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Mirror codes: High-threshold quantum LDPC codes beyond the CSS regime

यह शोध पत्र "मिरर कोड्स" (mirror codes) को प्रस्तुत करता है, जो समूह मापदंडों (group parameters) से निर्मित नॉन-सीएसएस (non-CSS) क्वांटम एलडीपीसी (LDPC) कोड्स का एक बहुमुखी परिवार है, जो कि प्रमाणित दोष-सहिष्णु सिंड्रोम निष्कर्षण सर्किट (provably fault-tolerant syndrome extraction circuits) के साथ जुड़ने पर, निकट-अवधि दोष-सहिष्णु क्वांटम मेमोरी अनुप्रयोगों के लिए लगभग 0.2% के प्रतिस्पर्धी त्रुटि थ्रेशोल्ड (error thresholds) प्राप्त करते हैं।

मूल लेखक: Andrey Boris Khesin, Jonathan Z. Lu

प्रकाशित 2026-03-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andrey Boris Khesin, Jonathan Z. Lu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक नाजुक, अनमोल संदेश को एक तूफानी समुद्र के पार भेजने की कोशिश कर रहे हैं। संदेश कागज के एक टुकड़े (एक qubit) पर लिखा गया है, लेकिन लहरें (शोर/noise) लगातार उसे फाड़ने या उसके शब्दों को बदलने की कोशिश कर रही हैं। यदि आप केवल एक कागज का टुकड़ा भेजते हैं, तो वह नष्ट हो जाएगा।

इस समस्या को हल करने के लिए, आप केवल एक कागज नहीं भेजते; बल्कि आप कागजों का एक पूरा बेड़ा (fleet) एक विशिष्ट, चतुर पैटर्न में व्यवस्थित करके भेजते हैं। यह क्वांटम एरर करेक्शन (Quantum Error Correction) है। आप जानकारी को इस तरह फैला देते हैं कि यदि कुछ कागज गीले हो जाएं या फट जाएं, तो भी आप शेष कागजों को देखकर मूल संदेश को फिर से बना सकते हैं।

यह शोधपत्र इन "कागजों के बेड़े" को व्यवस्थित करने का एक नया, लचीला तरीका पेश करता है, जिसे मिरर कोड्स (Mirror Codes) कहा जाता है, और यह जांचने के लिए उपकरणों का एक नया सेट भी देता है कि क्या कागज अभी भी सुरक्षित हैं बिना उन्हें खराब किए।

यहाँ उनकी खोज का रोजमर्रा के उदाहरणों (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "सरफेस कोड" (Surface Code) बहुत बड़ा है

वर्तमान में, क्वांटम जानकारी को सुरक्षित रखने का सबसे लोकप्रिय तरीका सरफेस कोड है। इसे एक विशाल, कठोर ईंट की दीवार की तरह समझें। यह बहुत मजबूत और विश्वसनीय है, लेकिन यह बहुत बड़ी है। थोड़ी सी भी जानकारी संग्रहीत करने के लिए, आपको सैकड़ों ईंटों (भौतिक क्वबिट्स) की आवश्यकता होती है।

समस्या: हम वर्तमान में छोटे जहाज (निकट-अवधि के क्वांटम कंप्यूटर) बना रहे हैं जिनमें एक विशाल ईंट की दीवार के लिए जगह नहीं है। हमें एक ऐसी सुरक्षा पद्धति की आवश्यकता है जो मजबूत हो लेकिन कम जगह में फिट हो सके।

2. समाधान: मिरर कोड्स (नृत्य करने वाले साथी)

