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Structure-aware divergences for comparing probability distributions

यह शोध पत्र ब्रेगमन डाइवर्जेंस (Bregman divergences) पर आधारित संरचना-जागरूक डाइवर्जेंस के एक परिवार को प्रस्तुत करता है जो वितरण तत्वों की ज्यामितीय समानता को समाहित करते हैं, जो आर्थिक भूगोल और पारिस्थितिकी जैसे क्षेत्रों में प्रणालियों के विश्लेषण के लिए अनुकूल परिवहन (optimal transport) का एक गणनात्मक रूप से कुशल और प्रभावी विकल्प प्रदान करता है जहाँ मानक सूचना-सैद्धांतिक माप अंतर्निहित संरचनात्मक संबंधों को पकड़ने में विफल रहते हैं।

मूल लेखक: Rohit Sahasrabuddhe, Renaud Lambiotte

प्रकाशित 2026-03-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Rohit Sahasrabuddhe, Renaud Lambiotte

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक शेफ हैं जो दो अलग-अलग फलों की टोकरियों की तुलना करने की कोशिश कर रहे हैं।

पुराना तरीका (मानक गणित):
पारंपरिक गणित हर फल को एक पूरी तरह से अलग, असंबंधित वस्तु मानता है। यह गिनता है कि टोकरी A में कितने सेब हैं बनाम टोकरी B में। यदि टोकरी A में 5 सेब हैं और टोकरी B में 5 सेब हैं, तो गणित कहता है कि वे समान हैं। यदि टोकरी A में 5 सेब हैं और टोकरी B में 5 संतरे हैं, तो गणित कहता है कि वे पूरी तरह से अलग हैं।

लेकिन यह एक महत्वपूर्ण तथ्य को अनदेखा करता है: सेब और नाशपाती एक-दूसरे के अधिक समान हैं बजाय सेब और केले के। पारंपरिक गणित इन संबंधों के प्रति "अंधा" है। यह एक नाशपाती और एक केले को वैसे ही अलग मानता है जैसे एक नाशपाती और एक पत्थर को।

नया तरीका (इस शोध पत्र का विचार):
लेखकों, रोहित और रेनॉल्ड ने टोकरियों की तुलना करने के लिए एक नया "स्मार्ट रूलर" (सटीक पैमाना) बनाया है। यह रूलर जानता है कि कुछ चीजें "चचेरी बहनें" (जैसे सेब और नाशपाती) हैं और कुछ "अजनबी" (जैसे सेब और केले) हैं।

वे इसे स्ट्रक्चर-अवेयर डाइवर्जेंस (Structure-Aware Divergence) कहते हैं।

यह कैसे काम करता है, इसे सरल अवधारणाओं में विभाजित किया गया है:

1. समानता का "फैमिली ट्री" (वंशवृक्ष)

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मानचित्र है कि चीजें एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

नौकरी के बाजार में: एक "सॉफ्टवेयर इंजीनियर" और एक "डेटा साइंटिस्ट" करीबी चचेरे भाई हैं। वे कई कौशल साझा करते हैं। एक "सॉफ्टवेयर इंजीनियर" और एक "किसान" दूर के रिश्तेदार हैं।
प्रकृति में: एक "शेर" और एक "बाघ" करीबी चचेरे भाई हैं। एक "शेर" और एक "शार्क" दूर के रिश्तेदार हैं।

लेखक एक सिमिलैरिटी मैट्रिक्स (Similarity Matrix) बनाते हैं। इसे एक विशाल स्प्रेडशीट के रूप में समझें जहाँ हर आइटम हर दूसरे आइटम से एक "दोस्ती स्कोर" के साथ जुड़ा हुआ है। यदि दो आइटम बहुत समान हैं, तो स्कोर उच्च (1.0) होता है। यदि वे पूरी तरह से अलग हैं, तो स्कोर कम (0.0) होता है।

2. "फैलाव" को मापना (एन्ट्रॉपी)

हम कैसे मापते हैं कि एक टोकरी कितनी "विविध" है?

