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Quantitative Approximation Rates for Group Equivariant Learning

यह शोध पत्र विभिन्न समूह-इक्विवैरिएंट (group-equivariant) और इनवेरिएंट (invariant) न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर के लिए मात्रात्मक सन्निकटन दरों (quantitative approximation rates) को स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि सममित फलनों (symmetric functions) को सीखने के मामले में सममिति को हार्ड-कोड करना मानक ReLU MLP की तुलना में उनकी अभिव्यक्ति क्षमता (expressivity) या सन्निकटन शक्ति (approximation power) से समझौता नहीं करता है।

मूल लेखक: Jonathan W. Siegel, Snir Hordan, Hannah Lawrence, Ali Syed, Nadav Dym

प्रकाशित 2026-04-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jonathan W. Siegel, Snir Hordan, Hannah Lawrence, Ali Syed, Nadav Dym

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को कमरे में वस्तुओं को पहचानना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं। आप चाहते हैं कि रोबोट यह समझ सके कि कुर्सी अभी भी कुर्सी ही है, चाहे वह कोने में रखी हो, कमरे के बीच में हो, या उलटी पड़ी हो। मशीन लर्निंग की दुनिया में, इस अवधारणा को सिमेट्री (symmetry) या इक्विवैरिएंस (equivariance) कहा जाता है।

यदि आप कुर्सी को घुमाते हैं, तो रोबोट को अभी भी पता होना चाहिए कि वह एक कुर्सी है (इनवेरिएंस)। यदि आप कुर्सी को हिलाते हैं, तो रोबोट को कुर्सी के स्थान का विवरण अपडेट करना चाहिए (इक्विवैरिएंस)।

लंबे समय से, शोधकर्ताओं को पता था कि न्यूरल नेटवर्क ("AI के दिमाग") इन सिमेट्री को सीखने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हैं। लेकिन वे यह नहीं जानते थे कि इसके लिए कितनी दिमागी शक्ति (पैरामीटर्स की संख्या) की आवश्यकता होगी।

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक है "Approximation Rates for Group Equivariant Learning," इसी प्रश्न का उत्तर देता है। यहाँ सरल शब्दों में इसका विवरण दिया गया है:

1. बड़ा सवाल: क्या विशेषज्ञ दिमागों को बड़ा होने की ज़रूरत है?

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक रोबोट को कुर्सी पहचानना सिखाने के दो तरीके हैं:

तरीका A (सामान्यवादी - The Generalist): आप रोबोट को एक सामान्य मस्तिष्क देते हैं और कहते हैं, "यह समझो कि कुर्सी क्या है, चाहे वह किसी भी दिशा में मुड़ी हो।"
तरीका B (विशेषज्ञ - The Specialist): आप रोबोट को एक ऐसा मस्तिष्क देते हैं जो पहले से ही यह जानने के लिए 'हार्ड-वायर्ड' है कि कुर्सी को घुमाने से उसकी पहचान नहीं बदलती। आप सिमेट्री के नियमों को सीधे कोड में ही शामिल कर देते हैं।

अंतर्ज्ञान (Intuition): अधिकांश लोगों का मानना था कि तरीका B (विशेषज्ञ) बहुत अधिक कुशल होगा। उन्होंने माना कि क्योंकि रोबोट पहले से ही नियमों को "जानता" है, इसलिए उसे विशिष्ट विवरणों को सीखने के लिए कम मेमोरी या प्रोसेसिंग पावर की आवश्यकता होगी।

शोध पत्र का निष्कर्ष: आश्चर्यजनक रूप से, लेखकों ने पाया कि दोनों तरीके कुशलता के मामले में समान रूप से सक्षम हैं।

यदि आप एक निश्चित स्तर की सटीकता प्राप्त करना चाहते हैं, तो एक "विशेषज्ञ" नेटवर्क और एक "सामान्यवादी" नेटवर्क को वहां तक पहुँचने के लिए लगभग समान आकार की आवश्यकता होती है।
सिमेट्री को हार्ड-कोड करने से नेटवर्क जादुई रूप से छोटा या अधिक शक्तिशाली नहीं होता है; यह बस यह बदल देता है कि वह कैसे सीखता है।

