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Measuring Bell non-locality in the presence of signaling

यह शोध पत्र एक सामान्य रैखिक-प्रोग्रामिंग ढांचे को प्रस्तुत करता है जो सिग्नलिंग की उपस्थिति में बेल गैर-स्थानीयता (Bell non-locality) को परिमाणित करता है, जिससे देखे गए सहसंबंधों को इष्टतम रूप से स्थानीय और वास्तविक गैर-स्थानीय घटकों में विभाजित किया जाता है, और इस प्रकार पारंपरिक गैर-सिग्नलिंग शासन से परे गैर-स्थानीयता विश्लेषण का विस्तार किया जाता है।

मूल लेखक: Mark Broom, Talel Naccache, Emmanuel M. Pothos, Christoph Gallus, Pawel Blasiak

प्रकाशित 2026-03-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mark Broom, Talel Naccache, Emmanuel M. Pothos, Christoph Gallus, Pawel Blasiak

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे एक जासूस हैं: क्या एलिस और बॉब गुप्त रूप से संवाद कर रहे हैं, या वे केवल अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली हैं?

क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, यह क्लासिक "बेल टेस्ट" (Bell Test) है। एलिस और बॉब अलग-अलग कमरों में हैं। वे एक विकल्प चुनकर सिक्का उछालते हैं (या एक कण का मापन करते हैं)। कभी-कभी, उनके परिणाम इस तरह मेल खाते हैं जो असंभव लगता है, जब तक कि वे "स्पूकी" (spooky) रूप से जुड़े न हों (नॉन-लोकल) या आपस में बात करके धोखाधड़ी न कर रहे हों (सिग्नलिंग)।

दशकों से, वैज्ञानिकों ने एक सख्त नियम बनाया है: "बात करना मना है।" वे मान लेते हैं कि एलिस और बॉब इतने दूर हैं कि वे प्रकाश की गति से तेज़ कोई संकेत नहीं भेज सकते। यदि उनके परिणाम "बात न करने" के नियमों को तोड़ते हैं, तो हम कहते हैं कि वे "नॉन-लोकल" (क्वांटम जादू) हैं।

लेकिन समस्या यह है: वास्तविक जीवन अव्यवस्थित होता है।

वास्तविक लैब में, शायद थोड़ा शोर आ जाए।
शायद एलिस की मशीन अनजाने में बॉब तक थोड़ी सी जानकारी लीक कर दे।
शायद हम मानव मनोविज्ञान या अर्थशास्त्र का अध्ययन कर रहे हैं, जहाँ लोग निश्चित रूप से एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं।

यदि "बात करने" (सिग्नलिंग) का थोड़ा सा भी अंश मौजूद है, तो पुराने नियम टूट जाते हैं। आप केवल यह नहीं कह सकते कि "यह नॉन-लोकल है!" क्योंकि "बात करना" उन अजीब परिणामों की व्याख्या कर सकता है।

नया जासूसी कार्य: "कितना जादू असली है?"

यह शोध पत्र इस रहस्य को मापने का एक नया तरीका पेश करता है। एक साधारण "हाँ/नहीं" उत्तर के बजाय, लेखक एक अधिक सूक्ष्म प्रश्न पूछते हैं:

"यदि हम उन सभी प्रयोगों को देखें जो एलिस और बॉब ने किए, तो उनका अधिकतम प्रतिशत क्या हो सकता है जिसे सरल, स्थानीय भाग्य (कोई जादू नहीं, कोई बातचीत नहीं) द्वारा समझाया जा सकता है, और कितने प्रतिशत को कुछ अजीब चीज़ द्वारा समझाया जाना अनिवार्य है?"

