित बिंदु पर जादू कैसे बदला। उन्होंने पाया कि जादू में बदलाव दूरी के साथ घातीय रूप से (exponentially) कम होता है, और उस गिरावट की गति ठीक उनके नए "SRE कोरिलेशन लेंथ" द्वारा नियंत्रित होती है। यह पुष्टि करता है कि यह नई लंबाई का पैमाना सिस्टम का एक वास्तविक, भौतिक गुण है, न कि केवल एक गणितीय चाल।

पूर्ण क्लस्टर-आइसिंग मॉडल के अपने सिमुलेशन में, लेखकों ने तीन अलग-अलग क्षेत्रों को दिखाने वाला एक फेज डायग्राम तैयार किया: एक ट्रिवियल फेज, एक सिमेट्री-ब्रोकन फेज, और एक विशेष "सिमेट्री प्रोटेक्टेड टोपोलॉजिकल" (SPT) फेज। उन्होंने पाया कि "जादू का पैमाना" इन फेजों को अलग करने वाली रेखाओं पर विवर्तित (diverge) होता है। दिलचस्प बात यह है कि उन्होंने देखा कि "म्युचुअल मैजिक" (पड़ोसियों के बीच हैंडशेक) SPT फेज में वास्तव में नकारात्मक हो सकता है, जो क्वांटम जादू की एक अजीब और अनूठी विशेषता है जो सामान्य सूचना के साथ नहीं होती है।

शोध पत्र इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि हालांकि जादू की कुल मात्रा को मापना कठिन और अक्सर भ्रामक होता है, लेकिन जादू की सीमा (कोरिलेशन लेंथ) को मापना एक शक्तिशाली नया दृष्टिकोण प्रदान करता है। यह सुझाव देता है कि नॉनस्टेबिलाइज़रनेस एक मौलिक संसाधन है जो पदार्थ के अवस्था बदलने की दहलीज पर होने के व्यवहार के साथ गहराई से जुड़ा हुआ है। लेखक सुझाव देते हैं कि इस ढांचे का उपयोग अन्य प्रकार के क्वांटम सिस्टम के अध्ययन के लिए किया जा सकता है, जैसे कि फ्रस्ट्रेशन वाले या दो आयामों (two dimensions) वाले सिस्टम, लेकिन वे स्वीकार करते हैं कि बड़े सिस्टम के लिए गणित बहुत भारी और गणना में महंगा हो जाता है। वे प्रस्तावित करते हैं कि भविष्य के कार्य को इन गणनाओं को कुशलतापूर्वक संभालने के लिए नए एल्गोरिदम की आवश्यकता हो सकती है।

अंततः, यह कार्य हमें केवल यह नहीं बताता कि इन प्रणालियों में जादू है; यह हमें यह मापने का एक नया उपकरण देता है कि वह जादू कितनी दूर तक पहुँचता है। यह सुझाव देता है कि क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए आवश्यक "जादू" केवल एक यादृच्छिक घटक नहीं है; यह एक संरचित, सार्वभौमिक विशेषता है जो स्वाभाविक रूप से तब उभरती है जब क्वांटम पदार्थ अपनी अवस्था बदलने की कगार पर होता है।

तकनीकी सारांश: अनंत मैट्रिक्स उत्पाद अवस्थाओं (Infinite Matrix Product States) में नॉनस्टेबिलाइज़रनेस (Nonstabilizerness) और क्रिटिकैलिटी के स्पेक्ट्रल सिग्नेचर

समस्या विवरण
नॉनस्टेबिलाइज़रनेस, जिसे अक्सर "मैजिक" (magic) भी कहा जाता है, सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटेशन (universal quantum computation) के लिए एक मौलिक संसाधन है, जो उन क्वांटम अवस्थाओं को अलग करती है जिन्हें शास्त्रीय रूप से कुशलतापूर्वक सिम्युलेट किया जा सकता है (स्टेबिलाइज़र अवस्थाएं) और उन्हें जो नहीं किया जा सकता। जबकि एंटैंगलमेंट (entanglement) को कई-शरी क्वांटम प्रणालियों में सार्वभौमिक गुणों और क्रिटिकैलिटी (criticality) को चरित्रित करने के एक स्थापित उपकरण के रूप में जाना जाता है, इन व्यवस्थाओं में नॉनस्टेबिलाइज़रनेस के व्यवहार को अभी तक पूरी तरह से समझा नहीं गया है। मौजूदा साहित्य विरोधाभासी अवलोकन प्रस्तुत करता है: जबकि कुछ क्रिटिकल मॉडल (जैसे कि ट्रांसवर्स-फील्ड आइसिंग मॉडल) स्टेबिलाइज़र रेनी एंट्रॉपी (SRE) में गैर-विश्लेषणात्मक (non-analytic) विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं, अन्य जो समान सार्वभौमिकता वर्ग (universality class) को साकार करते हैं (जैसे कि रिडबर्ग-एटम मॉडल), सुचारू (smooth) व्यवहार दिखाते हैं। यह इस बात पर संदेह उत्पन्न करता है कि क्या नॉनस्टेबिलाइज़रनेस अकेले चरण संक्रमणों (phase transitions) के लिए एक मजबूत नैदानिक (diagnostic) उपकरण के रूप में कार्य करती है। इसके अलावा, कई-शरी प्रणालियों में नॉनस्टेबिलाइज़रनेस को मापना आम तौर पर गणनात्मक रूप से महंगा होता है, क्योंकि यह अक्सर सिस्टम के आकार के साथ घातीय (exponentially) रूप से बढ़ता है, जो कठोर विश्लेषणात्मक अंतर्दृष्टि को सीमित करता है।

