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Finite compressibility and strain hardening in elasto-plastic models of amorphous matter

यह अध्ययन प्रदर्शित करता है कि अमोर्फस पदार्थ के मेसोस्कोपिक इलास्टो-प्लास्टिक मॉडलों में, आयामहीन संपीड़न मापांक ( $K/\mu$ ) को बढ़ाने से एशेलबी बैक स्ट्रेस (Eshelby back stress) बढ़ता है, जिससे बिना किसी एड-हॉक (ad-hoc) मापदंडों की आवश्यकता के, प्लास्टिक यील्डिंग और प्रवाह के लिए थ्रेशोल्ड बढ़ जाते हैं और किनेमैटिक से आइसोट्रोपिक स्ट्रेन हार्डनिंग की ओर संक्रमण प्रेरित होता है।

मूल लेखक: A. Elgailani, D. Vandembroucq, C. E. Maloney

प्रकाशित 2026-03-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: A. Elgailani, D. Vandembroucq, C. E. Maloney

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक कांच जैसी सामग्री (जैसे खिड़की का कांच, धात्विक कांच, या एक गाढ़ा पेस्ट) के ब्लॉक की कल्पना करें, जिसे एक कठोर, अडिग चट्टान के रूप में नहीं, बल्कि नन्हे नर्तकों से भरे एक भीड़भाड़ वाले डांस फ्लोर के रूप में देखें।

इस शोध पत्र में, लेखक अध्ययन कर रहे हैं कि जब आप इस डांस फ्लोर को धकेलता और खींचता है तो क्या होता है। विशेष रूप से, वे देख रहे हैं कि सामग्री की लचीलापन/दबने की क्षमता (compressibility) कैसे उसके टूटने, बहने और सख्त होने के तरीके को बदल देती है।

यहाँ उनकी खोज का सरल उपमाओं (analogies) के माध्यम से विवरण दिया गया है:

1. सेटअप: "इलास्टिक डांस फ्लोर"

सामग्री को टाइल्स के एक ग्रिड के रूप में सोचें। प्रत्येक टाइल एक नर्तक है।

इलास्टिक अवस्था (The Elastic State): जब आप फर्श को धीरे से धकेलते हैं, तो नर्तक अपने हाथ-पैर फैलाते हैं लेकिन छोड़ते ही अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाते हैं। यह इलास्टिसिटी (elasticity) है।
प्लास्टिक अवस्था (The Plastic State): यदि आप पर्याप्त जोर से धकेलते हैं, तो एक नर्तक लड़खड़ा जाता है, डगमगाता है और एक नई जगह पर गिर जाता है। वे वापस अपनी मूल स्थिति में नहीं लौटते। यह प्लास्टिसिटी (plasticity) (स्थायी विरूपण) है।
लहर का प्रभाव (The Ripple Effect): जब एक नर्तक लड़खड़ाता है, तो वह अपने पड़ोसियों से टकरा जाता है। इससे तनाव की एक "लहर" पैदा होती है जो भीड़ के माध्यम से यात्रा करती है। भौतिकी में, इसे एस्लेबी इंक्लूजन (Eshelby inclusion) कहा जाता है।

2. गुप्त सामग्री: "दबने की क्षमता" (Compressibility)

लेखकों ने एक चर (variable) बदला: फर्श कितना दबने योग्य (squishy) है?

असंपीड्य (Incompressible - जिसे दबाना कठिन हो): कल्पना करें कि नर्तक इतने सघन रूप से पैक हैं कि वे एक-दूसरे के करीब नहीं आ सकते। यदि एक लड़खड़ाता है, तो उससे उत्पन्न लहर बहुत विशाल और हिंसक होती है।
संपीड्य (Compressible - जिसे दबाना आसान हो): कल्पना करें कि नर्तकों के पास थोड़ा इधर-उधर होने की जगह है। यदि एक लड़खड़ाता है, तो लहर छोटी और अधिक नियंत्रित होती है।

लेखकों ने पाया कि सामग्री को कम दबने योग्य (अधिक इनकंप्रेसिबल) बनाने से वास्तव में वह "नरम" हो जाती है और आसानी से टूट जाती है। यह विरोधाभासी लग सकता है, लेकिन ऐसा इसलिए है:

3. "बैक-पुश" (The Eshelby Back Stress)

जब एक नर्तक लड़खड़ाता है (yield होता है), तो आसपास की भीड़ उन्हें बहुत दूर जाने से रोकने के लिए उनके विरुद्ध पीछे से धक्का देती है। यह बैक स्ट्रेस (Back Stress) है।

उपमा: कल्पना करें कि आप भीड़ के बीच से एक भारी बक्सा धकेलने की कोशिश कर रहे हैं।
- यदि भीड़ दबने योग्य (squishy) है, तो वे अंदर की ओर झुक सकते हैं और आपके धक्के को सोख सकते हैं। बक्सा आसानी से चलता है, लेकिन भीड़ बहुत ज़ोर से पीछे नहीं धकेलती।
- यदि भीड़ कठोर (stiff) है, तो वे अंदर की ओर नहीं झुक सकते। वे बक्से के विरुद्ध ज़ोर से पीछे धक्का देते हैं।

आश्चर्य: इस मॉडल में, उस कठोर भीड़ का वह "ज़ोरदार बैक-पुश" वास्तव में अगले नर्तक को लड़खड़ाने में मदद करता है।

क्योंकि कठोर भीड़ इतनी ज़ोर से पीछे धकेलती है, यह तनाव की एक विशाल "लहर" पैदा करती है जो अगले नर्तक तक पहुँचती है, जिससे उनके लिए लड़खड़ाना बहुत आसान हो जाता है।
परिणाम: सामग्री जितनी अधिक कठोर (कम दबने योग्य) होगी, पूरे सिस्टम के लिए बहना और टूटना उतना ही आसान होगा। "दबने योग्य" सामग्रियां वास्तव में टूटने में कठिन होती हैं क्योंकि उनमें तनाव की लहरें जल्दी शांत हो जाती हैं।

4. धकेलने के दो प्रकार

A. "झटका" (Cyclic Shear)
कल्पना करें कि आप डांस फ्लोर को आगे-पीछे हिला रहे हैं।

हल्का झटका: नर्तक केवल डगमगाते हैं और वापस अपनी स्थिति में आ जाते हैं। कोई नहीं गिरता। (इलास्टिक)।
मध्यम झटका: नर्तक लड़खड़ाते हैं, लेकिन यदि आप हिलाना जारी रखते हैं, तो वे अंततः एक लय पा लेते हैं जहाँ वे लड़खड़ाते हैं और फिर ठीक उसी पैटर्न में वापस अपनी स्थिति में आ जाते हैं। वे एक लूप में फंस जाते हैं। (रिवर्सिबल प्लास्टिसिटी)।
ज़ोरदार झटका: नर्तक बेतरतीब ढंग से इधर-उधर फेंके जाते हैं। वे कभी भी अपनी मूल स्थिति में नहीं लौटते। (डिफ्यूसिव/केओटिक)।

निष्कर्ष: वह बिंदु जहाँ नर्तक वापस अपनी स्थिति में आना बंद कर देते हैं और लड़खड़ाना शुरू करते हैं, "दबने की क्षमता" पर निर्भर करता है। अधिक कठोर सामग्री में, उन्हें लड़खड़ाने के लिए उकसाना आसान होता है (आपको कम झटके की आवश्यकता होती)।

B. "धक्का" (Forward Shear)
कल्प imagine करें कि आप फर्श को एक दिशा में तब तक धकेल रहे हैं जब तक कि वह शहद की तरह बहने न लगे।

लेखकों ने पाया कि कठोर सामग्रियां कम स्ट्रेस (तनाव) पर बहती हैं (उन्हें बहने के लिए प्रेरित करना आसान है)।
दबने योग्य (Squishier) सामग्रियों को बहना शुरू करने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है।

5. "हार्डनिंग" का रहस्य

आमतौर पर, जब आप धातु को मोड़ते हैं, तो यह जितना अधिक मुड़ती है उतनी ही सख्त होती जाती है (स्ट्रेन हार्डनिंग)। इसके लिए इसकी आंतरिक संरचना के बारे में जटिल नियमों की आवश्यकता होती है।