लेखकों ने एक नए प्रकार का कोड बनाया है जिसे मिरर कोड्स कहा जाता है।

उदाहरण: $N$ नर्तकों (qubits) वाले एक डांस फ्लोर की कल्पना करें। पुराने "सरफेस कोड" में, नर्तक एक कठोर ग्रिड में खड़े होते हैं। मिरर कोड्स में, नर्तकों को एक गणितीय "ग्रुप" (जैसे कि गति का एक विशिष्ट पैटर्न) से प्राप्त नियमों के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है।
यह कैसे काम करता है: आप लोगों का एक समूह (एक गणितीय समूह) चुनते हैं और नर्तकों के दो विशिष्ट उपसमूह (मान लीजिए ग्रीन टीम और रेड टीम)।
- हर नर्तक एक साइन (तख्ती) पकड़े हुए है।
- नियम यह है: "यदि आप ग्रीन टीम के स्थान पर हैं, तो 'Z' साइन पकड़ें। यदि आप रेड टीम के स्थान पर हैं, तो 'X' साइन पकड़ें।"
- क्योंकि टीमों को सावधानीपूर्वक चुना गया है, साइन पूरे फर्श पर एक-दूसरे को पूरी तरह से "मिरर" (दर्पण की तरह प्रतिबिंबित) करते हैं। यदि कोई एक नर्तक गलती करता है, तो साइन का पैटर्न ठीक से बताता है कि किसने गलती की है, जिससे उसे ठीक किया जा सकता है।
ट्विस्ट: पिछले तरीकों के विपरीत, जिनमें "ग्रीन टीम" और "रेड टीम" का पूरी तरह से अलग होना आवश्यक था (जैसे छात्रों की दो अलग कक्षाएं), मिरर कोड्स उन्हें आपस में मिलने की अनुमति देते हैं। यह लचीलापन हमें कम नर्तकों में अधिक जानकारी भरने की अनुमति देता है।

3. "CSS" नियम को तोड़ना

लंबे समय तक, वैज्ञानिकों का मानना था कि इन कोड्स को काम करने के लिए एक सख्त नियम का पालन करना होगा जिसे CSS कहा जाता है (इनके आविष्कारकों के नाम पर)।

उदाहरण: CSS को एक ऐसे नियम के रूप में सोचें जो कहता है, "आप ड्राइंग के बाएं हिस्से के लिए केवल लाल क्रेयॉन का उपयोग कर सकते हैं और दाएं हिस्से के लिए नीले क्रेयनों का। उन्हें कभी न मिलाएं।"
खोज: लेखकों ने महसूस किया कि इस नियम को तोड़कर और लाल और नीले क्रेयनों को मिलने की अनुमति देकर (यानी non-CSS कोड बनाकर), वे बहुत अधिक कुशल पैटर्न बना सकते हैं। उन्होंने ऐसे कोड खोजे जो पिछले "सर्वश्रेष्ठ" कोड की तुलना में छोटे और अधिक मजबूत हैं, विशेष रूप से उन छोटे क्वांटम कंप्यूटरों के लिए जो हमारे पास अभी मौजूद हैं।

4. "सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन" (कागजों की जांच करना)

यह जानना कि पैटर्न टूट गया है, एक बात है; लेकिन इसे बिना स्थिति को और बिगाड़े जांचना दूसरी बात है। कागजों की जांच करने के लिए, आपको नर्तकों से सवाल पूछने होंगे। लेकिन सवाल पूछने से कभी-कभी नर्तकों को परेशान किया जा सकता है और नई त्रुटियां पैदा हो सकती हैं।

पुराना तरीका: आप एक सहायक (ancilla qubit) का उपयोग करके एक बार में एक प्रश्न पूछते हैं। यह तेज़ है, लेकिन यदि सहायक छींक देता है (एक त्रुटि करता है), तो वह दो नर्तकों को गिरा सकता है।
नया तरीका: लेखकों ने तीन नए "इंस्पेक्शन सर्किट" (जांच उपकरण) बनाए हैं:
1. बेयर सर्किट (Bare Circuit): तेज़, लेकिन जोखिम भरा। (जैसे केवल अपनी आंखों से कागजों को देखना)।
2. लूप सर्किट (Loop Circuit): एक "फ्लैग" (झंडा) सहायक जोड़ता है। यदि मुख्य सहायक छींकता है, तो फ्लैग एक लाल झंडा लहराता है ताकि आप जान सकें कि उस जांच को अनदेखा करना है। (जैसे चेकर को देखते हुए एक सुरक्षा गार्ड का होना)।
3. सुपरडेंस सर्किट (Superdense Circuit): यह एक-दूसरे की निगरानी के लिए जांचों को जोड़ता है।
4. हैवी-ड्यूटी सर्किट (Heavy-Duty Circuit): यह बिल्कुल सुनिश्चित करने के लिए कि कोई त्रुटि निकल न जाए, 6 सहायकों का उपयोग करता है, लेकिन यह महंगा है (अधिक संसाधनों का उपयोग करता है)।