वे इसे "लोकल फ्रैक्शन" (Local Fraction) कहते हैं।

इसे एक स्मूदी (smoothie) की तरह समझें:

कल्पना करें कि अजीब परिणाम एक स्मूदी हैं।
स्मूदी का कुछ हिस्सा सिर्फ पानी है (स्थानीय, सामान्य, समझाने योग्य व्यवहार)।
स्मूदी का कुछ हिस्सा रॉकेट फ्यूल है (वास्तविक नॉन-लोकेलिटी या सिग्नलिंग)।
पुराना तरीका कहता था: "यदि इसमें थोड़ा भी रॉकेट फ्यूल है, तो पूरी स्मूथी खतरनाक है।"
यह नया तरीका कहता है: "आइए पानी को ईंधन से अलग करें। हम कितना पानी रख सकते हैं? इस तरह का स्वाद बनाने के लिए हमें वास्तव में कितने ईंधन की आवश्यकता है?"

धोखाधड़ी की "लागत"

लेखक "सिग्नलिंग" (बात करना) और "नॉन-लोकेलिटी" (जादू) को महंगे संसाधनों के रूप में देखते हैं।

स्थानीय व्यवहार सस्ता और आसान है। यह डिफ़ॉल्ट है।
नॉन-लोकेलिटी महंगी है। यह वह "जादू" है जिसे हम तभी उपयोग करना चाहते हैं जब हमें इसकी अत्यंत आवश्यकता हो।
सिग्नलिंग भी महंगी है। यह धोखाधड़ी करने जैसा है।

उनका गणित का लक्ष्य सबसे सस्ता स्पष्टीकरण खोजना है। वे पूछते हैं: "एक 'सामान्य' व्यवहार के ढेर में हमें 'जादू' या 'धोखाधड़ी' का कितना छोटा हिस्सा जोड़ना होगा ताकि एलिस और बॉब ने जो देखा उसे ठीक वैसे ही फिर से बनाया जा सके?"

"वेक्टर" पहेली (गणित का सरलीकृत भाग)

इसे हल करने के लिए, लेखकों को सभी संभावित परिणामों का एक विशाल मानचित्र बनाना पड़ा।

कल्पना कीजिए कि एक विशाल 16-आयामी (16-dimensional) कमरा है जहाँ हर बिंदु परिणामों के एक संभावित सेट का प्रतिनिधित्व करता है।
बीच में एक छोटा, सुरक्षित क्षेत्र है जिसे "लोकल ज़ोन" कहा जाता है (जहाँ सब कुछ सामान्य है)।
एक थोड़ा बड़ा क्षेत्र है जिसे "नो-टॉकिंग ज़ोन" कहा जाता है (जहाँ वे बात नहीं करते, लेकिन जादुई हो सकते हैं)।
पूरा कमरा "एवरीथिंग ज़ोन" है (जहाँ वे बात कर सकते हैं, धोखाधड़ी कर सकते हैं या जादुई हो सकते हैं)।

लेखकों ने पता लगाया कि किसी विशिष्ट परिणाम के लिए "लोकल फ्रैक्शन" खोजने के लिए, आपको सुपरकंप्यूटर की आवश्यकता नहीं है। आपको बस उस कमरे में 128 विशिष्ट दिशाओं (वेक्टर्स) की जाँच करने की आवश्यकता है।

इन 128 दिशाओं को 128 अलग-अलग रूलर (पैमानों) के रूप में सोचें।
आप अपने "परिणाम" को कमरे में रखते हैं और सभी 128 रूलर के विरुद्ध उसका मापन करते हैं।
सबसे छोटा मापन उत्तर बताता है: "आपका इतना हिस्सा सामान्य व्यवहार द्वारा समझाया जा सकता है।"

उन्होंने "सिग्नलिंग" के लिए भी ऐसा ही किया, यह मापने के लिए कि कितने हिस्से को केवल "बातचीत" माना जाए बनाम "जादू", उन्होंने 120 रूलर खोजे।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