इस मॉडल का जादू:
लेखकों ने कोई जटिल नियम नहीं जोड़े। उन्होंने केवल "लहरों" (तनाव पुनर्वितरण) के भौतिकी का उपयोग किया।

उन्होंने खोजा कि सामग्री स्वाभाविक रूप से एक प्रकार की हार्डनिंग से दूसरे प्रकार में बदल जाती है, ठीक उसी क्षण जब वह "लड़खड़ाना" (stumble) शुरू करती है।
यह एक कार की तरह है जो बिना ड्राइवर के गियर बदले, स्वाभाविक रूप से "आइसोट्रोपिक" (सभी दिशाओं में मजबूत होना) से "काइनेमैटिक" (जिस दिशा में आप धक्का दे रहे हैं उस दिशा में मजबूत होना) गियर में बदल जाती है। यह पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि तनाव की लहरें सामग्री की दबने की क्षमता के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती हैं।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

यह सामग्री विज्ञान (materials science) के लिए एक बड़ी बात है।

धात्विक मिश्र धातु (Metallic Alloys): इंजीनियर अक्सर धातुओं को "दबने योग्य" बनाने की कोशिश करते हैं (उनके संयोजन को बदलकर) ताकि उनके टूटने की संभावना कम हो सके। यह पेपर बताता है कि यह क्यों काम करता है: "दबने की क्षमता" तनाव की लहरों को कम कर देती है, जिससे सामग्री टूटने के प्रति अधिक प्रतिरोधी हो जाती है।
विफलता का पूर्वानुमान (Predicting Failure): यह समझकर कि "दबने की क्षमता" कैसे "बैक-पुश" स्ट्रेस को बदलती है, हम बेहतर ढंग से अनुमान लगा सकते हैं कि कब एक कांच, फोम या धातु मिश्र धातु अंततः टूट जाएगा।

निचोड़ (The Bottom Line)

पेपर दिखाता है कि सामग्री को कितनी आसानी से दबाया जा सकता है, यह नियंत्रित करता है कि तनाव उसमें लहरों के रूप में कैसे फैलता है।

कठोर/असंपीड्य सामग्रियां बड़ी, हिंसक लहरें पैदा करती हैं जो सामग्री के टूटने और बहने को आसान बनाती हैं।
दबने योग्य/संपीड्य सामग्रियां उन लहरों को सोख लेती हैं, जिससे सामग्री टूटने के प्रति अधिक प्रतिरोधी और कठिन हो जाती है।

यह पता चला है कि अमोर्फस सॉलिड्स (amorphous solids) की दुनिया में, "कठोर" होने का मतलब हमेशा "मजबूत" होना नहीं होता। कभी-कभी, थोड़ा "दबने योग्य" होना ही टिकाऊपन का रहस्य होता है।

यहाँ एल्गेलानी, वैंडेम्ब्रोक और मालोनी के शोध पत्र "Finite compressibility and strain hardening in elasto-plastic models of amorphous matter" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

अमॉर्फस ठोसों (जैसे धात्विक कांच, कोलाइडल ग्लास, इमल्शन) की प्लास्टिक यील्डिंग और डक्टिलिटी (तन्यता) स्थानीय शियर ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा नियंत्रित होती है। सैद्धांतिक मॉडलों में एक महत्वपूर्ण, फिर भी अक्सर अनदेखा किया जाने वाला कारक परिमित संपीड्यता (finite compressibility) है, जिसे बल्क मॉड्यूलस ( $K$ ) और शियर मॉड्यूलस ( $\mu$ ) के अनुपात द्वारा दर्शाया जाता है।

