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Green functions of the Regge-Wheeler and Teukolsky equations in Schwarzschild spacetime

यह शोधपत्र गोलाकार जियोडेसिक और स्थिर विश्वरेखाओं (worldlines) के अनुदिश श्वासच्युत (Schwarzschild) स्पेसटाइम में गुरुत्वाकर्षण विक्षोभों के लिए पूर्ण रिटार्डेड ग्रीन फंक्शन्स (retarded Green functions) की एक व्यापक गणना प्रस्तुत करता है, जो कॉस्टिक्स (caustics) से दूर एक विशिष्ट 4-गुना विलक्षणता संरचना (4-fold singularity structure) को प्रकट करता है और विलक्षणताओं के निकट अद्वितीय भौतिक दोलनों को दर्शाता है जो गुरुत्वाकर्षण मामले को स्केलर क्षेत्र विक्षोभों से अलग करते हैं।

मूल लेखक: David Q. Aruquipa, Marc Casals

प्रकाशित 2026-03-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: David Q. Aruquipa, Marc Casals

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, अदृश्य ट्रैम्पोलिन (trampoline) है। यदि आप केंद्र में एक भारी बॉलिंग बॉल (एक ब्लैक होल) रखते हैं, तो ट्रैम्पोलिन मुड़ जाता है। अब, यदि आप एक मार्बल (एक कण) गिराते हैं या कपड़े को हिलाते हैं (एक गुरुत्वाकर्षण तरंग), तो लहरें फैल जाती हैं।

यह शोध पत्र इस बारे में है कि वे लहरें बिल्कुल कैसे व्यवहार करती हैं जब वे ब्लैक होल से टकराती हैं और वापस उछलती हैं। विशेष रूप से, लेखक "ग्रीन फंक्शन" (Green Function) का मानचित्रण कर रहे हैं।

ग्रीन फंक्शन क्या है? (द इको मैप/गूँज का मानचित्र)

ग्रीन फंक्शन को एक परफेक्ट इको मैप (गूँज के मानचित्र) के रूप में सोचें।

यदि आप किसी गुफा में ताली बजाते हैं, तो ध्वनि दीवारों से टकराकर वापस आती है। ग्रीन फंक्शन आपको ठीक-ठीक बताता है कि गूँज कब आती है, वह कितनी तेज़ है, और गुफा का आकार ध्वनि को कैसे बदलता है।
भौतिक विज्ञान में, यदि बिंदु A पर कोई हलचल होती है, तो ग्रीन फंक्शन आपको बताता है कि बिंदु B पर वास्तव में क्या होता है, और कब। यह ब्रह्मांड के लिए परम "कारण और प्रभाव" (cause and effect) कैलकुलेटर है।

लेखकों ने एक गैर-घूर्णन वाले ब्लैक होल (श्वार्ज़चाइल्ड स्पेसटाइम) के चारों ओर गुरुत्वाकर्षण तरंगों (स्पेस-टाइम की लहरों) के लिए इस मानचित्र की गणना की है। उन्होंने यह दो अलग-अलग प्रकार के गणितीय विवरणों के लिए किया: रेगे-व्हीलर (Regge-Wheeler) समीकरण और टीकवोल्स्की (Teukolsky) समीकरण।

दो परिदृश्य: एक रेस ट्रैक बनाम एक स्थिर अवस्था

अपने मानचित्र का परीक्षण करने के लिए, लेखकों ने एक पर्यवेक्षक (observer) के लिए दो अलग-अलग परिदृश्यों की कल्पना की जो लहरों को देख रहा है:

द रेस ट्रैक (वृत्ताकार कक्षा): कल्पना करें कि एक पर्यवेक्षक ब्लैक होल के चारों ओर एक परफेक्ट सर्कल में घूम रहा है, जैसे एक रेस ट्रैक पर कार।
द स्टैंडिंग स्टिल (स्थिर विश्वरेखा): कल्पना करें कि एक पर्यवेक्षक एक ही स्थान पर खड़ा है, ब्लैक होल के खिंचाव के विरुद्ध अपनी स्थिति बनाए रखने के लिए (जैसे कि एक रॉकेट अपने इंजन चलाकर स्थिर रहने की कोशिश करता है)।

