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P vs NP Problem in Portfolio Optimization: Integrating the Markowitz-CAPM Framework with Cardinality Constraints and Black-Scholes Derivative Pricing

यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके मात्रात्मक वित्त (क्वांटिटेटिव फाइनेंस) में P बनाम NP समस्या को क्रियान्वित करता है कि कैसे कार्डिनैलिटी बाधाएं (कार्डिनैलिटी कंस्ट्रेंट्स) उत्तल मार्कोविट्ज़-CAPM पोर्टफोलियो अनुकूलन को एक NP-hard मिश्रित-पूर्णांक द्विघाती प्रोग्राम (मिक्सड-इंटीजर क्वाड्रेटिक प्रोग्राम) में परिवर्तित कर देती हैं, जो स्केलेबल सन्निकटन योजनाओं (स्केलेबल एप्रोक्सिमेशन स्कीम्स) का मूल्यांकन करती है और परिणामी व्यापार-बंदों (ट्रेड-ऑफ्स), समाधान स्थिरता और पुनर्गठित कुशल सीमा (एफिशिएंट फ्रंटियर) के विश्लेषण के लिए ब्लैक-स्कोल्स डेरिवेटिव प्राइसिंग को एकीकृत करती है।

मूल लेखक: Davit Gondauri

प्रकाशित 2026-03-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Davit Gondauri

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक शेफ हैं जो एक परफेक्ट सूप बनाने की कोशिश कर रहे हैं।

वित्त (finance) की दुनिया में, यह "सूप" एक निवेश पोर्टफोलियो है। इसके सामग्रियां अलग-अलग प्रकार के स्टॉक्स (जैसे तकनीक, खेती, या बैंक) हैं। लक्ष्य सही मात्रा में मिश्रण तैयार करना है ताकि अधिकतम स्वाद (लाभ) और न्यूनतम नमक (जोखिम) प्राप्त किया जा सके।

द दशकों से, गणितज्ञों के पास एक रेसिपी थी जिसे मार्कोविट्ज़ का मीन-वैरिएंस (Markowitz's Mean-Variance) कहा जाता था। यह एक चिकनी, निरंतर प्रवाह की तरह था: आप इस मसाले का एक छोटा सा चुटकी भर और उस मसाले की एक बूंद जोड़ सकते थे, और कंप्यूटर तुरंत आपको सही मिश्रण बता देता था। यह आसान, तेज़ और अनुमानित था।

लेकिन समस्या यह है: वास्तविक जीवन सहज नहीं होता।
वास्तविक निवेशकों के नियम होते हैं। वे 100 कंपनियों के छोटे अंश (fractions) नहीं खरीद सकते। उनके पास एक सीमित बजट होता है, वे केवल कुछ ही पोजीशन मैनेज कर सकते हैं, और वे कुछ विशेष उद्योगों से बचना चाह सकते हैं।

यह पेपर पूछता है: क्या होगा यदि हम शेफ को मजबूर करें कि उन्हें उपलब्ध 94 विकल्पों में से ठीक 10 सामग्रियां चुननी होंगी, और उन्हें प्रत्येक का 'पूरा' (whole) हिस्सा उपयोग करना होगा?

"P बनाम NP" पहेली: असंभव खोज

यह पेपर इस समस्या को कंप्यूटर विज्ञान के एक प्रसिद्ध रहस्य P बनाम NP के माध्यम से समझाता है।

आसान हिस्सा (P): यदि मैं आपको 10 सामग्रियों की एक विशिष्ट सूची और उनकी मात्रा दे दूँ, तो आप जल्दी से जांच सकते हैं कि क्या वह एक अच्छा सूप है। आप बस उसे चखते हैं और उसका स्कोर निकालते हैं। यह आसान है।
कठिन हिस्सा (NP): यदि मैं आपसे 94 में से 10 सामग्रियों की सबसे अच्छी सूची खोजने के लिए कहूँ, तो यह कार्य एक दुस्वप्न बन जाता है। संभावित संयोजनों की संख्या इतनी विशाल है (जैसे पृथ्वी के सभी समुद्र तटों पर एक विशिष्ट रेत का कण ढूंढना) कि दुनिया के सबसे तेज़ सुपरकंप्यूटर भी हर एक संभावना की जांच करने में ब्रह्मांड की आयु से अधिक समय लेंगे।

