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Classical shadows for non-iid quantum sources

यह शोधपत्र एक ट्रंकेटेड मीन एस्टिमेटर (truncated mean estimator) का उपयोग करते हुए एक सुदृढ़ क्लासिकल शैडो प्रोटोकॉल प्रस्तुत करता है जो समय-औसत क्वांटम अवस्थाओं या चैनलों के गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए मानक सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी बनाए रखता है, भले ही प्रयोगात्मक राउंड्स में मनमाने इतिहास-निर्भर सहसंबंध (history-dependent correlations) मौजूद हों जो i.i.d. धारणा का उल्लंघन करते हैं।

मूल लेखक: Leonardo Zambrano

प्रकाशित 2026-03-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Leonardo Zambrano

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक बदलते हुए संसार का स्नैपशॉट लेना

कल्पना कीजिए कि आप एक फोटोग्राफर हैं जो एक आकार बदलने वाले जीव (shapeshifting creature) की तस्वीर लेने की कोशिश कर रहे हैं।

क्वांटम भौतिकी की आदर्श दुनिया (किताबों वाली "टेक्स्टबुक" वर्शन) में, यह जीव बिल्कुल स्थिर बैठा रहता है, और जब भी आप शटर दबाते हैं, यह बिल्कुल एक जैसा ही दिखता है। आप 100 तस्वीरें लेते हैं, और आप आसानी से उनका औसत निकालकर जान सकते हैं कि वह जीव कैसा दिखता है। वैज्ञानिक इसे i.i.d. (स्वतंत्र और समान रूप से वितरित) डेटा कहते हैं। यह साफ, अनुमानित और विश्लेषण करने में आसान है।

लेकिन वास्तविक दुनिया में, वह जीव बेचैन है।
वह छटपटाता है, मौसम के आधार पर अपना रंग बदलता है, और आपकी पिछली तस्वीरों पर प्रतिक्रिया देता है। यदि आप दोपहर 1:00 बजे फोटो लेते हैं, तो वह 1:05 बजे से अलग दिखेगा क्योंकि उसे याद है कि 1:00 बजे क्या हुआ था। इसे non-i.i.d. (इतिहास-निर्भर) डेटा कहा जाता है।

वर्षों तक वैज्ञानिकों ने सोचा कि यदि जीव अपने इतिहास के आधार पर हिलता-डुलता और बदलता रहता है, तो मानक "शैडो" फोटोग्राफी तकनीकें विफल हो जाएंगी। उन्हें डर था कि गणित टूट जाएगा, और एक धुंधला अनुमान पाने के लिए लाखों फोटो की आवश्यकता होगी।

यह पेपर कहता है: "इतना भी जल्दी नहीं!"
लेखक, लियोनार्डो ज़ामरानो ने फोटो लेने का एक नया तरीका विकसित किया है जो तब भी काम करता है जब वह जीव अराजक (chaotic), गतिशील और अपने इतिहास को याद रखने वाला हो। उन्होंने सिद्ध किया है कि आपको लाखों अतिरिक्त फोटो की आवश्यकता नहीं है; आप अभी भी उतनी ही दक्षता के साथ एक स्पष्ट तस्वीर प्राप्त कर सकते हैं जैसे कि वह जीव स्थिर बैठा हो।

समस्या: "मीडियन" का जाल (The "Median" Trap)

समाधान को समझने के लिए, हमें पहले पुरानी समस्या को समझना होगा।

मानक "क्लासिकल शैडो" फोटोग्राफी कई स्नैपशॉट लेकर और उनका औसत निकालकर काम करती है। हालाँकि, क्वांटम माप (measurements) अजीब होते हैं। कभी-कभी, एक एकल फोटो एक "ग्लिच" (glitch) हो सकता है जो वास्तविकता से 1,000 गुना बड़ा मान दिखाता है (एक "हैवी टेल")।

पुराने तरीके में, इन ग्लिच से निपटने के लिए, वैज्ञानिकों ने "मीडियन-ऑफ-मीन्स" (Median-of-Means) नामक एक ट्रिक का उपयोग किया।

उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि आप भीड़ की औसत ऊंचाई का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। सुरक्षित रहने के लिए, आप भीड़ को 10 अलग-अलग समूहों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक समूह की औसत ऊंचाई की गणना करते हैं, और फिर उन 10 औसतों का मीडियन (मध्य मान) लेते हैं।
दोष: यह ट्रिक तभी काम करती है जब समूह स्वतंत्र (independent) हों। आप भीड़ को समूहों में नहीं बांट सकते यदि लोग एक श्रृंखला की तरह एक-दूसरे का हाथ पकड़कर साथ चल रहे हों। वास्तविक क्वांटम दुनिया में, "लोग" (माप के दौर) अक्सर इतिहास (ड्रिफ्ट, शोर, फीडबैक) द्वारा आपस में जुड़े होते हैं। समूह स्वतंत्र नहीं हैं, इसलिए "मीडियन" वाली ट्रिक विफल हो जाती है।

समाधान: "स्मार्ट फ़िल्टर" (Truncated Mean)

ज़ामरानो का समाधान स्वतंत्र समूहों में डेटा को विभाजित करने की कोशिश करना नहीं है, बल्कि एक स्मार्ट फ़िल्टर का उपयोग करना है जिसे ट्रंकेटेड मीन एस्टिमेटर (Truncated Mean Estimator) कहा जाता है।

उपमा:
कल्पला कीजिए कि आप एक रेडियो स्टेशन सुन रहे हैं जिसमें स्टेटिक (शोर/खरखराहट) आ रहा है।

पुराना तरीका: आप सुनने के अलग-अलग दिनों की तुलना करके इस शोर को अनदेखा करने की कोशिश करते हैं। लेकिन यदि शोर किसी ऐसे तूफान के कारण है जो हर घंटे बिगड़ता जा रहा है (इतिहास-निर्भर), तो दिनों की तुलना करने से कोई मदद नहीं मिलती।
नया तरीका: आप अपने रेडियो पर एक वॉल्यूम लिमिटर (volume limiter) लगाते हैं।
- यदि ध्वनि सामान्य है, तो आप उसे सुनते हैं।
- यदि ध्वनि बहुत अधिक तेज है (एक ग्लिच या आउटलियर), तो आप बस उसे एक सुरक्षित अधिकतम वॉल्यूम तक सीमित कर देते हैं। आप उसे अनदेखा नहीं करते, बस आप उसे अपने स्पीकर फटने नहीं देते।

इस पेपर में, यह "वॉल्यूम लिमिटर" ट्रंकेशन थ्रेशोल्ड (Truncation Threshold) है।

वैज्ञानिक एक माप लेता है।
यदि परिणाम बहुत अधिक बड़ा है (एक सांख्यिकीय आउटलियर), तो वे इसे एक सुरक्षित, पूर्व-निर्धारित संख्या तक कम (clip) कर देते हैं।
यदि परिणाम सामान्य है, तो वे इसे रखते हैं।
अंत में, वे इन "क्लिप किए गए" नंबरों का औसत लेते हैं।

यह क्यों काम करता है: "मार्टिंगेल" का जादू (The "Martingale" Magic)

आप पूछ सकते हैं, "यदि मैं डेटा को क्लिप कर रहा हूँ, तो क्या यह धोखाधड़ी नहीं है? क्या इससे मुझे गलत उत्तर नहीं मिलेगा?"

यह पेपर सिद्ध करता है कि यह तरीका गणितीय रूप से सही है क्योंकि यह मार्टिंगेल (Martingale) की एक अवधारणा पर आधारित है।

उपमा:
कल्पना कीजिए कि एक शराबी घर वापस जा रहा है (एक "रैंडम वॉक")।

एक मानक रैंडम वॉक में, हर कदम स्वतंत्र होता है।
एक मार्टिंगेल में, शराबी का अगला कदम इस बात पर निर्भर करता है कि वह कहाँ रहा है, लेकिन उसका अपेक्षित अगला कदम हमेशा उसकी वर्तमान स्थिति के सापेक्ष "सीधे आगे" होता है। उसके पास बाईं या दाईं ओर जाने का कोई व्यवस्थित झुकाव (systematic bias) नहीं है; वह बस भटक रहा है।

