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Local linear stability of dual-pairing summation-by-parts methods for nonlinear conservation laws

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि हाल ही में विकसित उच्च-क्रम ड्युअल-पेयरिंग समेशन-बाय-पार्ट्स विधियाँ, जो एक एंट्रॉपी-स्टेबल वॉल्यूम अपविंड फ़िल्टर का उपयोग करती हैं, गैर-रेखीय संरक्षण नियमों (nonlinear conservation laws) के लिए प्रमाणित एंट्रॉपी स्थिरता और महत्वपूर्ण स्थानीय ऊर्जा स्थिरता दोनों प्राप्त करती हैं, जिससे उच्च-आवृत्ति मोड के प्रभुत्व को रोका जा सकता है और अशांत प्रवाह (turbulent flows) के सटीक सिमुलेशन को सक्षम बनाया जा सकता है।

मूल लेखक: Dougal Stewart, Kenneth Duru

प्रकाशित 2026-03-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Dougal Stewart, Kenneth Duru

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप कंप्यूटर पर मौसम, धमनी में रक्त के प्रवाह, या समुद्र की धाराओं की गति का अनुकरण (simulate) करने की कोशिश कर रहे हैं। ये सभी नॉनलीनर कंजर्वेशन लॉज़ (nonlinear conservation laws) के उदाहरण हैं—जटिल गणितीय नियम जो यह बताते हैं कि ऊर्जा, द्रव्यमान और संवेग जैसी चीजें कैसे चलती और बदलती हैं।

चुनौती यह है कि ये प्रणालियाँ अराजक (chaotic) होती हैं। वे शॉकवेव्स (जैसे सोनिक बूम) या टर्बुलेंस (जैसे नदी में घूमते भंवर) बना सकती हैं। यदि आपका कंप्यूटर सिमुलेशन सावधान नहीं है, तो यह बेकाबू हो सकता है, गलत परिणाम दे सकता है या पूरी तरह से क्रैश हो सकता है।

यह शोध पत्र इन कंप्यूटर सिमुलेशन को बनाने का एक नया, स्मार्ट तरीका पेश करता है ताकि वे रोबस्ट (robust) (क्रैश न हों) और सटीक (accurate) (डिजिटल शोर से प्रदूषित न हों) दोनों हों।

यहाँ सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके इसका विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "दो सिरों वाला" राक्षस

इन जटिल प्रवाहों का अनुकरण करने के लिए, वैज्ञानिक हाई-ऑर्डर मेथड्स (बहुत विस्तृत, उच्च-रिज़ॉल्यूशन गणित) का उपयोग करते हैं। हालाँकि, इन विधियों में एक पेचीदा समस्या होती है: वे अक्सर एक ही समय में दो परस्पर विरोधी आवश्यकताओं को पूरा करने में संघर्ष करते हैं।

आवश्यकता A: एंट्रॉपी स्टेबिलिटी (एंट्रॉपी स्थिरता - "सुरक्षा जाल")
इसे एक सुरक्षा जाल के रूप में सोचें। यह सुनिश्चित करता है कि सिमुलेशन कभी भी अनंत (infinity) में न फट जाए। यह गारंटी देता है कि कुल ऊर्जा अचानक कहीं से प्रकट नहीं हो सकती। यदि कोई सिमुलेशन "एंट्रॉपी स्टेबल" है, तो वह क्रैश नहीं होगा।
- दोष: एक सिमुलेशन सुरक्षित (क्रैश न होना) हो सकता है, लेकिन फिर भी गलत हो सकता है। यह "स्थिर" हो सकता है जबकि यह अदृश्य, उच्च-आवृत्ति वाले डिजिटल शोर (जैसे पुराने टीवी पर स्टैटिक/झिलमिलाहट) से भर जाता है जो तस्वीर को खराब कर देता है।
आवश्यकता B: लोकल लीनियर स्टेबिलिटी (स्थानीय रैखिक स्थिरता - "शोर फिल्टर")
यह छोटे विवरणों को साफ रखने के बारे में है। कल्पना कीजिए कि आप एक सिम्फनी सुन रहे हैं। यदि ऑर्केस्ट्रा पूरी तरह से खेल रहा है, लेकिन पीछे एक बहुत ही सूक्ष्म, तीखी आवाज़ आती है जो धीरे-धीरे तेज़ होती जाती है, तो अंततः वह संगीत को दबा देती है।
- दोष: कई वर्तमान "सुरक्षित" विधियाँ इन सूक्ष्म, अनसुलझे डिजिटल चीखों (उच्च-आवृत्ति वाली तरंगों) को बढ़ने देती हैं। वे क्रैश नहीं होतीं, लेकिन परिणाम एक धुंधला, अशुद्ध ढेर बन जाता है।