यह P बनाम NP का विभाजन है: समाधान की जांच करना आसान है, लेकिन शुरुआत से एक 'परफेक्ट' समाधान खोजना लगभग असंभव है।

लेखकों ने इसे कैसे हल किया (स्मार्ट अंदाज़ा लगाने का खेल)

चूंकि 'परफेक्ट' सूप खोजना असंभव है, इसलिए लेखकों ने हर संयोजन की जांच करने की कोशिश नहीं की। इसके बजाय, उन्होंने ह्यूरिस्टिक्स (Heuristics) का उपयोग किया—जो मूल रूप से "स्मार्ट अंदाज़ा लगाने" की रणनीतियाँ हैं।

उन्होंने एक बहुत अच्छा सूप खोजने के तीन अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया:

लालची शेफ (The Greedy Chef): यह उन 10 सामग्रियों को चुनता है जो व्यक्तिगत रूप से सबसे अच्छी दिखती हैं, एक-एक करके। (तेज़, लेकिन एक बेहतरीन संयोजन को मिस कर सकता है)।
रैंडम टेस्टर (The Random Taster - Monte Carlo): यह अंधाधुंध 10 सामग्रियां रैंडम तरीके से चुनता है, उन्हें चखता है, सबसे अच्छी चीजों को रखता है, और इस प्रक्रिया को हजारों बार दोहराता है। (एक लॉटरी की तरह जहाँ आप पर्याप्त टिकट खरीदते हैं ताकि अंततः जीत सकें)।
इवोल्यूशनरी शेफ (The Evolutionary Chef - Genetic Algorithm): यह दो अच्छे सूपों को लेता है, उनके व्यंजनों को आपस में मिलाता है, थोड़ा सा रैंडम बदलाव (mutation) जोड़ता है, और देखता है कि क्या नया "संतान" (child) सूप बेहतर है। यह कई "पीढ़ियों" तक इस प्रक्रिया को दोहराता है, जब तक कि रेसिपी पूर्णता के बहुत करीब न पहुँच जाए।

बड़ी खोज: पेपर ने पाया कि आपको 'परफेक्ट' उत्तर की आवश्यकता नहीं है। आपको बस एक ऐसा उत्तर चाहिए जो बहुत अच्छा और स्थिर (stable) हो। यदि आप अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं के साथ "इवोल्यूशनरी शेफ" को 10 बार चलाते हैं, तो आपको हर बार लगभग एक जैसा परिणाम मिलता है। वास्तविक जीवन के लिए इतना ही काफी है।

"जादुई सामग्री" (विकल्प/Options)

पेपर ने कुछ खास भी आज़माया: सूप में एक डेरिवेटिव (विशेष रूप से, एक "कॉल ऑप्शन") जोड़ना।

एक कॉल ऑप्शन को एक कूपन के रूप में सोचें जो आपको बाद में एक निश्चित कीमत पर कोई सामग्री खरीदने की अनुमति देता है। यह एक शक्तिशाली उपकरण है, लेकिन यह पेचीदा भी है।

उपमा: यदि आप अपने सूप में कूपन जोड़ते हैं, तो आप केवल स्वाद नहीं जोड़ रहे हैं; आप लीवरेज (leverage) जोड़ रहे हैं। यह एक अत्यधिक केंद्रित मसाले की एक छोटी सी बूंद जोड़ने जैसा है जो सब कुछ बढ़ा देती है।
परिणाम: पेपर ने दिखाया कि हालांकि यह कूपन सूप को अद्भुत बना सकता है (उच्च रिटर्न), लेकिन यह इसे अविश्वसनीय रूप से तीखा (भारी जोखिम) भी बना देता है। कभी-कभी, कूपन वाला "परफेक्ट" सूप वास्तव में खराब स्वाद देता है क्योंकि जोखिम बहुत अधिक होता है। लेखकों ने एक सुरक्षा जाल बनाया ताकि कूपन पूरे किचन को बर्बाद न कर दे।

