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On regular black strings spacetimes in nonlinear electrodynamics

यह शोध पत्र चार-आयामी ब्लैक स्ट्रिंग्स में अक्षीय विलक्षणताओं (axial singularities) को संबोधित करने के लिए सामान्य सापेक्षता (General Relativity) को गैर-रेखीय विद्युतगतिकी (Nonlinear Electrodynamics) के साथ युग्मित करने की जांच करता है, जो यह सिद्ध करता है कि मैक्सवेल सीमा को पुनः प्राप्त करने वाले लैग्रेंजियन्स (Lagrangians) के लिए नियमित शुद्ध विद्युत विन्यास असंभव हैं, और साथ ही बार्डिन (Bardeen) और हेवर्ड (Hayward) मेट्रिक्स के बेलनाकार अनुरूपों जैसे नए सटीक नियमित समाधानों का निर्माण और सत्यापन करता है, जो कार्य-कारण (causality) और एकरूपता (unitarity) संबंधी बाधाओं को संतुष्ट करते हैं।

मूल लेखक: G. Alencar, V. H. U. Borralho, T. M. Crispim, M. S. Cunha

प्रकाशित 2026-03-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: G. Alencar, V. H. U. Borralho, T. M. Crispim, M. S. Cunha

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, खिंचने वाले कपड़े की तरह है जिसे स्पेसटाइम (spacetime) कहा जाता है। 1910 के दशक में, आइंस्टीन ने हमें दिखाया कि तारों और ब्लैक होल जैसे विशाल पिंड इस कपड़े में गहरे "गड्ढे" या "छेद" बना देते हैं। आमतौर पर, यदि आप ब्लैक होल के केंद्र के बहुत करीब जाते हैं, तो यह कपड़ा पूरी तरह से फट जाता है। इस फटने को सिंगुलैरिटी (singularity) कहा जाता है—एक ऐसा बिंदु जहाँ गणित काम करना बंद कर देता है, घनत्व अनंत हो जाता है, और भौतिकी की हमारी समझ विफल हो जाती है। यह एक ऐसी दीवार से टकराने जैसा है जो वास्तविकता में मौजूद ही नहीं है।

लंबे समय तक, वैज्ञानिकों ने सोचा कि ये फटे हुए हिस्से अपरिहार्य थे। लेकिन हाल ही में, वे नॉनलीनर इलेक्ट्रोडायनेमिक्स (Nonlinear Electrodynamics - NED) नामक एक विशेष प्रकार के "गोंद" का उपयोग करके इन छेदों को "मरम्मत" करने की कोशिश कर रहे हैं।

यह शोध पत्र ब्लैक होल के एक विशिष्ट प्रकार के बारे में है जिसे ब्लैक स्ट्रिंग (Black String) कहा जाता है।

सेटअप: ब्लैक स्ट्रिंग्स बनाम ब्लैक होल्स

एक मानक ब्लैक होल को एक गोले (जैसे बीच बॉल) के रूप में सोचें। इसके ठीक बीच में एक सिंगुलैरिटी होती है।
अब, कल्पना कीजिए कि आप उस बीच बॉल को एक लंबी, पतली रस्सी या नूडल की तरह खींचते हैं जो अनंत तक जाती है। वह एक ब्लैक स्ट्रिंग है। एक बिंदु वाली सिंगुलैरिटी के बजाय, इसमें अपने पूरे केंद्रीय अक्ष के साथ एक रैखिक सिंगुलैरिटी (line singularity) होती है।

समस्या क्या है? बिल्कुल बीच बॉल की तरह, इस रस्सी के बीच में भी एक दरार है। लेखक यह देखना चाहते थे कि क्या वे अपने "NED गोंद" का उपयोग करके उस दरार को चिकना कर सकते हैं और उस रस्सी को अंदर से पूरी तरह ठोस और सुरक्षित बना सकते हैं।

बड़ी खोज: "नो-गो" नियम (No-Go Rules)

लेखकों ने यह देखने के लिए भारी गणितीय गणनाएँ कीं कि क्या यह संभव है। उन्होंने कुछ सख्त "सड़क के नियम" (No-Go Theorems) खोजे जो ट्रैफिक संकेतों की तरह कार्य करते हैं:

इलेक्ट्रिक नियम: यदि आप केवल बिजली (electricity) का उपयोग करके रस्सी को ठीक करने की कोशिश करते हैं (और आप चाहते हैं कि बिजली हमारे रोजमर्रा के संसार की तरह कमजोर होने पर सामान्य व्यवहार करे), तो आप दरार को ठीक नहीं कर सकते। यह असंभव है। गणित इसकी अनुमति ही नहीं देता कि एक चिकनी, केवल विद्युत-आधारित रस्सी बनाई जा सके।
मिश्रित नियम: यदि आप बिजली और चुंबकत्व (dyonic) के मिश्रण का उपयोग करने की कोशिश करते हैं, तो भी आप दरार को ठीक नहीं कर सकते।
मैग्नेटिक अपवाद: एकमात्र तरीका जिससे इसे संभावित रूप से ठीक किया जा सकता है, वह है चुंबकत्व (magnetism) का एक बहुत ही विशिष्ट और अजीब तरीके से उपयोग करना।

यह एक टूटे हुए पुल को ठीक करने जैसा है। लेखकों ने पाया कि यदि आप "मानक" सामग्रियों (सामान्य बिजली) का उपयोग करने की कोशिश करते हैं, तो पुल हमेशा बीच में ढह जाएगा। आपको एक बहुत ही विलक्षण, गैर-मानक सामग्री (नॉनलीनर चुंबकत्व) का उपयोग करना होगा ताकि आपके पास एक मौका भी हो।

प्रयोग: अलग-अलग गोंद का परीक्षण

अपने सिद्धांत का परीक्षण करने के लिए, लेखकों ने दो अलग-अलग प्रकार के "गोंद" का परीक्षण किया:

1. "मजबूत" गोंद (Euler-Heisenberg और Logarithmic):
उन्होंने उन मॉडलों का उपयोग करने की कोशिश की जो मजबूत चुंबकीय क्षेत्रों में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार पर आधारित हैं।

परिणाम: ये गोंद बहुत कमजोर थे। इन्होंने वास्तव में दरार को और खराब कर दिया। रस्सी का केंद्र और भी अधिक ऊबड़-खाबड़ और खतरनाक हो गया। सिंगुलैरिटी बनी रही, बस उसका आकार बदल गया।

2. "जादुई" गोंद (Bardeen और Hayward):
इसके बाद उन्होंने विशेष, पूर्व-डिज़ाइन किए गए सूत्रों (जो वैज्ञानिक बार्डीन और हेवर्ड के नाम पर हैं) का उपयोग किया, जो गोलाकार ब्लैक होल को ठीक करने के लिए जाने जाते हैं।

परिणाम: सफलता! जब उन्होंने इन विशिष्ट चुंबकीय सूत्रों को ब्लैक स्ट्रिंग पर लागू किया, तो दरार गायब हो गई। रस्सी का केंद्र एक चिकना, ठोस कोर बन गया। "अनंत दरार" की जगह एक कोमल, सीमित उभार ने ले ली। रस्सी अब पूरी तरह से "रेगुलर" (सुरक्षित) थी।

पेच: गति सीमा का उल्लंघन

यहाँ एक मोड़ है। हालांकि उन्होंने सफलतापूर्वक छेद को भर दिया, लेकिन उन्हें एक नई समस्या मिली।

हमारी सामान्य दुनिया में, कुछ भी प्रकाश की गति से तेज़ नहीं चल सकता। यह ब्रह्मांड की गति सीमा है। हालाँकि, इन "पैच किए गए" ब्लैक स्ट्रिंग्स में, लेखकों ने पाया कि केंद्र (कोर) के पास, "गोंद" इतना अजीब हो जाता है कि प्रकाश स्वयं गति सीमा को तोड़ सकता है।

कल्पना कीजिए कि आप एक हाईवे पर गाड़ी चला रहे हैं जहाँ अचानक गति सीमा के संकेत गायब हो जाते हैं, और कारें भौतिकी की अनुमति से कहीं अधिक तेज़ दौड़ने लगती हैं। इसे सुपरलुमिनल प्रोपेगेशन (superluminal propagation) कहा जाता है। इसका अर्थ है कि इन चिकने ब्लैक स्ट्रिंग्स के भीतर, कारण और प्रभाव (cause and effect) के नियम बिगड़ जाते हैं। सैद्धांतिक रूप से, आप अतीत में संदेश भेज सकते हैं, जो वास्तविकता के नियमों को तोड़ता है।

निष्कर्ष

तो, इस शोध पत्र ने हमें क्या सिखाया?