पुराना गणित: यदि आपके पास 5 सेब और 5 संतरे हैं, तो यह बहुत विविध है। यदि आपके पास 5 सेब और 5 नाशपाती हैं, तो यह भी बहुत विविध है क्योंकि गणित उन्हें अलग वस्तुओं के रूप में देखता है।
नया गणित: यदि आपके पास 5 सेब और 5 नाशपाती हैं, तो गणित कहता है, "हे, ये तो चचेरे भाई हैं! यह टोकरी उतनी विविध नहीं है।" लेकिन यदि आपके पास 5 सेब और 5 शार्क हैं, तो गणित कहता है, "वाह, यह बहुत बड़ा फैलाव है!"

यह हमें समझने में मदद करता है कि समान चीजों की विविधता रखना, बहुत अलग चीजों की विविधता रखने की तुलना में कम दिलचस्प है।

3. "सुपर फास्ट" लाभ

अंतरों को मापने का एक और तरीका है जिसे ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट (Optimal Transport) (या "मूविंग कॉस्ट" विधि) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि आपको टोकरी A से टोकरी B में मेल बिठाने के लिए फलों को भौतिक रूप से ले जाना पड़ता है। आप एक सेब को नाशपाती में बदलने बनाम एक सेब को केले में बदलने की लागत की गणना करते हैं।

समस्या: यह अविश्वसनीय रूप से धीमा और गणनात्मक रूप से भारी है। यह हर बार दो टोकरियों की तुलना करने के लिए एक विशाल पहेली को हल करने जैसा है।
समाधान: लेखकों का नया तरीका एक शॉर्टकट फॉर्मूला की तरह है। इसे एक पहेली को हल करने की आवश्यकता नहीं है; यह बस संख्याओं को एक सुंदर समीकरण में डाल देता है।
- परिणाम: उनकी विधि क्रमों के परिमाण (orders of magnitude) अधिक तेज़ है। यह एक कॉफी के लिए पूरे शहर में पैदल चलने (ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट) और एक टेलीपोर्टर का उपयोग करने (उनका तरीका) के बीच का अंतर है।

शोध पत्र के वास्तविक दुनिया के उदाहरण

उदाहरण A: नौकरियों का भूगोल (इंग्लैंड और वेल्स)
लेखकों ने देखा कि विभिन्न शहरों में लोग क्या नौकरियां करते हैं।

नए रूलर के बिना: उन्होंने शहरों को केवल नौकरी के शीर्षकों के आधार पर समूहीकृत किया।
नए रूलर के साथ: उन्होंने महसूस किया कि "सॉफ्टवेयर इंजीनियरों" और "डेटा वैज्ञानिकों" से भरा शहर वास्तव में "इंजीनियरों" और "वास्तुकारों" से भरे शहर के समान है क्योंकि उनके कौशल आपस में मिलते हैं।
परिणाम: उन्होंने पाया कि "समानता" की अलग-अलग परिभाषाएं देश के पूरी तरह से अलग मानचित्र बनाती हैं। यदि आप कौशल की परवाह करते हैं, तो क्षेत्रों का एक सेट समझ में आता है। यदि आप इस बात की परवाह करते कि लोग कहाँ मिलकर काम करते हैं, तो एक अलग सेट समझ में आता है। यह सरकारों को बेहतर आर्थिक क्षेत्र बनाने में मदद करता है।

उदाहरण B: प्रकृति की रिकवरी (ग्लेशियर)
उन्होंने एक पिघलते हुए ग्लेशियर पर उगने वाले पौधों को देखा।

प्रश्न: जैसे-जैसे ग्लेशियर पिघलता है, पारिस्थितिकी तंत्र (ecosystem) कैसे बदलता है?
अंतर्दृष्टि: शुरुआती चरणों में, पौधे एक-दूसरे से बहुत भिन्न होते हैं (उच्च विविधता)। बाद में, भले ही पौधों के नाम बदल जाएं, उनके कार्य (जैसे कि वे कितने ऊंचे हैं या वे कितना पानी रोक सकते हैं) बहुत समान हो जाते हैं।
परिणाम: उनके तेज़, स्मार्ट रूलर ने पारिस्थितिकीविदों (ecologists) की आशंका की पुष्टि की: पारिस्थितिकी तंत्र कार्यात्मक रूप से स्थिर होता है, भले ही प्रजातियों के नाम बदलते रहें। और उन्होंने यह पिछले तरीकों की तुलना में बहुत तेज़ी से किया।

आपको इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?

