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Late-time attractors in relativistic spin hydrodynamics in Gubser flow

यह शोध पत्र गुबसेर प्रवाह (Gubser flow) के अंतर्गत मिनिमल कॉज़ल स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स में स्पिन घनत्व के विलंब-समय एसिम्प्टोटिक व्यवहार और अट्रैक्टर संरचना की जांच करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि विशिष्ट व्यवस्थाओं में, स्पिन घनत्व एक हाइड्रोडायनामिक मोड के रूप में क्षय होता है जो पारंपरिक ऊष्मागतिक चरों के समान विलंब-समय स्केलिंग नियमों द्वारा नियंत्रित होता है।

मूल लेखक: Gen-Hui Li, Xiang Ren, Dong-Lin Wang, Shi Pu

प्रकाशित 2026-03-31

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gen-Hui Li, Xiang Ren, Dong-Lin Wang, Shi Pu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक विशाल, अराजक विस्फोट की कल्पना करें, जैसे कि एक सुपरनोवा या कण त्वरक (particle accelerator) में दो भारी नाभिकों की उच्च-गति टक्कर। इस विस्फोट के भीतर, उप-परमाणु कणों का एक "सूप" (soup) बन जाता है। आमतौर पर, भौतिक विज्ञानी इस सूप का वर्णन हाइड्रोडायनामिक्स (hydrodynamics) का उपयोग करके करते हैं, जो इसे एक तरल (जैसे पानी या शहद) की तरह मानते हैं जो बहता है, फैलता है और ठंडा होता है।

लेकिन इसमें एक मोड़ है: ये कण केवल चल नहीं रहे हैं; वे घूम (spin) भी रहे हैं (जैसे छोटे लट्टू)। यह शोध पत्र जांच करता है कि जैसे-जैसे यह तरल फैलता और ठंडा होता है, उस स्पिन पर क्या प्रभाव पड़ता है।

यहाँ इस शोध पत्र की कहानी है, जिसे सरल अवधारणाओं और उपमाओं में विभाजित किया गया है।

1. परिवेश: फैलता हुआ गुब्बारा

लेखक एक विशिष्ट प्रकार के विस्फोट का अध्ययन कर रहे हैं जिसे गुबसेर फ्लो (Gubser flow) कहा जाता है।

उपमा: एक गुब्बारे की कल्पना करें जिसे फुलाया जा रहा है। यह सभी दिशाओं में (त्रिज्यीय रूप से/radially) फैलता है लेकिन एक विशिष्ट रेखा के साथ (अनुदैर्ध्य रूप से/longitudinally) भी खिंचता है।
समस्या: मानक भौतिकी में, हम जानते हैं कि गुब्बारे के अंदर गैस का दबाव और तापमान उसके विस्तार के साथ कैसे बदलता है। लेकिन कणों के स्पिन (घूर्णन) का क्या होता है? क्या स्पिन जल्दी गायब हो जाता है, या यह बना रहता है?

2. रहस्य: स्पिन का "भूत" (Ghost of Spin)

लंबे समय तक, भौतिकविदों ने सोचा था कि स्पिन एक "तेजी से क्षय होने वाला" (fast-decaying) गुण है।

उपमा: मेज पर घूमते हुए एक लट्टू के बारे में सोचें। यदि आप इसे घुमाते हैं, तो घर्षण के कारण यह डगमगाता है और बहुत जल्दी रुक जाता है। लेखकों को संदेह था कि इस कण सूप में, स्पिन उस लट्टू की तरह व्यवहार करेगा—अर्थात, यह तेजी से कम (damping out) हो जाएगा, जिससे प्रयोग समाप्त होने तक इसका कोई निशान नहीं बचेगा।
आश्चर्य: यह शोध पत्र पूछता है, "क्या होगा यदि स्पिन रुकता नहीं है? क्या होगा यदि यह जीवित रहने का कोई रास्ता खोज लेता है?"