5. परिणाम: छोटे लेकिन शक्तिशाली

लेखकों ने अपने नए मिरर कोड्स के साथ सिमुलेशन (आभासी प्रयोग) चलाए।

निष्कर्ष: उन्होंने पाया कि मिरर कोड्स उतनी ही अच्छी तरह से जानकारी की रक्षा कर सकते हैं जितनी कि विशाल सरफेस कोड, लेकिन वे इसे कम क्वबिट्स के साथ करते हैं।
थ्रेशोल्ड (सीमा): उन्होंने एक "टिपिंग पॉइंट" (लगभग 0.2% त्रुटि दर) पाया। यदि भौतिक हार्डवेयर इससे बेहतर है, तो मिरर कोड्स सफलतापूर्वक डेटा की रक्षा कर सकते हैं। यह एक बड़ी बात है क्योंकि इसका मतलब है कि हम अपने पास मौजूद छोटे मशीनों का उपयोग करके उपयोगी, एरर-करेक्टेड क्वांटम कंप्यूटरों को उम्मीद से जल्द बना सकते हैं।

सारांश

मिरर कोड्स को एक किले के निर्माण के लिए एक नए, लचीले ब्लूप्रिंट के रूप में समझें।

पुराना ब्लूप्रिंट: एक विशाल, भारी पत्थर की दीवार (सरफेस कोड)। बेहतरीन सुरक्षा, लेकिन इसे बनाने के लिए एक विशाल सेना की आवश्यकता है।
नया ब्लूप्रिंट (मिरर कोड्स): एक चतुर, आपस में जुड़े हुए चेन-लिंक फेंस (जाली वाली बाड़) की तरह। यह हल्का है, कम जगह में फिट होता है, और बुरे लोगों (त्रुटियों) को बाहर रखने में उतना ही प्रभावी है।
बोनस: उन्होंने बेहतर "सुरक्षा गार्ड" (सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन सर्किट) भी बनाए हैं जो इस बाड़ की गश्त करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि गश्त करने की क्रिया अनजाने में बुरे लोगों को अंदर न आने दे।

यह कार्य सुझाव देता है कि हमें उपयोगी, एरर-करेक्टेड क्वांटम कंप्यूटरों के शुरू होने के लिए विशाल, पूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों का इंतजार करने की आवश्यकता नहीं है। हम इन नए, कुशल "मिरर" पैटर्न का उपयोग करके छोटे उपकरणों के साथ अभी से शुरुआत कर सकते हैं।

यहाँ खेसिन और लू के शोध पत्र "Mirror codes: High-threshold quantum LDPC codes beyond the CSS regime" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग की प्राप्ति उन क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) प्रोटोकॉल पर निर्भर करती है जो फिजिकल एरर रेट से कम लॉजिकल एरर रेट को दबा सकते हैं। वर्तमान अग्रणी दृष्टिकोण महत्वपूर्ण ट्रेड-ऑफ का सामना करते हैं:

सरफेस कोड्स (Surface Codes): हालांकि ये मजबूत और ज्यामितीय रूप से स्थानीय (geometrically local) हैं, लेकिन इनमें कोडिंग दक्षता कम (भौतिक क्वबिट प्रति कुछ लॉजिकल क्वबिट्स का एनकोडिंग) होती है, जिसके लिए भारी हार्डवेयर ओवरहेड की आवश्यकता होती है।
क्वांटम LDPC कोड्स: हालिया उच्च-दक्षता वाले कोड (जैसे, बाइवेरिएट बाइसिकल कोड्स) बेहतर दर प्रदान करते हैं लेकिन वे आमतौर पर CSS रिजीम (जहाँ स्टेबलाइजर्स शुद्ध रूप से $X$ या शुद्ध रूप से $Z$ होते हैं) तक सीमित होते हैं।
हार्डवेयर बाधाएं: निकट-अवधि (near-term) के उपकरणों में सीमित क्वबिट संख्या और कनेक्टिविटी होती है। कई उच्च-प्रदर्शन वाले LDPC कोड्स के लिए गैर-स्थानीय (non-local) कनेक्टिविटी या सिंड्रोम निष्कर्षण (syndrome extraction) के लिए बड़े ओवरहेड की आवश्यकता होती है, जिससे वे छोटे पैमाने के आर्किटेक्चर (जैसे, $n \le 250$ ) के लिए अनुपयुक्त हो जाते हैं।