हम एक ऐसी दुनिया में रहते हैं जहाँ सब कुछ एक-दूसरे से जुड़ा हुआ है।

अर्थशास्त्र में: कोई नया व्यवसाय अचानक कहीं से प्रकट नहीं होता; यह आमतौर पर मौजूदा व्यवसायों के समान कौशलों पर आधारित होता है।
पारिस्थितिकी में: जानवर केवल विशिष्ट प्रजातियां नहीं हैं; वे खाद्य जाल (food web) में समान भूमिका निभाते हैं।
समाज में: लोग केवल अलग-थenced व्यक्ति नहीं हैं; वे संस्कृतियों और गुणों को साझा करते हैं।

यह शोध पत्र हमें दुनिया को मापने का एक तेज़, स्मार्ट तरीका देता है जो इन संबंधों का सम्मान करता है। यह हमें एक नाशपी और एक सेब को वैसे ही अलग मानने से रोकता है जैसे एक नाशपी और एक कार को। यह हमें डेटा का "आकार" देखने की अनुमति देता है, न कि केवल कच्चे नंबरों को।

संक्षेप में: उन्होंने एक नया प्रकार का आवर्धक लेंस (magnifying glass) बनाया है जो केवल चीजों को नहीं, बल्कि चीजों के बीच के संबंधों को देखता है, और यह बिजली की गति से काम करता है।

यहाँ रोहित सहस्रबुद्धे और रेनॉड लैम्बियोट के शोध पत्र "Structure-aware divergences for comparing probability distributions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कई प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान प्रणालियों को उन तत्वों पर आधारित प्रायिकता वितरणों (probability distributions) का उपयोग करके मॉडल किया जाता है जिनमें अंतर्निहित संबंध होते हैं (जैसे साझा कौशल वाले व्यवसाय या समान गुणों वाली प्रजातियाँ)। मानक सूचना-सैद्धांतिक उपकरण, जैसे कि शैनन एंट्रॉपी (Shannon entropy) और कुलबैक-लीब्लर (KL) डाइवर्जेंस, इन तत्वों को विनिमेय (interchangeable) मानते हैं और अंतर्निहित समानता संरचना के प्रति अंधे (blind) होते हैं।

यद्यपि "संरचना-जागरूक" (structure-aware) एंट्रॉपी माप मौजूद हैं (जैसे राव का क्वाड्रेटिक एंट्रॉपी, लीन्स्टर-कोलबोल्ड विविधता सूचकांक), ऐसे वितरणों की तुलना करने के लिए संगत डाइवर्जेंस मापों का अभाव है। मौजूदा विकल्प, जैसे कि ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट (OT) दूरियाँ (जैसे वासरस्टीन मीट्रिक), संरचना को शामिल कर सकते हैं लेकिन जटिल अनुकूलन समस्याओं (optimization problems) को हल करने की आवश्यकता के कारण उच्च कम्प्यूटेशनल लागत से ग्रस्त होते हैं। लेखक एक ऐसे परिवार के डाइवर्जेंस पेश करके इस अंतर को भरने का लक्ष्य रखते हैं जो डोमेन की ज्यामिति के प्रति संवेदनशील हो और साथ ही मानक सूचना सिद्धांत की कम्प्यूटेशनल दक्षता और विश्लेषणात्मक सुविधा को भी बनाए रखे।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

A. संरचना-जागरूक एंट्रॉपी (Structure-Aware Entropy)

लेखक हावर्डा-चार्वात (HC) एंट्रॉपी (जिसे त्सलिस द्वारा सामान्यीकृत किया गया है) और रिकाटा और सिडल के संरचना-जागरूक सामान्यीकरण पर आधारित हैं।