3. खोज: "चुंबकीय ट्रैक" (अट्रैक्टर्स/Attractors)

लेखकों ने इस घूमते हुए तरल के विकास का अनुकरण करने के लिए जटिल गणित का उपयोग किया। उन्होंने एक दिलचस्प चीज़ खोजी जिसे लेट-टाइम अट्रैक्टर्स (Late-time Attractors) कहा जाता है।

उपमा: एक पहाड़ी परिदृश्य की कल्पना करें जिसमें कई घाटियाँ और चोटियाँ हैं, और एक मार्बल (कंचा) लुढ़क रहा है।
- रिपेलर्स (चोटियाँ/Peaks): यदि आप मार्बल को एक तीखी चोटी पर बिल्कुल संतुलित रखते हैं, तो वह एक क्षण के लिए वहीं रहता है। लेकिन जरा सी भी हवा (स्थितियों में मामूली बदलाव) उसे हटा देती है और वह लुढ़क जाता है। यह एक अस्थिर अवस्था है।
- अट्रैक्टर्स (घाटियाँ/Valleys): चाहे आप मार्बल को पहाड़ी पर कहीं भी गिरा दें, वह अंततः सबसे गहरी घाटी में लुढ़क जाता है और वहीं स्थिर हो जाता है।
निष्कर्ष: लेखकों ने पाया कि कणों के स्पिन घनत्व (spin density) के पास एक "घाटी" है जिसमें वह स्वाभाविक रूप से लुढ़क जाता है। भले ही स्पिन एक अजीब स्थिति में शुरू हुआ हो, जैसे-जैसे समय बीतता है, यह व्यवहार के एक विशिष्ट पैटर्न में "फँस" जाता है। यह गायब नहीं होता; बल्कि, यह एक अनुमानित लय में स्थिर हो जाता है।

4. दो परिणाम: फीका पड़ना बनाम बहना

यह शोध पत्र इस "घाटी" में स्पिन के व्यवहार के दो मुख्य तरीके बताता है, जो तरल के गुणों पर निर्भर करते हैं:

केस A: धीमा फीका पड़ना (पावर-लॉ डिके/Power-Law Decay)

कुछ परिदृश्यों में, स्पिन तुरंत गायब नहीं होता है। इसके बजाय, यह एक बुझती हुई मोमबत्ती की तरह धीरे-धीरे कम होता है, न कि अचानक बुझने वाली मोमबत्ती की तरह।

उपमा: एक नदी में स्याही की बूंद की कल्पना करें। यदि नदी तेजी से बहती है, तो स्याही फैल जाती है और पतली हो जाती है, लेकिन वह अभी भी वहीं होती है, बस बहुत कम मात्रा में।
महत्व: यह "धीमा फीका पड़ना" बताता है कि जब कण फ्रीज आउट (अंतःक्रिया करना बंद करना) होते हैं, तब भी स्पिन मौजूद होता। यह समझा सकता है कि प्रयोगों में अपेक्षित स्पिन पोलराइजेशन अधिक क्यों दिखाई देता है। स्पिन मापने योग्य समय तक जीवित रहता है!

केस B: "हाइड्रोडायनामिक मोड" (The Hydrodynamic Mode)

एक बहुत ही विशिष्ट और दुर्लभ परिस्थितियों में, स्पिन एक ऐसे लट्टू की तरह व्यवहार करना बंद कर देता है जो रुक जाता है, और खुद तरल की तरह व्यवहार करने लगता है।

उपमा: आमतौर पर, नदी में तैरती हुई एक पत्ती केवल एक यात्री होती है। लेकिन इस विशेष मामले में, पत्ती धारा का हिस्सा बन जाती है। वह ठीक वैसे ही चलती है जैसे पानी चलता है।
परिणाम: स्पिन घनत्व एक "हाइड्रोडायनामिक मोड" बन जाता है। यह ठीक उसी दर से कम होता है जिस दर से तरल का तापमान या दबाव बदलता है। यह अब एक "मरता हुआ" चर नहीं है; यह प्रवाह का एक मौलिक हिस्सा है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह शोध उच्च-ऊर्जा भौतिकी की एक पहेली को सुलझाता है।

