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Comments on Entire Functions of the Derivative Operator

यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके इस धारणा का खंडन करता है कि डैलेम्बर्टियन (d'Alembertian) के घातांक (exponentials) धनात्मक-निश्चित (positive-definite) होते हैं, क्योंकि ऐसे ऑपरेटर अस्थिर समाधानों के एक अनंत कर्नेल (infinite kernel) को रखते हैं, जिससे सीमित अंतरालों पर मनमानी प्रारंभिक डेटा की अनुमति मिलती है और ओस्ट्रोग्रैडस्कियन अस्थिरताओं (Ostrogradskian instabilities) का समाधान करने में विफलता मिलती है।

मूल लेखक: R. P. Woodard

प्रकाशित 2026-02-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: R. P. Woodard

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक टूटे हुए इंजन को ठीक करने की कोशिश

कल्पना कीजिए कि भौतिकी (physics) एक विशाल, जटिल मशीन की तरह है। 300 वर्षों से अधिक समय से, वैज्ञानिक जानते हैं कि इस मशीन को नियंत्रित करने वाले नियम (भौतिकी के नियम) आम तौर पर सेकंड-ऑर्डर समीकरणों (second-order equations) की तरह काम करते हैं। इसे एक कार के रूप में सोचें जहाँ आपको केवल इसके स्थान (position) और इसकी गति (speed) को जानने की आवश्यकता है ताकि आप भविष्यवाणी कर सकें कि यह आगे कहाँ जाएगी।

हालाँकि, क्वांटम स्तर पर (बहुत सूक्ष्म पैमाने पर) गुरुत्वाकर्षण को समझने की खोज में, कुछ वैज्ञानिकों ने "सुपर-मशीनें" बनाने की कोशिश की। उन्होंने इसमें नॉन-लोकल फॉर्म फैक्टर्स (non-local form factors) जोड़े—अनिवार्य रूप से, उन्होंने मशीन के नियमों को केवल वर्तमान क्षण पर ही नहीं, बल्कि हर जगह एक साथ हो रही हर चीज़ पर निर्भर बनाने की कोशिश की।

इन नए सिद्धांतों को काम करने के योग्य बनाने के लिए, उन्होंने एक विशिष्ट गणितीय उपकरण का उपयोग किया: डेरिवेटिव ऑपरेटर का एक्सपोनेंशियल (exponential of the derivative operator) (जिसे $e^{T^2 \frac{d^2}{dt^2}}$ के रूप में लिखा जाता है)। उन्हें विश्वास था कि यह उपकरण "सुरक्षित" है। उन्हें लगा कि यह भौतिकी के नियमों को तोड़े बिना गणित को ठीक कर देगा।

आर.पी. वुडार्ड (R.P. Woodard) का पेपर एक वास्तविकता की जाँच (reality check) है। वह कहते हैं: "रुकिए। वह उपकरण सुरक्षित नहीं है। वह वास्तव में एक टिक-टिक करता हुआ टाइम बम है।"

मूल समस्या: मशीन में "भूत" (The "Ghost" in the Machine)

भौतिकी में, एक प्रसिद्ध नियम है जिसे ओस्ट्रोग्रैडस्की का प्रमेय (Ostrogradsky's Theorem) कहा जाता है। यह एक रासायनिक कंटेनर पर लगे चेतावनी लेबल की तरह है। यह कहता है:

"यदि आप एक ऐसा सिस्टम बनाते हैं जो बदलाव की बहुत सारी परतों (higher derivatives) पर निर्भर है, तो वह सिस्टम अस्थिर हो जाएगा। यह स्वतः ही विस्फोट कर जाएगा या ढह जाएगा।"

आमतौर पर, ऐसा इसलिए होता है क्योंकि सिस्टम "नेगेटिव एनर्जी" (ऋणात्मक ऊर्जा) की अवस्थाएं बना देता है। एक पहाड़ी पर रखी गेंद की कल्पना करें। यदि वह नीचे लुढ़कती है, तो वह गति (पॉजिटिव एनर्जी) प्राप्त करती है। लेकिन इन अस्थिर सिद्धांतों में, गेंद अनंत गति प्राप्त करने के लिए पहाड़ी पर ऊपर की ओर लुget सकती है, या अनंत गड्ढे में गिर सकती है। यह वही "ओस्ट्रोग्रैडस्कियन अस्थिरता" (Ostrogradskian instability) है।

