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Radial Oscillations of Viscous Stars

यह शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि कैसे श्यानता (viscosity), एकार्ट और बीडीएनके (BDNK) हाइड्रोडायनामिक ढांचों के भीतर ठंडे, गोलाकार रूप से सममित न्यूट्रॉन सितारों के रेडियल दोलनों और गुरुत्वाकर्षण पतन थ्रेशोल्ड को प्रभावित करती है, जिसमें यह पाया गया है कि श्यानता मिलीसेकंड के पैमाने पर दोलनों को कम करती है और आवृत्तियों को प्रतिशत स्तर तक स्थानांतरित करती है, लेकिन पतन के विरुद्ध एक अन्यथा अस्थिर तारे को स्थिर करने में सक्षम नहीं होती है।

मूल लेखक: Lennox S. Keeble, Jaime Redondo-Yuste

प्रकाशित 2026-03-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Lennox S. Keeble, Jaime Redondo-Yuste

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक न्यूट्रॉन स्टार की कल्पना एक ठोस, शांत पत्थर के गोले के रूप में नहीं, बल्कि ब्रह्मांड के सबसे चरम पदार्थ से बने एक विशाल, अत्यंत-सघन ड्रम के रूप में करें। जब इस ड्रम पर प्रहार किया जाता है—चाहे वह किसी अन्य तारे के साथ टक्कर हो या केवल इसकी अपनी आंतरिक विक्षोभ (turbulence) हो—तो यह केवल स्थिर नहीं रहता; यह कंपन करता है। ये कंपन, जिन्हें दोलन (oscillations) कहा जाता है, तारे के अनूठे संगीत हस्ताक्षर की तरह हैं। गुरुत्वाकर्षण तरंगों (gravitational wave) के डिटेक्टरों के माध्यम से इन "गीतों" को सुनकर, वैज्ञानिक यह पता लगाने की उम्मीद करते हैं कि वास्तव में तारे के भीतर क्या बना है।

यह शोध इस बारे में है कि उस संगीत का क्या होता है जब तारा पूरी तरह से चिकना और घर्षणहीन नहीं होता, बल्कि इसके बजाय चिपचिपा (viscous) होता है।

यहाँ रोजमर्रा के उपमाओं का उपयोग करके शोध का विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "चिपचिपा" तारा

अतीत में, वैज्ञानिक अक्सर न्यूट्रॉन सितारों को "परफेक्ट फ्लूइड्स" (आदर्श तरल पदार्थ) के रूप में देखते थे—जैसे एक घर्षणहीन पाइप में बहता पानी। यदि आप एक आदर्श तरल को हिलाते हैं, तो वह अनंत काल तक बजता रहेगा। लेकिन वास्तविक पदार्थ में श्यानता (viscosity) यानी गाढ़ापन या चिपचिपाहट होती है, जैसे शहद या मोलासेस (molasses)।

उपमा: एक घंटी के बारे में सोचें। एक आदर्श घंटी लंबे समय तक स्पष्ट रूप से बजती है। शहद की मोटी परत वाली घंटी अभी भी बजेगी, लेकिन उसकी आवाज़ दब जाएगी, और वह बहुत तेज़ी से रुक जाएगी।
निष्कर्ष: लेखकों ने पाया कि यदि न्यूट्रॉन तारा पर्याप्त रूप से "चिपचिपा" है (इसके कोर में हाइपरॉन या क्वार्क जैसे विचित्र कणों के कारण), तो श्यानता उस शहद की तरह कार्य करती है। यह दोलनों को कम कर देती है, जिससे कुछ मिलीसेकंड के संक्षिप्त समय अंतराल में तारे का गीत शांत हो जाता है।

2. दो सिद्धांत: "पुराना नक्शा" बनाम "नया जीपीएस"

इसका अध्ययन करने के लिए, टीम ने चिपचिपे तरल पदार्थों के चलने के तरीके का वर्णन करने के लिए दो अलग-अलग गणितीय ढांचे का उपयोग किया:

एकार्ट थ्योरी (Eckart Theory - पुराना नक्शा): यह तरल घर्षण के बारे में सोचने का क्लासिक तरीका है। यह उपयोग में सरल है, लेकिन इसमें एक घातक दोष है: यह संकेतों को प्रकाश की गति से तेज़ चलने की अनुमति देता है, जो भौतिकी के नियमों का उल्लंघन करता है (कारणता/causality)। यह एक ऐसे नक्शे की तरह है जो कहता है कि आप नकारात्मक समय में अगले शहर तक पहुँच सकते हैं।
बीडीएनके थ्योरी (BDNK Theory - नया जीपीएस): यह एक नया, अधिक जटिल सिद्धांत है जो "प्रकाश से तेज़" वाली समस्या को ठीक करता है। यह सुनिश्चित करता है कि कारण हमेशा प्रभाव से पहले आए। यह अपडेट किया गया, सटीक जीपीएस है।

निष्कर्ष: शोधकर्ताओं ने दोनों "नक्शों" का उपयोग करके सिमुलेशन चलाए। उन्होंने पाया कि जो तारे बहुत अधिक चिपचिपे नहीं हैं, उनके लिए दोनों नक्शे एक ही मंजिल तक ले जाते हैं। पुराना, सरल नक्शा (Eकीर्ट) वास्तव में अधिकांश व्यावहारिक गणनाओं के लिए पर्याप्त अच्छा है। हालाँकि, अत्यंत चिपचिपे तारों के लिए, नया जीपीएस (BDNK) थोड़े अलग परिणाम दिखाता है, विशेष रूप से इस संबंध में कि तारा कब ढह (collapse) सकता है।

3. प्रभाव: धीमा होना और पिच बदलना

अध्ययन ने तारे के कंपनों पर श्यानता के दो मुख्य प्रभावों को देखा:

पिच में बदलाव (आवृत्ति/Frequency): जिस तरह एक गिटार का तार कसने पर उसकी पिच बदल जाती है, वैसे ही तारे का "चिपचिपापन" उसके कंपन की पिच को बदल देता है।
- परिणाम: जैसे-जैसे तारा अधिक चिपचिपा होता जाता है, पिच थोड़ी गिर जाती है (1% तक)। सबसे सघन, घने तारों के लिए, यह बदलाव ध्यान देने योग्य है। यदि हम भविष्य के गुरुत्वाकर्षण तरंग डिटेक्टरों के साथ इन सूक्ष्म पिच परिवर्तनों को माप सकें, तो हम सटीक रूप से बता पाएंगे कि तारे का आंतरिक भाग कितना "गाढ़ा" है।
खामोशी (डैम्पिंग/Damping): चिपचिपाहट कंपन से ऊर्जा सोख लेती है।
- परिणाम: लंबे समय तक बजने के बजाय, तारे के कंपन कुछ मिलीसेकंड में समाप्त हो जाते हैं। यदि तारा अत्यंत चिपचिपा है (एक निश्चित सीमा से अधिक), तो कंपन केवल रुकता नहीं है; यह पूरी तरह से दोलन करना बंद कर देता है। तारा "ओवरडैम्प्ड" (overdamped) हो जाता है।
- उपमा: कल्पना करें कि आप एक बच्चे को झूले पर धक्का दे रहे हैं। यदि हवा सामान्य है, तो वे आगे-पीछे झूलते हैं। यदि हवा गाढ़े सिरप में बदल जाए, तो झूला मुश्किल से हिलता है और बिना झूलते हुए बस धीरे-धीरे केंद्र में स्थिर हो जाता है। तारे की लय गायब हो जाती है।

4. बड़ा सवाल: क्या चिपचिपाहट एक मरते हुए तारे को बचा सकती है?