परिभाषा: $n$ तत्वों पर एक प्रायिकता वितरण $p$ और एक समानता मैट्रिक्स $Z$ (जहाँ $Z_{ij} \in [0,1]$ , सममित, $Z_{ii}=1$ ) के लिए, क्रम $\alpha$ की संरचना-जागरूक एंट्रॉपी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$H^Z_\alpha(p) = \begin{cases} \frac{1}{\alpha-1}(1 - p^\top(Zp)^{\alpha-1}) & \alpha \neq 1 \\ -p^\top \ln(Zp) & \alpha = 1 \end{cases}$
यहाँ, $(Zp)_i$ तत्व $i$ की "साधारणता" (ordinariness) को दर्शाता है (एक यादृच्छिक तत्व के प्रति इसकी अपेक्षित समानता जो $p$ से लिया गया है)।
गुण: लेखक सिद्ध करते हैं कि $\alpha \ge 2$ और एक धनात्मक निश्चित (positive definite) समानता मैट्रिक्स ( $Z \succ 0$ ) के लिए, $H^Z_\alpha$ प्रायिकता सिम्प्लेक्स के आंतरिक भाग पर स्ट्रिक्टली कॉन्केव (strictly concave) है। यह उत्तलता (concavity) आगामी निर्माण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

B. संरचना-जागरूक डाइवर्जेंस (Structure-Aware Divergence)

KL डाइवर्जेंस और शैनन एंट्रॉपी के बीच ज्यामितीय संबंध का लाभ उठाते हुए (जहाँ KL, ऋणात्मक एंट्रॉपी द्वारा प्रेरित ब्रेगमैन डाइवर्जेंस है), लेखक संरचना-जागरूक डाइवर्जेंस को ऋणात्मक संरचना-जागरूक एंट्रॉपी द्वारा प्रेरित ब्रेगमैन डाइवर्जेंस के रूप में परिभाषित करते हैं।

परिभाषा: $\alpha \ge 2$ और $Z \succ 0$ के लिए, डाइवर्जेंस $d^Z_\alpha(p || q)$ है:
$d^Z_\alpha(p || q) = \frac{1}{\alpha-1}p^\top((Zp)^{\alpha-1} - (Zq)^{\alpha-1}) - q^\top \text{diag}((Zq)^{\alpha-2}) Z (p-q)$
मुख्य गुण:
- गैर-ऋणात्मकता (Non-negativity): $d^Z_\alpha(p || q) \ge 0$ , समानता केवल तभी होती है जब $p=q$ हो।
- उत्तलता (Convexity): पहले तर्क ( $p$ ) के संबंध में उत्तल है।
- माध्य-न्यूनतमकर्ता (Mean-Minimizer): वितरणों का माध्य उन डाइवर्जेंसेस के योग को कम करता है जो उस सेट के प्रति हैं (क्लस्टरिंग के लिए आवश्यक गुण)।
- विशेष मामला: $\alpha=2$ के लिए, यह मैट्रिक्स $Z$ के साथ स्क्वेर्ड महलानोबिस दूरी (squared Mahalanobis distance) में बदल जाता है: $d^Z_2(p || q) = (p-q)^\top Z (p-q)$ ।

C. ब्रेगमैन सूचना (Bregman Information)

क्लस्टरिंग को सुगम बनाने के लिए, लेखक ब्रेगमैन सूचना का उपयोग करते हैं, जिसे माध्य से अपेक्षित डाइवर्जेंस के रूप में परिभाषित किया गया है। यह विचरण (variance) और पारस्परिक सूचना (mutual information) के संरचना-जागरूक एनालॉग के रूप में कार्य करता है, जिससे कुल फैलाव (dispersion) को क्लस्टर-के-भीतर और क्लस्टर-के-बीच के घटकों में विभाजित किया जा सकता है।