"सिंगल-इंडेक्स" वास्तविकता की जाँच

लेखकों ने अपना सूप बनाने के लिए एक सरल मॉडल का उपयोग किया। उन्होंने माना कि सभी सामग्रियां एक-दूसरे से जुड़ी हुई हैं क्योंकि वे सभी "मुख्य बाजार" (जैसे S&P 500) के प्रति प्रतिक्रिया करती हैं।

उपमा: एक डांस फ्लोर की कल्पना करें जहाँ हर कोई एक-दूसरे का हाथ पकड़े हुए है। यदि संगीत (बाजार) तेज़ होता है, तो हर कोई तेज़ हो जाता है। यदि संगीत रुक जाता है, तो हर कोई रुक जाता है।
निष्कर्ष: क्योंकि सब एक-दूसरे का हाथ बहुत मजबूती से पकड़े हुए हैं (उच्च सहसंबंध/correlation), इसलिए वास्तव में एक-दूसरे से वास्तव में अलग 10 सामग्रियां ढूंढना कठिन है। "विविधीकरण" (diversification) उतना जादुई नहीं है जितना लोग सोचते हैं। यदि बाजार गिरता है, तो आपकी लगभग सभी सामग्रियां एक साथ गिर जाती हैं।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह पेपर ईमानदारी और पारदर्शिता का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।

यह स्वीकार करता है कि गणित कठिन है: यह कहता है, "हम पूर्णतः परफेक्ट पोर्टफोलियो नहीं खोज सकते क्योंकि गणित की समस्या बहुत बड़ी है (NP-Hard)।"
यह स्मार्ट शॉर्टकट का उपयोग करता है: हार मानने के बजाय, यह एक बहुत अच्छा समाधान खोजने के लिए स्मार्ट अंदाज़ा (Genetic Algorithms) लगाता है, जो परफेक्ट वाले से 99.9% भी उतना ही अच्छा है।
यह अपने काम की जाँच करता है: केवल एक "भाग्यशाली" परिणाम दिखाने के बजाय, इसने यह साबित करने के लिए प्रयोग को 10 बार चलाया कि परिणाम स्थिर हैं और केवल कोई इत्तेफाक नहीं हैं।
यह "जादू" को सावधानी से संभालता है: इसने दिखाया कि जटिल वित्तीय उपकरणों (options) को कैसे जोड़ा जाए ताकि वे पूरे पोर्टफोलियो को बर्बाद न कर दें।

संक्षेप में: यह पेपर हमें सिखाता है कि वित्त में, हमें "परफेक्ट" उत्तर खोजने के पीछे पागल नहीं होना चाहिए (जो अस्तित्व में ही नहीं है)। इसके बजाय, हमें मजबूत, दोहराने योग्य सिस्टम बनाने चाहिए जो तेजी से "बहुत अच्छे" उत्तर खोज सकें, भले ही गणित कहे कि इससे बेहतर करना असंभव है। यह एक ऐसे पूर्णतावादी (perfectionist) बनने के बजाय एक स्मार्ट, व्यावहारिक शेफ बनने के बारे में है जो परफेक्ट रेसिपी की तलाश में भूखा मर जाता है।

यहाँ डेविड गोंदौरी के शोध पत्र "P vs NP Problem in Portfolio Optimization: Integrating the Markowitz–CAPM Framework with Cardinality Constraints and Black–Scholes Derivative Pricing" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र वित्तीय सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल जटिलता (computational complexity) के मिलन बिंदु को संबोधित करता है, जो कार्डिनैलिटी-कंस्ट्रेंड पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइज़ेशन (CCPO) समस्या पर केंद्रित है।