आप सब कुछ ठीक नहीं कर सकते: आप ब्लैक स्ट्रिंग को ठीक करने के लिए मानक बिजली का उपयोग नहीं कर सकते; यह गणितीय रूप से असंभव है।
आप छेद को ठीक कर सकते हैं, लेकिन... आप एक विशेष चुंबकीय क्षेत्र का उपयोग करके दरार को चिकना कर सकते हैं और एक "रेगुलर" ब्लैक स्ट्रिंग बना सकते हैं।
लेकिन इसकी एक कीमत है: ऐसा करने के लिए, आपको केंद्र के पास सार्वभौमिक गति सीमा को तोड़ना होगा। समाधान चिकना तो है, लेकिन यह भौतिक रूप से "अस्वस्थ" है क्योंकि यह समय-यात्रा जैसे विरोधाभासों (paradoxes) की अनुमति देता है।

मुख्य बात (The Takeaway):
ब्रह्मांड में एक समझौता (trade-off) प्रतीत होता है। या तो आपके पास बिना किसी दरार (सिंगुलैरिटी) वाला ब्लैक ऑब्जेक्ट हो सकता, या फिर एक ऐसा जो प्रकाश की गति और कारण-प्रभाव के नियमों का पालन करता हो। लेकिन आप इन बेलनाकार आकारों में दोनों को एक साथ नहीं रख सकते। लेखकों ने मानचित्रित किया है कि ये नियम कहाँ लागू होते हैं, जिससे हमें यह समझने में मदद मिली है कि ब्रह्मांड कैसे (या क्यों नहीं) पूर्ण, चिकने ब्लैक ऑब्जेक्ट्स की अनुमति दे सकता है।

यहाँ G. Alencar et al. के शोध पत्र "On regular black strings spacetimes in nonlinear electrodynamics" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

सामान्य सापेक्षता (General Relativity - GR) उन स्पेसटाइम सिंगुलैरिटी (singularity) के अस्तित्व की भविष्यवाणी करती है जहाँ वक्रता इनवेरिएंट्स (curvature invariants) अपसारी (diverge) हो जाते हैं, जिससे सिद्धांत अपनी भविष्यवाणियता खो देता है। हालांकि नॉनलीनर इलेक्ट्रोडायनामिक्स (Nonlinear Electrodynamics - NED) का उपयोग करके गोलीय सममित (spherically symmetric) स्पेस-टाइम (रेगुलर ब्लैक होल्स) में सिंगुलैरिटी को हल करने में महत्वपूर्ण प्रगति हुई है, लेकिन बेलनाकार टोपोलॉजी (cylindrical topology) (ब्लैक स्ट्रिंग्स) अभी भी कम खोजी गई है।

मुख्य मुद्दा: शास्त्रीय 4D ब्लैक स्ट्रिंग्स में उनकी सममिति अक्ष ( $r=0$ ) के साथ एक अंतर्निहित वक्रता सिंगुलैरिटी (curvature singularity) होती है।
चुनौती: यह स्पष्ट नहीं है कि क्या NED, जो रेगुलर गोलाकार ब्लैक होल्स को सफलतापूर्वक सुव्यवस्थित (regularize) कर सकता है, समान रूप से ब्लैक स्ट्रिंग्स की अक्षीय सिंगुलैरिटी को मौलिक भौतिक सिद्धांतों जैसे कि कार्य-कारण (causality) और यूनिटैरिटी (unitarity) का उल्लंघन किए बिना हल कर सकता है।
विशिष्ट अंतराल (Gap): मानक मैक्सवेलियन कमजोर-क्षेत्र सीमा (weak-field limit) वाले शुद्ध विद्युत (purely electric) ब्लैक होल्स को उत्पन्न करने की असंभवता के संबंध में पिछले "नो-गो" (no-go) सिद्धांतों को बेलनाकार सममिति के लिए कठोरता से विस्तारित नहीं किया गया था।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नकारात्मक कॉस्मोलॉजिकल कॉन्स्टेंट ( $\Lambda = -3/\ell^2$ ) वाले 4D स्पेसटाइम में GR के साथ NED के युग्मन (coupling) का विश्लेषण करने के लिए एक मॉडल-स्वतंत्र सैद्धांतिक ढांचे का उपयोग करते हैं।