पहेली: लार्ज हैड्रॉन कोलाइडर (LHC) और RHIC जैसी सुविधाओं में प्रयोगों में विशिष्ट स्पिन वाले कण देखे जाते हैं। मानक मॉडलों के अनुसार स्पिन को बहुत पहले ही गायब हो जाना चाहिए था।
समाधान: यह शोध पत्र दिखाता है कि सही परिस्थितियों में, स्पिन के पास एक "सुरक्षा जाल" (अट्रैक्टर) होता है। यह गायब नहीं होता; बल्कि, यह विस्तार के साथ विकसित होता है, ठीक उसी तरह जैसे टक्कर से उत्पन्न ब्रह्मांड का विस्तार होता है।

सारांश

कण सूप को एक विशाल, घूमते हुए डांस फ्लोर की तरह समझें।

पुराना दृष्टिकोण: डांसर (कण) शुरू में पागलों की तरह घूमते हैं, लेकिन वे जल्दी ही थक जाते हैं और घूमना बंद कर देते हैं।
नया दृष्टिकोण (यह शोध पत्र): डांसर एक लय ढूंढ लेते हैं। भले ही डांस फ्लोर फैलता रहे और संगीत धीमा होता जाए, वे घूमना बंद नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे एक विशिष्ट, स्थिर पैटर्न (अट्रैक्टर) में बंध जाते हैं जो उन्हें फ्लोर के विस्तार के साथ तालमेल बिठाकर घूमते रहने की अनुमति देता है।

इसका अर्थ यह है कि इन टक्करों में उत्पन्न ब्रह्मांड का "स्पिन" हमारी पिछली धारणा की तुलना में अधिक स्थायी और महत्वपूर्ण है, जो आज हमारे द्वारा पहचाने जाने वाले कणों पर एक स्थायी छाप छोड़ सकता है।

यहाँ "Late-time attractors in relativistic spin hydrodynamics in Gubser flow" (गब्सर फ्लो में सापेक्षतावादी स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स में विलंबित-समय अट्रैक्टर्स) नामक शोध पत्र का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र सापेक्षतावादी स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स (relativistic spin hydrodynamics) की समझ में एक महत्वपूर्ण अंतराल को संबोधित करता है, विशेष रूप से गैर-केंद्रीय भारी-आयन टकरावों (non-central heavy-ion collisions) में उत्पन्न माध्यम में स्पिन घनत्व के गतिशील विकास के संबंध में।

संदर्भ: जबकि हाइपरॉन का वैश्विक ध्रुवीकरण (global polarization) थर्मल वोर्टिसिटी द्वारा अच्छी तरह से वर्णित है, स्थानीय ध्रुवीकरण को मॉडल करना चुनौतीपूर्ण बना हुआ है। स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स को स्पिन स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) का वर्णन करने के लिए एक स्थूल ढांचे (macroscopic framework) के रूप में प्रस्तावित किया गया है।
समस्या: कैनोनिकल स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स में, स्पिन घनत्व एक संरक्षित मात्रा नहीं है (चार्ज या ऊर्जा-संवेग के विपरीत)। ब्योर्केन फ्लो (Bjorken flow) में पिछले विश्लेषणात्मक समाधानों ने सुझाव दिया था कि स्पिन घनत्व तेजी से तेजी से (exponentially fast) कम हो जाता है, जिससे यह विलंबित समय (freeze-out) पर नगण्य हो जाता है।
प्रश्न: क्या यह तीव्र क्षय (rapid decay) अधिक यथार्थवादी परिदृश्यों में, जिनमें अनुप्रस्थ विस्तार (transverse expansion) शामिल है, भी लागू होता है? विशेष रूप से, क्या गब्सर फ्लो (Gubser flow) (जिसमें अनुप्रस्थ विस्तार शामिल है) में विलंबित-समय अट्रक्टर्स (late-time attractors) मौजूद हैं जो स्पिन घनत्व को एक हाइड्रोडायनामिक मोड के रूप में बने रहने की अनुमति देते हैं, जैसा कि पारंपरिक ऊष्मागतिक चरों (thermodynamic variables) में पावर-लॉ (power-law) क्षय के साथ होता है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक न्यूनतम कारण सापेक्षतावादी स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स (minimal causal relativistic spin hydrodynamics) के ढांचे के भीतर विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण (asymptotic analysis), और संख्यात्मक सिमुलेशन के संयोजन का उपयोग करते हैं।