गलत धारणा: "जादुई फिल्टर" (The "Magic Filter")

इन नए गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के समर्थकों ने तर्क दिया: "लेकिन रुकिए! हम केवल कुछ अतिरिक्त परतें नहीं जोड़ रहे हैं। हम डेरिवेटिव का एक संपूर्ण फलन (entire function) (एक अनंत श्रृंखला) उपयोग कर रहे हैं। यह मशीन पर एक जादुई फिल्टर लगाने जैसा है। हमें लगता है कि यह फिल्टर 'बुरे' नेगेटिव एनर्जी स्टेट्स को ब्लॉक कर देगा और हमें एक साफ, स्थिर सिस्टम देगा।"

उन्होंने विशेष रूप से एक समीकरण को देखा जिसमें एक कण $q(t)$ शामिल था और दावा किया कि एकमात्र समाधान सामान्य, साधारण और स्थिर थे (जैसे एक साधारण झूलता हुआ पेंडुलम)।

वुडार्ड की खोज: फिल्टर लीकी (Leaky) है

वुडार्ड कहते हैं कि यह विश्वास असत्य है। वह सिद्ध करते हैं कि "जादुई फिल्टर" बुरे तत्वों को रोकता नहीं है; बल्कि, यह वास्तव में अनंत मात्रा में अराजकता (chaos) को अंदर आने देता है।

यहाँ उनके द्वारा सिद्धांत को तोड़ने के दो मुख्य तरीके दिए गए हैं:

1. "घोस्ट" कणों का अनंत चिड़ियाघर

वुडार्ड ने समीकरण $O \times q(t) = 0$ (जहाँ $O$ वह एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर है) का अध्ययन किया।

आशावादियों ने क्या सोचा: एकमात्र समाधान सामान्य, शांत लहरें (जैसे पेंडुलम) हैं।
वुडार्ड ने क्या पाया: वास्तव में अनंत अन्य समाधान भी मौजूद हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक रेडियो स्टेशन सुन रहे हैं। आशावादी कहते हैं, "हमें केवल संगीत सुनाई दे रहा है।" वुडार्ड कहते हैं, "नहीं, यदि आप वॉल्यूम बढ़ा दें, तो आप एक साथ अनंत संख्या में स्टैटिक शोर, चीखें और विस्फोट सुन सकते हैं।"
- ये अतिरिक्त समाधान अनंत आवृत्तियों (infinite frequencies) पर दोलन करते हैं और एक्सपोनेंशियल (exponentially) रूप से बढ़ते या घटते हैं (वे बहुत बड़े हो जाते हैं या तुरंत गायब हो जाते हैं)।
- यह क्यों महत्वपूर्ण है: आप इन समाधानों को केवल इसलिए अनदेखा नहीं कर सकते क्योंकि वे "अजीब" दिखते हैं। भौतिकी में, यदि कोई समाधान गणितीय रूप से मौजूद है, तो वह एक संभावित भौतिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है। यदि आपका सिद्धांत अनंत, विस्फोट करती ऊर्जा अवस्थाओं की अनुमति देता है, तो सिद्धांत टूटा हुआ है।

2. "मनमाना नियंत्रण" की समस्या (The "Arbitrary Control" Problem)

यह सबसे दिमाग घुमा देने वाला हिस्सा है। वुडार्ड सिद्ध करते हैं कि क्योंकि इतने सारे अतिरिक्त समाधान हैं, आप किसी भी कम समय की अवधि में कण को अपनी इच्छानुसार कुछ भी करने के लिए मजबूर कर सकते हैं।