"लाइट क्रॉसिंग्स" और सिंगुलैरिटी (Singularity)

यहाँ दिलचस्प बात है। प्रकाश (और गुरुत्वाकर्षण) एक सीमित गति से यात्रा करता है। कभी-कभी, एक लहर ब्लैक होल के चारों ओर घूम सकती है, वापस लौट सकती है, और पर्यवेक्षक से पीछे से टकरा सकती है। इसे "लाइट क्रॉसिंग" कहा जाता है।

शोधकर्ताओं ने पाया कि हर बार जब एक लहर ब्लैक होल के चारोंв घूमकर पर्यवेक्षक से टकराती है, तो ग्रीन फंक्शन अनियंत्रित हो जाता है—यह एक सिंगुलैरिटी (एक गणितीय स्पाइक) बनाता है।

4-फोल्ड चक्र (द रेस ट्रैक): जब पर्यवेक्षक रेस ट्रैक पर चल रहा होता है, तो ये स्पाइक्स चार विशिष्ट आकृतियों के एक विशेष, दोहराते हुए पैटर्न में होते हैं। यह एक ड्रम की थाप की तरह है: धप, कड़क, धप, कड़क—लेकिन गणितीय तरंगों के साथ।
2-फोल्ड चक्र (स्टैंडिंग स्टिल): जब पर्यवेक्षक स्थिर खड़ा होता है, तो स्पाइक्स सरल होते हैं, जो दो-चरणीय पैटर्न में होते हैं।

नई खोज: "फिजिकल ऑसिलेशन्स" (भौतिक दोलन)

सरल क्षेत्रों (जैसे प्रकाश या स्केलर फील्ड्स) के पिछले अध्ययनों में, ये स्पाइक्स केवल तीखे, साफ गणितीय बिंदु थे।

लेकिन गुरुत्वाकर्षण के लिए, लेखकों ने कुछ नया पाया:
इन स्पाइक्स के पास, भौतिक दोलन (physical oscillations) होते हैं। कल्पना कीजिए कि एक घंटी केवल एक बार नहीं बजती; यह मुख्य रिंग के ठीक पहले और ठीक बाद में एक जटिल, लहराती हुई आवाज़ के साथ कंपन करती है।

उपमा: यदि स्केलर फील्ड (प्रकाश) एक साफ "पिंग" है, तो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक "पिंग" के बाद एक जटिल, कंपन करती हुई गूँज (hum) है। यह "गूँज" गुरुत्वाकर्षण की एक वास्तविक भौतिक विशेषता है जिसे इन गणनाओं में पहले नहीं देखा गया था।

उन्होंने यह कैसे किया (टूलकिट)

इसकी गणना करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है क्योंकि इसमें अनंत योग (infinite sums) और खतरनाक अनंतताएं शामिल हैं। लेखकों ने एक "हाइब्रिड" दृष्टिकोण का उपयोग किया:

"नियर" ज़ोन (निकट क्षेत्र): बिंदुओं के बहुत करीब के लिए, उन्होंने उत्तर का अनुमान लगाने के लिए एक गणितीय विस्तार (जैसे टेलर सीरीज़) का उपयोग किया।
"फ़ार" ज़ोन (दूर क्षेत्र): बिंदुओं के दूर होने के लिए, उन्होंने समय और आवृत्ति में तरंगों को विकसित करने के लिए कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग किया।
"मैचिंग" (मिलान): उन्होंने एक पूर्ण चित्र प्राप्त करने के लिए इन दोनों विधियों को आपस में जोड़ा।

उन्होंने स्पेक्ट्रोस्कोपी (spectroscopy) नामक तकनीक का भी उपयोग किया। जिस तरह एक प्रिज्म सफेद प्रकाश को इंद्रधनुष के रंगों में विभाजित करता है, उन्होंने गुरुत्वाकर्षण तरंगों को उनके "नोट्स" (आवृत्तियों) में विभाजित किया। उन्होंने पाया कि ब्लैक होल की "रिंगिंग" (जिसे क्वैसिनॉर्मल मोड्स कहा जाता है) और लहर की "पूंछ" (लंबी, फीकी पड़ती गूँज) ही अंतिम पैटर्न बनाते हैं।

यह क्यों मायने रखता है?