सैद्धांतिक ढांचा:
- वे स्पिन हाइड्रोडायनामिक्स के कैनोनिकल स्यूडो-गेज (canonical pseudo-gauge) सूत्रीकरण का उपयोग करते हैं।
- वे कार्य-कारण (causality) और स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए एक न्यूनतम कारण सिद्धांत (minimal causal theory) (द्वितीय-क्रम ग्रेडिएंट विस्तार) अपनाते हैं, जिससे प्रथम-क्रम सिद्धांतों की अकारणता (acausality) से बचा जा सके।
- स्पिन-संबंधी हीट फ्लक्स ( $q^\mu$ ) और एंटीसिमेट्रिक टेंसर ( $\phi^{\mu\nu}$ ) के लिए नियतात्मक संबंध (constitutive relations) व्युत्पन्न किए गए हैं, जिसमें कॉन्फॉर्मल कोवेरियेंस (conformal covariance) को बहाल करने के लिए एक विशिष्ट कपलिंग टर्म ( $\lambda_\theta$ ) शामिल है।
ज्यामितीय सेटअप (Gubser Flow):
- सिस्टम को गब्सर फ्लो का उपयोग करके मॉडल किया गया है, जो अनुप्रस्थ विस्तार को शामिल करते हुए दीर्घवृत्तीय दिशा (longitudinal direction) में बूस्ट इनवेरियंस (boost invariance) को बनाए रखता है।
- समीकरणों को सरल बनाने के लिए, लेखक एक वेइल ट्रांसफॉर्मेशन (Weyl transformation) का उपयोग करते हैं जो मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम ( $R^{3,1}$ ) को एक कॉन्फॉर्मली संबंधित स्पेसटाइम ( $dS_3 \times R$ ) में मैप करता है।
- इस रूपांतरित फ्रेम में, फ्लूइड वेलोसिटी स्थिर ( $\hat{u}^\mu = (1,0,0,0)$ ) है, और समस्या रेडियल निर्देशांक $\rho$ (जो प्रॉपर टाइम $\tau$ से संबंधित है) के संबंध में विभेदक समीकरणों को हल करने में बदल जाती है।
गणितीय विश्लेषण:
- न्यूनीकरण (Reduction): लेखक पूर्ण स्पिन घनत्व के हाइड्रोडायनामिक समीकरणों को एक एकल द्वितीय-क्रम विभेदक समीकरण में कम करते हैं जो $\hat{S}$ (विशेष रूप से $\hat{S}_{\phi\eta}$ ) के घटक को नियंत्रित करता है।
- चर रूपांतरण (Variable Transformation): वे एक सहायक फलन $f(w)$ और एक चर $w$ (जो $\tanh \rho$ से संबंधित है) का उपयोग करके समस्या को रिकैटि-प्रकार के समीकरण (Riccati-type equation) में बदलने के लिए करते हैं।
- स्पर्शोन्मुख विस्तार (Asymptotic Expansion): 'स्लो-रोल एक्सपेंशन विधि' का उपयोग करके, वे बड़े $w$ (विलंबित प्रॉपर टाइम) की सीमा में $f(w)$ के लिए स्पर्शोन्मुख समाधान व्युत्पन्न करते हैं।
- पैरामीटराइजेशन: परिवहन गुणांकों (transport coefficients) (रिलैक्सेशन टाइम $\hat{\tau}_\phi$ और कपलिंग $\hat{\gamma}_s$ ) को $w$ के पावर-लॉ ( $w^{\Delta_1}, w^{\Delta_2}$ ) के रूप में पैरामीटराइज किया गया है ताकि विभिन्न भौतिक क्षेत्रों का पता लगाया जा सके।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नियंत्रक समीकरणों की व्युत्पत्ति: यह शोध पत्र गब्सर फ्लो के भीतर एक कारण ढांचे के भीतर स्पिन घनत्व के लिए विशिष्ट विभेदक समीकरण को व्युत्पन्न करता है, जो स्पष्ट रूप से दिखाता है कि वेइल ट्रांसफॉर्मेशन नियतात्मक संबंधों को कैसे प्रभावित करता है।
अट्रैक्टर और रिपेलर की पहचान: रिकैटि समीकरण का विश्लेषण करके, लेखक स्पिन घनत्व के विकास के लिए विशिष्ट अट्रैक्टर (attractor - स्थिर) और रिपेलर (repeller - अस्थिर) शाखाओं की पहचान करते हैं।
पावर-लॉ क्षय क्षेत्रों की खोज: कुछ पिछले ब्योर्केन फ्लो अध्ययनों में पाए गए घातांकीय (exponential) क्षय के विपरीत, यह कार्य उन विशिष्ट पैरामीटर क्षेत्रों की पहचान करता है जहाँ स्पिन घनत्व पावर-लॉ ( $\tau^{-n}$ ) के रूप में घटता है।
भौतिक स्थान में मैपिंग: कॉन्फॉर्मल फ्रेम में स्पर्शोन्मुख समाधानों को फ्लैट मिन्कोव्स्की स्पेस में वापस मैप किया जाता है ताकि प्रॉपर टाइम $\tau$ और सिस्टम साइज $L$ के साथ स्पिन घनत्व घटकों ( $S_{tx}, S_{ty}, \dots$ ) के भौतिक स्केलिंग को निर्धारित किया जा सके।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