उपमा: एक कठपुतली के खेल की कल्पना करें।
- सामान्य भौतिकी में, कठपुतली नचाने वाला (भौतिकी के नियम) कठपुतली की वर्तमान स्थिति और गति के आधार पर डोर खींचता है। कठपुतली स्वाभाविक रूप से चलती है।
- वुडार्ड के "नॉन-लोकल" सिद्धांतों के विश्लेषण में, कठपुतली नचाने वाले के पास अनंत डोरियां हैं।
- वुडार्ड दिखाते हैं कि आप एक विशिष्ट, पागल कर देने वाला रूटीन दिखाने के लिए कठपुतली को ठीक 5 सेकंड के लिए (मान लीजिए दोपहर 2:00 बजे से 2:05 बजे तक) नृत्य करने के लिए चुन सकते हैं।
- इसे करने के लिए, भौतिकी के नियमों को यह आवश्यक होगा कि कठपुतली 2:05 PM के बाद एक अजीब, असंभव तरीके से चले (जैसे टेलीपोर्ट करना या अनंत गति से चलना)।
- निष्कर्ष: यदि आप भविष्य को थोड़ा बदलकर समय के एक छोटे से अंतराल में कुछ भी मनमाने ढंग से तय कर सकते हैं, तो उस सिद्धांत में भविष्य बताने की शक्ति (predictive power) खत्म हो जाती है। यह यह कहने जैसा है कि, "मैं कल शेयर बाजार को ऊपर ले जा सकता हूँ, लेकिन केवल तभी जब मैं वादा करूँ कि मैं अगले मंगलवार को भौतिकी के नियमों को तोड़ दूँगा।" यह कोई सिद्धांत नहीं है; यह जादू है।

गुरुत्वाकर्षण के लिए यह क्यों मायने रखता है

वैज्ञानिक गुरुत्वाकर्षण को ठीक करने के लिए बेताब हैं। वे एक ऐसा सिद्धांत चाहते हैं जो क्वांटम स्तर पर काम करे। ये "नॉन-लोकल" सिद्धांत एक लोकप्रिय उम्मीद थे क्योंकि वे पुराने सिद्धांतों की अस्थिरता से बचने में सक्षम लग रहे थे।

वुडार्ड अनिवार्य रूप से कह रहे हैं:

"आप दोनों चीजें एक साथ नहीं पा सकते। आप इन फैंसी एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर्स का उपयोग गणित को ठीक करने के लिए नहीं कर सकते और फिर यह दिखावा नहीं कर सकते कि 'बुरे' समाधान (विस्फोटित होती ऊर्जा और मनमाना नियंत्रण) मौजूद नहीं हैं क्योंकि वे बदसूरत दिखते हैं। यदि गणित कहता है कि वे मौजूद हैं, तो वे मौजूद हैं। और यदि वे मौजूद हैं, तो यह सिद्धांत भौतिक रूप से संभव (unphysical) नहीं है।"

निष्कर्ष (The Takeaway)

यह पेपर भौतिकी समुदाय के लिए एक चेतावनी है। यह कहता है कि क्वांटम ग्रेविटी को इन विशिष्ट "नॉन-लोकल" गणितीय ट्रिक्स से जोड़ने की कोशिश करना एक बंद रास्ता है। वह "अस्थिरता" जिससे सभी बचने की कोशिश कर रहे थे, वास्तव में उनके भीतर ही छिपी हुई है, जो अनंत संख्या में अनियंत्रित व्यवहारों के रूप में छिपकर बैठी है।

संक्षेप में: आप एक ऐसे फिल्टर को जोड़कर टूटे हुए इंजन को ठीक नहीं कर सकते जो अनंत भूतों (ghosts) को अंदर आने देता है। इंजन अभी भी टूटा हुआ है।

आर. पी. वुडवर्ड के शोध पत्र "कमेंट्स ऑन एंटायर फंक्शन्स ऑफ द डेरिवेटिव ऑपरेटर" (Comments on Entire Functions of the Derivative Operator) के आधार पर, यहाँ समस्या, कार्यप्रणाली, मुख्य योगदान, परिणाम और महत्व को कवर करने वाला एक विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र नॉनलोकल फील्ड थ्योरीज़ (nonlocal field theories) और हायर-डेरिवेटिव मॉडल्स (higher-derivative models) के संबंध में सैद्धांतिक भौतिकी में व्याप्त एक निरंतर गलत धारणा को संबोधित करता है।