ब्लैक होल सेल्फ-फोर्स (Self-Force): जब एक छोटी वस्तु ब्लैक होल की कक्षा में घूमती है, तो वह अपनी लहरें पैदा करती है, जो वस्तु पर वापस दबाव डालती हैं। इस "सेल्फ-फोर्स" को सटीक रूप से गणना करने के लिए (जो ब्लैक होल के विलय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है), हमें इस सटीक ग्रीन फंक्शन मानचित्र की आवश्यकता है।
गुरुत्वाकर्षण तरंगें: जैसे-जैसे हम LIGO और Virgo के साथ ब्लैक होल के टकरावों का पता लगा रहे हैं, हमें ब्लैक होल की "रिंगडाउन" (अंतिम गूँज) को पूरी तरह से समझने की आवश्यकता है। यह पेपर बताता है कि वे लहरें कैसे व्यवहार करती हैं, इसका विस्तृत ब्लूप्रिंट प्रदान करता है।
क्वांटम संचार: शोध पत्र में उल्लेख है कि यह गणित वक्रित अंतरिक्ष (curved space) में डिटेक्टरों के बीच क्वांटम सूचना कैसे यात्रा करती है, इसे समझने के लिए भी उपयोगी है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र एक विस्तृत टोपोग्राफिक मानचित्र (topographic map) बनाने जैसा है—एक गुरुत्वाकर्षण गूँज कक्ष का। यह हमें दिखाता है कि गुरुत्वाकर्षण केवल उछलता नहीं है; यह प्रभाव के क्षणों के पास एक जटिल, भौतिक "गूँज" के साथ कंपन करता है, और यह एक अनुमानित, लयबद्ध पैटर्न में होता है, चाहे आप चल रहे हों या स्थिर खड़े हों। यह ब्लैक होल कैसे "गाते" हैं, इसे समझने की दिशा में एक बड़ा कदम है।

यहाँ डेविड क्यू. अरुइक्विपा और मार्क कैसल्स के शोध पत्र "Schwarzschild स्पेसटाइम में Regge-Wheeler और Teukolsky समीकरणों के Green functions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र श्वारज़चाइल्ड ब्लैक होल बैकग्राउंड में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के विक्षोभों (gravitational field perturbations) के लिए पूर्ण रिटार्डेड ग्रीन फंक्शन्स (GFs) की गणना को संबोधित करता है। जबकि स्केलर फील्ड विक्षोभों के लिए GF का व्यापक अध्ययन किया जा चुका है, गुरुत्वाकर्षण विक्षोभों के लिए गणना काफी दुर्लभ और तकनीकी रूप से चुनौतीपूर्ण बनी हुई है।

संदर्भ: गुरुत्वाकर्षण विक्षोभ युग्मित मीट्रिक समीकरणों (coupled metric equations) द्वारा नियंत्रित होते हैं। हालाँकि, विशिष्ट गेज-इनवेरिएंट मात्राएँ—जैसे Regge-Wheeler (RW) चर (विषम समरूपता/odd parity) और Bardeen-Press-Teukolsky (BPT) चर (Weyl scalars, सम/विषम समरूपता)—पृथक (decoupled), विभाज्य तरंग समीकरणों का पालन करती हैं।
अंतराल (Gap): इस कार्य से पूर्व, इन समीकरणों के लिए पूर्ण GF (सभी $\ell$ मल्टीपोल मोड $\ell$ के योग के रूप में) की गणना नहीं की गई थी। पिछले अध्ययन विशिष्ट मोड (जैसे $\ell=2$ ) या विशिष्ट क्षेत्रों तक ही सीमित थे।
उद्देश्य: RW ( $s=2$ $s = 2$ ) और BPT ( $s=-2$ $s = - 2$ ) दोनों समीकरणों के लिए पूर्ण रिटार्डेड GFs की गणना करना और उनकी वैश्विक विलक्षण संरचनाओं (global singularity structures) का विश्लेषण करना। लेखक दो विशिष्ट वर्ल्डलाइन सेटिंग्स पर ध्यान केंद्रित करते हैं:
1. एक टाइमलाइक सर्कुलर जियोडेसिक (जहाँ नुल-सेपरेटेड बिंदु कॉस्टिक्स (caustics) पर स्थित नहीं होते हैं)।
2. एक स्टैटिक वर्ल्डलाइन (जहाँ नुल-सेपरेटेड बिंदु कॉस्टिक्स पर स्थित होते हैं)।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक समय और आवृत्ति (frequency) दोनों डोमेन में विश्लेषणात्मक विस्तार (analytical expansions) और संख्यात्मक विकास (numerical evolution) को संयोजित करने वाला एक हाइब्रिड दृष्टिकोण अपनाते हैं। वे मैच्ड एक्सपेंशन विधि (Method of Matched Expansions) का उपयोग करते हैं, जो स्पेसटाइम को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है:

A. क्वासी-लोकल (QL) क्षेत्र (निकट संयोग/Near Coincidence)

हैडामार्ड रूप (Hadamard Form): GF को $G = U\delta_+(\sigma) - V_s\theta_+(-\sigma)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $U$ डायरेक्ट टर्म है और $V_s$ टेल टर्म है।
डायरेक्ट टर्म ( $U$ ): इसे ट्रांसपोर्ट समीकरणों या कोऑर्डिनेट विस्तारों का उपयोग करके van Vleck डिटरमिनेंट के माध्यम से निकाला जाता है।
टेल टर्म ( $V_s$ ):
- RW के लिए: लेखक टेल गुणांक $V_s$ के लिए ट्रांसपोर्ट समीकरणों को व्युत्पन्न करते हैं और एक सामान्यीकृत हैडामार्ड-WKB विधि का उपयोग करके 26वें क्रम तक अपने विस्तार गुणांकों ( $v_{ijk}$ ) की गणना करते हैं। वे अभिसरण त्रिज्या (radius of convergence) से परे विस्तार की वैधता बढ़ाने के लिए एक Padé approximant का निर्माण करते हैं, जिससे पहले लाइट-क्रॉसिंग तक सटीक गणना संभव हो पाती है।
- BPT के लिए: लेखक BPT टेल $V^T_s$ के लिए ट्रांसपोर्ट समीकरण तो व्युत्पन्न करते हैं, लेकिन वे नोट करते हैं कि BPT ऑपरेटर के प्रथम-क्रम डेरिवेटिव्स में गोलाकार समरूपता (spherical symmetry) के अभाव के कारण गुणांकों की व्यावहारिक गणना वर्तमान में अव्यवहार्य (intractable) है। परिणामस्वरूप, BPT के लिए QL गणना नहीं की गई है; केवल समीकरण प्रस्तुत किए गए हैं।

B. डिस्टेंट पास्ट (DP) क्षेत्र (संयोग से दूर/Far from Coincidence)

मल्टीपोलल डीकंपोजिशन: GF को $\ell$ -मोड्स में विभाजित किया जाता है।
टाइम-डोमेन (RW): लेखक एक नुल ग्रिड पर परिमित-अंतर (finite-difference) योजना का उपयोग करके होमोजेनियस रेडियल समीकरण के कैरेक्टेरिस्टिक इनिशियल वैल्यू प्रॉब्लम (CID) को हल करते हैं। यह विधि देर से होने वाले समय (late times) के लिए मजबूत है।
फ्रीक्वेंसी-डोमेन (RW और BPT):
- RW: Fourier मोड की गणना Jaffé series (इनगोइंग वेव्स के लिए) और संख्यात्मक एकीकरण (आउटगोइंग वेव्स के लिए) के माध्यम से प्राप्त होमोजेनियस समाधानों ( $X^{in/up}$ ) का उपयोग करके की जाती है। पूर्ण GF को इनवर्स फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से पुनर्गठित किया जाता है।
- BPT: लेखक BPT समाधानों को RW समाधानों में मैप करने के लिए Chandrasekhar रूपांतरण का उपयोग करते हैं। यह उन्हें सीधे BPT एकीकरण की संख्यात्मक अस्थिरता से बचते हुए, अत्यधिक सटीक RW समाधानों का उपयोग करके BPT Fourier मोड की गणना करने की अनुमति देता है।
सुमेशन और स्मूथिंग (Summation and Smoothing): अनंत $\ell$ -सम को एक परिमित $\ell_{max}$ पर ट्रंकेट (truncate) किया जाता है। ट्रंकेशन के कारण होने वाले स्प्यूरियस ऑसिलेशन को दबाने के लिए, एक गॉसियन स्मूथिंग फैक्टर लागू किया जाता है।
नॉन-डायरेक्ट भाग: संयोग के निकट सटीकता में सुधार के लिए, लेखक पूर्ण मोड में से डायरेक्ट टर्म के $\ell$ -मोड्स ( $G^{dir}_\ell$ ) को घटाकर $\ell$ -मोड्स को जोड़ते हैं। यह ट्रंकेटेड समों में निहित डिरैक डेल्टा सिंगुलैरिटी के "स्मियरिंग" (smearing) को हटा देता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

