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Experimental Realization of the Markov Chain Monte Carlo Algorithm on a Quantum Computer

यह शोध पत्र क्वांटिनियम (Quantinuum) के H2 और हेलियोस (Helios) क्वांटम कंप्यूटरों पर एक क्वांटम मार्कोव चेन मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के सफल प्रयोगात्मक कार्यान्वयन को प्रदर्शित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि भौतिक क्विबिट्स पर सीधे संचालन करके वर्तमान शोर वाले मध्यवर्ती पैमाने के क्वांटम (NISQ) हार्डवेयर पर सटीक परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।

मूल लेखक: Baptiste Claudon, Sergi Ramos-Calderer, Jean-Philip Piquemal

प्रकाशित 2026-03-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Baptiste Claudon, Sergi Ramos-Calderer, Jean-Philip Piquemal

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, भीड़ भरे स्टेडियम में हर किसी की औसत ऊंचाई का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप हर किसी से पूछ नहीं सकते, इसलिए आपको एक नमूना (sample) लेना होगा।

पुराना तरीका (क्लासिकल कंप्यूटर):
परंपरागत रूप से, कंप्यूटर इसे करने के लिए एक "रैंडम वॉकर" (यात्री) भेजते हैं। कल्पना कीजिए कि एक व्यक्ति स्टेडियम में घूम रहा है, और बाएं या दाएं जाने का निर्णय लेने के लिए एक सिक्का उछाल रहा है। वे तब तक चलते रहते हैं जब तक कि उन्होंने भीड़ की औसत ऊंचाई का अच्छा अंदाजा लगाने के लिए पर्याप्त सीटों का दौरा न कर लिया हो। इसे मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) कहा जाता है। यह काम करता है, लेकिन यह धीमा है। यात्री एक कोने में फंस सकता है या पूरे स्टेडियम को देखने से पहले काफी समय तक चक्कर काट सकता है।

नया तरीका (क्वांटम कंप्यूटर):
क्वांटम कंप्यूटरों के पास एक जादुई सुपरपावर है: सुपरपोजिशन (Superposition)। केवल एक यात्री भेजने के बजाय, एक क्वांटम कंप्यूटर यात्रियों का एक "भूतिया बादल" (ghostly cloud) भेज सकता है जो एक साथ स्टेडियम के हर रास्ते की खोज करता है। यह उन्हें बहुत तेज़ी से उत्तर खोजने की अनुमति देता—विशेष रूप से, वे इसे "क्वाड्रेटिक स्पीडअप" (quadratic speedup) के साथ कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि यदि क्लासिकल तरीके में 100 कदम लगते हैं, तो क्वांटम तरीके में उन्हें केवल 10 कदमों की आवश्यकता हो सकती है।

इन वैज्ञानिकों ने क्या किया?

यह पेपर इस बारे में है कि यह परीक्षण करना कि क्या यह जादुई सुपरपावर वास्तव में वास्तविक, वर्तमान-दिवसीय क्वांटम कंप्यूटरों पर काम करती है।

शोधकर्ताओं (Qubit Pharmaceuticals और सिंगापुर के वैज्ञानिकों) ने Quantinuum नामक कंपनी के दो विशिष्ट क्वांटम कंप्यूटरों (H2 और Helios मशीनों) पर इन "क्वांटम रैंडम वॉकर" को चलाने का प्रयास किया। ये मशीनें जिन्हें वैज्ञानिक NISQ डिवाइस (Noisy Intermediate-Scale Quantum) कहते हैं, के रूप में जानी जाती हैं।

NISQ डिवाइस को एक बिल्कुल नए, उच्च-प्रदर्शन वाली रेस कार की तरह समझें जिसमें अभी भी कुछ ढीले बोल्ट हैं और एक थोड़ा धुंधला विंडशील्ड है। वे शक्तिशाली हैं, लेकिन वे गलतियाँ (शोर/noise) आसानी से करते हैं। इस प्रयोग का लक्ष्य यह देखना था कि क्या हम इंजन के गर्म होने से पहले इस कार को जीतने के लिए पर्याप्त तेज़ी से चला सकते हैं।

तीन प्रयोग ("एनकोडिंग्स")