संदर्भ: जनरल रिलेटिविटी (GR) की नॉन-परटर्बेटिव रिनॉर्मलाइज़ेबिलिटी (non-perturbative renormalizability) को हल करने या मौलिक नॉनलोकैलिटी (fundamental nonlocality) को पेश करने के कई प्रयास ऐसे लैग्रेंजियन्स (Lagrangians) पर आधारित हैं जिनमें डेरिवेटिव ऑपरेटर के 'एंटायर फंक्शन्स' (जैसे कि ड'एलेम्बर्टियन के एक्सपोनेंशियल, $\exp[T^2 \square]$ ) शामिल होते हैं।
गलत धारणा: इन मॉडल्स के समर्थक यह मान लेते हैं कि चूंकि एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर पॉजिटिव-डेफिनेट (positive-definite) है, इसलिए यह ओस्ट्रोग्राडस्कियन अस्थिरता (Ostrogradskian instability) से बच जाता है। यह अस्थिरता, जो नॉन-डेजेनरेट हायर-डेरिवेटिव लैग्रेंजियन्स में निहित होती है, आमतौर पर हैमिल्टोनियन को नीचे की ओर अनबाउंड (unbounded from below) कर देती है, जिससे वैक्यूम का तीव्र क्षय और भौतिक अस्थिरता उत्पन्न होती है।
विशिष्ट दावा: शोधकर्ता तर्क देते हैं कि एक बिंदु कण $q(t)$ के लिए, एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर वाली समीकरण $\exp[T^2 \frac{d^2}{dt^2}][\ddot{q} + \omega^2 q] = 0$ , में केवल एक सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर के दो मानक डिग्री ऑफ फ्रीडम (degrees of freedom) होते हैं। उनका दावा है कि उच्च डेरिवेटिव्स का अनंत समूह (infinite tower) नए, अस्थिर मोड पेश नहीं करता है।
वुडवर्ड का प्रति-तर्क: लेखक का तर्क है कि यह विश्वास गलत है। उनका मानना है कि डेरिवेटिव ऑपरेटर के एंट्रायर फंक्शन्स में समाधानों का एक अनंत कर्नेल (kernel) होता है, जो ओस्ट्रोग्राडस्की प्रमेय द्वारा अनुमानित समान विनाशकारी अस्थिरताओं की ओर ले जाता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

वुडवर्ड फील्ड थ्योरी के प्रॉक्सी के रूप में एक 1-डायमेंशनल पॉइंट पार्टिकल सिस्टम का कठोर गणितीय विश्लेषण नियोजित करते हैं। कार्यप्रणाली में दो मुख्य विश्लेषणात्मक चरण शामिल हैं:

A. कर्नेल का स्पेक्ट्रल विश्लेषण (Spectral Analysis of the Kernel - Section 2)

समीकरण: लेखक आइजनवैल्यू समस्या $O q(t) = \lambda q(t)$ का विश्लेषण करते हैं, जहाँ $O = \exp[T^2 \frac{d^2}{dt^2}]$ है।
एन्सात्ज़ (Ansatz): वह ऑपरेटर समीकरण में प्लेन वेव समाधान $q(t) = e^{i\Omega t}$ को प्रतिस्थापित करते हैं।
व्युत्पत्ति: $\exp[-\Omega^2 T^2] = \lambda$ $exp [- Ω^{2} T^{2}] = λ$ को हल करके, वह जटिल आवृत्तियों (complex frequencies) $\Omega$ $Ω$ को व्युत्पन्न करते हैं।
- $\lambda = e^{-x^2}$ के लिए, $\Omega$ के समाधानों में एक मनमाना पूर्णांक $N$ शामिल है, जिससे प्राप्त होता है:
  $\Omega = \pm \frac{1}{\sqrt{2}T} \left[ \sqrt{\sqrt{x^4 + 4\pi^2 N^2} + x^2} + i \sqrt{\sqrt{x^4 + 4\pi^2 N^2} - x^2} \right]$
लिमिट विश्लेषण: वह $x \to \infty$ (जो कर्नेल $O q(t) = 0$ के अनुरूप है) की सीमा की जांच करते हैं। वह प्रदर्शित करते हैं कि इस सीमा में भी, $N$ को उपयुक्त ढंग से चुनकर, वे मनमाने घातांकीय वृद्धि/क्षय दरों (exponential growth/decay rates) और अनंत दोलन आवृत्तियों (oscillatory frequencies) वाले समाधान उत्पन्न कर सकते हैं।
पॉजिटिविटी चेक: वह आगे यह दिखाते हैं कि ऑपरेटर पॉजिटिव-डेफिनेट नहीं है क्योंकि वह ऋणात्मक आइजनवैल्यूज ( $\lambda < 0$ ) के लिए समाधान खोजते हैं, जो $\lambda$ के सभी चिन्हों के लिए समाधानों की उपस्थिति सिद्ध करता है।