कार्यप्रणाली
लेखक अनंत मैट्रिक्स उत्पाद अवस्थाओं (iMPS) के भीतर SRE का विश्लेषण करने के लिए एक स्पेक्ट्रल ट्रांसफर-मैट्रिक्स ढांचे का विकास करते हैं।

स्पेक्ट्रल अपघटन (Spectral Decomposition): वे iMPS टेंसर के $2n$ -गुना रेप्लिका से व्युत्पन्न एक रेप्लिका ट्रांसफर मैट्रिक्स, $\mathcal{E}$ का निर्माण करते हैं। $\mathcal{E}$ के स्पेक्ट्रल अपघटन को करके, वे इसके आइगेनवैल्यू $\mu_i$ और आइगेनवेक्टर्स का विश्लेषण करते हैं।
SRE का अपघटन: एक अनंत श्रृंखला में स्थित एक परिमित उप-तंत्र (subsystem) के आकार $N$ $N$ के SRE को $\mathcal{E}$ $E$ के स्पेक्ट्रम के आधार पर तीन विशिष्ट योगदानों में विभाजित किया गया है:
- एक विस्तृत (extensive) पद जो $\mu_1$ द्वारा नियंत्रित होता है और $N$ के समानुपाती होता है।
- एक $O(1)$ बाउंड्री पद जो SRE ट्रांसफर मैट्रिक्स और मानक MPS ट्रांसफर मैट्रिक्स के डोमिनेंट आइगेनवेक्टर्स के ओवरलैप द्वारा निर्धारित होता है।
- सबलीडिंग (subleading) सुधार जो $N$ के साथ तेजी से घटते हैं और डोमिनेंट आइगेनवैल्यू के सापेक्ष सबलीडिंग आइगेनवैल्यूज के अनुपात द्वारा नियंत्रित होते हैं।
SRE सहसंबंध लंबाई (Correlation Length) की परिभाषा: सबलीडिंग सुधारों से, लेखक एक नई लंबाई स्केल, SRE सहसंबंध लंबाई $\xi^{(n)}_{\text{SRE}} = -1/\log|\mu_2/\mu_1|$ को परिभाषित करते हैं। यह मानक MPS सहसंबंध लंबाई $\xi$ से भिन्न है, जो मानक ट्रांसफर मैट्रिक्स से प्राप्त होती है।
विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक मॉडल:
- MPS स्केलेटन: वे क्लस्टर-आइसिंग मॉडल के एक विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य $\chi=2$ MPS "स्केलेटन" पर इस ढांचे को लागू करते हैं, जिससे SRE और सहसंबंध लंबाई के सटीक बंद-रूप (closed-form) अभिव्यक्तियों की अनुमति मिलती है।
- पूर्ण क्लस्टर-आइसिंग मॉडल: वे बड़े बॉन्ड डायमेंशन ( $\chi=50$ ) को संभालने के लिए पाउली-आधार (Pauli-basis) रूपांतरण तकनीकों और वेरिएशनल यूनिफॉर्म मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट (VUMPS) एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पिन-1/2 क्लस्टर-आइसिंग मॉडल के पूर्ण फेज़ डायग्राम का विस्तार करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