बड़ा सवाल: क्या हम एक ऐसा तरीका बना सकते हैं जो दोनों रूप से सुरक्षित (क्रैश न हो) और साफ (डिजिटल शोर को हावी न होने दे) हो?

2. समाधान: "डुअल-पेयरिंग" फ़िल्टर

लेखक एक नई विधि प्रस्तावित करते हैं जिसे डुअल-पेयरिंग समेशन-बाय-पार्ट्स (DP SBP) कहा जाता है।

एक मानक सिमुलेशन विधि को गेंदों को उछालने (juggle) की कोशिश करने वाले हाथों के एक जोड़े के रूप में सोचें। कभी-कभी वे उन्हें गिरा देते हैं (अस्थिरता)।
DP SBP विधि दो जोड़ों के हाथों की तरह है जो पूर्ण तालमेल में काम कर रहे हैं।

एक जोड़ा "फॉरवर्ड" (आगे की ओर) गति को संभालता है।
दूसरा जोड़ा "बैकवर्ड" (पीछे की ओर) गति को संभालता है।
साथ मिलकर, वे एक-दूसरे को पूरी तरह से संतुलित करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि ऊर्जा गलत तरीके से न तो खोई जाए और न ही बढ़ाई जाए।

3. गुप्त सामग्री: "वॉल्यूम अपविंडिंग" फ़िल्टर

इस शोध पत्र की सबसे बड़ी खोज वह विशिष्ट सामग्री है जिसे वे इस दो-हाथों वाले जुगलबंदी कार्य में जोड़ते हैं: वॉल्यूम अपविंडिंग (Volume Upwinding)।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक गलियारे में चल रहे हैं जहाँ तेज़ हवा चल रही है।
- यदि आप बस सामान्य रूप से चलते हैं (मानक विधियाँ), तो हवा आपको संतुलन से भटका सकती है, या आप अदृश्य बाधाओं से टकराकर लड़खड़ा सकते हैं (संख्यात्मक शोर)।
- अपविंडिंग (Upwinding) हवा के विरुद्ध झुकने जैसा है। यह प्रवाह के विरुद्ध एक जानबूझकर, गणना किया गया धक्का है ताकि चीज़ें स्थिर रहें।
- आमतौर पर, आप यह केवल अपने सिमुलेशन के किनारों (boundaries) पर करते हैं।
- नवाचार: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप इस "हवा के विरुद्ध झुकने" की तकनीक को आपके सिमुलेशन के पूरे वॉल्यूम (आयतन) में लागू करते हैं (न कि केवल किनारों पर), तो यह एक फ़िल्टर के रूप में कार्य करता है।

यह फ़िल्टर क्या करता है?
यह आपके गणित के लिए 'नॉइज़-कैंसलिंग हेडफ़ोन' की तरह काम करता है। यह विशेष रूप से उन परेशान करने वाले, उच्च-आवृत्ति वाले डिजिटल शोर (अनसुलझे वेव मोड) को लक्षित करता है और उन्हें बड़ा होने से पहले ही कम (damp) कर देता है जिससे वे सिमुलेशन को बर्बाद कर सकें।

4. प्रमाण: बर्गर्स समीकरण से लेकर अशांत महासागरों तक

लेखकों ने दो स्तरों पर इस विचार का परीक्षण किया:

सरल परीक्षण (बर्गर्स समीकरण - Burgers' Equation):
उन्होंने एक सरल वेव इक्वेशन के साथ शुरुआत की। उन्होंने दिखाया कि बिना इस "वॉल्यूम फ़िल्टर" के, सिमुलेशन में जंगली, बढ़ते हुए एरर (जैसे फीडबैक लूप) विकसित होते हैं। फ़िल्टर के साथ, त्रुटियां समाप्त हो गईं और सिमुलेशन पूरी तरह से स्थिर रहा।
कठिन परीक्षण (2D टर्बुलेंस):
उन्होंने एक विशाल, घूमते हुए समुद्री करंट (बरोट्रोपिक शीयर इंस्टेबिलिटी) का अनुकरण किया जो पूर्ण टर्बुलेंस पैदा करता है।
- फ़िल्टर के बिना: सिमुलेशन जल्दी ही डिजिटल स्टैटिक (झिलमिलाहट) से भर गया। सुंदर घूमते हुए पैटर्न शोर से नष्ट हो गए, और ऊर्जा स्पेक्ट्रम (टर्बुलेंस का "ध्वनि") कचरा जैसा दिखने लगा।
- फ़िल्टर के साथ: सिमुलेशन ने घूमते हुए भंवरों (vortices) को खूबसूरती से कैप्चर किया। इसने शोर से अभिभूत हुए बिना टर्बुलेंस के सूक्ष्म विवरणों को हल किया। इसने एक "पावर लॉ" (एक विशिष्ट गणितीय पैटर्न जो वास्तविक दुनिया के टर्बुलेंस में पाया जाता है) का उत्पादन किया जो वास्तविक भौतिकी से मेल खाता था।

मुख्य निष्कर्ष (The Takeaway)

यह शोध पत्र कम्प्यूटेशनल फिजिक्स की एक लंबे समय से चली आ रही पहेली को हल करता है। यह सिद्ध करता है कि आप अपनी इच्छानुसार दोनों चीजें प्राप्त कर सकते हैं:

रोबस्टनेस (Robustness): सिमुलेशन क्रैश नहीं होगा (एंट्रॉपी स्टेबिलिटी)।
सटीकता (Accuracy): सिमुलेशन डिजिटल शोर से बर्बाद नहीं होगा (लोकल लीनियर स्टेबिलिटी)।

इस नए डुअल-पेयरिंग मेथड और इसमें बने "वॉल्यूम अपविंड फ़िल्टर" का उपयोग करके, वैज्ञानिक अब मौसम, विस्फोट और टर्बुलेंस जैसी जटिल घटनाओं के उच्च-रिज़ॉल्यूशन सिमुलेशन उस स्तर की विश्वसनीयता और स्पष्टता के साथ चला सकते हैं जो पहले असंभव था। यह एक डगमगाते, स्टैटिक-भरे टीवी से क्रिस्टल-क्लियर 4K स्क्रीन में अपग्रेड करने जैसा है।

यहाँ शोध पत्र "Local Linear Stability of Dual-Pairing Summation-by-Parts Methods for Nonlinear Conservation Laws" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

नॉनलीनियर कंजर्वेशन लॉज़ (Nonlinear Conservation Laws) के लिए उच्च-क्रम सटीक संख्यात्मक विधियों (high-order accurate numerical methods) के विकास में एक मौलिक चुनौती है: नॉनलीनियर (एन्ट्रॉपी) स्थिरता (Entropy Stability) और लोकल लीनियर (एनर्जी) स्थिरता (Local Linear Stability) को एक साथ प्राप्त करना।

