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Linear-Time Encodable and Decodable Quantum Error-Correcting Codes

यह शोध पत्र स्पष्ट, स्पर्शोन्मुख रूप से सु baik (asymptotically good) क्वांटम त्रुटि-सुधार कोडों के निर्माण को प्रस्तुत करता है जो रैखिक-समय एन्कोडिंग और डिकोडिंग प्राप्त करते हैं, जिनमें विशिष्ट संस्करण दोनों परिचालनों के लिए लघुगणकीय-गहराई वाले सर्किट या एन्कोडिंग और अनएन्कोडिंग के लिए लघुगणकीय गहराई के साथ रैखिक गेट गणना प्रदान करते हैं।

मूल लेखक: Adam Wills, Ting-Chun Lin, Rachel Yun Zhang, Min-Hsiu Hsieh

प्रकाशित 2026-03-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Adam Wills, Ting-Chun Lin, Rachel Yun Zhang, Min-Hsiu Hsieh

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक अत्यंत कीमती और नाजुक संदेश (जैसे कोई गुप्त रेसिपी या प्रेम पत्र) को एक तूफानी समुद्र के पार भेजने की कोशिश कर रहे हैं। समुद्र लहरों, चट्टानों और नमक की बौछारों (शोर/नॉइज़) से भरा है जो आपके संदेश को आसानी से बर्बाद कर सकते हैं।

क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, यह संदेश "क्यूबिट्स" (क्वांटम बिट्स) से बना है, जो सामान्य अक्षरों की तुलना में और भी अधिक नाजुक होते हैं। यदि आप उन्हें सीधे भेजने की कोशिश करते हैं, तो तूफान उन्हें तुरंत नष्ट कर देता है। इसलिए, वैज्ञानिक क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड्स (Quantum Error-Correcting Codes) का उपयोग करते हैं। इन कोड्स को अपने नाजुक पत्र को एक सुपर-स्ट्रॉन्ग, रिडंडेंट बबल रैप (बुलबुलों वाली सुरक्षात्मक परत) में लपेटने के रूप में समझें। यदि कुछ बुलबुले फूट भी जाते हैं, तो भी आप मूल पत्र को फिर से बना सकते हैं।

लंबे समय तक, वैज्ञानिकों के पास इस बबल रैप के साथ दो मुख्य समस्याएं थीं:

यह बहुत भारी था: सबसे अच्छा बबल रैप बनाना और उसे खोलना इतना जटिल था कि इसमें बहुत समय लग जाता था, जिससे पूरा सिस्टम धीमा हो जाता था।
यह बहुत धीमा था: भले ही आपके पास सबसे अच्छा बबल रैप हो, इसे लपेटने और खोलने की प्रक्रिया इतनी गहरी और जटिल थी कि इसने एक ट्रैफिक जाम जैसी स्थिति पैदा कर दी थी।

यह शोध पत्र, "लिनियर-टाइम एनकोडेबल एंड डिकोडेबल क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड्स" (Linear-Time Encodable and Decodable Quantum Error-Correcting Codes), इन दोनों समस्याओं को हल करता है। लेखकों ने एक नया प्रकार का "क्वांटम बबल रैप" बनाया है जो है:

बनाने और खोलने में तेज़: आप इसे संदेश के आकार के अनुपात में रैप और अनरैप (खोल) सकते हैं (यदि आप संदेश को दोगुना करते हैं, तो समय भी केवल दोगुना ही बढ़ता है)।
उथला (Shallow): यह प्रक्रिया किसी गहरे, बहु-परतीय फैक्ट्री लाइन की मांग नहीं करती है; इसे कुछ त्वरित चरणों (लॉगारिदमिक डेप्थ) में किया जा सकता है।

उन्होंने इसे कैसे किया, इसके लिए यहाँ कुछ रचनात्मक उपमाएँ दी गई हैं:

1. "एरर-रिडक्शन" फैक्ट्री (असेंबली लाइन)

कल्पना कीजिए कि आपके पास खिलौने बनाने वाली एक फैक्ट्री है। कभी-कभी, खिलौने थोड़े टूटे-फूटे निकलते हैं।