न्यूट्रॉन सितारों की एक सीमा होती है। यदि वे बहुत भारी या सघन हो जाते हैं, तो वे ब्लैक होल में ढह जाते हैं। यह जेन्गा (Jenga) ब्लॉक के उस ढेर की तरह है जो गिरने ही वाला है।

प्रश्न: यदि न्यूट्रॉन तारा "चिपचिपा" (viscous) है, तो क्या वह चिपचिपाहट ब्लॉक्स को एक साथ पकड़कर ढहने से रोक सकती है?
उत्तर: नहीं।
- "पुराना नक्शा" (Eckart) कहता है कि चिपचिपाहट ढहने को रोक नहीं सकती; यह केवल इसे धीमा कर देती है।
- "नया जीपीएस" (BDNK) भी सहमत है कि यह ढहने को नहीं रोक सकता, लेकिन यह सुझाव देता है कि "टिपिंग पॉइंट" (तारे के गिरने का सटीक क्षण) थोड़ा बदल सकता है।
- सकारात्मक पक्ष: हालांकि यह तारे को बचा नहीं सकता, लेकिन श्यानता एक ब्रेक की तरह कार्य करती है। यह ढहने की प्रक्रिया को कुछ मिलीसेकंड के बजाय कुछ सेकंड तक धीमा कर सकती है। यह एक कार के तुरंत दुर्घटनाग्रस्त होने और दुर्घटना से पहले कुछ सेकंड तक फिसलने (skid) के बीच का अंतर है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह शोध गुरुत्वाकर्षण तरंग एस्ट्रोसेस्मोलॉजी (Gravitational Wave Asteroseismology) के लिए एक महत्वपूर्ण कदम है।

भविष्य: अगली पीढ़ी के डिटेक्टर (जैसे आइंस्टीन टेलीस्कोप) इन न्यूट्रॉन स्टार कंपनों को अविश्वसनीय सटीकता के साथ "सुन" सकेंगे।
लक्ष्य: पिच और यह कि ध्वनि कितनी जल्दी फीकी पड़ती है, को सुनकर वैज्ञानिक तारे के आंतरिक भाग की "रेसिपी" का पता लगा सकते हैं। क्या वहां अजीब क्वार्क्स हैं? क्या पदार्थ अत्यंत गाढ़ा है?
सार: श्यानता वह गायब कड़ी है जो एक सैद्धांतिक मॉडल को एक यथार्थवादी मॉडल में बदल देती है। यह हमें बताता है कि ब्रह्मांड की सबसे चरम वस्तुएं केवल आदर्श, घर्षणहीन गोले नहीं हैं, बल्कि जटिल, चिपचिपी और गतिशील प्रणालियाँ हैं।

संक्षेप में: यह शोध सिद्ध करता है कि यदि न्यूट्रॉन तारे "चिपचिपे" पदार्थ से बने हैं, तो उनके गुरुत्वाकर्षण तरंग "गीत" की पिच थोड़ी कम होगी और उनकी अवधि बहुत कम होगी। हालांकि यह चिपचिपाहट ढहते हुए तारे को बचा नहीं सकती, लेकिन यह दुर्घटना को इतना धीमा कर देती है कि हम इसे माप सकें, जिससे हमें ब्रह्मांड के सबसे घने पदार्थ की रेसिपी को समझने का एक नया तरीका मिलता है।

यहाँ लेनोक्स एस. कीबल और जेमिए रेडोंडो-युस्टे के शोध पत्र "रेडियल ऑसिलेशन्स ऑफ विस्कस स्टार्स" (Radial Oscillations of Viscous Stars) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

न्यूट्रॉन तारे परमाणु भौतिकी के लिए अत्यंत कठिन प्रयोगशालाओं के रूप में कार्य करते हैं, फिर भी उनके आंतरिक भाग की संरचना (जैसे कि हाइपरॉन्स या स्ट्रेंज क्वार्क्स की उपस्थिति) अनिश्चित बनी हुई है। हालिया सैद्धांतिक कार्यों से पता चलता है कि यदि ऐसा विलक्षण पदार्थ (exotic matter) मौजूद है, तो बाइनरी न्यूट्रॉन स्टार कोलेसेंस (विलय) के अंतिम इनस्पाइरल और पोस्ट-मर्जर चरणों के दौरान तारे का बल्क विस्कोसिटी ( $\zeta$ ) अत्यंत उच्च ( $\zeta \sim 10^{28} - 10^{30}$ g/cm/s) हो सकता है।