वास्तविक लैब: वास्तविक प्रयोगों में, मशीनें पूर्ण नहीं होती हैं। कभी-कभी वे एक सिग्नल लीक करती हैं। यह नया उपकरण वैज्ञानिकों को यह कहने में सक्षम बनाता है, "ठीक है, इस अजीब परिणाम का 90% हिस्सा केवल शोर (सिग्नलिंग) है, लेकिन 10% वास्तविक क्वांटम जादू है।" पहले, वे पूरे प्रयोग को खारिज कर देते या भ्रमित हो जाते।
भौतिकी से परे: यह केवल क्वांटम भौतिकी के लिए नहीं है। यह अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान और जीव विज्ञान पर भी लागू होता है।
- उदाहरण: यह अध्ययन करने में कि लोग निर्णय कैसे लेते हैं, यदि व्यक्ति A, व्यक्ति B को प्रभावित करता है, तो वह "सिग्नलिंग" है। यह तरीका यह समझने में मदद करता है कि समूह का कितना व्यवहार स्वतंत्र सोच (लोकल) है बनाम कितना प्रभाव (सिग्नलिंग) या किसी गहरे समूहगत प्रभाव (नॉन-लोकल) के कारण है।
"सब कुछ या कुछ नहीं" का अंत: यह विज्ञान को बाइनरी सोच ("यह लोकल है या नहीं") से हटाकर एक स्पेक्ट्रम ("यह 70% लोकल है, 30% नॉन-लोकल है") की ओर ले जाता है।

निष्कर्ष

लेखकों ने एक यूनिवर्सल कैलकुलेटर बनाया है जो अव्यवस्थित, अपूर्ण डेटा (जहाँ लोग या मशीनें "बात" कर सकती हैं) को लेता है और आपको बिल्कुल बताता है कि रहस्य का कितना हिस्सा सरल, स्थानीय स्पष्टीकरणों से हल किया जा सकता है, और कितने के लिए वास्तव में "जादुई" या "धोखाधड़ी" वाले स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

यह एक फिल्टर होने जैसा है जो शोर (noise) को सिग्नल से, और साधारण को असाधारण से अलग करता है, जिससे हमें वास्तविकता की एक स्पष्ट और अधिक ईमानदार तस्वीर मिलती है।

यहाँ ब्रूम एट अल. के शोध पत्र "Measuring Bell non-locality in the presence of signaling" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र बेल नॉन-लोकैलिटी (Bell non-locality) के विश्लेषण में एक मौलिक सीमा को संबोधित करता है: मानक ढांचा अत्यधिक रूप से नॉन-सिग्नलिंग धारणा (non-signaling assumption) पर निर्भर करता है। यह धारणा मानती है कि एक पक्ष (जैसे, एलिस) के स्थानीय सांख्यिकी (local statistics), दूर स्थित दूसरे पक्ष (जैसे, बॉब) द्वारा किए गए मापन विकल्पों से स्वतंत्र होते हैं। हालांकि आदर्श स्थानिक रूप से अलग क्वांटम प्रणालियों के लिए यह मान्य है, लेकिन वास्तविक दुनिया में इस धारणा का उल्लंघन अक्सर होता है, जैसे:

वास्तविक प्रयोगों में: शोर (noise), खामियों और सीमित नमूनाकरण (finite sampling) के कारण।
कालिक परिदृश्यों (Temporal scenarios) में: जहाँ माप क्रमिक रूप से होते हैं, जिसका अर्थ है कि कॉज़ल इन्फ्लुएंस (signaling) स्वाभाविक रूप से मौजूद है।
भौतिकी के बाहर के अनुप्रयोगों में: जैसे संज्ञानात्मक विज्ञान (cognitive science), अर्थशास्त्र और महामारी विज्ञान (epidemiology), जहाँ सिग्नलिंग अक्सर सिस्टम डिज़ाइन का अभिन्न हिस्सा होती है।

वर्तमान विधियाँ आमतौर पर सिग्नलिंग को एक बाइनरी "पास/फेल" के रूप में देखती हैं या उन डेटा को हटा देती हैं जो नॉन-सिग्नलिंग का उल्लंघन करते हैं। लेखकों का तर्क है कि यह मात्रा निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि वास्तव में कितनी नॉन-लोकैलिटी मौजूद है बनाम कितनी सिग्नलिंग के कारण उत्पन्न हुई है। मुख्य प्रश्न यह है: जब सिग्नलिंग मौजूद हो, तो अतिरिक्त धारणाओं के बिना, प्रेक्षित सहसंबंधों (observed correlations) में बेल नॉन-लोकैलिटी की डिग्री को कैसे मापा जा सकता है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक कॉन्वेक्स डिकम्पोजिशन (convex decomposition) और लीनियर प्रोग्रामिंग (linear programming) पर आधारित एक संसाधन-सैद्धांतिक दृष्टिकोण (resource-theoretic approach) प्रस्तावित करते हैं।