पुराना तरीका: आपने एक विशाल मशीन बनाई जो हर टूटे हुए खिलौने को पूरी तरह से ठीक कर देती थी, लेकिन इसे चलाने में घंटों लग जाते थे।
नया विचार (स्पेलमैन की ट्रिक): सब कुछ एक साथ पूरी तरह से ठीक करने के बजाय, आप एक ऐसी मशीन बनाते हैं जो बस टूटे हुए खिलनों की संख्या को कम कर देती है। यह टूटे हुए खिलनों के ढेर को टूटे हुए खिलनों के एक छोटे ढेर में बदल देती है।
मैजिक स्टैक (जादुई ढेर): लेखक इन "रिडक्शन मशीनों" को एक के ऊपर एक रखते हैं।
- लेयर 1: टूटे हुए खिलनों को थोड़ा कम करती है।
- लेयर 2: लेयर 1 के परिणाम को लेती है और टूटे हुए खिलनों को और भी कम करती है।
- लेयर 3: उन्हें फिर से कम करती है।
- जब तक आप शीर्ष तक पहुँचते हैं, टूटे हुए खिलनों का ढेर इतना छोटा हो जाता है कि एक साधारण, तेज़ फिक्स बाकी हिस्से को संभाल सकता है।

चूंकि प्रत्येक लेयर सरल और तेज़ है, इसलिए पूरा स्टैक तेज़ है। इसे कॉन्कैटिनेशन (Concatenation) कहा जाता है।

2. "Z-ग्राफ" (डिटेक्टिव का मैप)

पहेली का सबसे कठिन हिस्सा क्वांटम डेटा के लिए "रिडक्शन मशीन" बनाना था। क्वांटम दुनिया में, त्रुटियाँ (errors) पेचीदा होती हैं। यदि आप सिस्टम के एक हिस्से में त्रुटि को ठीक करने की कोशिश करते हैं, तो आप अनजाने में त्रुटि को दूसरे हिस्से में फैला सकते हैं (जैसे डोमिनो को गिरा देना)।

लेखकों ने "लॉसलेस Z-ग्राफ" (Lossless Z-Graph) नामक एक नई संरचना का आविष्कार किया।

उपमा: कल्पना करें कि एक शहर है जिसमें दो प्रकार के मोहल्ले हैं: बायां हिस्सा (जहाँ त्रुटियाँ शुरू होती हैं) और दायां हिस्सा (जहाँ डिटेक्टिव रहते हैं)।
आकार: उनके बीच की सड़कें Z अक्षर के आकार की हैं।
- बाएं हिस्से से दाएं हिस्से तक सड़कें हैं।
- दाएं हिस्से से वापस बाएं हिस्से तक सड़कें हैं।
- दाएं हिस्से के दोनों सिरों को जोड़ने वाला एक विशेष "मध्य" मार्ग है।
"लॉसलेस" गुण: यह मैप इस तरह बनाया गया है कि यदि लोगों का एक छोटा समूह (त्रुटियाँ) बाएं हिस्से में छिपने की कोशिश करता है, तो वे छिप नहीं सकते। सड़कें इतनी अच्छी तरह से जुड़ी हुई हैं कि दाएं हिस्से में बैठे डिटेक्टिव देख सकते हैं कि समस्या वास्तव में कहाँ से आ रही है, चाहे वह समस्या कितनी भी फैलने की कोशिश क्यों न करे।
"Z" क्यों? इनके जुड़ाव Z-आकार बनाते हैं, और यह "लॉसलेस" है क्योंकि अनुवाद के दौरान त्रुटियों के बारे में कोई भी जानकारी खोती नहीं है।

3. "पैरेलल बनाम सीक्वेंशियल" की दौड़

यह शोध पत्र इस समाधान के दो संस्करण प्रदान करता है:

रैंडम वर्जन (लॉटरी): यदि आप अपने "Z-Graph" को सड़कों को बेतरतीब ढंग से जोड़कर बनाते हैं, तो यह हर बार पूरी तरह से काम करता है। आपको सबसे तेज़ संभव गति मिलती है। यह सैद्धांतिक प्रमाणों और भविष्य के रैंडम जनरेशन के लिए बेहतरीन है।
एक्सप्लिसिट वर्जन (ब्लूप्रिंट): यदि आपको एक विशिष्ट, पहले से बना हुआ ब्लूप्रिंट चाहिए जिसे कोई भी पासा फेंके बिना पालन कर सके, तो लेखकों ने एक ऐसा ब्लूप्रिंट भी बनाया है। यह रैंडम वर्जन की तुलना में थोड़ा कम "परफेक्ट" है (इसके लिए थोड़ी अधिक सावधानीपूर्वक योजना की आवश्यकता होती है), लेकिन यह अभी भी लक्ष्य को प्राप्त करता है कि यह तेज़ और कुशल हो।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

क्वांटम कम्युनिकेशन को दो सुपर-कंप्यूटरों के बीच एक वीडियो कॉल भेजने के रूप में सोचें।

पहले: वीडियो भेजने के लिए, आपको इसे एक विशाल, धीमे और भारी कंबल में लपेटना पड़ता था। जब तक आप दूसरे छोर पर इसे खोल पाते, तब तक कॉल खत्म हो जाती थी, या डेटा खराब हो जाता था।
अब: इन नए कोड्स के साथ, आप वीडियो को एक हल्के, तेज़-अभिक्रिया वाले कवच में लपेट सकते हैं। आप इसे भेज सकते हैं, कवच तूफान को झेल लेता है, और आप इसे तुरंत खोल सकते हैं।

यह उपलब्धि भविष्य के इंटरनेट के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसका अर्थ है कि हम अंततः डिस्ट्रीब्यूटेड क्वांटम कंप्यूटर (एक साथ मिलकर काम करने वाले कई क्वांटम कंप्यूटर) बना सकते हैं और एरर-करेक्शन के ट्रैफिक जाम में फंसे बिना उनके बीच डेटा भेज सकते हैं। यह एक "क्वांटम इंटरनेट" के सपने को एक धीमे, टूटे हुए कनेक्शन से बदलकर एक तेज़, विश्वसनीय हाईवे में बदल देता है।

संक्षेप में: लेखकों ने त्रुटियों को ट्रैक करने के लिए एक चतुर "Z-आकार" के मैप का उपयोग करके क्वांटम डेटा के लिए एक नया, सुपर-फास्ट और उथला (shallow) "बबल रैप" बनाया है। यह हमें क्वांटम जानकारी को तेज़ी से और सुरक्षित रूप से भेजने की अनुमति देता है, जिससे अगली पीढ़ी की क्वांटम तकनीक का मार्ग प्रशस्त होता है।

यहाँ विल्स, लिन, झांग और ह्सिएह के शोध पत्र "Linear-Time Encodable and Decodable Quantum Error-Correcting Codes" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्वांटम कोडिंग थ्योरी के एक महत्वपूर्ण अंतराल को संबोधित करता है: ऐसे एसिम्प्टोटिकली गुड (asymptotically good) क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड्स (QECCs) की कमी, जिन्हें लीनियर-टाइम कॉम्प्लेक्सिटी (linear time complexity) और लो सर्किट डेप्थ (low circuit depth) के साथ एनकोड और डिकोड किया जा सके।