B. इनिशियल वैल्यू डेटा (IVD) निर्माण (Section 3)

इंटीग्रल रिप्रेजेंटेशन: ऑपरेटर $O$ को एक गॉसियन इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म (हीट कर्नेल) के रूप में दर्शाया गया है।
प्रमेय: लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी भी परिमित समय अंतराल $(t_1, t_2)$ और किसी भी मनचाहे फलन $f(t)$ के लिए, एक समाधान $q(t)$ का निर्माण किया जा सकता है ताकि $(t_1, t_2)$ के भीतर $O q(t) = 0$ बना रहे, जबकि $q(t)$ , $(t_1, t_2)$ पर $f(t)$ से सटीक रूप से मेल खाता हो।
तंत्र (Mechanism): इंटीग्रल समीकरण को एक लीनियर सिस्टम के रूप में मानकर, वह दिखाते हैं कि $q(t)$ का "भविष्य" व्यवहार ( $t > t_2$ के लिए) अंतराल $(t_1, t_2)$ के इंटीग्रल योगदान को रद्द करने के लिए मनमाने ढंग से ट्यून किया जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि स्वतंत्र समाधानों का एक अनंत संख्या में अस्तित्व है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

पॉजिटिव-डेफिनेटनेस का खंडन: यह शोध पत्र इस धारणा का गणितीय रूप से खंडन करता है कि एक्सपोनेंशियल डेरिवेटिव ऑपरेटर्स पॉजिटिव-डेफिनेट हैं जो अस्थिर मोड को समाप्त कर देते हैं। यह प्रदर्शित करता है कि ऐसे ऑपरेटर्स का कर्नेल अनंत-आयामी (infinite-dimensional) है।
"विचित्र" समाधानों का अस्तित्व: लेखक स्पष्ट रूप से ऐसे समाधानों का निर्माण करते हैं जो हैं:
- तीव्र दोलन (Rapidly Oscillating): आवृत्तियाँ पूर्णांक पैरामीटर $N$ के साथ स्केल करती हैं।
- घातांकीय अस्थिरता (Exponentially Unstable): समाधान घातांकीय वृद्धि और क्षय ( $e^{\pm \text{Im}(\Omega)t}$ ) प्रदर्शित करते हैं।
मनमाना इनिशियल वैल्यू डेटा: पेपर ऑपरेटर के अनंत कर्नेल और किसी भी परिमित अंतराल पर मनमाने ढंग से इनिशियल वैल्यू डेटा निर्दिष्ट करने की क्षमता के बीच एक एक-से-एक पत्राचार (one-to-one correspondence) स्थापित करता है। यह मानक नियतिवाद (determinism) का उल्लंघन करता है जिसकी अपेक्षा सुव्यवस्थित भौतिक सिद्धांतों से की जाती है।
"पैथोलॉजिकल" समाधानों पर स्पष्टीकरण: वुडवर्ड तर्क देते हैं कि इन समाधानों को "अच्छेपन" (niceness) के मानदंडों (जैसे कि स्क्वायर-इंटेग्रिबिलिटी) के आधार पर खारिज करना तार्किक रूप से अमान्य है। ओस्ट्रोग्राडस्कियन अस्थिरता इन ही बुरे समय-निर्भरताओं का अस्तित्व ही है; स्थिरता का दावा करने के लिए उन्हें खारिज करना एक गोलाकार तर्क (circular reasoning) है।