अंतराल (The Gap): जबकि पॉइसन अनुपात ( $\nu$ ) या $K/\mu$ का अनुपात अनुभवजन्य रूप से धात्विक कांच की डक्टिलिटी से जुड़ा हुआ है (उच्च $K/\mu$ , उच्च डक्टिलिटी से सह-संबंधित है), अधिकांश हालिया मेसोस्कोपिक इलास्टो-प्लास्टिक मॉडल सामग्रियों को असंपीड्य (incompressible) मानते हैं या संपीड्यता पर स्ट्रेस रिडिस्ट्रीब्यूशन की मात्रात्मक निर्भरता को अनदेखा करते हैं।
प्रश्न: परिवर्तनशील आयामहीन संपीड्यता ( $K/\mu$ ) मैक्रोस्कोपिक यील्डिंग व्यवहार को, विशेष रूप से चक्रीय शियर (cyclic shear) में इलास्टिक से प्लास्टिक शासन के संक्रमण और फॉरवर्ड शियर में स्टेडी-स्टेट फ्लो स्ट्रेस को कैसे प्रभावित करती है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक मेसोस्कोपिक इलास्टो-प्लास्टिक ऑटोमेटन मॉडल का उपयोग करते हैं जो समान शियर ट्रांसफॉर्मेशन साइटों के स्पेस-फिलिंग टाइलिंग पर आधारित है।

मॉडल निर्माण:
- सिस्टम एक 2D स्क्वायर ग्रिड ( $L \times L$ ) है जहाँ प्रत्येक साइट का एक पीसवाइज़-क्वाड्रेटिक स्ट्रेन-एनर्जी फंक्शन है।
- स्थानीय यील्डिंग तब होती है जब स्थानीय इलास्टिक स्ट्रेन थ्रेशोल्ड (एकता पर सेट) से अधिक हो जाता है। यील्ड होने पर, साइट एक विविक्त (discrete) प्लास्टिक स्ट्रेन इंक्रीमेंट (आइजनस्ट्रेन) से गुजरती है।
- स्टैगर्ड ग्रिड विवक्तीकरण (Staggered Grid Discretization): रैखिक प्रत्यास्थता (linear elasticity) समीकरणों को हल करने के लिए, लेखक एक स्टैगर्ड ग्रिड स्कीम का उपयोग करते हैं (जो सीस्मोलॉजी में सामान्य है) ताकि काइनेमैटिक कम्पैटिबिलिटी सुनिश्चित की जा सके। यह ऑफ-डायगोनल स्ट्रेस घटकों के संबंध में मानक सेंटर्ड-डिफरेंस स्कीमों में पाई जाने वाली दोषपूर्ण व्यवहारों से बचता है।
एस्हेलबी इनक्लूजन समस्या (Eshelby Inclusion Problem):
- मॉडल में एस्हेलबी बैक स्ट्रेस ( $\sigma_0$ ) शामिल है। जब एक साइट यील्ड होती है, तो यह आसपास के मैट्रिक्स में एक स्ट्रेस फील्ड प्रेरित करती है।
- इस स्ट्रेस रिडिस्ट्रीब्यूशन का परिमाण आयामहीन पैरामीटर $\alpha = \frac{2K}{K+\mu}$ पर निर्भर करता है।
- $\alpha$ का मान 0 (अधिकतम संपीड्य) से 2 (असंपीड्य) तक होता है।
सिमुलेशन प्रोटोकॉल:
1. चक्रीय शियर (Cyclic Shear): सिस्टम को दोलक शियर (oscillatory shear) के साथ $\Gamma$ आयाम पर रखा जाता है। अध्ययन टर्मिनल लिमिट साइकिल्स पर केंद्रित है।
2. फॉरवर्ड स्टेडी शियर (Forward Steady Shear): सिस्टम को मोनोटोनिकली तब तक शेयर किया जाता है जब तक कि वह एक स्टेडी-स्टेट फ्लो तक न पहुँच जाए।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