संदर्भ: जबकि हालिया सफलताओं ने एसिम्प्टोटिकली गुड क्वांटम LDPC कोड्स (जैसे पन्टेलीव और कालाचेव, 2022) और क्वांटम लोकली टेस्टेबल कोड्स की उपस्थिति स्थापित की है, इनमें अक्सर कुशल (लीनियर-टाइम) एनकोडिंग और डिकोडिंग एल्गोरिदम का अभाव होता है।
सेटिंग: लेखक चैनल कैपेसिटी सेटिंग (जो फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटरों के बीच संचार के लिए प्रासंगिक है) पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इस सेटिंग में, एक संदेश को पूरी तरह से एनकोड किया जाता है, एक शोर वाले चैनल (noisy channel) से गुजारा जाता है, और फिर पूरी तरह से अनएनकोड/डिकोड किया जाता है। लक्ष्य इन ऑपरेशन्स के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल संसाधनों (गेट काउंट और सर्किट डेप्थ) को न्यूनतम करना है।
चुनौती: क्वांटम सूचना नाजुक होती है। मानक फॉल्ट-टोलरेंस स्कीम्स अपूर्ण ऑपरेशन्स को मानती हैं, लेकिन क्वांटम प्रोसेसरों के बीच संचार के लिए लॉजिकल डेटा के कुशल "रॉ" (raw) एनकोडिंग/डिकोडिंग की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, क्लासिकल लीनियर-टाइम कोड्स (जैसे स्पेलमैन के) का एक सीधा क्वांटाइजेशन विफल हो जाता है क्योंकि अनएनकोडिंग प्रक्रिया के दौरान एरर स्प्रेडिंग (error spreading) होती है, जहाँ चेक क्विबिट्स पर होने वाले एरर मैसेज क्विबिट्स तक फैल जाते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक अपने कोड्स का निर्माण डैनियल स्पेलमैन के 1995 के लीनियर-टाइम क्लासिकल कोड्स के निर्माण से प्रेरित एक पदानुक्रमित (hierarchical) दृष्टिकोण का उपयोग करके करते हैं, जिसे क्वांटम डोमेन के लिए अनुकूलित किया गया है।

A. उच्च-स्तरीय संरचना: कॉनकेटेनेशन (Concatenation)

निर्माण एक रिकर्सिव कॉनकेटेनेशन स्कीम का अनुसरण करता है:

बेस लेयर: एक छोटे, स्थिर आकार के क्वांटम कोड ( $Q_0$ ) से शुरुआत करें।
रिकर्सिव स्टेप: पिछले कोड $Q_{k-1}$ $Q_{k - 1}$ के साथ एक क्वांटम एरर-रिडक्शन कोड ( $R$ $R$ ) को कॉनकेटेट करके एक बड़ा कोड $Q_k$ $Q_{k}$ बनाएं।
- मैसेज बिट्स को $R$ में एनकोड किया जाता है ताकि चेक बिट्स उत्पन्न हों।
- ये चेक बिट्स फिर $Q_{k-1}$ में एनकोड किए जाते हैं।
- परिणामी बिट्स को फिर से $R$ में एनकोड किया जाता है।
परिणाम: यह संरचना सुनिश्चित करती है कि यदि एरर-रिडक्शन कोड में लीनियर-टाइम एनकोडिंग/डिकोडिंग है, तो अंतिम कॉनकेटेटेड कोड इन गुणों को विरासत में प्राप्त करता है और साथ ही एसिम्प्टोटिक गुडनेस (कॉन्स्टेंट रेट और रिलेटिव डिस्टेंस) प्राप्त करता है।

B. मुख्य नवाचार: लॉसलेस Z-ग्राफ्स के माध्यम से क्वांटम एरर-रिडक्शन कोड्स

प्राथमिक तकनीकी बाधा क्वांटम एरर-रिडक्शन कोड का निर्माण करना है। क्लासिकल कोड्स के विपरीत, क्वांटम कोड्स को $X$ (बिट-फ्लिप) और $Z$ (फेज-फ्लिप) दोनों प्रकार के एरर को एक साथ संभालना होता है, और अनएनकोडिंग प्रक्रिया एरर को फैला सकती है।

इसे हल करने के लिए, लेखक एक नया ग्राफ-थ्योरेटिक स्ट्रक्चर पेश करते हैं जिसे लॉसलेस Z-ग्राफ (Lossless Z-Graph) कहा जाता है।