2. "ऑर्बिट" (कक्षा) का उदाहरण: सिमेट्री क्यों मदद करती है (लेकिन उस तरह से नहीं जैसा हमने सोचा था)

यह समझने के लिए कि आकार समान क्यों है, एक तारे की कक्षा में घूमते ग्रह की कल्पना करें।

ग्रह अपनी कक्षा के किसी भी बिंदु पर हो सकता है।
यदि आप गुरुत्वाकर्षण के नियम (सिमेट्री) जानते हैं, तो आप जानते हैं कि बिंदु A पर स्थित ग्रह बिंदु B पर स्थित ग्रह के समान ही है, बस वह एक अलग स्थान पर है।
पूरे 3D ब्रह्मांड को सीखने के बजाय, रोबroबोट को केवल कक्षा के आकार (the "quotient space") को सीखने की आवश्यकता है।

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि भले ही आप सिमेट्री को हार्ड-कोड न करें (तरीका A), न्यूरल नेटवर्क इतना स्मार्ट है कि वह स्वाभाविक रूप से ब्रह्मांड को केवल कक्षा के आकार तक "फोल्ड" कर देता है। वह समझ जाता है, "हे, मुझे हर एक रोटेशन को याद करने की ज़रूरत नहीं है; मुझे बस पैटर्न को याद करने की ज़रूरत है।"

इसलिए, भले ही हार्ड-कोडिंग सिमेट्री सैंपल एफिशिएंसी (कम उदाहरणों की आवश्यकता) और ऑप्टिमाइज़ेशन (सीखने में आसानी) में मदद करती है, लेकिन यह आपको एक "सुपरपावर" नहीं देती जिससे आप एक बहुत छोटे नेटवर्क का उपयोग करके एक बड़ी समस्या को हल कर सकें।

3. तीन परिदृश्य जिनका उन्होंने परीक्षण किया

लेखकों ने इस विचार का तीन अलग-अलग "प्लेग्राउंड्स" में परीक्षण किया:

"सेट" प्लेग्राउंड (परम्यूटेशन्स - Permutations): कंचों के एक थैले की कल्पना करें। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने लाल वाला पहले निकाला या नीला; थैला वही रहता है।
- परीक्षण किए गए मॉडल: डीप सेट्स (Deep Sets), ट्रांसफॉर्मर्स (Transformers)।
- परिणाम: विशेष मॉडल (जैसे डीप सेट्स) सामान्य मॉडलों की तरह ही सीखने में अच्छे हैं।
"रिजिड मोशन" प्लेग्राउंड (रोटेशन और ट्रांसलेशन): एक 3D मूर्ति की कल्पना करें। आप इसे घुमा सकते हैं या हिला सकते हैं, लेकिन यह अभी भी वही मूर्ति है।
- परीक्षण किए गए मॉडल: वे नेटवर्क जो "फ्रेम्स" का उपयोग करते हैं (जैसे विश्लेषण करने से पहले मूर्ति को एक मानक स्थिति में संरेखित करना)।
- परिणाम: यहाँ भी, विशेष मॉडल कच्चे अनुमान की गति (approximation speed) के मामले में सामान्य मॉडलों को मात नहीं देते हैं।

"बी-लिप्सचिट्ज़" (Bi-Lipschitz) प्लेग्राउंड (सामान्य सिमेट्री): यह एक फैंसी गणितीय तरीका है जिसका अर्थ है "कोई भी नियम जो दूरियों को सुसंगत रखता है।"
- परिणाम: नियम यहाँ भी सत्य है। विशेष मॉडल कुशल हैं, लेकिन नेटवर्क के आकार के संबंध में सामान्य मॉडलों से अधिक कुशल नहीं हैं।

4. यह क्यों मायने रखता है?

यदि हार्ड-कोडिंग सिमेट्री नेटवर्क को छोटा नहीं बनाती, तो हम इसे क्यों करते हैं?

