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A Continuous-Variable Quantum Fourier Layer: Applications to Filtering and PDE Solving

यह शोध पत्र एक निरंतर-चर क्वांटम फूरियर लेयर (CV-QFL) प्रस्तुत करता है जो सटीक स्पेक्ट्रल प्रोसेसिंग और PDE समाधान करने के लिए कूली-टुकै FFT और गॉसियन फोटोनिक गेट्स के बीच संरचनात्मक समरूपता (structural isomorphism) का लाभ उठाता है, जिससे क्लासिकल-टू-क्वांटम एनकोडिंग के बिना नेटिव ऑप्टिकल कंप्यूटेशन को सक्षम करते हुए मशीन-प्रिसिजन सटीकता प्राप्त होती है।

मूल लेखक: Paolo Marcandelli, Stefano Mariani, Martina Siena, Stefano Markidis

प्रकाशित 2026-03-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Paolo Marcandelli, Stefano Mariani, Martina Siena, Stefano Markidis

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन व्यक्तिगत टुकड़ों को देखने के बजाय, आप पूरे चित्र के "वाइब" या पैटर्न को देखना चाहते हैं। गणित और भौतिकी की दुनिया में, इस "वाइब" को फूरियर ट्रांसफॉर्म (Fourier Transform) कहा जाता है। यह एक जादुई उपकरण है जो एक जटिल सिग्नल (जैसे एक छवि या ध्वनि तरंग) को उसके शुद्ध संगीत नोट्स (आवृत्तियों/frequencies) में तोड़ देता है।

दशकों से, हम इसे क्लासिकल कंप्यूटरों पर कूली-टूकी FFT (Cooley-Tukey FFT) नामक एक तेज़ एल्गोरिदम का उपयोग करके करते आए हैं। यह एक सुपर-कुशल असेंबली लाइन की तरह है जो पहेली के टुकड़ों को छाँटती है।

अब, कल्पना कीजिए कि आप उस असेंबली लाइन को सिलिकॉन चिप्स और बिजली से नहीं, बल्कि प्रकाश की किरणों (light beams) और दर्पणों (mirrors) से बना रहे हैं। यह बिल्कुल वही है जो यह शोध पत्र प्रस्तावित करता है: कंटीन्यूअस-वैरिएबल (CV) क्वांटम कंप्यूटिंग का उपयोग करके इसे करने का एक नया तरीका।

यहाँ उनके आविष्कार, CV-क्वांटम फूरियर लेयर (CV-QFL) का सरल उपमाओं (analogies) के साथ विवरण दिया गया है:

1. समस्या: एक 2D छवि को क्वांटम बॉक्स में फिट करना

आमतौर पर, क्वांटम कंप्यूटर संख्याओं की सूचियों (1D) को संभालने में माहिर होते हैं। लेकिन वास्तविक दुनिया का डेटा, जैसे कि एक फोटो या मौसम का नक्शा, एक ग्रिड (2D) होता है।

पुराना तरीका: एक फोटो को क्वांटम कंप्यूटर में डालने के लिए, आपको आमतौर पर फोटो को संख्याओं की एक लंबी, उबाऊ सूची में बदलना पड़ता है। यह एक 3D मूर्ति को लेने, उसे चपटा करने और फिर उस चपटी शीट का विश्लेषण करने जैसा है। आप उसकी संरचना खो देते हैं।
नया तरीका (बाइपार्टाइट एनकोडिंग): लेखकों ने एक चतुर तरकीब निकाली है। कल्पना कीजिए कि आपके पास प्रकाश की किरणों के दो अलग-अलग समूह हैं (रजिस्टर A और रजिस्टर B)। फोटो को सपाट करने के बजाय, वे इन दोनों समूहों को "एंटैंगल" (entangle) करते हैं।
- इसे एक नृत्य (dance) की तरह समझें। छवि संख्याओं की सूची नहीं है; यह समूह A के नर्तकों और समूह B के नर्तकों के बीच का संबंध है।
- वे नर्तकों को जोड़ने के लिए एक विशेष क्वांटम "गोंद" (Two-Mode Squeezing) का उपयोग करते हैं। इस लिंक की मजबूती डेटा का प्रतिनिधित्व करती है। यह उन्हें बिना सपाट किए, इमेज को क्वांटम मशीन के भीतर एक 2D ग्रिड के रूप में बनाए रखने की अनुमति देता है।