ग्राफ संरचना: चार वर्टिस (vertices) के सेट वाला एक बाइटाइट ग्राफ: $L_1, L_2$ $L_{1}, L_{2}$ (बाएं) और $R_1, R_2$ $R_{1}, R_{2}$ (दाएं)।
- किनारे (edges) $(L_1, R_2)$ , $(R_1, L_2)$ , और $(L_2, R_2)$ के बीच मौजूद हैं।
- $L_1$ और $R_1$ के बीच कोई किनारा नहीं है।
- इसकी संरचना अक्षर "Z" के समान है।
मैट्रिक्स परिभाषा: CSS कोड के पैरिटी-चेक मैट्रिसेस ( $H_X, H_Z$ $H_{X}, H_{Z}$ ) इन सब-ग्राफ्स के एडजेसेंसी मैट्रिसेस से व्युत्पन्न होते हैं:
- $H_X = (I \mid A \mid C)$
- $H_Z = (D \mid B \mid I)$
- जहाँ $A, B, D$ ग्राफ के किनारों के अनुरूप हैं, और $C$ कम्यूटेटिविटी कंडीशन $C = AB^T + D^T$ द्वारा निर्धारित होता है।
लॉसलेस एक्सपेंशन: ग्राफ को इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि वर्टिस के छोटे सेट महत्वपूर्ण रूप से एक्सपैंड (expand) होते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, "मिडल" कनेक्शन ( $L_2, R_2$ ) में वर्टिस की डिग्री को बाहरी कनेक्शनों की तुलना में बहुत अधिक चुना जाता है। यह कोड को उन एरर्स को दबाने में मदद करता है जो अनएनकोडिंग के दौरान चेक क्विबिट्स से मैसेज क्विबिट्स तक फैलते हैं।

C. एरर रिडक्शन एल्गोरिदम

लेखक विशिष्ट एल्गोरिदम डिजाइन करते हैं:

सीक्वेंशियल एल्गोरिदम: सिंड्रोम्स पर एक "स्मॉल-सेट फ्लिप" एल्गोरिदम (स्पेलमैन के समान) का उपयोग करते हैं। $X$ और $Z$ एरर्स के रिडक्शन को सावधानीपूर्वक क्रमबद्ध करके और Z-ग्राफ की उच्च डिग्री का लाभ उठाकर, वे यह सुनिश्चित करते हैं कि मैसेज क्विबिट्स पर अवशिष्ट (residual) एरर मूल चेक-बिट एरर्स के एक अंश तक कम हो जाए।
पैरेलल एल्गोरिदम: पैरेलल निष्पादन के लिए, उन्हें और भी मजबूत एक्सपेंशन गुणों ( $\epsilon = O(1/\Delta)$ ) की आवश्यकता होती है। वे दिखाते हैं कि रैंडमाइज्ड (randomized) लॉसलेस Z-ग्राफ्स इन मजबूत शर्तों को पूरा करते हैं, जिससे लॉगरिदमिक-डेप्थ पैरेलल डिकोडिंग संभव हो पाती है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

प्रथम लीनियर-टाइम क्वांटम कोड्स: यह पेपर लीनियर-टाइम एनकोडिंग और डिकोडिंग के साथ एसिम्प्टोटिकली गुड क्वांटम कोड्स का पहला निर्माण प्रस्तुत करता है।
एरर स्प्रेडिंग को संभालना: उन्होंने लॉसलेस Z-ग्राफ पेश करके एरर-रिडक्शन अवधारणा को सफलतापूर्वक क्वांटटाइज किया है, जो विशेष रूप रूप से CSS कोड्स के अनएनकोडिंग के दौरान एरर स्प्रेडिंग की समस्या को संबोधित करता है।
दो निर्माण:
- रैंडमाइज्ड निर्माण: लीनियर-टाइम सीक्वेंशियल और पैरेलल (लॉग-डेप्थ) एनकोडिंग/डिकोडिंग के साथ इन कोड्स की उपस्थिति सिद्ध करता है।
- एक्सप्लिसिट निर्माण: लीनियर-टाइम सीक्वेंशियल एनकोडिंग/डिकोडिंग और लॉग-डेप्थ एनकोडिंग/अनएनकोडिंग के साथ एक स्पष्ट (explicit) कोड फैमिली प्रदान करता है। (नोट: एक्सप्लिसिट निर्माण में वर्तमान में सख्त एक्सपेंशन आवश्यकताओं के कारण पैरेलल डिकोडिंग एल्गोरिदम का अभाव है)।
रेट फ्लेक्सिबिलिटी: यह निर्माण किसी भी कॉन्स्टेंट रेट $R \in (0, 1)$ की अनुमति देता है।