शोध पत्र सुझाव देता है कि इन विशेष मॉडलों के वास्तविक लाभ यह नहीं हैं कि वे कितना सीख सकते हैं (एक्सप्रेसिविटी), बल्कि यह है कि वे कितनी आसानी से सीख सकते हैं:

सैंपल एफिशिएंसी: उन्हें नियमों को सीखने के लिए कम डेटा पॉइंट्स की आवश्यकता होती है।
ऑप्टिमाइज़ेशन: उन्हें प्रशिक्षित करना आसान होता है क्योंकि समाधान के लिए "सर्च स्पेस" छोटा और स्मूथ होता है।

मुख्य निष्कर्ष (The Takeaway)

इसे गाड़ी चलाना सीखने की तरह समझें।

सामान्यवादी (The Generalist) वह छात्र है जो कार, ट्रक और बस चलाना सीखता है, और सड़क के नियमों को खुद समझते हुए आगे बढ़ता है।
विशेषज्ञ (The Specialist) वह छात्र है जिसे एक ऐसी कार दी गई है जिसमें "नो-स्टीयरिंग" मोड है क्योंकि उसे केवल एक सीधे ट्रैक पर चलाने की अनुमति है।

शोध पत्र कहता है: दोनों छात्र अंततः ट्रैक को पूरी तरह से चलाना सीख जाएंगे। विशेषज्ञ को बड़े या छोटे वाहन की आवश्यकता नहीं थी; उनके पास बस एक अलग शुरुआती बिंदु था। "हार्ड-कोडेड" नियमों ने कार को अधिक शक्तिशाली नहीं बनाया; उन्होंने बस सीखने की प्रक्रिया को सुगम बनाया और अभ्यास के लिए कम चक्करों की आवश्यकता हुई।

संक्षेप में: सिमेट्री प्रशिक्षण के लिए एक बेहतरीन शॉर्टकट है, लेकिन यह समस्या को हल करने के लिए आवश्यक मस्तिष्क के मूल आकार को नहीं बदलती है।

यहाँ सीगल, होर्डन, लॉरेंस, सैयद और डाइम द्वारा लिखित शोध पत्र "Approximation Rates for Group Equivariant Learning" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र ग्रुप इक्विवेरिएंट लर्निंग (Group Equivariant Learning) की सैद्धांतिक समझ में मौजूद एक अंतराल को संबोधित करता है। जबकि 'यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन थ्योरम' यह गारंटी देता है कि न्यूरल नेटवर्क किसी भी निरंतर फलन (continuous function) को सन्निकट (approximate) कर सकते हैं, इसमें मात्रात्मक सन्निकटन दरें (quantitative approximation rates) का अभाव है (अर्थात, वांछित सटीकता $\epsilon$ प्राप्त करने के लिए मापदंडों/पैरामीटर्स की संख्या कैसे स्केल होती है)।

मौजूदा साहित्य ने कॉम्पैक्ट सेट्स पर $\alpha$ -Hölder फलनों के लिए मानक डीप ReLU नेटवर्कों के लिए ये दरें स्थापित की हैं (आमतौर पर $\sim \epsilon^{-N/2\alpha}$ के रूप में स्केल होती हैं जहाँ $N$ इनपुट आयाम है)। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या इक्विवेरिएंट (equivariant) या इनवेरिएंट (invariant) आर्किटेक्चर (जो क्रमपरिवर्तन या रोटेशन जैसी समरूपताओं को हार्ड-कोड करते हैं) अभिव्यक्ति की क्षमता (expressivity) में कमी का सामना करते हैं या इसके विपरीत, ऑर्बिट स्पेस $V/G$ की कम आयाम वाली संरचना का लाभ उठाकर दक्षता प्राप्त करते हैं।

लेखक दो केंद्रीय प्रश्न उठाते हैं:

सैद्धांतिक सीमा (Theoretical Limit): क्या गैर-इक्विवेरिएंट ReLU नेटवर्क इनवेरिएंट/इक्विवेरिएंट फलनों को सन्निकट करने के लिए इष्टतम सन्निकटन दर $\sim \epsilon^{-N_G/2\alpha}$ (जहाँ $N_G$ कोटिएंट स्पेस का आयाम है) प्राप्त कर सकते हैं?
आर्किटेक्चरल क्षमता (Architectural Capability): क्या विशिष्ट इक्विवैरिएंट आर्किटेक्चर (जैसे, Deep Sets, Transformers, Frame Averaging) इन समान इष्टतम दरों को प्राप्त करते हैं?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक सन्निकटन के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या के ऊपरी बाउंड (upper bounds) प्राप्त करने के लिए एप्रोक्सिमेशन थ्योरी, कवरिंग नंबर्स और ज्योमेट्रिक ग्रुप थ्योरी के उपकरणों का उपयोग करते हैं।

मेट्रिक और आयाम (Metric and Dimensionality): वे एक कोटिएंट स्पेस $V/G$ पर समस्या को परिभाषित करते हैं जो एक मेट्रिक $d_G([x], [y]) = \min_{g \in G} \|gx - y\|$ से सुसज्जित है। सन्निकटन की जटिलता कोटिएंट स्पेस के कवरिंग नंबर (covering number) $N_r(K/G)$ से जुड़ी हुई है।
स्मूथनेस (Smoothness): लक्षित फलन $f$ को $\alpha$ -Hölder निरंतर ( $\alpha$ -Hölder continuous) माना जाता है ( $|f(x) - f(y)| \leq C\|x-y\|^\alpha$ )।
रचनात्मक प्रमाण (Constructive Proofs):
- Deep Sets और Sumformers: वे एक "डिजिट एनकोडिंग" रणनीति का उपयोग करके स्पष्ट ReLU नेटवर्क का निर्माण करते हैं। वे इनपुट डोमेन को छोटे सेल्स (cells) में विभाजित करते हैं, प्रत्येक सेल में बिंदुओं की गणना को बेस- $(n+1)$ पूर्णांकों का उपयोग करके एनकोड करते हैं, और विच्छिन्नता (discontinuities) को संभालने और यह सुनिश्चित करने के लिए कि नेटवर्क निरंतर और ReLU द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य है, कई शिफ्टेड पार्टीशन ऑफ यूनिटी (partitions of unity) पर एक "मीडियन" ट्रिक का उपयोग करते हैं।
- रिजिड मोशंस ( $E(d)$ ): वे पॉइंट क्लाउड्स को एक कैनोनिकल सबस्पेस में मैप करने के लिए ग्राम-श्मिट प्रक्रिया (Gram-Schmidt procedure) का उपयोग करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि ग्राम-श्मिट प्रक्रिया (जिसमें नॉर्मलाइजेशन और प्रोजेक्शन शामिल है) को $1/\epsilon$ के लॉगरिदमिक डेप्थ वाले ReLU नेटवर्क द्वारा "सुपर-एप्रोक्सिमेट" किया जा सकता है। यह इस समस्या को पूर्ण स्थान से एक निम्न-आयामी सबस्पेस तक कम करने की अनुमति देता है जो कोटिएंट स्पेस के आइसोमोर्फिक (isomorphic) है।
- Bi-Lipschitz मॉडल: वे इस गुण का लाभ उठाते हैं कि यदि एक एम्बेडिंग $E: V \to \mathbb{R}^m$ कोटिएंट स्पेस पर bi-Lipschitz है, तो $f \circ E^{-1}$ (एक फलन $\mathbb{R}^m$ पर) का सन्निकटन करना, $f$ के लिए एक सन्निकटन प्रदान करता है जिसकी दरें उसके अंतर्निहित आयाम (intrinsic dimension) द्वारा निर्धारित होती हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

शोध पत्र तीन अलग-अलग सेटिंग्स के लिए मात्रात्मक सन्निकटन दरें प्रदान करता है, जो पेपर की तालिका 1 में संक्षेपित हैं।

सेटिंग 1: क्रमपरिवर्तन इनवेरिएंट/इक्विवेरिएंट मॉडल (Permutation Invariant/Equivariant Models)