प्रथम पूर्ण गणना: यह श्वारज़चाइल्ड स्पेसटाइम में 4D Regge-Wheeler और Bardeen-Press-Teukolsky समीकरणों के लिए पूर्ण (सभी $\ell$ -मोड्स का योग) रिटार्डेड ग्रीन फंक्शन्स की पहली प्रस्तुति है।
सिंगुलैरिटी स्ट्रक्चर सत्यापन: यह शोध पत्र पुष्टि करता है कि गुरुत्वाकर्षण GFs, स्केलर GFs के समान ही वैश्विक विलक्षण संरचनाएं प्रदर्शित करते हैं:
- कॉस्टिक्स से दूर 4-फोल्ड चक्र (timelike circular geodesic)।
- कॉस्टिक्स पर 2-फोल्ड चक्र (static worldline)।
भौतिक दोलनों (Physical Oscillations) की खोज: एक नवीन खोज यह है कि गुरुत्वाकर्षण मामले ( $s=2$ ) में भौतिक दोलन मौजूद हैं जो स्केलर मामले ( $s=0$ ) में अनुपस्थित हैं। ये दोलन BPT मामले में RW मामले की तुलना में अधिक स्पष्ट हैं।
मेथोडोलॉजिकल प्रगति:
- RW टेल टर्म के लिए Padé approximant का विकास ताकि QL क्षेत्र का विस्तार किया जा सके।
- RW समाधानों के माध्यम से BPT Fourier मोड की गणना करने के लिए Chandrasekhar रूपांतरण का सफल अनुप्रयोग, जो सीधे MST (Mano-Suzuki-Takasugi) विधियों के विरुद्ध इस दृष्टिकोण को मान्य करता है।
- बड़े फ्रीक्वेंसी के लिए Fourier मोड के एसिम्प्टोटिक व्यवहार का विस्तृत विश्लेषण।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