4. परिणाम और जटिलता (Results and Complexity)

पेपर निम्नलिखित कॉम्प्लेक्सिटी बाउंड्स स्थापित करता है (जहाँ $n$ ब्लॉक लेंथ है):

ऑपरेशन	सीक्वेंशियल कॉम्प्लेक्सिटी	पैरेलल कॉम्प्लेक्सिटी (डेप्थ)
Encoding	$O(n)$ गेट्स	$O(\log n)$ डेप्थ, $O(n)$ गेट्स
Unencoding	$O(n)$ गेट्स	$O(\log n)$ डेप्थ, $O(n)$ गेट्स
Decoding	$O(n)$ गेट्स	$O(\log n)$ डेप्थ, $O(n \log n)$ गेट्स

थ्योरम 1 (रैंडमाइज्ड): उपरोक्त सभी जटिलताओं को प्राप्त करता है, जिसमें पैरेलल डिकोडिंग भी शामिल है।
थ्योरम 2 (एक्सप्लिसिट): लीनियर-टाइम सीक्वेंशियल एनकोडिंग/डिकोडिंग और लॉग-डेप्थ एनकोडिंग/अनएनकोडिंग प्राप्त करता है। पैरेलल डिकोडिंग अभी तक एक्सप्लिसिट केस के लिए प्राप्त नहीं की गई है।

5. महत्व और भविष्य की दिशाएं (Significance and Future Directions)

क्वांटम कम्युनिकेशन: ये कोड्स डिस्ट्रीब्यूटेड क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। जब दो फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम प्रोसेसर संचार करते हैं, तो उनके बीच का चैनल स्वयं प्रोसेसरों की तुलना में अधिक शोर वाला होता है। लो-डेप्थ, लीनियर-टाइम कोड्स होस्ट एरर-करेक्टिंग कोड को कम्युनिकेशन कोड के साथ कुशलतापूर्वक "कॉनकेटेनेट" करने की अनुमति देते हैं, बिना कम्प्यूटेशनल बॉटलनेक बनाए।
सैद्धांतिक सफलता: यह कार्य क्लासिकल कोडिंग थ्योरी (स्पेलमैन के लीनियर-टाइम कोड्स) और क्वांटम कोडिंग थ्योरी के बीच के अंतर को पाटता है, यह प्रदर्शित करता है कि एरर-स्प्रेडिंग और नॉन-कम्यूटेटिविटी जैसी अनूठी चुनौतियों के बावजूद "एरर-रिडक्शन" प्रतिमान को क्वांटम डोमेन में सफलतापूर्वक अपनाया जा सकता है।
ओपन प्रॉब्लम्स:
- पैरेलल (लॉग-डेप्थ) डिकोडिंग के साथ एक्सप्लिसिट कोड्स का निर्माण करना।
- इन कोड्स के लिए सटीक रेट-डिस्टेंस ट्रेड-ऑफ (rate-distance tradeoff) निर्धारित करना।
- इन लो-डेप्थ एनकोडर्स को फॉल्ट-टोलरेंट सेटिंग (जहाँ ऑपरेशन्स स्वयं शोर वाले होते हैं) तक विस्तारित करना।

संक्षेप में, यह पेपर कुशल क्वांटम संचार के लिए एक मौलिक निर्माण प्रदान करता है, यह सिद्ध करता है कि एसिम्प्टोटिकली गुड क्वांटम कोड्स को सबसे अच्छे क्लासिकल कोड्स की समान दक्षता के साथ प्रोसेस किया जा सकता है, जो स्केलेबल क्वांटम नेटवर्क के लिए एक आवश्यक कदम है।