क्वांटम कंप्यूटर को "रैंडम वॉकर" समझने के लिए, वैज्ञानिकों को गणित को उस भाषा में अनुवादित करना था जिसे मशीन बोलती है। उन्होंने तीन अलग-अलग अनुवाद विधियों (जिन्हें "एनकोडिंग्स" कहा जाता है) का परीक्षण किया:

"मिक्स-एंड-मैच" विधि (Linear Combination of Unitaries):
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक रेसिपी है जो कहती है, "75% इस सामग्री को 25% उस सामग्री के साथ मिलाएं।" क्वांटम कंप्यूटर के पास "मिक्स" बटन नहीं है, इसलिए वैज्ञानिकों ने एक विशेष मशीन बनाई जो यह तय करने के लिए सिक्का उछालती है कि किस सामग्री का उपयोग करना है, और फिर परिणामों को जोड़ती है।
- परिणाम: यह काम कर गया! उन्होंने सफलतापूर्वक "स्टेशनरी स्टेट" (भीड़ का आदर्श औसत वितरण) बनाया और इसका उपयोग औसत मान की गणना करने के लिए किया।
"मिरर मेज़" विधि (Szegedy's Walk):
- उपमा: यह एक दर्पण भूलभुलैया (mirror maze) सेट करने जैसा है जहाँ हर रास्ता पूरी तरह से परावर्तित होता है। वैज्ञानिक ने गेट्स का एक विशिष्ट सेट डिज़ाइन किया ताकि यदि आप इसके माध्यम से चलते हैं, तो आप स्वाभाविक रूप से सही जगह पर पहुँच जाएँ बिना रास्ता भटके।
- परिणाम: यह भी पूरी तरह से काम कर गया। कंप्यूटर ठीक 50% बार सही स्थान पर पहुँचा, जैसा कि गणित ने भविष्यवाणी की थी।
"ड्यूल स्पेस" विधि (Controlled-SWAP):
- उपमा: यह सबसे जटिल वाला है। केवल यात्री को ट्रैक करने के बजाय, वे यात्री और यात्री के एक "साया" (shadow) संस्करण को एक साथ ट्रैक करते हैं। यह एक डांस पार्टनर की तरह है जो यह सुनिश्चित करने के लिए आपके हर कदम की नकल करता है कि आप लड़खड़ाएं नहीं। यह विधि जटिल समस्याओं के लिए बहुत कुशल होने के लिए डिज़ाइन की गई है।
- परिणाम: उन्होंने परीक्षण किया कि क्या "साया" यात्री के साथ तालमेल बनाए रखता है। यह ज्यादातर तालमेल में रहा, हालांकि मशीन के शोर (noise) के कारण कुछ गलतियाँ हुईं।

बड़ी सीख

इस पेपर का सबसे रोमांचक हिस्सा इसका निष्कर्ष है:

भले ही ये क्वांटम कंप्यूटर "शोर वाले" (गलतियाँ करने वाले) हैं, वैज्ञानिक सैकड़ों चरणों (गेट्स) वाले जटिल एल्गोरिदम चलाने में सफल रहे और फिर भी अधिकांश समय सही उत्तर प्राप्त किया।

"ढीले बोल्ट" की समस्या: अतीत में, लोग सोचते थे कि जब तक हम पूर्ण, त्रुटि-मुक्त मशीनें नहीं बना लेते (जिसमें दशकों लग सकते हैं), तब तक क्वांटम कंप्यूटर कुछ भी उपयोगी करने के लिए बहुत नाजुक हैं।
"काफी अच्छा" वास्तविकता: यह पेपर साबित करता है कि हमें पूर्णता का इंतजार करने की आवश्यकता नहीं है। इन अपूर्ण मशीनों के साथ भी, हम रसायन विज्ञान, भौतिकी और वित्त के लिए उपयोगी सिमुलेशन चला सकते हैं।

निचोड़ (Bottom Line)

इस पेपर को एक प्रोटोटाइप सेल्फ-ड्राइविंग कार के टेस्ट ड्राइव के रूप में समझें। कार अभी भी परफेक्ट नहीं है; यह थोड़ा डगमगाती है और बारिश में भ्रमित हो जाती है। लेकिन ड्राइवर ने साबित कर दिया कि सही सॉफ्टवेयर के साथ, कार वास्तव में एक जटिल शहर में नेविगेट कर सकती है और आपको आपकी मंजिल तक पहुँचा सकती है।