सैद्धांतिक सेटअप:
- एक्शन (Action): एक सामान्य NED लैग्रेंजियन डेंसिटी $L(F)$ के साथ युग्मित आइंस्टीन-हिल्बर्ट एक्शन, जहाँ $F = F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इनवेरिएंट है।
- मेट्रिक (Metric): एक स्थिर, बेलनाकार सममित एन्सैट्ज़ (Lemos metric):
  $ds^2 = -f(r)dt^2 + \frac{1}{f(r)}dr^2 + r^2d\phi^2 + \frac{r^2}{\ell^2}dz^2$
- क्षेत्र समीकरण (Field Equations): आइंस्टीन समीकरणों को गेज पोटेंशियल के सापेक्ष परिवर्तन (varying) से प्राप्त सामान्यीकृत मैक्सवेल समीकरणों के साथ युग्मित किया गया है।
विश्लेणात्मक दृष्टिकोण:
1. रेगुलैरिटी विश्लेषण: लेखक मूल बिंदु ( $r=0$ ) पर वक्रता इनवेरिएंट्स (Kretschmann scalar $K$ और Ricci scalar $R$ ) की परिमितता सुनिश्चित करने के लिए मास फंक्शन $m(r)$ के लिए आवश्यक शर्तें निकालते हैं। इसके लिए $r=0$ के पास $m(r)$ का व्यवहार $O(r^3)$ होना चाहिए।
2. नो-गो सिद्धांत (No-Go Theorems): वे ब्रोंनिकोव (Bronnikov) के गोलाकार नो-गो सिद्धांतों को बेलनाकार सममिति तक विस्तारित करते हैं, जिसमें शुद्ध विद्युत, चुंबकीय और डायोनिक (dyonic) विन्यासों का विश्लेषण किया गया है।
3. सटीक समाधान (Exact Solutions): वे निम्नलिखित का उपयोग करके विशिष्ट सटीक समाधानों का निर्माण करते हैं:
  - सिंगुलर मॉडल: ऑयलर-हाइजेनबर्ग (Euler-Heisenberg) और लॉगरिदमिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स।
  - रेगुलर मॉडल: बार्डिन (Bardeen) और हेवर्ड (Hayward) वर्ग (बेलनाकार सममिति के लिए अनुकूलित)।
4. भौतिक निरंतरता जाँच (Physical Consistency Checks): समाधानों का फोटॉन प्रसार के लिए प्रभावी मेट्रिक का उपयोग करके कार्य-कारण (causality) (कोई सुपरलूमिनल प्रसार नहीं) और यूनिटैरिटी (unitarity) बाधाओं के विरुद्ध परीक्षण किया जाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

A. बेलनाकार टोपोलॉजी के लिए नो-गो सिद्धांतों का विस्तार

यह शोध पत्र स्थापित नो-गो सिद्धांतों को ब्लैक स्ट्रिंग्स तक विस्तारित करने वाला एक कठोर गणितीय प्रमाण प्रदान करता है:

शुद्ध विद्युत विन्यास (Purely Electric Configurations): यह सिद्ध किया गया है कि कोई भी शुद्ध विद्युत ब्लैक स्ट्रिंग अक्ष ( $r=0$ ) पर रेगुलर नहीं हो सकता है यदि NED लैग्रेंजियन कमजोर-क्षेत्र शासन में मानक मैक्सवेल सीमा ( $L \approx -F$ ) को पुनः प्राप्त करता है। रेगुलरिटी प्राप्त करने के लिए, सिद्धांत को कोर (core) में मैक्सवेल सीमा का उल्लंघन करना होगा।
डायोनिक विन्यास (Dyonic Configurations): यह प्रदर्शित किया गया है कि स्थिर, बेलनाकार सममित डायोनिक समाधान (एक साथ विद्युत और चुंबकीय आवेश) रेगुलर नहीं हो सकते। मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र ( $L_F \to 0$ ) और विद्युत क्षेत्र ( $L_F \to \infty$ ) के लिए आवश्यक स्थितियाँ परस्पर अनन्य (mutually exclusive) हैं।
चुंबकीय विन्यास (Magnetic Configurations): शुद्ध चुंबकीय स्ट्रिंग्स के लिए रेगुलरिटी संभव है, बशर्ते कि लैग्रेंजियन $F \to \infty$ (स्ट्रॉन्ग फील्ड लिमिट) होने पर एक परिमित स्थिरांक (finite constant) के करीब पहुँचे।

B. सटीक रेगुलर ब्लैक स्ट्रिंग समाधानों का निर्माण

लेखक बार्डिन और हेवर्ड मॉडलों को अनुकूलित करके नए सटीक रेगुलर ब्लैक स्ट्रिंग समाधान सफलतापूर्वक उत्पन्न करते हैं:

बार्डिन वर्ग (Bardeen Class): एक शुद्ध चुंबकीय समाधान जहाँ कोर ज्योमेट्री चार्ज-टू-मास अनुपात के आधार पर एंटी-डी सिटर (AdS) और डी सिटर (dS) के बीच संक्रमण करती है। वक्रता इनवेरिएंट्स हर जगह परिमित रहते हैं।
हेवर्ड वर्ग (Hayward Class): एक अन्य शुद्ध चुंबकीय रेगुलर समाधान जो डी सिटर-जैसे कोर को प्रदर्शित करता है।
विद्युत समकक्ष (Electric Counterparts): चुंबकीय समाधानों के मास फंक्शन से लैग्रेंजियन को "रिवर्स-इंजीनियरिंग" करके, उन्होंने संगत शुद्ध विद्युत स्रोतों को निकाला है। ये विद्युत समाधान रेगुलर हैं लेकिन स्थानिक अनंतता (spatial infinity) पर मैक्सवेल सीमा को प्राप्त करने में विफल रहते हैं (विद्युत क्षेत्र $1/r^2$ से तेज़ घटता है)।

C. कार्य-कारण और यूनिटैरिटी विश्लेषण

यह शोध पत्र सिग्नल प्रसार के संबंध में इन रेगुलर समाधानों की भौतिक व्यवहार्यता की जांच करता है:

प्रमेय (Theorem): रेगुलर शुद्ध चुंबकीय ब्लैक स्ट्रिंग्स गहरे कोर क्षेत्र ( $r \to 0$ ) में अनिवार्य रूप से कार्य-कारण (causality) का उल्लंघन करते हैं।
तंत्र (Mechanism): एक रेगुलर लैग्रेंजियन के लिए, $L_F$ को मूल बिंदु पर शून्य होना चाहिए। इससे $\Phi = L_F + 2F L_{FF} \leq 0$ की स्थिति का उल्लंघन होता है, जो सब-लूमिनल (subluminal) प्रसार की गारंटी देती है।
परिणाम: जबकि ऑयलर-हाइजेनबर्ग मॉडल (सिंगुलर) कार्य-कारण को बनाए रखता है, रेगुलर बार्डिन और हेवर्ड मॉडल अक्ष के पास सुपरलूमिनल फोटॉन प्रसार (superluminal photon propagation) प्रदर्शित करते हैं। इसका तात्पर्य है कि वक्रता सिंगुलैरिटी की अनुपस्थिति के बावजूद, आंतरिकतम क्षेत्र में शास्त्रीय भविष्यवाणियता का पतन होता है।

4. परिणाम (Results)