2. जादू का खेल: बटरफ्लाई नेटवर्क

उनके तरीके का मूल कूली-टूकी एल्गोरिदम है, जो यदि बनाया जाए तो एक "बटरफ्लाई" आरेख (diagram) जैसा दिखता है।

क्लासिकल कंप्यूटर: बटरफ्लाई लॉजिक गेट्स (स्विच) की एक श्रृंखला है जो संख्याओं को इधर-उधर घुमाती है।
क्वांटम लाइट: लेखों ने महसूस किया कि यह "बटरफ्लाई" आकार वास्तव में लैब में बीम स्प्लिटर (प्रकाश को विभाजित करने वाले दर्पण) और फेज शिफ्टर्स (प्रकाश तरंगों के समय को बदलने वाले दर्पण) के काम करने के तरीके के समान है।
उपमा: यह ऐसा है जैसे यह महसूस करना कि एक नृत्य दिनचर्या के निर्देश ठीक वैसे ही हैं जैसे पानी की लहरों का पैटर्न। आपको निर्देशों का अनुवाद करने की आवश्यकता नहीं है; आप बस पानी की लहर को स्वाभाविक रूप से बहने देते हैं। क्वांटम सर्किट ही वह गणित है।

3. यह कैसे काम करता है: "लाइट" असेंबली लाइन

एक बार जब छवि को एंटैंगल्ड प्रकाश किरणों में एनकोड कर दिया जाता है, तो मशीन "बटरफ्लाई" नृत्य चलाती है:

विभाजन (The Split): प्रकाश की किरणें बीम स्प्लिटर और फेज शिफ्टर्स की एक श्रृंखला से गुजरती हैं।
रूपांतरण (The Transformation): क्योंकि प्रकाश स्वयं के साथ हस्तक्षेप (interfere) करता है, ये सरल ऑप्टिकल घटक स्वचालित रूप से जटिल फूरियर ट्रांसफॉर्म को निष्पादित करते हैं।
परिणाम: दूसरी ओर से निकलने वाली प्रकाश की किरणें अब पिक्सेल के रूप में नहीं, बल्कि अपने "फ्रीक्वेंसी" रूप (संगीत के नोट्स) में छवि का प्रतिनिधित्व करती हैं।

4. उन्होंने इसके साथ क्या किया?

उन्होंने इस "लाइट असेंबली लाइन" का दो कार्यों पर परीक्षण किया:

कार्य A: शोर की सफाई (फिल्टरिंग)
- परिदृश्य: आपके पास स्टैटिक (शोर/noise) से ढकी एक फोटो है।
- क्रिया: फ्रीक्वेंसी की दुनिया में, शोर आमतौर पर उच्च-पिच वाला, अराजक स्टैटिक होता है। लेखकों ने बस एक विशेष फिल्टर (LossChannel) का उपयोग करके "उच्च-पिच" वाली प्रकाश किरणों को ब्लॉक कर दिया और "कम-पिच" वाली स्पष्ट किरणों को गुजरने दिया।
- परिणाम: उन्होंने शोर वाली फोटो को वापस एक स्पष्ट छवि में बदल दिया। क्वांटम लाइट ने इसे पूर्ण सटीकता के साथ किया, जो एक सुपरकंप्यूटर के परिणाम से मेल खाता है।
कार्य B: ऊष्मा प्रसार (भौतिकी को हल करना)
- परिदृश्य: एक धातु की प्लेट पर समय के साथ गर्मी कैसे फैलती है, इसकी भविष्यवाणी करना।
- क्रिया: फ्रीक्वेंसी की दुनिया में, गर्मी का फैलना एक सरल गणितीय सूत्र (डैम्पिंग) है। हीट स्प्रेडिंग को सिम्युलेट करने के लिए क्वांटम लाइट ने सिग्नल के उच्च-फ्रीक्वेंसी वाले हिस्सों को स्वाभाविक रूप से "डैम्प" (कम) कर दिया।
- परिणाम: लाइट सर्किट ने भौतिकी समीकरण को तुरंत और पूरी तरह से हल किया, जो क्लासिकल कंप्यूटर के उत्तर से दशमलव के अंतिम अंक तक मेल खाता है।

5. यह एक बड़ी बात क्यों है?