यह वैज्ञानिकों और कंपनियों को उम्मीद देता है। इसका मतलब है कि हम भविष्य में "परफेक्ट" संस्करण के आने का इंतजार करने के बजाय, आज ही इन "अपूर्ण" क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग नई दवाओं को डिजाइन करने या वित्तीय पोर्टफोलियो को अनुकूलित करने जैसी वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए कर सकते हैं।

यहाँ शोध पत्र "Experimental Realization of the Markov Chain Monte Carlo Algorithm on a Quantum Computer" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) एक मौलिक शास्त्रीय एल्गोरिदम है जिसका उपयोग जटिल प्रायिकता वितरणों (probability distributions) से नमूने लेने और सांख्यिकीय भौतिकी, कम्प्यूटेशनल केमिस्ट्री और बायेसियन अनुमान जैसे क्षेत्रों में प्रत्याशा मानों (expectation values) का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। जबकि शास्त्रीय MCMC दिए गए परिशुद्धता स्तर के लिए आवश्यक नमूनों की संख्या के साथ रैखिक रूप से स्केल करता है, क्वांटम एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन (QAE) एक फलन के माध्य का अनुमान लगाने के लिए द्विघाती गति (quadratic speedup) ( $O(1/\epsilon)$ बनाम $O(1/\epsilon^2)$ ) प्रदान करता है, बशर्ते लक्षित प्रायिकता वितरण को क्वांटम अवस्था में एनकोड किया जा सके।

हालाँकि, वर्तमान नोइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) हार्डवेयर पर इस गति को साकार करना चुनौतीपूर्ण है। मुख्य बाधाओं में शामिल हैं:

अवस्था तैयारी (State Preparation): एक मार्कोव चेन के स्थिर वितरण (stationary distribution) को क्वांटम अवस्था में कुशलतापूर्वक एनकोड करना।
सर्किट डेप्थ (Circuit Depth): QAE और क्वांटम वॉक ऑपरेटरों के लिए अक्सर गहरे सर्किट की आवश्यकता होती है जो वर्तमान उपकरणों के कोहेरेंस समय (coherence times) से अधिक होते हैं।
शोर (Noise): भौतिक क्वबिट गेट त्रुटियों और डिकोहेरेंस (decoherence) से ग्रस्त होते हैं, जो तैयार अवस्थाओं की शुद्धता (fidelity) और अनुमान की सटीकता को कम कर सकते हैं।

यह शोध पत्र इस प्रश्न का समाधान करता है: क्या हम वर्तमान आयन-ट्रैप क्वांटम कंप्यूटरों पर एक qMCMC एल्गोरिदम के मुख्य उप-कार्यों (subroutines), विशेष रूप से अवस्था तैयारी और एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन को पर्याप्त सटीकता के साथ सफलतापूर्वक क्रियान्वित कर सकते हैं?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखकों ने एक सरल दो-अवस्था मार्कोव चेन ( $S=\{0, 1\}$ ) के लिए, जिसमें ट्रांजिशन कर्नेल $P$ और एक समान स्थिर वितरण $\pi = (0.5, 0.5)$ है, चार अलग-अलग एनकोडिंग तकनीकों को लागू किया और उनकी तुलना की। प्रयोग Quantinuum के H2-1, H2-2, और Helios आयन-ट्रैप क्वांटम कंप्यूटरों पर किए गए थे।

A. एनकोडिंग तकनीकें (Encoding Techniques)

अध्ययन ने क्वांटम वॉक के लिए उपयुक्त यूनिटरी ऑपरेटरों में मार्कोव कर्नेल $P$ को एनकोड करने के लिए चार विधियों का परीक्षण किया:

लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज (LCU):
- ट्रांजिशन मैट्रिक्स $P$ को यूनिटरीज के भारित योग के रूप में विघटित किया जाता है: $P = (1-\delta)I + \delta X$ ।
- एक अनिसिला (ancilla) क्वबिट का उपयोग करके एक नियंत्रित यूनिटरी $U$ का निर्माण किया जाता है।
- परिणामी सिमेट्रिक प्रोजेक्टेड यूनिटरी एनकोडिंग (SPUE) एक क्वबिटाइज्ड वॉक ऑपरेटर $W$ के निर्माण की अनुमति देता है।
- अवस्था तैयारी: स्थिर अवस्था $|\pi\rangle$ को तैयार करने के लिए $W^3$ पर फेज़ एस्टिमेशन का उपयोग किया जाता है।
सेजेडी का क्वांटाइजेशन (Szegedy's Quantization):
- यह मानक सेजेडी पद्धति का अनुसरण करता है जहाँ एक यूनिटरी $O$ ट्रांजिशन संभावनाओं को एनकोड करती है।
- वॉक ऑपरेटर को $W = O Z O^\dagger S$ (जहाँ $S$ एक SWAP ऑपरेटर है) के रूप में परिभाषित किया गया है।
- यह विधि स्वाभाविक रूप से मार्कोव चेन के डिस्क्रिमिनेन्ट मैट्रिक्स को एनकोड करती है।
कंट्रोल्ड-SWAP एनकोडिंग (Metropolis-Hastings):
- यह कर्नेल को एक मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स प्रक्रिया के रूप में मानता है जिसमें एक प्रपोजल कर्नेल $T=X$ और स्वीकृति प्रायिकता $\delta$ है।
- प्रक्रिया को एनकोड करने के लिए नियंत्रित-SWAP गेट्स वाले एक विशिष्ट यूनिटरी निर्माण का उपयोग करता है।
ड्यूल स्पेस एनकोडिंग (Generalized Metropolis-Hastings):
- हालिया सैद्धांतिक कार्य पर आधारित, यह विधि अवस्थाओं के जोड़ों (dual space) पर क्वांटम स्टेप ऑपरेटर को एनकोड करती है।
- यह उच्च-आयामी स्थान में काम करके स्वीकृति/अस्वीकृति संभावनाओं को स्पष्ट रूप से ट्रैक करने के ओवरहेड से बचता है।
- लेखकों ने सत्यापित किया कि तैयार अवस्था, संगत क्वबिटाइज्ड वॉक ऑपरेटर $W$ का एक आइजनवेक्टर (eigenvector) है।

B. प्रयोगात्मक वर्कफ़्लो (Experimental Workflow)

अवस्था तैयारी: लेखकों ने प्रत्येक एनकोडिंग विधि के लिए स्थिर अवस्था $|\pi\rangle$ (या आइजनस्टेट गुण को सत्यापित करने के लिए) तैयार करने हेतु फेज़ एस्टिमेशन का उपयोग किया।
एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन: LCU विधि के लिए, उन्होंने एक फलन $f(x) = \delta_{1}(x)$ के प्रत्याशा मान (जो $E_\pi(f) = 0.5$ देना चाहिए) का अनुमान लगाने के लिए क्वांटम एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन (QAE) एल्गोरिदम लागू किया।
सत्यापन: ड्यूल स्पेस विधि के लिए, लेखकों ने एक उम्मीदवार आइजनस्टेट $V|0\rangle$ तैयार किया, वॉक ऑपरेटर $W$ लागू किया, और यह सत्यापित करने के लिए ओवरलैप $|\langle 0|V^\dagger W V |0\rangle|^2$ को मापा कि क्या अवस्था अपरिवर्तित रहती है (जैसा कि एक आइजनस्टेट के लिए अपेक्षित है)।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

qMCMC का प्रथम प्रयोगात्मक प्रदर्शन: यह वास्तविक हार्डवेयर पर एक पूर्ण qMCMC एल्गोरिदम पाइपलाइन (एनकोडिंग, अवस्था तैयारी और अनुमान) को क्रियान्वित करने वाले पहले कार्यों में से एक है।
एनकोडिंग का तुलनात्मक विश्लेषण: यह शोध एक ही हार्डवेयर पर LCU, सेजेडी, कंट्रोल्ड-SWAP और ड्यूल स्पेस एनकोडिंग का एक दुर्लभ अनुभवजन्य तुलना प्रदान करता है, जो सर्किट डेप्थ और सफलता दर के बीच ट्रेड-ऑफ को उजागर करता है।
NISQ व्यवहार्यता अध्ययन: यह प्रदर्शित करता है कि शोर के बावजूद, लगभग 250–500 मूल गेट्स की गहराई वाले सर्किट अभी भी मात्रात्मक रूप से सार्थक मोंटे कार्लो अनुमान उत्पन्न कर सकते हैं।
ड्यूल स्पेस सत्यापन: सफलतापूर्वक सत्यापित किया कि ड्यूल-स्पेस एनकोडिंग एक ऐसी स्थिर अवस्था उत्पन्न करती है जो वॉक ऑपरेटर का आइजनवेक्टर है, जिसकी शुद्धता (fidelity) उच्च है।