मुख्य संघर्ष: क्लासिकल मार्कविट्ज़ मीन-वेरिएंस ऑप्टिमाइज़ेशन एक कॉन्वेक्स क्वाड्रेटिक प्रोग्राम है जिसे पॉलिनॉमियल समय में हल किया जा सकता है। हालाँकि, एक हार्ड कार्डिनैलिटी कंस्ट्रेंट (पोर्टफोलियो को $K$ संपत्तियों तक सीमित करना, यानी $|supp(w)| \le K$ ) लगाने से यह समस्या एक मिक्स्ड-इंटीजर क्वाड्रेटिक प्रोग्राम (MIQP) में बदल जाती है।
जटिलता का निहितार्थ: यह डिस्क्रीट-कंटीन्यूअस कपलिंग इस समस्या को NP-hard बना देती है। जबकि एक संभावित समाधान (candidate solution) को सत्यापित करना पॉलिनॉमियल है, संपत्तियों के वैश्विक इष्टतम उपसमुच्चय (globally optimal subset) को खोजने के लिए $\binom{n}{K}$ के आकार के कॉम्बिनेटोरियल स्पेस की खोज करनी पड़ती है, जो संपत्तियों की संख्या ( $n$ ) और बाधा ( $K$ ) के साथ तेजी से (exponentially) बढ़ता है।
अंतराल (The Gap): मौजूदा साहित्य अक्सर पोर्टफोलियो थ्योरी और एल्गोरिदम इंजीनियरिंग को अलग-अलग मानता है। यह शोध पत्र P vs NP विभाजन को एक वित्तीय रूप से ऑडिट योग्य ढांचे के भीतर संचालित करने का लक्ष्य रखता है, जो पारदर्शी और पुनरुत्पादनीय (reproducible) ह्यूरिस्टिक्स के माध्यम से जटिल अनुकूलन को संभालने का प्रदर्शन करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

यह अध्ययन वित्तीय मॉडलिंग, जटिलता सिद्धांत और स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन को संयोजित करते हुए एक कठोर, पुनरुत्पादनीय प्रयोगात्मक वर्कफ़्लो का उपयोग करता है।

A. डेटा और वित्तीय मॉडलिंग

एसेट यूनिवर्स: अश्वथ दामोडरन के ~94 अमेरिकी उद्योग पोर्टफोलियो से निर्मित।
अपेक्षित रिटर्न ( $\mu$ ): कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल (CAPM) का उपयोग करके कैलिब्रेट किया गया: $\mu_i = R_f + \beta_i \cdot ERP$ , जहाँ इनपुट लेवर्ड बीटा और इक्विटी रिस्क प्रीमियम हैं।
कोवेरिएंस मैट्रिक्स ( $\Sigma$ ): सिंगल-इंडेक्स (मार्केट मॉडल) दृष्टिकोण के माध्यम से निर्मित। चूँकि टाइम-सीरीज डेटा का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए $\Sigma$ को उद्योग बीटा, अस्थिरता (volatility) और मार्केट वेरिएंस का उपयोग करके विश्लेषणात्मक रूप से पुनर्गठित किया गया है। यह सुनिश्चित करता है कि मैट्रिक्स पूरी तरह से ऑडिट योग्य और पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट (PSD) है।
डेरिवेटिव एकीकरण: एक ब्लैक-स्कोल्स यूरोपियन कॉल को एक अतिरिक्त संपत्ति के रूप में शामिल किया गया है। इसके मोमेंट्स को डेल्टा-आधारित लीनियराइजेशन का उपयोग करके मीन-वेरिएंस फ्रेमवर्क में मैप किया गया है:
- $\beta_{option} \approx L \cdot \beta_{underlying}$
- $\sigma_{option} \approx L \cdot \sigma_{underlying}$
- जहाँ $L$ लीवरेज फैक्टर है जो ऑप्शन प्राइस और डेल्टा से प्राप्त होता है।

B. ऑप्टिमाइज़ेशन फ्रेमवर्क

समस्या को एक MIQP के रूप में औपचारिक रूप दिया गया है:
$\min_{w,z} w^T \Sigma w - \lambda \mu^T w$
शर्तों के साथ:

$\sum w_i = 1, w_i \ge 0$
$w_i \le u_i z_i$ (कंटीन्यूअस वेट्स को बाइनरी सिलेक्शन से जोड़ना)
$\sum z_i = K$ (कार्डिनैलिटी कंस्ट्रेंट)

C. समाधान एल्गोरिदम (Solution Algorithms)

NP-hardness के कारण, यह शोध पत्र तीन अनुमान योजनाओं (approximation schemes) का मूल्यांकन करता है:

ग्रीडी स्क्रीनिंग (Greedy Screening): संपत्तियों को CAPM शार्प प्रॉक्सी द्वारा रैंक करता है और शीर्ष $K$ का चयन करता है।
ිය मोंटे कार्लो सैंपलिंग (Monte Carlo Sampling): $K$ -उपसमुच्चयों को यादृच्छिक रूप से सैंपल करता है और वेट असाइन करता है (डिरिचलेट वितरण), और सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन करने वालों को रखता है।
जेनेटिक एल्गोरिदम (GA): बाइनरी सिलेक्शन वेक्टर्स ( $z$ ) को क्रॉसओवर/म्यूटेशन के साथ विकसित करता है, जिसके बाद चयनित उपसमुच्चय पर वेट्स का कंटीन्यूअस री-ऑप्टिमाइज़ेशन किया जाता है ताकि स्थानीय इष्टतम (local optimum) पाया जा सके।

D. पुनरुत्पादकता प्रोटोकॉल (Reproducibility Protocol)

पुनरुत्पादकता के प्रति सख्त पालन एक प्रमुख पद्धतिगत योगदान है:

सीड कंट्रोल (Seed Control): सभी स्टोकेस्टिक विधियों को 10 स्वतंत्र रैंडम सीड्स पर चलाया गया है।
रिपोर्टिंग: परिणाम एकल "बेस्ट-रन" परिणामों के बजाय वितरण (Distributions) (मीडियन, IQR, क्वांटाइल्स) के रूप में रिपोर्ट किए गए हैं।
बेंचमार्किंग: एक कम किए गए यूनिवर्स ( $n=20, K=6$ ) को फुल एन्यूमरेशन के माध्यम से हल किया गया है ताकि ह्यूरिस्टिक इष्टतमता अंतराल (optimality gaps) को मापने के लिए एक ग्राउंड-ट्रुथ बेंचमार्क प्रदान किया जा सके।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

जटिलता एंकरिंग: कार्डिनैलिटी-कंस्ट्रेंड पोर्टफोलियो चयन को स्पष्ट रूप से एक NP-hard समस्या के रूप में फ्रेम करता है, जो ह्यूरिस्टिक्स पर निर्भरता और इष्टतमता गारंटी के बजाय वितरण संबंधी रिपोर्टिंग की आवश्यकता को उचित ठहराता है।
ऑडिट-रेडी एम्पिरिकल बैकबोन: एक पूरी तरह से पुनर्गठित कोवेरिएंस मैट्रिक्स और CAPM कैलिब्रेशन प्रदान करता है, जो सार्वजनिक उद्योग डेटा पर आधारित है, जिससे "ब्लैक बॉक्स" इनपुट समाप्त हो जाते हैं।
डेरिवेटिव ओवरले: यह प्रदर्शित करता है कि डेल्टा मैपिंग के माध्यम से नॉन-लीनियर डेरिवेटिव्स (ऑप्शंस) को एक लीनियर मीन-वेरिएंस स्कैफोल्ड में कैसे एकीकृत किया जाए, जिसमें एप्रोक्सीमेशन एरर्स के लिए रूबस्टनेस चेक (बम्प टेस्ट) भी शामिल हैं।
स्टोकेस्टिक वैलिडेशन: मूल्यांकन मेट्रिक को "बेस्ट शार्प रेशियो" से बदलकर स्थिरता और अभिसरण (stability and convergence) पर ले जाता है, यह सिद्ध करता है कि ह्यूरिस्टिक विश्वसनीयता मीडियन प्रदर्शन और रनटाइम प्रोफाइलिंग पर निर्भर करती है।
डिपेंडेंस डायग्नोस्टिक्स: सिंगल-इंडेक्स कंस्ट्रेंट्स के तहत इष्टतम समाधानों में कुछ हाई-बीटा इंडस्ट्रीज क्यों क्लस्टर होती हैं, इसे समझाने के लिए आइजनवैल्यू कंसंट्रेशन और कोरिलेशन हीटमैप का उपयोग करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