विशेषता	सिंगुलर मॉडल (Euler-Heisenberg, Logarithmic)	रेगुलर मॉडल (Bardeen, Hayward)
वक्रता सिंगुलैरिटी	$r=0$ पर उपस्थित (जैसे $r^{-16}$ के रूप में अपसारी)।	हटा दी गई। इनवेरिएंट्स हर जगह परिमित हैं।
मैक्सवेल सीमा	$r \to \infty$ पर पुनः प्राप्त होती है।	विद्युत समाधानों के लिए उल्लंघन; चुंबकीय समाधानों के लिए विशिष्ट स्ट्रॉन्ग-फील्ड व्यवहार आवश्यक है।
कार्य-कारण (Causality)	सामान्यतः सुरक्षित (कमजोर क्षेत्र), हालांकि लॉगरिदमिक मॉडल सिंगुलैरिटी के पास इसका उल्लंघन करता है।	अक्ष के पास ( $r \to 0$ ) उल्लंघन; सुपरलूमिनल प्रसार के कारण।
कोर ज्योमेट्री	सिंगुलर।	रेगुलर (AdS या dS कोर)।

एसिम्टोटिक व्यवहार (Asymptotic Behavior): सभी निर्मित समाधान अनंत पर मानक वैक्यूम ब्लैक स्ट्रिंग (AdS) ज्योमेट्री की ओर बढ़ते हैं।
क्षितिज संरचना (Horizon Structure): इवेंट होराइजन की उपस्थिति द्रव्यमान पैरामीटर $\mu$ और आवेश पैरामीटर के बीच संबंध पर निर्भर करती है। चरम मामले (extremal cases) मौजूद हैं जहाँ होराइजन रेगुलर कोर के साथ मेल खाता है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

टोपोलॉजिकल बाधाएं (Topological Constraints): यह कार्य स्थापित करता है कि गोलाकार और बेलनाकार सममिति के बीच टोपोलॉजिकल अंतर NED के मौलिक प्रतिबंधों को शिथिल नहीं करता है। रेगुलर इलेक्ट्रिक और डायोनिक विन्यासों के लिए "नो-गो" सिद्धांत इन टोपोलॉजीज में सार्वभौमिक हैं।
रेगुलरिटी और कार्य-कारण के बीच समझौता: यह पेपर एक मौलिक भौतिक तनाव को उजागर करता है: NED के माध्यम से स्पेसटाइम सिंगुलैरिटी को रेगुलराइज करना अक्सर कोर में कार्य-कारण (causality) के उल्लंघन की आवश्यकता रखता है। यह सुझाव देता है कि जबकि NED वक्रता विचलन को सुचारू (smooth out) कर सकता है, यह अन्य विकृतियों (जैसे सुपरलूमिनलिटी) को पेश कर सकता है जो एक पूरी तरह से "स्वस्थ" रेगुलर ब्लैक स्ट्रिंग को बनने से रोकती हैं।
होलोग्राफिक अनुप्रयोग (Holographic Applications): चूंकि ब्लैक स्ट्रिंग्स AdS/CFT पत्राचार में एंटी-डी सििटर (AdS) बैकग्राउंड में प्रासंगिक हैं, ये रेगुलर समाधान सिंगुलैरिटी की जटिलताओं के बिना होलोग्राफिक फ्लूइड डायनामिक्स और फेज ट्रांजिशन के अध्ययन के लिए नए उम्मीदवार प्रदान करते हैं, बशर्ते कि कार्य-कारण उल्लंघन को प्रबंधित या क्वांटम ग्रेविटी संदर्भ के भीतर व्याख्यायित किया जा सके।
भविष्य की दिशाएं: लेखक इन स्थिर समाधानों को घूमते हुए (rotating) ब्लैक स्ट्रिंग्स तक विस्तारित करने और उनकी ऊष्मागतिकी (thermodynamic) गुणों और गड़बड़ी (perturbations) के प्रति स्थिरता की जांच करने का सुझाव देते हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र NED-युग्मित ब्लैक स्ट्रिंग्स का एक व्यापक वर्गीकरण प्रदान करता है, यह सिद्ध करते हुए कि हालांकि चुंबकीय विन्यासों के लिए रेगुलर कोर गणितीय रूप से प्राप्त करना संभव है, लेकिन यह गहरे आंतरिक भाग में कार्य-कारण (causality) के त्याग की कीमत पर आता है, और शुद्ध विद्युत रेगुलर विन्यास कड़ाई से वर्जित हैं यदि सिद्धांत को अनंत पर मानक इलेक्ट्रोडायनामिक्स को पुनः प्राप्त करना है।