स्पिन घनत्व का व्यवहार परिवहन गुणांकों के स्केलिंग एक्सपोनेंट्स $\Delta_1$ और $\Delta_2$ पर बहुत अधिक निर्भर करता है:

अट्रैक्टर संरचना:
- संख्यात्मक सिमुलेशन पुष्टि करते हैं कि सामान्य प्रारंभिक स्थितियों के लिए, सिस्टम विलंबित समय पर एक अद्वितीय अट्रैक्टर शाखा की ओर अभिसरित (converge) होता है।
- रिपेलर शाखा पर शुरू होने वाले समाधान अस्थिर होते हैं और उससे दूर जाते हैं, और अंततः अट्रैक्टर पर स्थिर हो जाते हैं।
- वे प्रक्षेपवक्र (trajectories) जहाँ $f(w) \to -\infty$ होता है, वे स्पिन घनत्व के शून्य को पार करने के अनुरूप हैं, जिसके बाद समाधान $+\infty$ से पुनः प्रवेश करता है और अट्रैक्टर की ओर बढ़ता है।
क्षय व्यवहार (Decay Behaviors):
- घातांकीय क्षय (Exponential Decay): कई पैरामीटर क्षेत्रों में, $f(w)$ इस तरह स्केल होता है कि $\hat{S}$ घातांकीय रूप से घटता है। इसका तात्पर्य है कि स्पिन प्रभाव तेजी से समाप्त हो जाते हैं और फ्रीज़-आउट पर नगण्य होते हैं।
- पावर-लॉ क्षय (Case i): जब $\Delta_1 > \Delta_2$ होता है, तो स्पिन घनत्व $\hat{S} \propto w^{-3/2}$ का अनुसरण करता है। उस सीमा में जहाँ सिस्टम साइज $L \gg \tau$ (प्रारंभिक/मध्यम समय) है, भौतिक स्पिन घनत्व $S \sim \tau^{-2} L^{-3}$ के रूप में स्केल होता है। यह क्षय दर ब्योर्केन फ्लो में चार्ज नंबर डेंसिटी ( $\sim \tau^{-1}$ ) के तुलनीय है, जो यह सुझाव देती है कि स्पिन एक हाइड्रोडायनामिक मोड के रूप में बना रह सकता है।
- पावर-लॉ क्षय (Case ii): जब $\Delta_1 = \Delta_2$ $Δ_{1} = Δ_{2}$ होता है, तो क्षय दर परिवहन गुणांकों के अनुपात $\beta/\alpha$ $β / α$ पर निर्भर करती है।
  - यदि $\beta > \alpha$ , तो $L \gg \tau$ की सीमा में स्पिन घनत्व वास्तव में बढ़ सकता है या प्रॉपर टाइम के साथ स्थिर रह सकता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि स्रोत पद (ऑर्बिटल-टू-स्पिन कोणीय संवेग स्थानांतरण) विस्तार-जनित तनुकरण (expansion-driven dilution) की तुलना में धीमी गति से घटता है।
  - यदि $\beta < \alpha$ , तो स्पिन घनत्व मानक पावर-लॉ क्षय का पालन करता है।
भौतिक व्याख्या:
- स्पिन घनत्व का बने रहना विस्तार-जनित तनुकरण (expansion-driven dilution) और स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग (स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग - स्रोत पद) के बीच संतुलन द्वारा संचालित होता है।
- जब रिलैक्शन टाइम पर्याप्त छोटा होता है और ऑर्बिटल कोणीय संवेग के साथ कपलिंग मजबूत होती है, तो स्पिन घनत्व को तनुकरण का मुकाबला करने के लिए ऑर्बिटल सेक्टर द्वारा इतनी तेज़ी से "फीड" किया जाता है कि वह एक क्षणिक गैर-हाइड्रोडायनामिक चर के बजाय एक हाइड्रोडायनामिक मोड की तरह व्यवहार करता है।