जबकि ग्रेविटेशनल वेव एस्ट्रोसेस्मोलॉजी (गुरुत्वाकर्षण तरंग एस्ट्रोसेस्मोलॉजी) का लक्ष्य दोलनों के माध्यम (oscillation modes) के माध्यम से तारकीय संरचना का अनुमान लगाना है, विस्कोसिटी (श्यानता) का इन मोड पर प्रभाव पूरी तरह से समझ में नहीं आया है। पिछले अध्ययन अक्सर सापेक्षतावादी हाइड्रोडायनामिक्स के एकार्ट फ्रेम (Eckart frame) पर निर्भर रहे हैं, जो कि अकारण (acausal) और अपूरणीय (ill-posed) है (जो कि अवास्तविक अस्थिरताओं की ओर ले जाता है)। इसके विपरीत, मुलर-इज़राइल-स्टुअर्ट (MIS) सिद्धांत कारण-युक्त (causal) है, लेकिन यह द्वितीय-क्रम के ग्रेडिएंट पदों और अतिरिक्त गतिशील डिग्री ऑफ फ्रीडम को पेश करता है। एक कारण-युक्त, सुव्यवस्थित प्रथम-क्रम सिद्धांत जिसे BDNK (Bemfica-Disconzi-Noronha-Kovun) के रूप में जाना जाता है, हाल ही में तैयार किया गया है।

यह शोध पत्र दो प्राथमिक प्रश्नों को संबोधित करता है:

विस्कोसिटी स्थिर न्यूट्रॉन तारों के रेडियल ऑसिलेशन मोड को पैरामीट्रिक रूप से कैसे स्थानांतरित करती है?
क्या विस्कोसिटी अस्थिर तारों के गुरुत्वाकर्षण पतन (gravitational collapse) की दहलीज या दर को बदल देती है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक दो हाइड्रोडायनामिक ढांचों के भीतर ठंडे, गोलाकार सममित, पॉलीट्रोपिक न्यूट्रॉन तारों का एक विक्षोभ अध्ययन (perturbative study) करते हैं:

एकार्ट फ्रेम (Eckart Frame): नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का मानक अकारण सामान्यीकरण।
BDNK ढांचा (BDNK Framework): एक कारण-युक्त, सुव्यवस्थित प्रथम-क्रम सिद्धांत जहाँ परिवहन गुणांकों (transport coefficients) को रिलैक्सेशन समय के रूप में माना जाता है।

मुख्य तकनीकी घटक:

गति के समीकरण (Equations of Motion): लेखक आइंस्टीन समीकरणों के साथ युग्मित रेडियल विक्षोभों ( $\delta u, \delta \epsilon, \delta \lambda, \delta \nu$ $δ u, δ ϵ, δ λ, δ ν$ ) के लिए रैखिकीकृत समीकरण व्युत्पन्न करते हैं।
- एककार्ट फ्रेम में, लैग्रेंजियन विस्थापन $\xi$ के लिए मास्टर समीकरण विस्कस पदों के कारण नॉन-हर्मिटियन (non-hermitian) हो जाता है, जिससे परफेक्ट फ्लूइड वेव इक्वेशन की हाइपरबोलिक संरचना टूट जाती है।
- BDNK फ्रेम में, सिस्टम को वेग और ऊर्जा घनत्व विक्षोभों के लिए युग्मित हाइपरबोलिक वेव समीकरणों के एक सेट के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जहाँ स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए $\delta \lambda$ को एक नियंत्रित चर के रूप में विकसित किया जाता है।
संख्यात्मक कार्यान्वयन (Numerical Implementation):
- फ्रीक्वेंसी डोमेन (केवल एककार्ट): जटिल आवृत्तियों $\omega = 2\pi f - i/\tau$ के लिए आइगेनवैल्यू समस्या को हल करने के लिए एक शूटिंग विधि के साथ एक मैट्रिक्स विधि का उपयोग किया जाता है।
- टाइम डोमेन (एकार्ट और BDNK दोनों): लेखक एक समान ग्रिड पर एक यूनिफॉर्म ग्रिड पर सेकंड-ऑर्डर फाइनाइट डिफरेंस स्कीम (प्रारंभिक डेटा के लिए RK4, विकास के लिए Crank-Nicholson) का उपयोग करते हैं। वे उच्च-आवृत्ति वाले संख्यात्मक शोर को दबाने के लिए क्रेइस-ओलिगर (KO) डिसिपेशन का उपयोग करते हैं।
- कोड: सिमुलेशन NeutronStarOscillations.jl नामक जूलिया पैकेज का उपयोग करके किए गए हैं।
पैरामीटर: दो पॉलीट्रोपिक समीकरण अवस्थाओं (EoS A और B) का उपयोग किया गया है। अध्ययन $\zeta \sim 10^{33}$ g/cm/s तक के बल्क विस्कोसिटी $\zeta$ पर केंद्रित है, जबकि शियर विस्कोसिटी को $\eta = \zeta/10$ के रूप में सेट किया गया है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