इस क्वांटम प्रयोग में:

"शराबी" माप का परिणाम है।
"इतिहास" पिछले माप हैं।
भले ही जीव इतिहास के आधार पर बदलता है, क्वांटम माप की यादृच्छिकता (randomness) यह सुनिश्चित करती है कि औसतन, त्रुटियां एक-दूसरे को रद्द कर दें। यहाँ कोई "व्यवस्थित ड्रिफ्ट" नहीं है जो उत्तर को एक दिशा में धकेल दे।

ट्रंकेटेड मीन का उपयोग करके, लेखक इस भटकते हुए शराबी को एक अनुमानित पथ में बदल देते हैं। वह फ्रीडमैन की असमानता (Freedman's Inequality) नामक एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं (इसे रैंडम वॉक के लिए एक "सुरक्षा जाल" के रूप में सोचें) यह सिद्ध करने के लिए कि इतिहास-निर्भरता के बावजूद, औसत वास्तविक मान के बहुत करीब रहेगा।

परिणाम: इसका हमारे लिए क्या अर्थ है?

"परफेक्ट लैब" की आवश्यकता नहीं: आपको एक पूरी तरह से स्थिर क्वांटम कंप्यूटर की आवश्यकता नहीं है। यदि आपकी मशीन ड्रिफ्ट करती है, गर्म होती है, या अपने अतीत के प्रति प्रतिक्रिया करती है, तो भी यह तरीका काम करता है।
वही दक्षता: आपको अधिक सैंपल लेने की आवश्यकता नहीं है। आवश्यक नमूनों की संख्या "परफेक्ट" टेक्स्टबुक परिदृश्य के समान ही है।
मजबूती (Robustness): यह तरीका "बुरे डेटा" को अनदेखा करने में भी बहुत अच्छा है। यदि किसी कंप्यूटर ग्लिच के कारण एक माप पूरी तरह से गलत हो जाता है, तो "वॉल्यूम लिमिटर" (ट्रंकेशन) उसे पूरे औसत को खराब करने से रोकता है।

निष्कर्ष (The Takeaway)

यह पेपर एक कैमरा लेंस को अपग्रेड करने जैसा है।
पहले, हमें लगता था कि अच्छी फोटो लेने के लिए हमें एक स्थिर विषय की आवश्यकता है। यदि विषय हिलता या हम पर प्रतिक्रिया करता, तो फोटो खराब हो जाती।
अब, हमारे पास एक ऐसा लेंस है जिसमें इमेज स्टेबिलाइज़ेशन (ट्रंकेटेड मीन) और एक स्मार्ट एल्गोरिदम (मार्टिंगेल थ्योरी) है जो हमें एक अराजक, गतिशील, इतिहास-निर्भर क्वांटम दुनिया की स्पष्ट और सटीक तस्वीरें लेने की अनुमति देता है।

यह बताता है कि क्लासिकल शैडोज़ (Classical Shadows) हमारी सोच से कहीं अधिक मजबूत और बहुमुखी हैं। वे दक्षता खोए बिना क्वांटम प्रयोगों के अव्यवस्थित, वास्तविक दुनिया के शोर को संभाल सकते हैं।

यहाँ लियोनार्डो ज़ामरानो के शोध पत्र "Classical shadows for non-iid quantum sources" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

क्लासिकल शैडो टोमोग्राफी (Classical shadow tomography) क्वांटस मेनी-बॉडी सिस्टम के गुणों की अनुकूल सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी के साथ भविष्यवाणी करने के लिए एक शक्तिशाली ढांचा है। हालाँकि, मानक सैद्धांतिक गारंटी i.i.d. (स्वतंत्र और समान रूप से वितरित) धारणा पर निर्भर करती है: कि प्रत्येक प्रयोगात्मक दौर (round) पिछले इतिहास से स्वतंत्र होकर ठीक वही क्वांटम अवस्था (या चैनल) तैयार करता है।