यील्डिंग और संपीड्यता के बीच मात्रात्मक संबंध: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एस्हेलबी बैक स्ट्रेस ( $\sigma_0$ ) प्राथमिक तंत्र है जो संपीड्यता ( $K/\mu$ ) को मैक्रोस्कोपिक यील्डिंग से जोड़ता है। जैसे-जैसे $K/\mu$ बढ़ता है (सामग्री कम संपीड्य होती है), $\sigma_0$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है।
Ad-hoc नियमों के बिना उभरता हुआ हार्डनिंग: मॉडल शुद्ध इलास्टिक इंटरैक्शन और एस्हेलबी बैक स्ट्रेस से जटिल हार्डनिंग व्यवहार (आइसोट्रोपिक और काइनेमैटिक) को प्रदर्शित करता है, बिना किसी सूक्ष्म हार्डनिंग पैरामीटर या नियमों को पेश किए।
एकीकृत स्केलिंग लॉ (Unified Scaling Laws): लेखक क्रिटिकल साइक्लिक एम्प्लीट्यूड ( $\Gamma_0$ ) और स्टेडी-स्टेट फ्लो स्ट्रेस ( $\sigma_y$ ) के लिए स्केलिंग संबंध व्युत्पन्न करते हैं, जो $\sigma_0$ और $\alpha$ के संदर्भ में यह दिखाते हैं कि ये मैक्रोस्कोपिक मात्राएँ सूक्ष्म इलास्टिक मॉड्यूल से कैसे संबंधित हैं।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. चक्रीय शियर व्यवहार (Cyclic Shear Behavior)

सिस्टम $\Gamma$ के बढ़ते आयाम के साथ तीन शासन प्रदर्शित करता है:

इलास्टिक शासन (ER): $\Gamma < \Gamma_0$ । कोई प्लास्टिक पुनर्गठन नहीं; सिस्टम अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाता है।
रिवर्सिबल प्लास्टिक शासन (RPR): $\Gamma_0 < \Gamma < \Gamma_y$ । सिस्टम उन लिमिट साइकिल्स में प्रवेश करता है जो सूक्ष्म रूप से प्रतिवर्ती (reversible) हैं (पिछली कॉन्फ़िगरेशन पर वापस आना)।
डिफ्यूसिव शासन (DR): $\Gamma > \Gamma_y$ । अपरिवर्तनीय, विसरित (diffusive) गति।

$\Gamma_0$ (हिस्टेरेसिस ट्रांजिशन) पर निष्कर्ष:

संपीड्यता पर निर्भरता: जैसे-जैसे $K/\mu$ कम होता है (अर्थात अधिक संपीड्य सिस्टम), संक्रमण आयाम $\Gamma_0$ बढ़ता है। इसके विपरीत, कम संपीड्य (उच्च $K/\mu$ ) सिस्टम प्रभावी रूप से "हार्डर" होते हैं, जो एक बड़ा शुद्ध इलास्टिक क्षेत्र प्रदर्शित करते हैं।
संबंध: $\Gamma_0$ बैक स्ट्रेस द्वारा निर्धारित होता है:
$\Gamma_0 = \frac{1 + \sigma_0}{2}$
चूंकि $K/\mu$ बढ़ने पर $\sigma_0$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है, $\Gamma_0$ बढ़ता है।
प्लास्टिसिटी की शुरुआत: $\Gamma > \Gamma_0$ के लिए, प्लास्टिसिटी एक स्ट्रेन $\gamma^* = \Gamma_0 - (\Gamma - \Gamma_0)$ पर शुरू होती है। प्लास्टिक स्ट्रेन दर $\gamma^*$ पर तेजी से उछलकर $\approx 0.2$ हो जाती है।
स्ट्रेस वितरण: स्थानीय स्ट्रेस का प्रायिकता वितरण $P(\sigma)$ , $\sigma_0$ पर एक विशिष्ट "शोल्डर" विकसित करता है। यह विशेषता प्लास्टिसिटी की शुरुआत को निर्धारित करती है।

B. फॉरवर्ड स्टेडी शियर व्यवहार (Forward Steady Shear Behavior)

फ्लो स्ट्रेस ( $\sigma_y$ ): जैसे-जैसे $K/\mu$ बढ़ता है, स्टेडी-स्टेट फ्लो स्ट्रेस कम होता जाता है।
स्केलिंग: चक्रीय शियर के समान, फ्लो स्ट्रेस बैक स्ट्रेस द्वारा शासित होता है:
$\sigma_y = \sigma'_y + \sigma_0(1 - \sigma'_y)$
जहाँ $\sigma'_y \approx 0.54$ एक सार्वभौमिक स्थिरांक है।
डेटा कोलैप्स: विभिन्न संपीड्यताओं के लिए लोडिंग कर्व्स को $\sigma_0$ और $\alpha$ का उपयोग करके रीस्केल करने पर, वे मास्टर कर्व्स पर कोलैप्स हो जाते हैं, जो तंत्र की सार्वभौमिकता की पुष्टि करते हैं।