लेखक एक अंतराल की पहचान करते हैं: ऐसे उच्च-प्रदर्शन वाले, गैर-CSS क्वांटम LDPC कोड्स की कमी है जो निकट-अवधि के हार्डवेयर के लिए पर्याप्त लचीले हों और बिना CSS कोड की सख्त संरचनात्मक बाधाओं के उच्च थ्रेशोल्ड प्रदान कर सकें।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

A. मिरर कोड निर्माण (Mirror Code Construction)

लेखक मिरर कोड्स पेश करते हैं, जो एक परिमित समूह (finite group) $G$ और दो उपसमुच्चयों $A, B \subseteq G$ से निर्मित एक नया क्वांटम स्टेबलाइजर कोड परिवार है।

परिभाषा: ऑर्डर $n$ के एक समूह $G$ के लिए, कोड को $n$ स्टेबलाइजर्स द्वारा परिभाषित किया जाता है जिन्हें $g \in G$ द्वारा लेबल किया जाता है:
$S(g) = Z(Ag)X(Bg^{-1})$ (सिमेट्रिक संस्करण) या $S(g) = Z(Ag)X(g^{-1}B)$ (एसिमेट्रिक संस्करण)।
मुख्य विशेषता: CSS कोड के विपरीत, प्रत्येक मिरर कोड में आम तौर पर $X$ और $Z$ ऑपरेटरों का मिश्रण होता है (जहाँ वे ओवरलैप करते हैं वहाँ संभावित रूप से $Y$ ऑपरेटर बनाते हैं)। यह उन्हें CSS रिजीम से बाहर रखता है।
LDPC गुण: चेक वेट $w = |A| + |B|$ द्वारा सीमित है। $A$ और $B$ के छोटे उपसमुच्चयों को चुनकर, लेखक यह सुनिश्चित करते हैं कि कोड लो-डेंसिटी पैरिटी चेक (LDPC) हों।
सामान्यीकरण: यह निर्माण टू-ब्लॉक ग्रुप अलजेब्रा (2BGA) कोड का सामान्यीकरण करता है और सभी बाइवेरिएट बाइसिकल (BB) कोड्स को एक उपसमुच्चय के रूप में शामिल करता है (जब $G$ अबेलियन हो और विशिष्ट शर्तें पूरी होती हों)। हालाँकि, मिरर कोड्स अबेलियन समूहों या CSS संरचनाओं तक सीमित नहीं हैं।

B. फॉल्ट-टोरेंट सिंड्रोम निष्कर्षण (Fault-Tolerant Syndrome Extraction)

यह पहचानते हुए कि सिंड्रोम निष्कर्षण सर्किट त्रुटियों का एक प्रमुख स्रोत हैं, लेखक एक पदानुक्रमित (hierarchy) सर्किट डिजाइन करते हैं जो प्रमाणित फॉल्ट टॉलरेंस के लिए ओवरहेड का व्यापार करते हैं:

बेयर सर्किट (Bare Circuit): प्रति चेक 1 एंसिला। कोई फॉल्ट टॉलरेंस गारंटी नहीं।
लूप सर्किट (Loop Circuit): प्रति चेक 2 एंसिला। आंशिक रूप से फॉल्ट-टोलरेंट।
CSS-FT6: प्रति चेक 3 एंसिला। वेट-6 CSS कोड्स के लिए प्रमाणित फॉल्ट-टोलरेंट।
FT6 (General): प्रति चेक 6 एंसिला (4 में कम किया जा सकता है)। सभी वेट-6 स्टेबलाइजर कोड्स (गैर-CSS मिरर कोड्स सहित) के लिए प्रमाणित फॉल्ट-टोलरेंट।
सुपरडेंस (Superdense): प्रति चेक 1 एंसिला (स्टेबलाइजर्स की पेयरिंग)। ह्यूरिस्टिक फॉल्ट टॉलरेंस।