वास्तविक प्रयोगात्मक सेटिंग्स में, यह धारणा अक्सर बाधित होती है क्योंकि:

पैरामीटर ड्रिफ्ट (Parameter drift): समय के साथ सिस्टम के मापदंडों में धीमा परिवर्तन।
पर्यावरणीय शोर (Environmental noise): वातावरण में अवशिष्ट मेमोरी प्रभाव (residual memory effects)।
सक्रिय फीडबैक (Active feedback): नियंत्रण तंत्र जो पिछले परिणामों के आधार पर मापन दौरों को सह-संबंधित (correlate) करते हैं।

ये कारक इतिहास-निर्भर (adaptive) अनुक्रमों या स्टेट्स/चैनल्स का निर्माण करते हैं। इस कार्य द्वारा संबोधित केंद्रीय प्रश्न यह है: यदि i.i.d. धारणा को हटा दिया जाए, और स्रोत एडेप्टिव (adaptive) या यहाँ तक कि एडवर्सरियल (adversarial) भी हो, तो क्लासिकल शैडो टोमोग्राफी की दक्षता किस सीमा तक बनी रहती है?

i.i.d. धारणा को शिथिल करने वाले मौजूदा दृष्टिकोण या तो अत्यधिक ओवरहेड्स पेश करते हैं (जैसे कि क्वांटम डी फिनेट्टी प्रमेय के माध्यम से) या वे टेम्पोरल कोरिलेशन (temporal correlations) को पकड़ने में विफल रहते हैं (जैसे केवल स्वतंत्र ड्रिफ्ट को मानना)।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक सुदृढ़ प्रोटोकॉल प्रस्तावित करते हैं जो मानक मीडियन-ऑफ-मीन्स (median-of-means) एस्टिमेटर के स्थान पर एक ट्रंकेटेड मीन एस्टिमेटर (truncated mean estimator) का उपयोग करता है। मुख्य तकनीकी नवाचार मानक सांद्रता असमानताओं (concentration inequalities) के बजाय मार्टिंगेल थ्योरी (martingale theory) का उपयोग करके अनुमान लगाने की समस्या को पुनर्गठित करना है।

मुख्य तकनीकी घटक:

ट्रंकेटेड मीन एस्टिमेटर (Truncated Mean Estimator):
- कच्चे सिंगल-शॉट अनुमानों (जिनके 'हेवी टेल्स' हो सकते हैं) के औसत के बजाय, यह प्रोटोकॉल सिंगल-शॉट एस्टिमेटर $X_t = \text{tr}(O\hat{\rho}_t)$ को एक नियंत्रित थ्रेशोल्ड $T$ पर ट्रंकेट (truncate) करता है।
- ट्रंकेटेड वेरिएबल $Y_t$ को $X_t$ के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि $|X_t| \le T$ , और अन्यथा $T \cdot \text{sgn}(X_t)$ के रूप में।
- यह ट्रंकेशन एस्टिमेटर के वृद्धिशील मानों (increments) की सीमा को सीमित करता है, जो मार्टिंगेल सांद्रता असमानताओं को लागू करने के लिए एक पूर्व शर्त है।
मार्टिंगेल डिफरेंस सीक्वेंस (Martingale Difference Sequence):
- पेपर प्रयोगात्मक इतिहास को एक फिल्ट्रेशन $\{\mathcal{F}_t\}$ के रूप में मॉडल करता है। दौर $t$ पर तैयार की गई अवस्था $\rho_t$ को इतिहास $\mathcal{F}_{t-1}$ का एक मनमाना फलन (function) होने की अनुमति दी जाती है।
- महत्वपूर्ण बात यह है कि एक बार $\rho_t$ निर्धारित हो जाने के बाद, बोर्न के नियम (Born's rule) के अनुसार मापन परिणाम यादृच्छिक (random) होते हैं।
- अनुमान त्रुटि $Z_t = \text{tr}(O\hat{\rho}_t) - \text{tr}(O\rho_t)$ एक मार्टिंगेल डिफरेंस सीक्वेंस ( $E[Z_t | \mathcal{F}_{t-1}] = 0$ ) बनाती है। यह तब भी सत्य है जब $\rho_t$ मनमाने ढंग से अतीत पर निर्भर हो।
फ्रीडमैन की असमानता (Freedman's Inequality):
- होफ़डिंग (Hoeffding) या चेर्नॉफ (Chernoff) बाउंड के बजाय (जिनके लिए स्वतंत्रता आवश्यक है), लेखक फ्रीडमैन की असमानता लागू करते हैं। यह असमानता बाउंडेड इंक्रीमेंट्स और नियंत्रित क्वाड्रेटिक वेरिएशन वाले मार्टिंगेल के लिए टेल बाउंड प्रदान करती है।
- यह मनमाने एडेप्टिव अनुक्रमों के लिए गैर-एसिम्प्टोटिक (non-asymptotic) सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी बाउंड प्राप्त करने की अनुमति देता है।
स्पेशियल अनरैवलिंग (Spatial Unraveling):
- इस ढांचे को स्पेशियल रूप से वितरित मापन (मेनी-बॉडी सिस्टम) के लिए विस्तारित किया गया है, जिसमें कम्यूटिंग लोकल ऑब्जर्वेबल्स के समवर्ती मापन को एक वर्चुअल सीक्वेंशियल प्रोसेस के रूप में माना जाता है। यह मार्टिंगेल ढांचे को स्थानिक औसत (spatial averages) पर भी लागू करने की अनुमति देता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