एफिशिएंट फ्रंटियर्स: कार्डिनैलिटी कंस्ट्रेंट ( $K=10$ ) अनकन्स्ट्रेंड कॉन्वेक्स केस की तुलना में एक विच्छिन्न (discontinuous) एफिशिएंट फ्रंटियर बनाता है। प्राप्त होने वाला रिस्क-रिटर्न स्पेस काफी संकुचित हो जाता है।
ह्यूरिस्टिक प्रदर्शन:
- मोंटे कार्लो और जेनेटिक एल्गोरिदम ने ~0.088 का बेस्ट शार्प रेशियो प्राप्त किया।
- स्थिरता: 10 सीड्स के माध्यम से मीडियन शार्प अत्यधिक स्थिर (0.086–0.088) रहा, जिसमें संकीर्ण इंटरक्वेर्टाइल रेंज थी, जो मजबूत अभिसरण का संकेत देता है।
- इष्टतमता अंतराल (Optimality Gap): कम किए गए बेंचमार्क ( $n=20, K=6$ ) पर, दोनों (MC और GA) ने सटीक वैश्विक इष्टतम (0.088003) खोज लिया, जो मध्यम स्तर की समस्याओं के लिए उनकी प्रभावकारिता को प्रमाणित करता है।
डेरिवेटिव प्रभाव:
- कॉल ऑप्शन जोड़ने से लीवरेज के कारण पोर्टफोलियो अस्थिरता ( $\sigma_p$ ) और अपेक्षित रिटर्न ( $\mu_p$ ) बढ़ गया, लेकिन इसने स्वचालित रूप से शार्प रेशियो में सुधार नहीं किया।
- डेल्टा एप्रोक्सीमेशन: बम्प टेस्ट ( $\pm 1\%$ अंडरलाइंग मूव) ने $< 0.1\%$ का सापेक्ष त्रुटि दिखाया, जो पुष्टि करता है कि छोटे मूव्स के लिए डेल्टा-लीनियराइजेशन पर्याप्त है, लेकिन बड़े झटकों के लिए गामा (Gamma) जोखिमों के प्रति चेतावनी देता है।
कम्प्यूटेशनल स्केलिंग:
- रनटाइम प्रयास बजट (MC के लिए सैंपल्स, GA के लिए $P \times G$ ) के साथ रैखिक रूप से स्केल करता है।
- ग्रीडी (Greedy) तत्काल है; MC और GA सेकंड या मिनट लेते हैं, जो एक स्पष्ट "लागत बनाम प्रदर्शन" ट्रेड-ऑफ प्रदान करते हैं।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

यह शोध पत्र वित्तीय सिद्धांत, कम्प्यूटेशनल जटिलता और वैज्ञानिक पुनरुत्पादकता को सफलतापूर्वक जोड़ता है।

सैद्धांतिक: यह पुष्टि करता है कि जबकि P vs NP विभाजन बड़े $n$ के लिए स्केलेबल सटीक समाधानों को रोकता है, व्यावहारिक निवेश बाधाओं को वितरण द्वारा मान्य ह्यूरिस्टिक्स का उपयोग करके प्रभावी ढंग से प्रबंधित किया जा सकता है।
व्यावहारिक: यह संस्थागत निवेशकों को ऑडिटेबिलिटी बनाए रखते हुए डेरिवेटिव ओवरले के साथ स्पार्स पोर्टफोलियो बनाने के लिए एक टेम्पलेट प्रदान करता है।
पद्धतिगत: यह सीड लॉगिंग, कन्वर्जेंस कर्व्स और छोटे-n सटीक बेंचमार्क की मांग करके कम्प्यूटेशनल फाइनेंस रिसर्च के लिए एक नया मानक स्थापित करता है, जो क्षेत्र को "चेरी-पिक्ड" बेस्ट-रन परिणामों से दूर ले जाता है।

सीमाएं और भविष्य का कार्य: यह अध्ययन CAPM-निहित रिटर्न (वास्तविक नहीं) और सिंगल-इंडेक्स कोवेरिएंस मॉडल पर निर्भर है। भविष्य के शोध में मल्टी-फैक्टर मॉडल, आउट-ऑफ-सैंपल टेस्टिंग के लिए वास्तविक रिटर्न डेटा, और पूर्ण नॉन-लीनियर डेरिवेटिव डायनेमिक्स (Gamma/Vega) को शामिल किया जाना चाहिए।