C. उभरती हुई स्ट्रेन हार्डनिंग (Emergent Strain Hardening)

मॉडल स्वाभाविक रूप से दो अलग-अलग हार्डनिंग शासन उत्पन्न करता है जो निरंतरता प्लास्टिसिटी (continuum plasticity) में देखे जाते हैं:

आइसोट्रोपिक हार्डनिंग ( $\Gamma < \Gamma_0$ ): सिस्टम को चक्रित (cycle) करने पर इलास्टिक रेंज सममित रूप से विस्तारित होती है।
काइनेमैटिक हार्डनिंग ( $\Gamma > \Gamma_0$ ): इलास्टिक रेंज स्ट्रेस स्पेस में बिना आकार बदले ट्रांसलेट होती है। इन दोनों के बीच का संक्रमण ठीक $\Gamma_0$ पर होता है।

तंत्र: यह व्यवहार केवल स्ट्रेस रिडिस्ट्रीब्यूशन कर्नेल (एस्हेलबी समाधान) की ज्यामिति और थ्रेशोल्ड स्थिति से उत्पन्न होता है, बिना किसी स्पष्ट हार्डनिंग नियम के।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सिद्धांत और प्रयोग का मिलन: यह शोध पत्र मात्रात्मक रूप से समझाता है कि क्यों उच्च $K/\mu$ (कम पॉइसन अनुपात) वाले धात्विक कांच अधिक डक्टाइल होते हैं। मॉडल में, उच्च $K/\mu$ अधिक ऋणात्मक बैक स्ट्रेस की ओर ले जाता है, जो चक्रीय लोडिंग में यील्डिंग को दबा देता है (बढ़ा हुआ $\Gamma_0$ ) और फॉरवर्ड शियर में फ्लो स्ट्रेस को बदल देता है।
संपीड्यता की भूमिका: यह अध्ययन रेखांकित करता है कि परिमित संपीड्यता एक मामूली सुधार नहीं बल्कि प्लास्टिसिटी की शुरुआत और हार्डनिंग का एक मौलिक चालक है। यह उन मीन-फील्ड सिद्धांतों को चुनौती देता है जो अक्सर स्ट्रेस रिडिस्ट्रीब्यूशन आयाम को एक 'ad-hoc' पैरामीटर के रूप में मानते हैं, और दिखाता है कि यह भौतिक रूप से इलास्टिक मॉड्यूल द्वारा निर्धारित होता है।
व्यापक प्रयोज्यता: हालांकि मॉडल सरल है, इसके निष्कर्ष बताते हैं कि $K/\mu$ पर यील्डिंग की निर्भरता धात्विक मिश्र धातुओं, कोलाइडल ग्लास और इमल्शन सहित अमॉर्फस प्रणालियों की एक विस्तृत श्रृंखला में देखी जानी चाहिए, जहाँ $K/\mu$ को संरचना, आयु या प्रसंस्करण इतिहास के माध्यम से ट्यून किया जा सकता है।
पद्धतिगत प्रगति: स्टैगर्ड ग्रिड विवक्तीकरण का उपयोग एस्हेलबी समस्याओं को हल करने के लिए एक मजबूत संख्यात्मक ढांचा प्रदान करता है, जो पिछले संख्यात्मक आर्टिफैक्ट्स को ठीक करता है।

संक्षेप में, यह पेपर प्रदर्शित करता है कि पॉइसन अनुपात (वाया $K/\mu$ ) एस्लेलबी बैक स्ट्रेस के आयाम को नियंत्रित करता है, जो बदले में अमॉर्फस सामग्रियों में मैक्रोस्कोपिक यील्ड लिमिट, फ्लो स्ट्रेस और स्ट्रेन हार्डनिंग की प्रकृति को निर्धारित करता है।