गति और दक्षता: एक बड़े ग्रिड (जैसे 1000x1000 की इमेज) के लिए, एक क्लासिकल कंप्यूटर को बहुत सारा काम करना पड़ता है ( $O(N \log N)$ )। यह क्वांटम लाइट विधि कम चरणों में इसे करती है ( $O(m \log m + n \log n)$ ) क्योंकि यह समानांतर प्रकाश किरणों का उपयोग करके पंक्तियों और स्तंभों को एक साथ प्रोसेस करती है।
नेटिव प्रोसेसिंग: सबसे शानदार बात? यदि आपका डेटा पहले से ही प्रकाश है (जैसे कैमरा सेंसर या टेलीस्कोप), तो आपको इसे पहले बिजली में बदलने की आवश्यकता नहीं है। आप प्रकाश को सीधे इस मशीन में फीड कर सकते हैं। यह एक माइक्रोफ़ोन को एम्पलीफायर के बिना सीधे स्पीकर में प्लग करने जैसा है।
AI का भविष्य: यह "न्यूरल ऑपरेटर्स" के लिए आधार तैयार करता है—ऐसे AI मॉडल जो क्वांटम हार्डवेयर पर सीधे भौतिकी के समीकरणों (जैसे द्रव गतिशीलता या जलवायु परिवर्तन) को हल करना सीखते हैं।

पेच (The Catch)

वर्तमान में, यह प्रणाली "गौसियन" अवस्थाओं (चिकनी, अनुमानित प्रकाश तरंगों) का उपयोग करके बनाई गई है। हालांकि यह अविश्वसनीय रूप से तेज़ और सटीक है, फिर भी एक क्लासिकल कंप्यूटर इसका अनुकरण (simulate) कर सकता है। "क्वांटम एडवांटेज" (कुछ ऐसा करने के लिए जो क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए असंभव है) प्राप्त करने के लिए, उन्हें भविष्य में अधिक जटिल, "गैर-गौसियन" तत्वों को जोड़ना होगा।

संक्षेप में: लेखकों ने फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म के गणित और प्रकाश के भौतिकी के बीच एक पुल बनाया है। उन्होंने दिखाया है कि एंटैंगल्ड प्रकाश किरणों का उपयोग करके, हम इमेज प्रोसेसिंग और भौतिकी सिमुलेशन को एक ऐसे स्तर की भव्यता और दक्षता के साथ कर सकते हैं जिसका मुकाबला करने में क्लासिकल कंप्यूटर संघर्ष करते हैं। यह ऐसा है जैसे यह महसूस करना कि ब्रह्मांड के पास पहले से ही प्रकाश के ताने-बाने में कैलकुलेटर बना हुआ है; हमें बस इसे पढ़ना सीखना था।

यहाँ शोध पत्र "A Continuous-Variable Quantum Fourier Layer: Applications to Filtering and PDE Solving" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्वांटम मशीन लर्निंग (QML) और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग के मिलन बिंदु पर दो प्राथमिक चुनौतियों को संबोधित करता है:

डेटा एनकोडिंग की सीमाएँ: मौजूदा QML दृष्टिकोण अक्सर बहु-आयामी शास्त्रीय डेटा (जैसे 2D क्षेत्र या चित्र) को क्वांटम अवस्थाओं में कुशलतापूर्वक एनकोड करने में संघर्ष करते हैं। मानक क्यूबिट-आधारित एनकोडिंग आमतौर पर डेटा को एकल रजिस्टरों में मैप करती है, जिसके परिणामस्वरूप एक-आयामी स्पेक्ट्रल संरचनाएं प्राप्त होती हैं जो स्थानिक रूप से संरचित क्षेत्रों (spatially structured fields) से संबंधित ऑपरेटर लर्निंग कार्यों के लिए उपयुक्त नहीं होती हैं।
2D ट्रांसफॉर्म की कम्प्यूटेशनल जटिलता: शास्त्रीय कंप्यूटरों पर टू-डायमेंशनल फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (2D-FFT) करने की जटिलता $m \times n$ ग्रिड के लिए $O(mn \log(mn))$ होती है। जबकि क्वांटम एल्गोरिदम गति (speedups) प्रदान कर सकते हैं, एक निरंतर-चर (Continuous-Variable - CV) फोटोनिक आर्किटेक्चर के भीतर एक मूल, संरचनात्मक रूप से समरूप (isomorphic) 2D-FFT को साकार करना पूरी तरह से स्थापित नहीं हुआ है।
नेटिव ऑप्टिकल प्रोसेसिंग: ऐसे फ्रेमवर्क की कमी है जो शास्त्रीय-से-क्वांटम एनकोडिंग चरण की बिना किसी नुकसानदेह या कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी प्रक्रिया के, सीधे ऑप्टिकल सिग्नलों (जो स्वाभाविक रूप से निरंतर चर हैं) को प्रोसेस कर सकें।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक कंटीन्यूअस-वेरिएबल क्वांटम फूरियर लेयर (CV–QFL) प्रस्तावित करते हैं जो क्लासिकल कूली-टूकी (Cooley–Tukey - CT) FFT एल्गोरिदम और गॉसियन फोटोनिक सर्किट के बीच संरचनात्मक समरूपता (structural isomorphism) का लाभ उठाता है।

A. बाइपार्टाइट गॉसियन एनकोडिंग (Bipartite Gaussian Encoding)

2D डेटा को संभालने के लिए, लेखक एक नवीन एनकोडिंग योजना पेश करते हैं:

आर्किटेक्चर: सिस्टम दो रजिस्टरों का उपयोग करता है, $r_1$ ( $m$ मोड्स के साथ) और $r_2$ ( $n$ मोड्स के साथ)।
SVD-आधारित एम्बेडिंग: एक इनपुट मैट्रिक्स $D \in \mathbb{R}^{m \times n}$ को सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (SVD) के माध्यम से $D = U \Sigma V^\top$ में विघटित किया जाता है।
स्टेट प्रिपरेशन:
1. स्क्वीजिंग (Squeezing): दो रजिस्टरों के बीच मोड के जोड़ों पर टू-मोड स्क्वीजिंग (TMS) गेट्स लागू किए जाते हैं। स्क्वीजिंग पैरामीटर्स $D$ के सिंगुलर मानों ( $\sigma_k$ ) द्वारा निर्धारित होते हैं, जो डेटा के परिमाण को इंटर-रजिस्टर सहसंबंधों (inter-register correlations) में एम्बेड करते हैं।
2. इंटरफेरोमेट्री (Interferometry): रजिस्टर $r_1$ और $r_2$ में क्रमशः $U$ और $V$ यूनिटरी मैट्रिसेस के अनुरूप पैसिव इंटरफेरोमीटर (बीम स्प्लिटर और फेज शिफ्टर्स के माध्यम से निर्मित) लागू किए जाते हैं।
परिणाम: इनपुट मैट्रिक्स $D$ को बाइपार्टाइट गॉसियन स्टेट के कोवेरिएंस मैट्रिक्स के क्रॉस-कोवेरिएंस ब्लॉक ( $\sigma_{x r_1 x r_2}$ ) में सटीक रूप से एनकोड किया जाता है। यह क्वांटम स्टेट स्तर पर डेटा की 2D संरचना को संरक्षित करता है।

B. CV–QFL (कूली–टूकी कार्यान्वयन)

मुख्य नवाचार है क्लासिकल CT बटरफ्लाई नेटवर्क को सीधे ऑप्टिकल गेट्स में मैप करना:

बटरफ्लाई आइसोमॉर्फिज्म: क्लासिकल CT बटरफ्लाई ऑपरेशन (एक फेज शिफ्ट के साथ दो इनपुट्स का रैखिक संयोजन) को एक फेज गेट ( $R$ ) और एक बीम स्प्लिटर ($BS$) के अनुक्रम में मैप किया जाता है।
समानांतर प्रोसेसिंग: 2D फूरियर ट्रांसफॉर्म विभाज्य (separable) है। CV–QFL समानांतर में रजिस्टर $r_1$ और रजिस्टर $r_2$ पर स्वतंत्र 1D QFTs लागू करता है।
एक्सट्रैक्शन: ट्रांसफॉर्मेशन के बाद, मूल मैट्रिक्स $\hat{D} = F_m D F_n^\top$ का 2D डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) सीधे अपडेट किए गए कोवेरिएंस मैट्रिक्स से निकाला जाता है, जिसमें वास्तविक भाग (वास्तविक $x$ - $x$ क्रॉस-ब्लॉक से) और काल्पनिक भाग ( $x$ - $p$ क्रॉस-ब्लॉक से) को संयोजित किया जाता है।

C. जटिलता विश्लेषण (Complexity Analysis)

क्लासिकल 2D-FFT: $O(mn \log(mn))$ ।
CV–QFL: चूंकि दोनों रजिस्टरों को समानांतर में प्रोसेस किया जाता है, इसलिए गेट काउंट $O(m \log m + n \log n)$ के रूप में स्केल करता है। यह बड़े 2D डोमेन के लिए फ्लैट-टेन्ड क्लासिकल दृष्टिकोण की तुलना में सर्किट संसाधनों में महत्वपूर्ण कमी का प्रतिनिधित्व करता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

संरचनात्मक समरूपता (Structural Isomorphism): यह शोध पत्र गॉसियन फोटोनिक गेट्स (बीम स्प्लिटर और फेज शिफ्टर्स) और क्लासिकल कूली–टूकी बटरफ्लाई नेटवर्क के बीच एक सीधा मैपिंग स्थापित करता है, जिससे नेटिव ऑप्टिकल FFT सक्षम होता है।
बाइपार्टाइट गॉसियन एनकोडिंग: एक नई एनकोडिंग रणनीति जो एक बाइपार्टाइट स्टेट के क्रॉस-कोवेरिएंस में 2D मैट्रिक्स को एम्बेड करती है, जिससे डेटा को बिना 'फ्लैटन' किए सटीक 2D स्पेक्ट्रल प्रोसेसिंग संभव होती है।
CV–QFL आर्किटेक्चर: एक विशिष्ट क्वांटम लेयर का डिज़ाइन जो कम गेट जटिलता ( $O(m \log m + n \log n)$ ) के साथ सटीक 2D QFT करता है।
नेटिव ऑप्टिकल प्रोसेसिंग: यह ढांचा ऑप्टिकल सिग्नलों (कोहेरेंट लाइट) को सीधे प्रोसेस करने की अनुमति देता है, जिससे स्पष्ट क्लासिकल-टू-क्वांटम एनकोडिंग की आवश्यकता के बिना "एनकोडिंग बॉटलनेक" से बचा जा सकता है।

4. परिणाम (Results)

लेखकों ने स्ट्रॉबेरी फील्ड्स (Strawberry Fields) फोटोनिक सिम्युलेटर का उपयोग करके दो कार्यों पर CV–QFL को सत्यापित किया:

A. स्पेक्ट्रल लो-पास फ़िल्टरिंग (Spectral Low-Pass Filtering)

कार्य: गैसियन नॉइज़ से दूषित $64 \times 64$ इमेज का डिनोइजिंग (denoising)।
विधि: एक स्पेक्ट्रल मास्क को फूरियर डोमेन में LossChannel ऑपरेशन्स (विशिष्ट मोड्स को कम करना) का उपयोग करके लागू किया गया, जिसके बाद एक इनवर्स QFT लगाया गया।
प्रदर्शन: CV–QFL ने सिग्नल-टू-नॉइज़ रेशियो (SNR) में +9.4 dB का सुधार दिखाया, जो क्लासिकल बेसलाइन (+10.7 dB) के तुलनीय है। महत्वपूर्ण रूप से, उसी आयताकार मास्क का उपयोग करने वाले क्लासिकल संदर्भ की तुलना में, त्रुटि $3.8 \times 10^{-15}$ (मशीन प्रिसिजन) थी, जो इसके सटीक फोटोनिक कार्यान्वयन की पुष्टि करती है।