प्रथम कारण-युक्त तुलना: यह कार्य न्यूट्रॉन सितारों के संदर्भ में एक अकारण एककार्ट फ्रेम और एक कारण-युक्त BDNK फ्रेम के बीच रेडियल ऑसिलेशन का पहला व्यवस्थित संख्यात्मक तुलना प्रदान करता है।
विक्षोभ दृष्टिकोणों का सत्यापन: यह प्रदर्शित करता है कि मध्यम विस्कोसिटी ( $\zeta \lesssim 10^{30}$ g/cm/s) के लिए, सरल एककार्ट फ्रेम अधिक कठोर BDCL सिद्धांत के साथ सुसंगत परिणाम देता है, जो वर्तमान खगोलीय अनुमानों के लिए विक्षोभ आधारित एककार्ट गणनाओं के उपयोग को मान्य करता है।
ओवरडैम्प्ड रिजीम की खोज: लेखक बहुत उच्च विस्कोसिटी ( $\zeta \gtrsim 10^{31}$ g/cm/s) पर एपीरियॉडिक, ओवरडैम्प्ड मोड (aperiodic, overdamped modes) की ओर संक्रमण की पहचान करते हैं, जहाँ दोलन आवृत्ति शून्य हो जाती है।
पतन दहलीज विश्लेषण: अध्ययन कठोरता से परीक्षण करता है कि क्या विस्कोसिटी एक अस्थिर तारे को स्थिर कर सकती है, यह पाते हुए कि हालांकि यह पतन को धीमा करती है, लेकिन यह रैखिक क्षेत्र (linear regime) में इसे रोक नहीं सकती है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. ऑसिलेशन मोड शिफ्ट और डैम्पिंग (Oscillation Mode Shifts and Damping)

फ्रीक्वेंसी शिफ्ट: विस्कोसिटी मौलिक दोलन आवृत्ति ( $\Delta f / f_{PF}$ ) में एक भिन्नात्मक बदलाव उत्पन्न करती है। कॉम्पैक्ट तारों के लिए जहाँ $\zeta \sim 10^{30}$ g/cm/s है, यह बदलाव प्रतिशत स्तर ( $\sim 0.5-1\%$ ) तक पहुँच जाता है।
डैम्पिंग: विस्कोसिटी रेडियल मोड को मिलीसेकंड के समय पैमाने ( $\tau \sim 10$ ms) पर डैम्प करती है। अधिक कॉम्पैक्ट तारे तेज़ डैम्पिंग और बड़े फ्रीक्वेंसी शिफ्ट प्रदर्शित करते हैं।
फ्रेम मजबूती (Frame Robustness): एककार्ट और BDNK सिद्धांतों के परिणाम $\zeta \lesssim 10^{30}$ g/cm/s के लिए निकटता से सहमत हैं। अंतर केवल तभी महत्वपूर्ण होता है जब $\zeta$ बढ़ता है या जब सिस्टम स्थिरता दहलीज के करीब पहुँच जाता है।