D. समानता मैट्रिक्स का निर्माण (Constructing Similarity Matrices)

इस ढांचे के लिए $Z$ का धनात्मक निश्चित होना आवश्यक है। लेखक यह सुनिश्चित करने के लिए विधियाँ प्रदान करते हैं:

मीट्रिक स्पेस (Metric Spaces): यदि $d$ एक "नेगेटिव टाइप" का मीट्रिक है (जैसे, यूक्लिडियन दूरी, ट्री डिस्टेंस, प्रभावी प्रतिरोध), तो $Z_{ij} = \exp(-\tau d_{ij})$ गारंटी के साथ धनात्मक निश्चित होगा।
अनुकूलन (Optimization): यदि समानता मैट्रिक्स धनात्मक निश्चित नहीं है, तो इसे कॉनवेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन के माध्यम से निकटतम धनात्मक निश्चित मैट्रिक्स पर प्रोजेक्ट किया जा सकता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नया डाइवर्जेंस परिवार: ब्रेगनमैन ज्यामिति से व्युत्पन्न एक क्लोज्ड-फॉर्म, संरचना-जागरूक डाइवर्जेंस का परिचय, जो संरचना-जागरूक एंट्रॉपी और वितरण तुलना के बीच के अंतर को पाटता है।
सैद्धांतिक आधार: विशिष्ट स्थितियों के तहत संरचना-जागरूक एंट्रॉपी के लिए स्ट्रिक्ट कॉन्केविटी का प्रमाण, जो उनके संबंधित ब्रेगमैन डाइवर्जेंस की कठोर परिभाषा को सक्षम बनाता है।
कम्प्यूटेशनल दक्षता: यह प्रदर्शन कि इन डाइवर्जेंस के क्लोज्ड-फॉर्म एक्सप्रेशन हैं, जो इन्हें ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट दूरियों (जिनके लिए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होती) की तुलना में कई गुना तेज़ बनाता है।
क्लस्टरिंग ढांचा: क्लस्टरिंग कार्यों के लिए ब्रेगनिंग सूचना का उपयोग करके डाइवर्जेंस का अनुकूलन, जो यह दिखाता है कि यह संरचना-अंध (structure-blind) विधियों की तुलना में प्लांटेड संरचनाओं को रिकवर करने में बेहतर क्षमता रखता है।

4. परिणाम (Results)

A. सिंथेटिक प्रयोग (Synthetic Experiments)

पैटर्न रिकवरी: 60 तत्वों को तीन समूहों में क्लस्टरिंग करने के कार्य में, संरचना-जागरूक डाइवर्जेंस ने तब भी वास्तविक क्लस्टर को सफलतापूर्वक रिकवर किया जब वितरण विरल रूप से नमूनाकृत (कम $m$ ) थे और उनमें कोई ओवरलैपिंग तत्व नहीं थे। संरचना-अंध विधियों ( $Z=I$ के साथ) ने बिना ओवरलैप के समूहों के बीच अंतर करने में विफलता दिखाई।
रनटाइम: प्रस्तावित जेन्सन-ब्रेगमैन डाइवर्जेंस (J-BD) युग्म विषमता गणनाओं के लिए वासरस्टीन-1 दूरी (OT) की तुलना में ~10x तेज़ था। वेक्टरकृत कार्यान्वयन (vectorized implementations) और भी तेज़ थे, जो इनपुट आकार के साथ बेहतर स्केलिंग करते हैं।