C. कोड खोज और बेंचमार्किंग (Code Search and Benchmarking)

खोज रणनीति: लेखकों ने $n \le 300$ (के लिए $|A|=|B|=3$ ) और गैर-अबेलियन समूहों के लिए $n \le 150$ तक अबेलियन और गैर-अबेलियन मिरर कोड्स के लिए एक (लगभग) व्यापक खोज की। उन्होंने कैनोनिकल रूपों को पहचानने और खोज स्थान को कम करने के लिए गेज सिमेट्री (permutations और local Cliffords) का उपयोग किया।
सिमुलेशन: उन्होंने एक सामान्य-उद्देश्य वाले क्वांटम स्टेबलाइजर डिकोडर का उपयोग करके SI1000 सर्किट-लेवल नॉइज़ मॉडल के तहत एंड-टू-एंड संख्यात्मक सिमुलेशन आयोजित किए।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नया कोड परिवार: मिरर कोड्स का परिचय, एक लचीला निर्माण जो CSS बाधा को तोड़ता है जबकि LDPC गुणों को बनाए रखता है। इसमें सभी 2BGA कोड्स (विशिष्ट शर्तों के तहत) शामिल हैं लेकिन वे उनसे आगे बढ़ते हैं।
उच्च-प्रदर्शन गैर-CSS कोड्स: कई उच्च-दर, उच्च-दूरी वाले कोड्स की खोज जो गैर-CSS हैं। उल्लेखनीय उदाहरण हैं:
- $[[60, 4, 10]]$ (चेक वेट 6)
- $[[36, 6, 6]]$ (चेक वेट 6)
- $[[48, 8, 6]]$ (चेक वेट 6)
- $[[85, 8, 9]]$ (चेक वेट 6)
- कई वेट-7 कोड्स जिनमें $kd > n$ है।
फॉल्ट-टोलरेंट सर्किट: फॉल्ट-टोलरेंट सर्किट का एक सेट विकसित किया गया है, विशेष रूप से FT6 सर्किट, जो सामान्य वेट-6 स्टेबलाइजर कोड्स (एक ऐसा वर्ग जिसे CSS धारणाओं के बिना संभालना कठिन था) के लिए प्रमाणित फॉल्ट टॉलरेंस प्रदान करता है।
सैद्धांतिक लक्षण वर्णन (Theoretical Characterization):
- ग्रुप अलजेब्रा और कर्नेल फंक्शन का उपयोग करके मिरर कोड्स के सुव्यवस्थित (well-defined) होने (कम्यूटिंग स्टेबलाइजर्स) के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ प्रदान कीं।
- कैनोनिकल रूपों को परिभाषित करने और खोज अतिरेक (redundancy) को कम करने के लिए गेज सिमेट्री (परम्यूटेशन और लोकल क्लिफोर्ड्स) को वर्गीकृत किया।
- उन स्थितियों का विवरण दिया जिनके तहत मिरर कोड्स "समतुल्य CSS" (हैडमार्ड्स के माध्यम से CSS में परिवर्तन योग्य) होते हैं, जो कॉसेट कंस्ट्रेंट ग्राफ पर बाइपार्टिटनेस का उपयोग करते हैं।

4. परिणाम (Results)