आंशिक माप (Fractional Measures): यह पूछने के बजाय कि क्या कोई व्यवहार लोकल है या नॉन-लोकल, वे पूछते हैं: प्रायोगिक परीक्षणों का अधिकतम अनुपात क्या हो सकता है जिसे एक लोकल (या नॉन-सिग्नलिंग) मॉडल द्वारा समझाया जा सकता है?
- लोकल फ्रैक्शन ( $\mu_L$ ): वह अधिकतम भार $p$ है जिससे एक प्रेक्षित व्यवहार $\vec{P}$ को $\vec{P} = p \vec{P}_L + (1-p) \vec{P}_{NL}$ के रूप में विघटित किया जा सकता है, जहाँ $\vec{P}_L$ एक लोकल व्यवहार है और $\vec{P}_{NL}$ कोई भी व्यवहार है।
- नॉन-सिग्नलिंग फ्रैक्शन ( $\mu_{NS}$ ): वह अधिकतम भार $p$ है जिससे $\vec{P} = p \vec{P}_{NS} + (1-p) \vec{P}_{S}$ हो सकता है, जहाँ $\vec{P}_{NS}$ नॉन-सिग्नलिंग है और $\vec{P}_{S}$ कोई भी व्यवहार है।
ज्यामितीय सूत्रीकरण (Geometric Formulation):
- सभी संभावित व्यवहारों का सेट एक 16-आयामी कोरिलेशन स्पेस $\mathcal{P}$ बनाता है।
- लोकल व्यवहारों का सेट लोकल पॉलीटोप (local polytope) $\mathcal{P}_{Loc}$ बनाता है।
- नॉन-सिग्नलिंग व्यवहारों का सेट नॉन-सिग्नलिंग पॉलीटोप (non-signaling polytope) $\mathcal{P}_{NS}$ बनाता है।
- समस्या को एक प्रेक्षित व्यवहार $\vec{P}$ और इन पॉलीटोप्स के बीच "दूरी" (कॉन्वेक्स मिक्सिंग के संदर्भ में) खोजने के रूप में तैयार किया गया है।
लीनियर प्रोग्रामिंग (LP) समाधान:
- लेखक $p$ के मैक्सिमाइजेशन को एक प्रिमल लीनियर प्रोग्राम (primal Linear Program) के रूप में तैयार करते हैं।
- वे इसे डुअल लीनियर प्रोग्राम में बदलने के लिए स्ट्रॉन्ग ड्युअलिटी (Strong Duality) का उपयोग करते हैं।
- डुअल समस्या से पता चलता है कि समाधान एक विशिष्ट सेट के डुअल वेक्टर्स (dual vectors) (डुअल पॉलीटोप के वर्टिसेस) और प्रेक्षित व्यवहार $\vec{P}$ के बीच लीनियर स्केलर उत्पादों का न्यूनतम (minimum) है।
- यह अनुकूलन समस्या को एक क्लोज-फॉर्म गणना में बदल देता है: $\mu(\vec{P}) = \min_{\vec{q} \in \mathcal{Q}} (\vec{q}^T \cdot \vec{P})$ ।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