नॉनलीनियर/एन्ट्रॉपी स्थिरता: यह समाधानओं की सीमाबद्धता (boundedness) सुनिश्चित करती है और 'ब्लो-अप' (blow-up) को रोकती है, जो शॉक (shocks) और टर्बुलेंस (turbulence) को संभालने के लिए महत्वपूर्ण है।
लोकल लीनियर स्थिरता: यह सुनिश्चित करती है कि विक्षोभों (perturbations) की विषम संख्यात्मक वृद्धि दर (asymptotic numerical growth rate), अंतर्निहित भौतिक प्रणाली की निरंतर वृद्धि दर से अधिक न हो।
द्वंद्व (The Conflict): कई मौजूदा उच्च-क्रम एन्ट्रॉपी-स्टेबल स्कीम्स (जैसे, skew-symmetric split-form SBP या DGSEM विधियाँ) नॉनलीनियर ब्लो-अप के विरुद्ध तो मजबूत हैं, लेकिन लोकल लीनियर अस्थिरता से ग्रस्त होती हैं। ये विधियाँ अक्सर अनसुलझे उच्च-आवृत्ति तरंग मोड (unresolved high-frequency wave modes) को तेजी से बढ़ने देती हैं, जिससे समाधान में अवांछित दोलन (spurious oscillations) पैदा होते हैं और सटीकता नष्ट हो जाती है, भले ही समाधान सीमाबद्ध बना रहे। यह शोध इस खुले प्रश्न का समाधान करता है कि क्या कोई एकल विधि इन दोनों स्थिरता मानदंडों को संतुष्ट कर सकती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक हाल ही में Duru et al. [5] द्वारा प्रस्तुत डुअल-पेयरिंग (DP) समेशन-बाय-पार्ट्स (SBP) ढांचे का विश्लेषण करते हैं। कार्यप्रणाली में शामिल हैं:

सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework):
- डुअल-पेयरिंग ऑपरेटर्स: एक फॉरवर्ड ( $D_+$ ) और बैकवर्ड ( $D_-$ ) फिमिट डिफरेंस या डिस्कंटीन्यूअस गैलरकिन (DG) ऑपरेटर्स के युग्म का उपयोग करना जो SBP गुण को संतुष्ट करते हैं। यह बाउंड्री कंडीशंस और इंटरफेस कपलिंग के लचीले उपचार की अनुमति देता है।
- स्क्यू-सिमेट्रिक स्प्लिट-फॉर्म (Skew-Symmetric Split-Form): नॉनलीनियर कंजर्वेशन लॉज़ को स्क्यू-सिमेट्रिक रूप में पुनर्गठित करना (कंजर्वेटिव और एडिक्टिव रूपों का कॉनवेक्स कॉम्बिनेशन) ताकि चेन रूल (chain rule) का उपयोग किए बिना एन्ट्रॉपी संरक्षण को सुगम बनाया जा सके।
- वॉल्यूम अपविंडिंग (Volume Upwinding): सेमी-डिस्क्रीट स्कीम में एक अंतर्निहित वॉल्यूम अपविंड फिल्टर (पैरामीटर $\gamma$ द्वारा चिह्नित) पेश करना। यह फिल्टर एक अपव्यय तंत्र (dissipation mechanism) के रूप में कार्य करता है जो विशेष रूप से अनसुलझे उच्च-आवृत्ति मोड को लक्षित करता है।
स्थिरता विश्लेषण (Stability Analysis):
- लीनियराइजेशन (Linearization): लेखक एक सुचारू बेस-फ्लो ( $U$ ) के चारों ओर नॉनलीनियर सेमी-डिस्क्रीट समीकरणों को लीनियराइज करते हैं ताकि छोटे विक्षोभों ( $\delta u$ ) के विकास का अध्ययन किया जा सके।
- आइगेनवैल्यू विश्लेषण (Eigenvalue Analysis): वे लीनियरलाइज्ड डिस्क्रीट ऑपरेटर $Q$ के स्पेक्ट्रम का परीक्षण करते हैं। एक विधि को लोकलली एनर्जी स्टेबल (सख्त रूप से स्थिर) माना जाता है यदि अधिकतम वास्तविक आइगेनवैल्यू ( $\lambda_{max}$ ) इस प्रकार हो कि $\lambda_{max} \leq \eta_c + O(\Delta x)$ , जहाँ $\eta_c$ निरंतर वृद्धि दर है।
- इष्टतम पैरामीटर व्युत्पत्ति (Optimal Parameter Derivation): इनविस्किड बर्गर्स समीकरण (inviscid Burgers' equation) के लिए, लेखक विभिन्न क्रम की सटीकता और बेस-फ्लो के ग्रेडिएंट के फलन के रूप में इष्टतम अपविंड पैरामीटर्स ( $\gamma_{opt}$ ) व्युत्पन्न करते हैं। वे दिखाते हैं कि $\gamma_{opt}$ , $(1-\alpha)\max|\Delta x \partial_x U|$ के साथ स्केल करता है, जहाँ $\alpha$ स्क्यू-सिमेट्रिक स्प्लिटिंग पैरामीटर है।
संख्यात्मक प्रयोग (Numerical Experiments):
- मॉडल: 1D में इनविस्किड बर्गर्स समीकरण और 1D एवं 2D में नॉनलीनियर शैलो वॉटर इक्वेशंस (SWEs)।
- परीक्षण:
  1. आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रा: अपविंडिंग के साथ और बिना ( $\gamma=0$ बनाम $\gamma>0$ ) स्कीम्स की तुलना।
  2. परटर्बेशन ग्रोथ (Perturbation Growth): सबसे तेजी से बढ़ने वाले आइगेनमोड्स द्वारा विक्षेपित प्रारंभिक स्थितियों को विकसित करना ताकि त्रुटि प्रवर्धन (error amplification) देखा जा सके।
  3. टर्बुलेंस सिमुलेशन: टर्बुलेंट स्केल्स और ऊर्जा कैस्केड के समाधान की क्षमता का आकलन करने के लिए 2D बैरोट्रोपिक शियर इंस्टेबिलिटी (Kelvin-Helmholtz instability) का अनुकरण करना।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