B. ओवरडैम्प्ड रिजीम (The Overdamped Regime)

जैसे-जैसे विस्कोसिटी $\zeta \sim 10^{31}$ g/cm/s से ऊपर बढ़ती है, मौलिक मोड की आवृत्ति घटती जाती है जब तक कि वह पूरी तरह से काल्पनिक (purely imaginary/aperiodic) न हो जाए।
ओवरडैम्प्ड मोड की ओर यह संक्रमण विभिन्न समीकरण अवस्थाओं और कॉम्पैक्टनेस मानों में होता है, जो एक संभावित सार्वभौमिक व्यवहार का सुझाव देता है जहाँ पर्याप्त विस्कस तारे मनमाने ढंग से कम-आवृत्ति वाले दोलन का समर्थन करते हैं।

C. गुरुत्वाकर्षण पतन (Gravitational Collapse)

एकार्ट सिद्धांत: विस्कोसिटी गुरुत्वाकर्षण पतन के लिए आवश्यक क्रिटिकल सेंट्रल डेंसिटी ( $\epsilon_c^*$ ) को संशोधित नहीं करती है। एक अस्थिर अ-विस्कस (inviscid) तारा एककार्ट विस्कस ढांचे में भी अस्थिर रहता है। हालाँकि, विस्कोसिटी पतन की दर को काफी धीमा कर देती है। $\zeta \gtrsim 10^{30}$ g/cm/s के लिए, अस्थिरता का समय पैमाने मिलीसेकंड से बढ़कर सेकंडों में हो जाता है।
BDNK सिद्धांत: विस्कोसिटी पतन दहलीज को थोड़ा संशोधित करती है ( $\epsilon_c^*$ को शिफ्ट करती है), लेकिन यह अभी भी एक अस्थिर अ-विस्कस तारे को स्थिर करने में विफल रहती है। दहलीज का बदलाव छोटा है, लेकिन अस्थिरता के समय पैमाने का संशोधन एककार्ट मामले के समान है।

5. महत्व और भविष्य का दृष्टिकोण (Significance and Future Outlook)

ग्रेविटेशनल वेव एस्ट्रोनॉमी: यह निष्कर्ष कि विस्कोसिटी आवृत्तियों को $\sim 1\%$ तक शिफ्ट कर सकती है, तीसरी पीढ़ी के डिटेक्टरों (आइंस्टीन टेलिस्कोप, कॉस्मिक एक्सप्लोरर) के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यदि विस्कोसिटी पता लगाने योग्य है, तो यह तारकीय कोर में स्ट्रेंज क्वार्क्स या हाइपरॉन्स की उपस्थिति के लिए एक "स्मोकिंग गन" (पुख्ता सबूत) के रूप में कार्य करेगी।
नॉन-हर्मिटियन डायनेमिक्स: यह अध्ययन विस्कस तारकीय दोलनों की नॉन-हर्मिटियन प्रकृति पर प्रकाश डालता है, जहाँ मोड कपलिंग और डैम्पिंग दरएं स्पेक्ट्रम के गुणात्मक व्यवहार को बदल देती हैं, विशेष रूप से स्थिरता सीमा के पास।
सैद्धांतिक सत्यापन: यह कार्य पुष्टि करता है कि BDNK ढांचा अत्यधिक विस्कस सापेक्षतावादी तरल पदार्थों के अध्ययन के लिए एक व्यवहार्य और आवश्यक उपकरण है, विशेष रूप से प्रथम-क्रम सिद्धांतों की वैधता की सीमाओं के करीब पहुँचते समय।
भावी कार्य: लेखक इन अध्ययनों को नॉन-रेडियल मोड (जो ग्रेविटेशनल वेव उत्सर्जन के लिए अधिक प्रासंगिक हैं) तक विस्तारित करने और पतन दहलीज के पास परिमित-तापमान प्रभावों और नॉन-लीनियर डायनेमिक्स को शामिल करने का सुझाव देते हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि हालांकि विस्कोसिटी गुरुत्वाकर्षण पतन को रोक नहीं सकती है, लेकिन यह न्यूट्रॉन तारों के दोलन स्पेक्ट्रम और पतन के समय को महत्वपूर्ण रूप से बदल देती है। ये प्रभाव संभावित रूप से अवलोकन योग्य हैं और सघन परमाणु पदार्थ के सूक्ष्म भौतिक गुणों की जांच करने के लिए एक नया मार्ग प्रदान करते हैं।