सामान्य ढांचा: यह शोध पत्र बेल नॉन-लोकैलिटी का विश्लेषण करने के लिए पहला एकीकृत, मात्रात्मक ढांचा प्रदान करता है जो नॉन-सिग्नलिंग धारणा की आवश्यकता नहीं रखता। यह सिग्नलिंग वाले अनिश्चित व्यवहारों सहित किसी भी सहसंबंध पर लागू होता है।
क्लोज-फॉर्म समाधान: लेखक मानक दो-पक्षीय, दो-सेटिंग, दो-आउटकम वाले बेल-CHSH परिदृश्य के लिए $\mu_L$ और $\mu_{NS}$ दोनों के लिए स्पष्ट, क्लोज-फॉर्म अभिव्यक्तियाँ प्राप्त करते हैं।
वेक्टर लक्षण वर्णन (Vector Characterization):
- लोकल फ्रैक्शन ( $\mu_L$ ): न्यूनतम गणना करने के लिए 128 विशिष्ट वेक्टर्स ( $\mathcal{Q}$ ) की आवश्यकता होती है।
- नॉन-सिग्नलिंग फ्रैक्शन ( $\mu_{NS}$ ): न्यूनतम गणना करने के लिए 120 विशिष्ट वेक्टर्स ( $\mathcal{S}$ ) की आवश्यकता होती है।
- इन वेक्टर्स को उनके नॉन-जीरो एंट्रीज की संख्या और उनकी सिमेट्री प्रॉपर्टीज के आधार पर वर्गों (f, g, t, s, z, e) में वर्गीकृत किया गया है।
गैर-अनावश्यकता (Non-Redundancy): लेखक सिद्ध करते हैं कि 128 या 120 में से कोई भी वेक्टर अनावश्यक नहीं है; प्रत्येक वेक्टर के लिए, एक विशिष्ट व्यवहार मौजूद है जहाँ वह वेक्टर अनूठे रूप से न्यूनतम मान को निर्धारित करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

प्रमेय 1 (नॉन-सिग्नलिंग मामला)

नॉन-सिग्नलिंग व्यवहारों के लिए, लोकल फ्रैक्शन ज्ञात परिणाम में बदल जाता है जिसमें बेल-CHSH असमानताएं शामिल हैं:
$\mu_L(\vec{P}) = \min \left( 1, \frac{4 - S}{2} \right)$
जहाँ $S$ अधिकतम बेल-CHSH मान है। यह पुष्टि करता है कि जब सिग्नलिंग अनुपस्थित होती है, तो यह विधि मानक सिद्धांत के अनुरूप है।

प्रमेय 2 (सामान्य लोकल फ्रैक्शन)

अनिश्चित व्यवहारों (संभावित सिग्नलिंग सहित) के लिए, लोकल फ्रैक्शन है:
$\mu_L(\vec{P}) = \min_{\vec{q} \in \mathcal{Q}} (\vec{q}^T \cdot \vec{P})$
जहाँ $\mathcal{Q}$ में 128 वेक्टर्स शामिल हैं।

संरचना: सेट $\mathcal{Q}$ $Q$ में शामिल हैं:
- f-वेक्टर्स (8): अधिकतम सिग्नलिंग हस्ताक्षरों (signatures) के अनुरूप।
- e-वेक्टर्स (8): बेल-CHSH अभिव्यक्तियों के अनुरूप।
- g, t, s-वेक्टर्स (112): नए पद जो फुल कोरिलेशन स्पेस और लोकल पॉलीटोप के बीच जटिल ज्यामितीय संबंधों को पकड़ते हैं। सिग्नलिंग की उपस्थिति में ये आवश्यक हैं।

प्रमेय $\text{3}$ (सामान्य नॉन-सिग्नलिंग फ्रैक्शन)

नॉन-सिग्नलिंग फ्रैक्शन है:
$\mu_{NS}(\vec{P}) = \min_{\vec{q} \in \mathcal{S}} (\vec{q}^T \cdot \vec{P})$
जहाँ $\mathcal{S}$ में 120 वेक्टर्स शामिल हैं।

संरचना: $\mathcal{Q}$ के समान, लेकिन s-वेक्टर्स को z-वेक्टर्स (जहाँ एक एंट्री 2 है, न कि 1) से बदल दिया गया है। इसमें e-वेक्टर्स (बेल-CHSH) अनुपस्थित हैं, जो यह दर्शाता है कि सिग्नलिंग की उपस्थिति में बेल असमानताएं अकेले नॉन-सिग्नलिंग को चरित्रित करने के लिए अपर्याप्त हैं।