संदर्भ: पॉइंट सेट्स $X \in \mathbb{R}^{d \times n}$ जो क्रमपरिवर्तन समूह $S_n$ के तहत इनवेरिएंट या इक्विवैरिएंट हैं।
परिणाम: चूंकि $S_n$ एक परिमित (finite) समूह है, इसलिए कोटिएंट स्पेस का आयाम परिवेशी स्थान (ambient space) के समान ही है ( $N_G = nd$ )।
निष्कर्ष:
- Deep Sets: लेखक सिद्ध करते हैं कि Deep Sets आर्किटेक्चर $\alpha$ -Hölder क्रमपरिवर्तन-इनवेरिएंट फलनों को $\sim \epsilon^{-nd/2\alpha}$ के पैरामीटर काउंट के साथ सन्निकट कर सकते हैं। यह सामान्य ReLU नेटवर्कों के लिए इष्टतम दर से मेल खाता है, जो यह सिद्ध करता है कि आर्किटेक्चरल बाधाओं के बावजूद अभिव्यक्ति की क्षमता में कोई कमी नहीं (no loss of expressivity) आती है।
- Sumformer और Transformers: एक साझा इनवेरिएंट फलन और एक "ओमिट-वन" (omit-one) सम के संयोजन के रूप में इक्विवैरिएंट फलनों को अभिलक्षित करके, वे दिखाते हैं कि Sumformers और Transformers भी इष्टतम दर $\sim \epsilon^{-nd/2\alpha}$ प्राप्त करते हैं।
- साइड रिजल्ट: वे लो-इंट्रिन्सिक-डायमेंशन मैनिफोल्ड्स पर नॉन-इनवेरिएंट फलनों के लिए ज्ञात सन्निकटन दर को $\epsilon^{-d_{intrinsic}/\alpha}$ से सुधारकर $\epsilon^{-d_{intrinsic}/2\alpha}$ कर देते हैं।

सेटिंग 2: क्रमपरिवर्तन और रिजिड मोशंस के प्रति संयुक्त इनवेरिएंस (Joint Invariance to Permutations and Rigid Motions)

संदर्भ: पॉइंट क्लाउड्स जो $E(d) \times S_n$ (रोटेशन, ट्रांसलेशन और क्रमपरिवर्तन) के तहत इनवेरिएंट हैं। यह 3D पॉइंट क्लाउड प्रोसेसिंग के लिए महत्वपूर्ण है।
परिणाम: कोटिएंट स्पेस का आयाम कम हो जाता है: $N_G = nd - \dim(E(d))$ ।
निष्कर्ष:
- नॉन-इक्विवेरिएंट ReLU: वे सिद्ध करते हैं कि मानक ReLU नेटवर्क इन इनवेरिएंट फलनों को $\sim \epsilon^{-(nd - \dim(E(d)))/2\alpha}$ के रूप में स्केल होने वाली दरों के साथ सन्निकट कर सकते हैं। यह पुष्टि करता है कि "हार्ड" इनवेरिएंस बाधा जेनेरिक नेटवर्कों की फंक्शन को कुशलतापूर्वक सीखने की क्षमता में बाधा नहीं डालती है।
- Frame Averaging: वे दिखाते हैं कि Deep Sets बैकबोन पर Frame Averaging (ग्रुप एलिमेंट्स के एक डिस्क्रीट सेट पर औसत निकालना) लागू करके बनाए गए इनवेरिएंट मॉडल भी इन इष्टतम दरों को प्राप्त करते हैं। यह SVD कैनोनिकलाइजेशन या प्रिंसिपल डायरेक्शन अलाइनमेंट पर आधारित लोकप्रिय विधियों के सैद्धांतिक उपयोग को मान्य करता है।

सेटिंग 3: सामान्य Bi-Lipschitz इनवेरिएंट मॉडल (General Bi-Lipschitz Invariant Models)