4. परिणाम (Results)

प्रयोगों से निम्नलिखित मुख्य निष्कर्ष प्राप्त हुए:

अवस्था तैयारी सफलता:
- LCU विधि: स्थिर अवस्था तैयार करने में ~90% सफलता दर प्राप्त की। $E_\pi(f)$ का एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन 90% प्रयोगों में सही मान ($0.5$) प्रदान करता है। इस सर्किट ने 6 क्वबिट और 237 गेट्स का उपयोग किया।
- सेजेडी विधि: अवस्था तैयारी के लिए सफलता दर ठीक 0.5 थी, जो प्रारंभिक और स्थिर वितरणों के बीच ओवरलैप के आधार पर सैद्धांतिक भविष्यवाणी से मेल खाती है।
- कंट्रोल्ड-SWAP: इसने 93% सफलता दर के साथ अपेक्षित फेज़ को मापा।
- ड्यूल स्पेस: इनपुट स्टेट और वॉक ऑपरेटर लागू करने के बाद की स्टेट के बीच ओवरलैप लगभग 2/3 (0.66) था, जिसमें Helios मशीन ने सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन किया। यह पुष्टि करता है कि ~500 गेट्स का सर्किट आकार इन उपकरणों के लिए वर्तमान सीमा के करीब है।
हार्डवेयर प्रदर्शन:
- Helios (98-क्वबिट) और H2 श्रृंखला के उपकरणों ने सुसंगत परिणाम दिखाए, हालांकि जटिल ड्यूल स्पेस सर्किटों के लिए Helios ने आम तौर पर थोड़ी बेहतर फिडेलिटी प्रदान की।
- प्रयोगों ने पुष्टि की कि वर्तमान आयन-ट्रैप हार्डवेयर बिना पूर्ण एरर करेक्शन के भी छोटे पैमाने के qMCMC के लिए आवश्यक जटिलता को संभाल सकता है।

5. महत्व और भविष्य की रूपरेखा (Significance and Future Outlook)

प्रूफ ऑफ कॉन्सेप्ट: यह कार्य एक निर्णायक प्रमाण प्रदान करता है कि क्वांटम हार्डवेयर MCMC एल्गोरिदम का अनुकरण कर सकता है, जो सैंपलिंग समस्याओं में व्यावहारिक क्वांटम लाभ की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।
एल्गोरिद्मिक इंटरप्ले: यह हार्डवेयर बाधाओं के साथ एल्गोरिदम के सह-डिज़ाइन (co-design) की आवश्यकता पर जोर देता है। NISQ सफलता के लिए (डिवाइस स्टैक और एल्गोरिदम अपघटन दोनों को अनुकूलित करना) एक "दो-तरफा दृष्टिकोण" आवश्यक है।
स्केलेबिलिटी: परिणाम बताते हैं कि जबकि वर्तमान उपकरण छोटे स्टेट स्पेस (इस पेपर में 2 स्टेट्स) तक सीमित हैं, QAE की द्विघाती गति हार्डवेयर में सुधार के साथ तेजी से मूल्यवान होती जाएगी।
भविष्य की दिशाएं: लेखक अगली पीढ़ी के उपकरणों पर गैर-प्रतिवर्ती (non-reversible) मार्कोव चेन और बड़े स्टेट स्पेस तक इन प्रयोगों को विस्तारित करने का प्रस्ताव करते हैं। वे त्रुटि दरों को और कम करने और बड़े पैमाने के सिमुलेशन को सक्षम करने के लिए इन सर्किट्स को एरर-करेक्टेड लॉजिकल क्वबिट्स पर चलाने की क्षमता पर भी जोर देते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सैंपलिंग के लिए सैद्धांतिक क्वांटम एल्गोरिदम और उनके व्यावहारिक कार्यान्वयन के बीच के अंतर को पाटता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि सावधानीपूर्वक एनकोडिंग और सर्किट अनुकूलन के माध्यम से वर्तमान शोर वाले हार्डवेयर पर सटीक क्वांटम मोंटे कार्लो अनुमान प्राप्त करना संभव है।