थ्रेशोल्ड प्रदर्शन: SI1000 सर्किट-लेवल नॉइज़ मॉडल के तहत, खोजे गए मिरर कोड्स ने लगभग 0.2% का स्यूडोथ्रेशोल्ड (pseudothreshold) प्राप्त किया। यह प्रदर्शन उसी मॉडल के तहत अत्याधुनिक $[[144, 12, 12]]$ बाइवेरिएट बाइसिकल कोड के समान है।
ट्रेड-ऑफ विश्लेषण:
- ओवरहेड बनाम थ्रेशोल्ड: अधिक फॉल्ट-टोलरेंट सर्किट (जैसे, FT6) अधिक एंसिला पेश करते हैं, जिससे त्रुटियों के लिए स्थान बढ़ जाता है और स्यूडोथ्रेशोल्ड थोड़ा कम हो जाता है। हालाँकि, एक बार जब भौतिक एरर रेट इस थ्रेशोल्ड से नीचे गिर जाता है, तो लॉजिकल एरर रेट कम फॉल्ट-टोलरेंट सर्किट की तुलना में बहुत तेजी से गिरता है।
- स्केलेबिलिटी: मिरर कोड्स को विभिन्न क्वबिट काउंट वाले उपकरणों के लिए बहुमुखी दिखाया गया है। छोटे कोड्स (जैसे, $n < 100$ ) का उपयोग निकट-अवधि के उपकरणों पर किया जा सकता है, जबकि हार्डवेयर के बढ़ने के साथ बड़े कोड्स को तैनात किया जा सकता है।
अबेलियन बनाम गैर-अबेलियन: व्यापक खोज से पता चला कि खोजे गए मापदंडों के लिए, अबेलियन मिरर कोड्स ने दर और दूरी के मामले में गैर-अबेलियन की तुलना में लगातार बेहतर प्रदर्शन किया। लेखक अनुमान लगाते हैं कि इष्टतम मिरर कोड्स के लिए अबेलियन समूह पर्याप्त हैं।
CSS बनाम गैर-CSS: परिणाम इस अंतर्ज्ञान को चुनौती देते हैं कि छोटे पैमाने पर CSS कोड हमेशा बेहतर होते हैं। इस कार्य में पाए गए गैर-CSS मिरर कोड्स ने समान आकार के ज्ञात CSS समकक्षों के प्रतिस्पर्धी या बेहतर प्रदर्शन प्रदर्शित किया।

5. महत्व (Significance)

निकट-अवधि व्यवहार्यता (Near-Term Viability): मिरर कोड्स निकट-अवधि फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम मेमोरी के लिए एक आशाजनक मार्ग प्रदान करते हैं, विशेष रूप से उन आर्किटेक्चर के लिए जहाँ क्वबिट संख्या सीमित है ( $n \le 250$ ), जहाँ $[[144, 12, 12]]$ BB कोड बहुत बड़ा है या सरफेस कोड बहुत अक्षम है।
CSS बाधा को तोड़ना: यह कार्य प्रदर्शित करता है कि CSS रिजीम से बाहर भी उच्च-थ्रेशोल्ड, उच्च-दक्षता वाला QEC प्राप्त किया जा सकता है। यह क्वांटम कोड्स के डिज़ाइन स्पेस का विस्तार करता है, जिससे प्रदर्शन से समझौता किए बिना गैर-स्थानीय कनेक्टिविटी (न्यूट्रल एटम्स और ट्रैप्ड आयन के लिए उपयुक्त) का उपयोग करना संभव हो जाता है।
हार्डवेयर तटस्थता (Hardware Agnosticism): प्रस्तावित सिंड्रोम निष्कर्षण सर्किट सामान्य-उद्देश्य के हैं और वे विशिष्ट कोड समरूपताओं (symmetries) पर निर्भर नहीं करते हैं, जिससे वे केवल मिरर कोड्स ही नहीं बल्कि कई प्रकार के क्वांटम LDPC कोड्स के लिए भी लागू होते हैं।
भविष्य की दिशाएँ: यह शोध पत्र कोड ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से लॉजिकल ऑपरेशंस के अध्ययन और थ्रेशोल्ड को और बेहतर बनाने के लिए शेड्यूलिंग एल्गोरिदम को अनुकूलित करने के नए मार्ग खोलता है।

संक्षेप में, यह कार्य एक मजबूत सैद्धांतिक ढांचा और व्यावहारिक कोड परिवार प्रदान करता है जो छोटे पैमाने के प्रयोगात्मक उपकरणों और बड़े पैमाने के फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग के बीच के अंतर को पाटता है, और यह सिद्ध करता है कि गैर-CSS LDPC कोड अत्याधुनिक प्रदर्शन प्राप्त कर सकते हैं।