लोकल लीनियर स्थिरता का प्रमाण: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि DP SBP विधि में अंतर्निहित एन्ट्रॉपी-स्टेबल वॉल्यूम अपविंड फिल्टर स्थानीय लीनियर स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है। यह उस द्वंद्व को हल करता है जहाँ स्क्यू-सिमेट्रिक रूप आमतौर पर लीनियरलाइज्ड सिस्टम को अस्थिर कर देते हैं।
इष्टतम अपविंड पैरामीटर्स: लेखक बर्गर्स समीकरण के लिए विभिन्न सटीकता क्रमों (सम और विषम दोनों) के लिए इष्टतम वॉल्यूम अपविंड पैरामीटर ( $\gamma_{opt}$ ) के स्पष्ट सूत्र प्रदान करते हैं। वे दिखाते हैं कि सुचारू प्रवाह के लिए ग्रिड रिफाइनमेंट ( $\Delta x \to 0$ ) के साथ $\gamma_{opt} \to 0$ होता है, जो निरंतरता (consistency) सुनिश्चित करता है।
एकीकृत स्थिरता (Unified Stability): यह कार्य ऐसी उच्च-क्रम विधियों को डिजाइन करने के लिए एक ढांचा स्थापित करता है जो एक साथ प्रमाणित रूप से एन्ट्रॉपी-स्टेबल (नॉनलीनियर रूप से स्थिर) और लोकलली एनर्जी-स्टेबल हैं।
टर्बुलेंस रेजोल्यूशन: यह अध्ययन ग्रिड-स्केल शोर (grid-scale noise) के प्रदूषण के बिना पूरी तरह से विकसित टर्बुलेंस को हल करने की विधि की क्षमता को प्रमाणित करता है, जो कि मानक एन्ट्रॉपी-स्टेबल स्प्लिट-फॉर्म स्कीम्स की एक सामान्य विफलता है।

4. परिणाम (Results)

आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रा:
- अपविंडिंग के बिना ( $\gamma=0$ ): एन्ट्रॉपी-स्टेबल स्क्यू-सिमेट्रिक स्कीम्स के आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रा बाएं और दाएं हाफ-प्लेन के बीच विभाजित होते हैं। धनात्मक वास्तविक भाग ग्रिड-स्केल त्रुटियों के घातीय विकास (exponential growth) को दर्शाते हैं, जिससे अस्थिरता होती है।
- अपविंडिंग के साथ ( $\gamma=\gamma_{opt}$ ): स्पेक्ट्रा पूरी तरह से बाएं हाफ-प्लेन की ओर स्थानांतरित हो जाते हैं (या गैर-धनात्मक वास्तविक भाग होते हैं), जो सख्त स्थिरता की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।
परटर्बेशन इवोल्यूशन (Perturbation Evolution):
- अपविंडिंग की अनुपस्थिति में, विक्षोभ नॉनलीनियर सैचुरेशन होने तक तेजी से बढ़ते हैं, जिससे समाधान उच्च-आवृत्ति शोर से दूषित हो जाता है।
- इष्टतम अपविंडिंग के साथ, विक्षोभ मशीन प्रिसिजन के स्तर तक घटते हैं या सीमित रहते हैं, जिससे बेस फ्लो की सटीकता बनी रहती है।
2D टर्बुलेंस (Kelvin-Helmholtz Instability):
- DGSEM ( $\gamma=0$ ): सिमुलेशन 20 दिनों के भीतर संख्यात्मक शोर से भर जाता है, जिससे भंवर संरचनाएं (vortex structures) नष्ट हो जाती हैं। ऊर्जा और एनस्ट्रॉफी स्पेक्ट्रा में कोई भौतिक पावर-लॉ व्यवहार नहीं दिखता है।
- DP DG ( $\gamma>0$ ): यह विधि 80 दिनों तक भंवर संरचनाओं और टर्बुलेंस के विकास को सटीक रूप से कैप्चर करती है।
- स्पेक्ट्रल विश्लेषण: DP DG विधि गतिज ऊर्जा (kinetic energy) के लिए $k^{-3.5}$ पावर लॉ और एनस्ट्रॉफी के लिए $k^{-1.5}$ लॉ के साथ एक क्राइचैन इनर्शियल रेंज (Kraichnan inertial range) प्रदर्शित करती है, जो 2D हाइड्रोडायनामिक टर्बुलेंस सिद्धांत के अनुरूप है। इसके विपरीत, मानक DGSEM शोर के कारण इन रुझानों को दिखाने में विफल रहता है।

5. महत्व (Significance)

यह कार्य महत्वपूर्ण है क्योंकि यह नॉनलीनियर PDEs के लिए उच्च-क्रम संख्यात्मक विधियों में एक महत्वपूर्ण अंतर को पाटता है।

विश्वसनीयता: यह ऐसी विधियों को डिजाइन करने के लिए एक सैद्धांतिक और व्यावहारिक मार्ग प्रदान करता है जो न केवल "जीवित" (नॉनलीनियर स्थिरता) रहती हैं, बल्कि जटिल शासन (जैसे टर्बुलेंस) में "सटीक रूप से प्रदर्शन" (लोकल लीनियर स्थिरता) भी करती हैं।
दक्षता: बाहरी आर्टिफिशियल विस्कोसिटी या फिल्टरिंग के बजाय एक अंतर्निहित वॉल्यूम अपविंड फिल्टर का उपयोग करके, यह विधि उच्च-क्रम सटीकता बनाए रखते हुए स्प्यूरियस मोड को दबाती है।
अनुप्रयोग: पूरी तरह से विकसित टर्बुलेंस के साथ 2D बैरोट्रोपिक शियर इंस्टेबिलिटी का सफल सिमुलेशन भू-भौतिकीय तरल गतिकी (geophysical fluid dynamics) और अन्य क्षेत्रों के लिए इस विधि की क्षमता को प्रदर्शित करता है जिन्हें उच्च-निष्ठा टर्बुलेंस मॉडलिंग की आवश्यकता होती है।
सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: यह स्पष्ट करता है कि स्क्यू-सिमेट्रिक रूपों में "अस्थिर करने वाले" पद (चेन/प्रोडक्ट नियमों के अवशेष) को DP SBP ढांचे में अंतर्निहित अपविंड डिसिपेशन द्वारा प्रभावी ढंग से निष्प्रभावी किया जा सकता है, जिससे नॉनलीनियर कंजर्वेशन लॉज़ के मजबूत, उच्च-क्रम सिमुलेशन संभव होते हैं।