एडेप्टिव नॉइज़ के प्रति सुदृढ़ता: पेपर सिद्ध करता है कि क्लासिकल शैडो टोमोग्राफी की सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी स्केलिंग तब भी बनी रहती है जब क्वांटम स्रोत पूरी तरह से एडेप्टिव और इतिहास-निर्भर होता है।
सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी का संरक्षण: $K$ ट्रेसलेस ऑब्जर्वेबल्स $\{O_1, \dots, O_K\}$ के टाइम-एवरेज्ड ऑब्जर्वेबल $\bar{o} = \frac{1}{N}\sum \text{tr}(O\rho_t)$ के अनुमान के लिए आवश्यक नमूनों की संख्या ठीक उसी तरह शैडो नॉर्म $\|O\|_S^2$ द्वारा शासित होती है, जैसा कि i.i.d. मामले में होता है।
बेहतर स्थिरांक (Improved Constants): मार्टिंगेल-आधारित विश्लेषण मानक सैद्धांतिक विश्लेषणों की तुलना में सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी बाउंड्स में कड़ाई से बेहतर संख्यात्मक स्थिरांक प्रदान करता है।
क्वांटम प्रक्रियाओं का विस्तार: चोई-जैमियोल्कोव्स्की आइसोमोर्फिज्म (Choi-Jamiołkowski isomorphism) का उपयोग करके इसे क्वांटम प्रोसेस टोमोग्राफी (चैनल्स) तक विस्तारित किया गया है, जो ड्रिफ्टिंग या मेमोरी-प्रभावित चैनल्स के विरुद्ध सुदृढ़ता दिखाता है।
डेटा करप्शन के प्रति लचीलापन: ट्रंकेटेड मीन एस्टिमेटर आउटलेर्स और डेटा भ्रष्टाचार (जैसे हार्डवेयर ग्लिच) के विरुद्ध अंतर्निहित सुदृढ़ता प्रदान करता है, जो कि गैर-i.i.d. सेटिंग्स में मानक मीडियन-ऑफ-मीन्स दृष्टिकोण के पास नहीं है।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

पेपर सटीकता $\epsilon$ और विफलता प्रायिकता $\delta$ के साथ $K$ ट्रेसलेस ऑब्जर्वेबल्स $\{O_1, \dots, O_K\}$ के अनुमान के लिए निम्नलिखित प्रमेय स्थापित करता है:

प्रमेय 2 (मुख्य परिणाम):
किसी भी एडेप्टिव अनुक्रम ऑफ स्टेट्स $\{\rho_t\}$ के लिए, यदि नमूनों की संख्या $N$ इस प्रकार है:
$N \ge \frac{125}{24} \frac{\max_i \|O_i\|_S^2}{\epsilon^2} \log\left(\frac{2K}{\delta}\right)$
तो ट्रंकेटेड मीन एस्टिमेटर $\hat{o}_i$ सभी $i$ के लिए $1-\delta$ की प्रायिकता के साथ $\epsilon$ की सटीकता के साथ $|\hat{o}_i - \bar{o}_i| \le \epsilon$ को संतुष्ट करता है।

विशिष्ट उप-परिणाम (Corollaries):

ग्लोबल क्लिफोर्ड शैडो (Global Clifford Shadows): $d$ -आयामी सिस्टम के लिए, सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी $N \propto \frac{\text{tr}(O^2)}{\epsilon^2} \log(1/\delta)$ के रूप में स्केल करती है।
रैंडम पाउली शैडो (Random Pauli Shadows): $n$ क्वबिट्स पर हैमिल्टोनियन $H = \sum \alpha_j P_j$ के लिए, कॉम्प्लेक्सिटी एक वेरिएंस टर्म $V_H$ के साथ स्केल करती है जिसमें पाउली स्ट्रिंग सपोर्ट का इंटरसेक्शन शामिल है:
$N \propto \frac{V_H}{\epsilon^2} \log(1/\delta), \quad \text{जहाँ } V_H = \sum_{j,l: P_j \sim P_l} |\alpha_j \alpha_l| 3^{|\text{supp}(P_j) \cap \text{supp}(P_l)|}$
यह $k$ -लोकल ऑब्जर्वेबल्स के लिए परिचित $3^k$ स्केलिंग को पुनः प्राप्त करता है।

5. महत्व (Significance)

व्यावहारिक प्रयोज्यता: यह कार्य सैद्धांतिक गारंटी और प्रयोगात्मक वास्तविकता के बीच के अंतर को पाटता है। यह वास्तविक दुनिया के क्वांटम उपकरणों में क्लासिकल शैडो के उपयोग को मान्य करता है जहाँ ड्रिफ्ट और फीडबैक अपरिहार्य हैं, जिससे आदर्श i.i.d. धारणा की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
सैद्धांतिक प्रगति: यह प्रदर्शित करता है कि क्वांटम सिस्टम को सीखने की दक्षता स्थिरता (stationarity) या स्वतंत्रता पर नहीं, बल्कि इतिहास के दिए जाने पर एस्टिमेटर की कंडीशनल अनबायस्डनेस (conditional unbiasedness) पर निर्भर करती है।
एडवर्सरियल वेरिफिकेशन: यह ढांचा एडवर्सरियल क्वांटम वेरिफिकेशन के साथ स्वाभाविक रूप से जुड़ता है, जहाँ एक वेरीफायर को इतिहास-निर्भर रणनीतियों का उपयोग करने वाले अनट्रस्टेड सर्वर द्वारा तैयार की गई अवस्थाओं के गुणों का अनुमान लगाना होता है।
भविष्य की दिशाएँ: पेपर यह पहचान करता है कि गैर-रेखीय ऑब्जर्वेबल्स (जैसे प्योरिटी, एंट्रॉपी) के लिए इन गारंटियों को विस्तारित करना एक खुला प्रश्न बना हुआ है, क्योंकि इनके लिए सह-संबंधित नमूनों या बायस्ड एस्टिमेटर्स की आवश्यकता होती है जो शायद मार्टिंगेल न बना सकें।

निष्कर्षतः, यह पेपर स्थापित करता है कि क्लासिकल शैडो टोमोग्राफी पूर्णतः सांख्यिकीय रूप से सुदृढ़ (statistically robust) है, बशर्ते कि मापन आधार (measurement basis) विश्वसनीय हो और एस्टिमेटर उचित रूप से ट्रंकेटेड हो। यह विश्वसनीय क्वांटम कैरेक्टराइजेशन प्रोटोकॉल के दायरे को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाता है।