संदर्भ: $V$ पर कार्य करने वाले सामान्य क्लोज्ड आइसोमेट्री ग्रुप्स $G$ ।
परिणाम: किसी भी मॉडल के लिए जो कोटिएंट स्पेस का bi-Lipschitz एम्बेडिंग प्रदान करता है (जैसे, Max Filters, sorting-based embeddings, Fourier Sliced-Wasserstein), सन्निकटन दर केवल कोटिएंट के अंतर्निहित आयाम द्वारा निर्धारित होती है।
निष्कर्ष:
- Theorem 21: यदि $E$ एक bi-Lipschitz इनवेरिएंट मैप है, तो $f$ को $\psi \circ E$ द्वारा सन्निकट किया जा सकता है जिसके पैरामीटर्स $\sim \epsilon^{-d_{intrinsic}/2\alpha}$ के रूप में स्केल होते हैं।
- यह विभिन्न विशिष्ट मॉडलों (Max Filters, sorting, आदि) को इष्टतम अभिव्यक्ति (expressivity) की एक एकल सैद्धांतिक गारंटी के तहत एकीकृत करता है।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

अभिव्यक्ति बनाम दक्षता (Expressivity vs. Efficiency): यह शोध पत्र इक्विवैरिएंट लर्निंग के एक प्रमुख विवाद को सुलझाता है। यह प्रदर्शित करता है कि समरूपताओं को हार्ड-कोड करने से न्यूरल नेटवर्कों की एसिम्प्टोटिक अभिव्यक्ति (asymptotic expressivity) कम नहीं होती है। इक्विवैरिएंट मॉडल जेनेरिक ReLU नेटवर्कों की तुलना में "कमजोर" नहीं हैं; वे सिमेट्रिक फलनों के लिए समान रूप से अभिव्यंजक हैं।
व्यावहारिक लाभों का स्रोत: चूंकि सन्निकटन दरें समान हैं, इसलिए इक्विवैरिएंट मॉडलों की अनुभवजन्य सफलता (empirical success) का श्रेय ऑप्टिमाइजेशन लैंडस्केप में सुधार और सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी में कमी को दिया जाना चाहिए, न कि फंक्शन क्लास को दर्शाने की मौलिक क्षमता में वृद्धि को।
आर्किटेक्चर का सैद्धांतिक सत्यापन: ये परिणाम ज्योमेट्रिक डीप लर्निंग में Deep Sets, Transformers और Frame Averaging के उपयोग के लिए कठोर औचित्य प्रदान करते हैं, यह पुष्टि करते हुए कि वे स्मूथ सिमेट्रिक फलनों के लिए इष्टतम सन्निकटन दर प्राप्त करने में सैद्धांतिक रूप से सक्षम हैं।
अंतर्निहित आयाम (Intrinsic Dimensionality): यह कार्य इस बात पर प्रकाश डालता है कि सिमेट्रिक फलनों को सीखने की जटिलता कच्चे इनपुट आयाम के बजाय ऑर्बिट स्पेस (कोटिएंट स्पेस) के आयाम द्वारा नियंत्रित होती है। यह समझने के लिए एक औपचारिक ढांचा प्रदान करता है कि इक्विवैरिएंट मॉडल उच्च-आयामी डेटा पर क्यों अच्छा काम करते हैं जिनमें कम-आयामी समरूपताएं होती हैं।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र ग्रुप इक्विवैरिएंट लर्निंग के लिए गुणात्मक सार्वभौमिकता (qualitative universality) और मात्रात्मक सन्निकटन सिद्धांत (quantitative approximation theory) के बीच के अंतर को पाटता है। यह स्थापित करता है कि $\alpha$ -Hölder फलनों के लिए, विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए इक्विवैरिएंट आर्किटेक्चर जेनेरिक नेटवर्कों के समान इष्टतम सन्निकटन दर प्राप्त करते हैं, बशर्ते कि नेटवर्क का आकार कोटिएंट स्पेस के आयाम के साथ स्केल हो। यह सुझाव देता है कि इक्विवैरिएंट मॉडलों का प्राथमिक लाभ डेटा दक्षता और ऑप्टिमाइजेशन में निहित है, न कि उनकी कच्ची प्रतिनिधित्व क्षमता (raw representational power) में।