ज्यामितीय अंतर्दृष्टि (Geometric Insight)

जटिलता इसलिए आती है क्योंकि समाधान पूर्ण कोरिलेशन स्पेस $\mathcal{P}$ के भीतर लक्ष्य पॉलीटोप (target polytope) के एम्बेडिंग (embedding) पर निर्भर करता है।

नॉन-सिग्नलिंग शासन में, दूरी $\mathcal{P}_{Loc}$ के फलकों (facets) द्वारा निर्धारित होती है (प्रमेय 1)।
सिग्नलिंग शासन में, दूरी पूर्ण स्पेस $\mathcal{P}$ की सीमा के सापेक्ष लक्ष्य पॉलीटोप की "निकटतम" सीमा द्वारा निर्धारित होती है। इसके लिए उच्च-आयामी ज्यामिति के "कोनों" और किनारों को समझाने के लिए अतिरिक्त 112 (लोकैलिटी के लिए) या 112 (नॉन-सिग्नलिंग के लिए) वेक्टर्स की आवश्यकता होती है।

संख्यात्मक विश्लेषण (Numerical Analysis)

रैंडम व्यवहारों पर सिमुलेशन दिखाते हैं कि:

सिग्नलिंग सिग्नेचर (f-वेक्टर्स) अधिकांश रैंडम व्यवहारों के निर्धारण में हावी रहते हैं (~76-78%)।
बेल-CHSH अभिव्यक्तियाँ (e-वेक्टर्स) सिग्नलिंग की उपस्थिति में लोकैलिटी के निर्धारण के लिए सबसे कम संभावित कारक हैं (केवल ~0.04% मामले)।
g, t, और s/z वेक्टर्स महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं (~17-3%), जो यह उजागर करते हैं कि सिग्नलिंग की उपस्थिति में पूर्ण विश्लेषण के लिए सरल बेल असमानताएं अपर्याप्त हैं।

5. महत्व (Significance)

प्रायोगिक मजबूती (Experimental Robustness): यह ढांचा भौतिकविदों को वास्तविक दुनिया के बेल प्रयोगों (जिनमें हमेशा कुछ शोर/सिग्नलिंग होती है) का विश्लेषण करने की अनुमति देता है, बिना डेटा को हटाने या कृत्रिम "नॉन-सिग्नलिंग" सुधारों के। यह नॉन-लोकैलिटी उल्लंघन की "लागत" को मापता है।
भौतिकी से परे: यह विधि अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान और महामारी विज्ञान जैसे क्षेत्रों में कॉज़ल डिस्कवरी (causal discovery) के लिए भी लागू है, जहाँ सिग्नलिंग (कॉज़ल इन्फ्लुएंस) अक्सर स्वाभाविक और अपरिहार्य होती है।
संसाधन सिद्धांत (Resource Theory): यह नॉन-लोकैलिटी और सिग्नलिंग को संसाधनों के रूप में पुनर्गठित करता है। आंशिक माप यह मात्रा निर्धारित करता है कि प्रेक्षित डेटा को समझाने के लिए इन संसाधनों की न्यूनतम मात्रा कितनी आवश्यक है।
सैद्धांतिक प्रगति: यह बेल परिदृश्य की ज्यामितीय जटिलता को सामान्य मामले के लिए आवश्यक और पर्याप्त रैखिक बाधाओं (128/120 वेक्टर्स) का एक पूर्ण सेट प्रदान करके हल करता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र वास्तविक दुनिया के बेल प्रयोगों (जो हमेशा सिग्नलिंग के कारण होने वाली त्रुटियों से प्रभावित होते हैं) में वास्तविक क्वांटम नॉन-लोकैलिटी को सिग्नलिंग के कारण उत्पन्न आर्टिफैक्ट्स से अलग करने के लिए एक कठोर, कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल और सार्वभौमिक रूप से लागू उपकरण प्रदान करता है, जो बेल के प्रमेय के दायरे को मौलिक रूप से विस्तारित करता है।