4. परिणाम (Results)

अनंत डिग्री ऑफ फ्रीडम: समीकरण $O[\ddot{q} + \omega^2 q] = 0$ केवल सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर तक सीमित नहीं है। इसके बजाय, इसमें अनगिनत अतिरिक्त समाधान मौजूद हैं।
अस्थिरता की पुष्टि: अतिरिक्त समाधान ऋणात्मक ऊर्जा डिग्री ऑफ फ्रीडम के अनुरूप हैं जो पॉजिटिव एनर्जी वाले समाधानों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं, जिससे ओस्ट्रोग्राडस्की प्रमेय की विशेषता वाली "घातक" (virulent) अस्थिरता उत्पन्न होती है।
नॉनलोकैलिटी की विफलता: नॉनलोकल फॉर्म फैक्टर्स (डेरिवेटिव्स के एंट्रायर फंक्शन्स) को शामिल करने से हायर-डेरिवेटिव थ्योरीज की अस्थिरता ठीक नहीं होती है; यह केवल इसे एक अनंत-आयामी कर्नेल के भीतर छिपा देती है।
क्वांटम ग्रेविटी पर प्रभाव: इन ऑपरेटर्स (जैसे कुछ नॉनलोकल ग्रेविटी थ्योरीज़ या एसिम्प्टोटिक सेफ्टी परिदृश्य) पर आधारित मॉडल्स को अभौतिक (unphysical) माना जाता है क्योंकि वे सिस्टम के स्थिर, नियत विकास (deterministic evolution) प्रदान करने में विफल रहते हैं।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक प्रभाव: यह शोध पत्र नॉनलोकल ग्रेविटी और हायर-डेरिवेटिव क्वांटम फील्ड थ्योरीज पर काम करने वाले समुदाय के लिए एक महत्वपूर्ण "रियलिटी चेक" के रूप में कार्य करता है। यह उस संभावित लूपहोल को बंद करता है जहाँ शोधकर्ता उम्मीद कर रहे थे कि एंट्रायर फंक्शन्स ओस्ट्रोग्राडस्की प्रमेय को दरकिनार कर सकते हैं।
कार्यप्रणाली की कठोरता: यह इस बात पर जोर देता है कि गणितीय निरंतरता (टेलर सीरीज़ का अभिसरण) गारंटी नहीं देती कि मॉडल भौतिक रूप से व्यवहार्य (स्थिर) भी होगा।
भावी अनुसंधान के लिए मार्गदर्शन: लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के क्वांटाइजेशन के प्रयास इन विशिष्ट नॉनलोकल टर्म्स को वैध बनाने पर केंद्रित नहीं होने चाहिए। इसके बजाय, समुदाय को वास्तव में व्यवहार्य समाधानों की तलाश करनी चाहिए जो हायर-डेरिवेटिव डायनेमिक्स की अंतर्निहित अस्थिरताओं को खारिज करने पर निर्भर न हों।
दार्शनिक दृष्टिकोण: यह शोध पत्र इस विचार को पुख्ता करता है कि ओस्ट्रोग्राडस्कियन अस्थिरता एक नॉन-डेजेनरेट हायर-डेरिवेटिव थ्योरीज की एक मौलिक विशेषता है, चाहे डेरिवेटिव्स परिमित हों या अनंत (एंट्रायर फंक्शन्स के माध्यम से)।

संक्षेप में, वुडवर्ड प्रदर्शित करते हैं कि डेरिवेटिव ऑपरेटर के एंट्रायर फंक्शन्स पर आधारित नॉनलोकल मॉडल्स मौलिक रूप से अस्थिर हैं और उनमें अनगिनत भौतिक रूप से त्रुटिपूर्ण (unphysical) समाधान मौजूद हैं, जो उन्हें क्वांटम ग्रेविटी के एक सुसंगत सिद्धांत के आधार के रूप में अनुपयुक्त बनाते हैं।