B. 2D हीट इक्वेशन को हल करना (Solving the 2D Heat Equation)

कार्य: चार टाइम स्टेप्स के ऊपर 2D हीट इक्वेशन ( $\partial_t u = \alpha \nabla^2 u$ ) का संख्यात्मक एकीकरण।
विधि: फूरियर डोमेन में समाधान में मोड्स का एक्सपोनेंशियल डैम्पिंग शामिल है। लेखकों ने इसे सटीक प्रोपेगेटर $G(k, \Delta t) = e^{-\alpha |k|^2 \Delta t}$ से मेल खाने के लिए LossChannel गेट्स की ट्रांसमिसिविटी को प्रोग्राम करके लागू किया।
प्रदर्शन: CV–QFL समाधान ने सभी टाइम स्टेप्स पर फ्लोटिंग-पॉइंट प्रिसिजन ( $< 10^{-15}$ त्रुटि) के साथ क्लासिकल स्यूडोस्पेक्ट्रल सॉल्वर से मिलान किया। डिफ्यूजिंग गैसियन ब्लॉब्स का विजुअल आउटपुट क्लासिकल सिमुलेशन से अभिन्न रूप से अविभेदनीय था।

5. महत्व और भविष्य की संभावनाएं (Significance and Future Outlook)

वैज्ञानिक मशीन लर्निंग: CV–QFL, निरंतर-चर (CV) डोमेन में न्यूरल ऑपरेटर्स (जैसे फूरियर न्यूरल ऑपरेटर्स) के लिए एक आधारभूत बिल्डिंग ब्लॉक प्रदान करता है, जो अनंत-आयामी फंक्शन स्पेस के बीच मैपिंग सीखने में सक्षम बनाता है।
क्वांटम एडवांटेज की क्षमता: हालांकि वर्तमान गॉसियन कार्यान्वयन क्लासिकली सिमुलेबल है, यह ढांचा नॉन-गॉसियन (non-Gaussian) विस्तार के लिए आधार तैयार करता है। नॉन-गॉसियन संसाधनों को एकीकृत करके, यह आर्किटेक्चर उन समस्याओं (जैसे मेनी-बॉडी हैमिल्टोनियन डायनेमिक्स) को हल कर सकता है जहाँ क्लासिकल सिमुलेशन कठिन है।
हार्डवेयर-नेटिव अनुप्रयोग: यह विधि उन परिदृश्यों के लिए अनूठी रूप से उपयुक्त है जहाँ डेटा पहले से ही ऑप्टिकल है (जैसे इंटरफेरोमीटर या वेवफ्रंट सेंसर से), जिससे डिजिटल रूपांतरण के बिना रीयल-टाइम, हार्डवेयर-नेटिव स्पेक्ट्रल प्रोसेसिंग संभव होती है।
सीमाएँ: वर्तमान दृष्टिकोण 2D डेटा और गॉसियन अवस्थाओं तक सीमित है। उच्च आयामों या नॉन-गॉसियन ऑपरेशन्स तक विस्तार करने के लिए नए रजिस्टर स्ट्रक्चर और अधिक जटिल प्रायोगिक सेटअप की आवश्यकता होगी।

संक्षेप में, यह कार्य क्लासिकल सिग्नल प्रोसेसिंग एल्गोरिदम और निरंतर-चर क्वांटम हार्डवेयर के बीच के अंतर को पाटता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि फोटोनिक सर्किट कम संसाधन स्केलिंग के साथ सटीक, उच्च-निष्ठा वाले 2D स्पेक्ट्रल ट्रांसफॉर्मेशन कर सकते हैं, जो क्वांटम-एन्हांस्ड वैज्ञानिक कंप्यूटिंग का मार्ग प्रशस्त करता है।