B. अनुप्रयोग: आर्थिक भूगोल (इंग्लैंड और वेल्स)

डेटा: 318 स्थानीय प्राधिकरणों (LAs) के लिए 2021 जनगणना डेटा, 41 "व्यापार योग्य" व्यवसायों पर केंद्रित।
समानता परिभाषाएँ: "कोई समानता नहीं", "कौशल समानता" (ONET कौशल पर आधारित), और "सह-स्थान (Co-location) समानता" (क्षेत्रीय विशेषज्ञता पर आधारित) की तुलना की गई।
निष्कर्ष:
- विभिन्न समानता परिभाषाओं ने गुणात्मक रूप से भिन्न क्षेत्रीयकरणों को प्रकट किया।
- सह-स्थान समानता ने क्षेत्र-विशिष्ट क्षेत्रों को उजागर किया (जैसे, यॉर्कशायर, कॉर्नवाल और वेल्स में फैला हुआ एक विशिष्ट कृषि क्षेत्र)।
- कौशल समानता ने उन क्षेत्रों को एक साथ जोड़ा जहाँ ब्लू-कॉलर कौशल ओवरलैप होते थे, जिससे औद्योगिक और कृषि क्षेत्र मिल गए।
- संरचना-जागरूक विधियों ने मानक विधियों की तुलना में विविधता और प्रतिनिधित्व के आधार पर क्षेत्रों की रैंकिंग को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया।

C. अनुप्रयोग: पारिस्थितिकी (र्यूटर ग्लेशियर)

डेटा: 59 भूखंडों (plots) में तीन अनुक्रमिक चरणों (प्रारंभिक, मध्य, देर से) में वनस्पति प्रचुरता और कार्यात्मक लक्षण (6 लक्षण)।
लक्ष्य: कार्यात्मक $\beta$ -विविधता (कार्यात्मक संरचना में टर्नओवर) को मापना।
निष्कर्ष:
- संरचना-जागरक विधि ने ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट अध्ययनों के स्थापित निष्कर्षों को पुनरुत्पादित किया: प्रारंभिक चरण की तुलना में मध्य और देर के अनुक्रमिक चरणों में काफी कम कार्यात्मक $\beta$ -विविधता थी, भले ही टैक्सोनोमिक टर्नओवर समान था।
- इसने पुष्टि की कि जबकि प्रजातियाँ बदलीं, उनके कार्यात्मक रोल (functional roles) बाद के चरणों में स्थिर रहे।
- इस पद्धति ने OT-आधारित दृष्टिकोण की तुलना में काफी कम कम्प्यूटेशनल लागत के साथ ये परिणाम प्राप्त किए।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

सिद्धांत और व्यवहार के बीच सेतु: यह कार्य संरचित डोमेन में वितरणों की तुलना करने के लिए एक गणितीय रूप से कठोर लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से सुलभ ढांचा प्रदान करता है, जो मानक सूचना सिद्धांत की "अंधता" को दूर करता है।
स्केलेबिलिटी: महंगी अनुकूलन प्रक्रिया (OT) को क्लोज्ड-फॉर्म बीजगणितीय संचालन से बदलकर, यह विधि बड़े पैमाने के डेटासेट (जैसे उच्च-रिज़ॉल्यूशन भौगोलिक डेटा, उच्च-स्तरीय प्रजाति लक्षण डेटाबेस) के विश्लेषण को सक्षम बनाती है जो पहले कम्प्यूटेशनल रूप से निषेध (prohibitive) था।
व्याख्यात्मकता (Interpretability): आर्थिक भूगोल और पारिस्थितिकी में इसके परिणाम दर्शाते हैं कि समानता संरचना का चुनाव केवल एक तकनीकी विवरण नहीं है, बल्कि यह सिस्टम डायनेमिक्स (जैसे क्षेत्रीय विशेषज्ञता, पारिस्थितिक उत्तराधिकार) की व्याख्या को मौलिक रूप से बदल देता है।
लचीलापन: यह ढांचा इस बात के प्रति तटस्थ है कि समानता को कैसे परिभाषित किया जाता है, जिससे शोधकर्ताओं को विशिष्ट डोमेन प्रश्नों (जैसे कौशल बनाम स्थान, लक्षण बनाम टैक्सोनॉमी) के अनुसार अपनी "संरचना" को अनुकूलित करने की अनुमति मिलती है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र संरचना-जागरूक डाइवर्जेंस (Structure-Aware Divergences) को जटिल प्रणालियों के विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाली, कुशल और लचीले उपकरण के रूप में स्थापित करता है, जहाँ तत्वों के बीच के संबंध उतने ही महत्वपूर्ण हैं जितने कि स्वयं तत्व।