5. महत्व (Significance)

घटनात्मक प्रभाव (Phenomenological Impact): परिणाम बताते हैं कि स्पिन ध्रुवीकरण प्रभाव भारी-आयन टकरावों में विलंबित समय (freeze-out) पर अवलोकन योग्य (observable) हो सकते हैं, जो इस धारणा को चुनौती देते हैं कि स्पिन बहुत जल्दी क्षय हो जाता है। यह हाइपरॉन ध्रुवीकरण (जैसे STAR और CMS से) के प्रायोगिक डेटा की व्याख्या करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।
सैद्धांतिक प्रगति: यह कार्य प्रदर्शित करता है कि गब्सर फ्लो (अनुप्रस्थ विस्तार के साथ) ऐसे अट्रैक्टर समाधानों का समर्थन करता है जो स्पिन घनत्व के धीमे, पावर-लॉ क्षय की अनुमति देते हैं, एक ऐसी विशेषता जिसे सरल ब्योर्केन फ्लो मॉडल में नहीं पकड़ा जा सका था।
हाइड्रोडायनामिक मोड: यह स्थापित करता है कि विशिष्ट परिस्थितियों में, स्पिन घनत्व एक वास्तविक हाइड्रोडायनामिक मोड के रूप में व्यवहार करता है जो फ्लो के विलंबित-समय स्केलिंग कानूनों द्वारा नियंत्रित होता है, न कि एक क्षणिक गैर-हाइड्रोडायनामिक चर के रूप में।
भावी दिशाएँ: उन पैरामीटर क्षेत्रों की पहचान जहाँ स्पिन घनत्व बढ़ता है या स्थिर रहता है, भविष्य के सूक्ष्म गणनाओं (काइनेटिक थ्योरी) के लिए एक लक्ष्य प्रदान करती है ताकि परिवहन गुणांकों ( $\gamma_s, \tau_\phi$ ) को सीमित किया जा सके और स्पिन के हाइड्रोडायनामिक विवरण को मान्य किया जा सके।

संक्षेप में, यह शोध पत्र कठोर गणितीय प्रमाण प्रदान करता है कि सापेक्षतावादी भारी-आयन टकरावों में स्पिन घनत्व अट्रैक्टर व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है जिससे पावर-लॉ क्षय होता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि यदि परिवहन गुणांक विशिष्ट स्केलिंग संबंधों को पूरा करते हैं, तो यह फ्रीज़-आउट चरण पर अवलोकनीय बना रहता है।