सिंगुलैरिटी पैटर्न:
- सर्कुलर जियोडेसिक: GF लाइट-क्रॉसिंग्स पर इस अनुक्रम का पालन करते हुए विचलित होता है: $PV(1/\sigma) \to -\delta(\sigma) \to -PV(1/\sigma) \to \delta(\sigma)$ ।
- स्टैटिक वर्ल्डलाइन: GF कॉस्टिक्स पर एक 2-फोल्ड चक्र का पालन करता है जिसमें बढ़ी हुई शक्ति (असममित विलक्षणता $\sigma^{-3/2}$ शामिल है) होती है।
दोलन संबंधी विशेषताएं (Oscillatory Features):
- विलक्षणताओं (light-crossings) के बीच, स्पिन-2 RW और BPT GFs विशिष्ट दोलनीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं।
- सर्कुलर सेटिंग में, पहली विलक्षणता (जो $PV(1/\sigma)$ के करीब है) से पहले, एक स्पष्ट अधिकतम (maximum) के बाद एक न्यूनतम (minimum) दिखाई देता है। दूसरी विललिटी (जो $-\delta(\sigma)$ के करीब है) से पहले, एक न्यूनतम के बाद एक तीव्र अधिकतम दिखाई देता है।
- ये विशेषताएं स्मूथिंग पैरामीटर्स को बदलकर और $\ell$ -मोड रेजोनेंस का विश्लेषण करके (परिशिष्ट C) पुष्टि की गई हैं कि वे भौतिक हैं (संख्यात्मक आर्टिफैक्ट नहीं)।
विधियों की तुलना:
- RW मोड के लिए टाइम-डोमेन (CID) और फ्रीक्वेंसी-डोमेन (Fourier) विधियाँ शुरुआती समय के लिए उच्च सटीकता (8-10 महत्वपूर्ण अंक) के साथ सहमत होती हैं, जहाँ फूरियर विधि देर से होने वाले समय (late times) में सटीकता बनाए रखती है जहाँ CID त्रुटि जमा करता है।
- BPT मोड के लिए Chandrasekhar रूपांतरण विधि, सीधे MST गणनाओं के साथ $M\omega \approx 7$ तक सहमत होती है, जिसके बाद MST विधि कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी और कम सटीक हो जाती है।
लेट-टाइम व्यवहार: BPT मोड $\Delta t^{-(2\ell+3)}$ (विशेष रूप से $\ell=2$ के लिए $\Delta t^{-7}$ ) के पावर-लॉ क्षय (power-law decay) को प्रदर्शित करते हैं, जो फ्रीक्वेंसी डोमेन में ब्रांच कट योगदान के अनुरूप है।

5. महत्व (Significance)

सेल्फ-फोर्स गणना (Self-Force Calculations): GF, ब्लैक होल स्पेसटाइम में चलते हुए कण पर गुरुत्वाकर्षण सेल्फ-फोर्स (MiSaTaQuWa समीकरण के माध्यम से) की गणना के लिए मौलिक बिल्डिंग ब्लॉक है। यह कार्य सर्कुलर ऑर्बिट और स्टैटिक पोजीशन पर कणों के लिए सेल्फ-फोर्स की गणना हेतु आवश्यक उपकरण प्रदान करता है, जो ग्रेविटेशनल वेव एस्ट्रोनॉमी के लिए EMRIs के मॉडलिंग हेतु अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
ब्लैक होल स्पेक्ट्रोस्कोपी: परिणाम ग्रेविटेशनल वेव्स के रिंगडाउन चरण को समझने में सहायता करते हैं, विशेष रूप से प्रॉम्प्ट रिस्पॉन्स (डायरेक्ट टर्म) से क्वैसिनॉर्मल मोड (QNM) रिंगडाउन और लेट-टाइम टेल के बीच संक्रमण के संबंध में।
क्वांटम सूचना: GF, वक्रित स्पेसटाइम (curved spacetime) में पार्टिकल डिटेक्टर्स के बीच अग्रणी-क्रम कपलिंग को निर्धारित करता है, जो क्वांटम कम्युनिकेशन और एंटैंगलमेंट हार्वेस्टिंग के अध्ययन के लिए प्रासंगिक है।
सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: गुरुत्वाकर्षण GF में भौतिक दोलनों की खोज, जो स्केलर मामले से भिन्न है, स्पिन-2 फील्ड प्रसार की अनूठी प्रकृति और बैकग्राउंड कर्वेचर के साथ स्पिन के अंतर्संबंध को उजागर करती है।

सीमाएँ और भविष्य का कार्य:
लेखक नोट करते हैं कि BPT GF की गणना 'क्वासी-लोकल' क्षेत्र (निकट संयोग) में, BPT हैडामार्ड टेल गुणांकों की जटिलता के कारण एक खुला प्रश्न बना हुआ है। BPT के लिए DP गणना के साथ मिलान करने हेतु इन गुणांकों को व्युत्पन्न करने के लिए भविष्य के कार्य की आवश्यकता है। इसके अतिरिक्त, गुरुत्वाकर्षण सेल्फ-फोर्स गणनाओं (मीट्रिक रिकन्स्ट्रक्शन) के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के लिए इन GFs के रेगुलाइजेशन को भविष्य के अध्ययन के लिए छोड़ दिया गया है।