SRE अपघटन और म्यूचुअल SRE: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एक परिमित उप-तंत्र का SRE, एक विस्तृत बल्क पद, दो आसन्न अर्ध-अनंत उप-तंत्रों के बीच पहचाने गए म्यूचुअल SRE (boundary term), और तेजी से घटने वाले सुधारों में विभाजित होता है। म्यूचुअल SRE, $L^{(n)}_\infty$ , डोमिनेंट आइगेनवेक्टर्स और रेनी एंट्रॉपी के ओवरलैप से संबंधित है।
क्रिटिकल डायग्नोस्टिक के रूप में SRE सहसंबंध लंबाई: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि $\xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ निरंतर चरण संक्रमणों (continuous phase transitions) पर विचलन (diverge) करता है। महत्वपूर्ण रूप से, वे दिखाते हैं कि $\xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ मानक सहसंबंध लंबाई $\xi$ के साथ एक अलग क्रिटिकल एक्सपोनेंट के साथ विचलित हो सकता है। मल्टीक्रिटिकल पॉइंट पर MPS स्केलेटन के लिए, $\xi \sim |g|^{-1}$ जबकि $\xi^{(2)}_{\text{SRE}} \sim |g|^{-2}$ है। यह इंगित करता है कि नॉनस्टेबिलाइज़र सहसंबंध, मानक टू-पॉइंट फंक्शन्स से परे ऑपरेटर सामग्री (operator content) की जांच करते हैं।
स्थानीय विक्षोभ (Local Perturbations) के प्रति प्रतिक्रिया: ढांचा प्रकट करता है कि $\xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ , स्थानीय यूनिटरी विक्षोभों के प्रति SRE की स्थानिक क्षय (spatial decay) को नियंत्रित करता है। दो स्थानिक रूप से अलग यूनिटरी ऑपरेशंस के कारण SRE में परिवर्तन, दूरी $r$ के साथ $\xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ के अनुसार तेजी से घटता है, जो नॉनस्टेबिलाइज़रनेस के लिए एक सहसंबंध लंबाई के रूप में इसकी भूमिका की पुष्टि करता है।
सार्वभौमिक स्केलिंग (Universal Scaling): पूर्ण क्लस्टर-आइसिंग मॉडल में, म्यूचुअल SRE $W^{(n)}_\infty$ को $Z_2$ सार्वभौमिकता वर्ग से संबंधित क्रिटिकल लाइनों के साथ सार्वभौमिक स्केलिंग प्रदर्शित करते हुए दिखाया गया है। लेखक एक एसिम्प्टोटिक स्केलिंग फॉर्म $W^{(n)}_\infty \propto \log \xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ प्रस्तावित करते हैं, जो म्यूचुअल इंफॉर्मेशन के लिए कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी (CFT) के अनुमानों के समान है, हालांकि वे नोट करते हैं कि सबलीडिंग आइगेनवैल्यूज के धीमे अभिसरण (convergence) के कारण वास्तविक एसिम्प्टोटिक रिजीम तक पहुँचना संख्यात्मक रूप से चुनौतीपूर्ण है।
फेज़ डायग्राम विश्लेषण: अध्ययन क्लस्टर-आइसिंग फेज़ डायग्राम में SRE डेंसिटी, म्यूचुअल SRE और SRE सहसंबंध लंबाई का मानचित्रण करता है। जबकि SRE डेंसिटी गैर-सार्वभौमिक व्यवहार दिखाती है (जैसे कि कार्यान्वयन के आधार पर स्मूथ बनाम गैर-विश्लेषणात्मक विशेषताएं), $\xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ का विचलन विभिन्न क्रिटिकल लाइनों में एक सुसंगत क्रिटिकैलिटी सिग्नेचर प्रदान करता है।

महत्व
यह शोध पत्र दावा करता है कि नॉनस्टेबिलाइज़रनेस, क्रिटिकैलिटी और स्थानीय विक्षोभों के ऐसे विशिष्ट संकेत कैप्चर करती है जो मानक एंटैंगलमेंट उपायों द्वारा पूरी तरह से नहीं पकड़े जा सकते हैं। SRE सहसंबंध लंबाई को पेश करके, लेखक कंप्यूटेशनल संसाधनों (मैजिक) और उभरते हुए घटनाओं (emergent phenomena) के बीच परस्पर क्रिया पर एक नया दृष्टिकोण प्रदान करते हैं। यह कार्य सुझाव देता है कि जबकि SRE डेंसिटी स्वयं मॉडल-निर्भर गैर-सार्वभौमिक व्यवहार के कारण चरण संक्रमणों के लिए हमेशा एक मजबूत संकेतक नहीं हो सकती है, SRE ट्रांसफर मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रल गुण—विशेष रूप से $\xi^{(n)}_{\text{SRE}}$ का विचलन—क्रिटिकैलिटी के लिए एक सार्वभौमिक डायग्नोस्टिक प्रदान करते हैं। निष्कर्षों से पता चलता है कि नॉनस्टेबिलाइज़र सहसंबंध एक अलग लंबाई स्केल द्वारा शासित होते हैं जो मानक सहसंबंधों से भिन्न रूप से विचलित हो सकता है, जो कई-शरी अवस्थाओं में मैजिक की जटिल संरचना को दर्शाता है।

लेखक अपनी गणनात्मक सीमाओं के संबंध में विनम्र बने रहते हैं, यह नोट करते हुए कि बॉन्ड डायमेंशन के साथ SRE ट्रांसफर मैट्रिक्स का प्रतिकूल स्केलिंग, संख्यात्मक सिमुलेशन में एसिम्प्टोटिक स्केलिंग रिजीम तक पहुँच को प्रतिबंधित करता है। वे सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्य इन विचारों को प्रोजेक्टेड एंटैंगल्ड-पेयर स्टेट्स (PEPS) और गतिशील सेटिंग्स तक विस्तारित कर सकते हैं, लेकिन वर्तमान परिणाम 1D iMPS और विशिष्ट हल करने योग्य मॉडलों तक ही सीमित हैं।

क्वांटम गणित का जादू

शोध का निष्कर्ष: "जादू" का पैमाना खोजना

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