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Can Quantum Field Theory be Recovered from Time-Symmetric Stochastic Mechanics? Part II: Prospects for a Trajectory Interpretation

यह शोध पत्र समय-सममित स्टोकेस्टिक मैकेनिक्स (time-symmetric stochastic mechanics) को क्वांटम फील्ड थ्योरी के लिए एक प्रक्षेपवक्र-आधारित आधार (trajectory-based foundation) के रूप में व्याख्या करने की व्यवहार्यता की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि ड्रमंड का औपचारिक ढांचा (Drummond's formalism) गैर-मार्कोवियन गतिकी (non-Markovian dynamics) उत्पन्न करता है जो मानक 'नो-गो' सिद्धांतों (no-go theorems) से बच जाती है, सभी हुसिमी $Q$ -फंक्शन्स (Husimi $Q$ -functions) को सशर्त प्रायिकताओं के भारित औसत (weighted averages of conditional probabilities) के रूप में निरूपित करने में असमर्थता के कारण मनमाने क्वांटम अवस्थाओं के लिए एक पूर्ण प्रक्षेपवक्र व्याख्या अभी भी अप्रामाणित बनी हुई है।

मूल लेखक: Simon Friederich, Mritunjay Tyagi

प्रकाशित 2026-04-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Simon Friederich, Mritunjay Tyagi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि एक क्वांटम कण (particle) कैसे चलता है। क्वांटम यांत्रिकी के मानक दृष्टिकोण में, कण एक भूत की तरह है: जब तक आप उसे देखते नहीं हैं, तब तक उसका कोई निश्चित स्थान या गति नहीं होती और उसका व्यवहार संभावनाओं की एक लहर (wave of probabilities) जैसा होता है जो माप (measurement) के समय अचानक "ढह" (collapse) जाती है।

यह शोध पत्र एक साहसिक प्रश्न पूछता है: क्या होगा यदि कण का वास्तव में एक निश्चित पथ (path) हो, जैसे सड़क पर चलती हुई एक कार, लेकिन हम उस सड़क को स्पष्ट रूप से नहीं देख पा रहे हैं?

लेखक एक विशिष्ट सिद्धांत की जांच कर रहे हैं जिसे टाइम-सिमेट्रिक स्टोकेस्टिक मैकेनिक्स (Time-Symmetric Stochastic Mechanics) कहा जाता है। यहाँ उनके निष्कर्षों का एक सरल विवरण दिया गया, जिसमें रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग किया गया है।

1. लक्ष्य: भूत के लिए एक मानचित्र (Map for the Ghost)

एक पिछले शोध पत्र में, लेखकों ने दिखाया था कि क्वांटम कणों (विशेष रूप से जिसे हुसिमी Q-फंक्शन/Husimi Q-function कहा जाता है) का वर्णन करने वाला गणित बिल्कुल वैसा ही है जैसा गैस के कणों के यादृच्छिक रूप से घूमने (ब्राउनियन मोशन/Brownian motion) के वर्णन के लिए उपयोग किया जाने वाला गणित है।

उपमा: एक धुंधले कमरे की कल्पना करें। आप व्यक्तिगत वायु अणुओं को नहीं देख सकते, लेकिन आप धुंध के घनत्व को देख सकते हैं। आमतौर पर, क्वांटम यांत्रिकी कहती है कि धुंध ही वास्तविकता है। लेखक कहना चाहते हैं: "नहीं, धुंध लाखों छोटे, अदृश्य कारों का औसत है जो इधर-उधर घूम रही हैं। यदि हम कारों को देख पाते, तो हम देखते कि वे सभी विशिष्ट पथों पर चल रही हैं।"

यदि वे यह सिद्ध कर सकें कि ये "कारें" (trajectories) मौजूद हैं, तो यह क्वांटम भौतिकी के सबसे बड़े रहस्य को हल कर देगा: मापन की समस्या (The Measurement Problem)। माप के समय लहर का जादुई रूप से "ढहना" होने के बजाय, आप केवल अपने ज्ञान को अपडेट कर रहे होंगे (जैसे कि नक्शा देखकर यह देखना कि कार वास्तव में कहाँ है)।

2. समस्या: "दो-तरफा सड़क" (The "Two-Way Street")

लेखकों ने इन पथों का वर्णन करने का एक तरीका खोजा है, लेकिन एक अजीब मोड़ के साथ। सामान्य भौतिकी में, चीजें समय में आगे की ओर बढ़ती हैं। इस सिद्धांत में, "कारें" आगे और पीछे की ओर जाने वाले समय के मिश्रण द्वारा संचालित होती हैं।

उपमा: एक नदी की कल्पना करें जहाँ कुछ पानी नीचे की ओर (आगे का समय) बहता है और कुछ पानी ऊपर की ओर (पीछे का समय) बहता है। पानी की गति का वर्णन करने के लिए, आपको यह नियम निर्धारित करना होगा कि पानी नदी के आरंभ में कहाँ से शुरू होता है और अंत में कहाँ समाप्त होता है।
परिणाम: यह एक "टाइम-सिमेट्रिक" पथ बनाता है। कार का पथ केवल इस बात से तय नहीं होता कि वह कहाँ से शुरू हुई; बल्कि इस बात से भी प्रभावित होता है कि वह अंत में कहाँ पहुँचेगी।

3. बड़ी बाधा: "रिप्रेजेंटेबिलिटी गैप" (The "Representability Gap")

यह इस शोध पत्र की मुख्य बुरी खबर है। लेखकों ने विशिष्ट सीमा स्थितियों (शुरुआत और अंत के बिंदुओं) के लिए इन पथों को उत्पन्न करने का एक गणितीय तरीका खोजा है। हालाँकि, उन्हें एक दीवार का सामना करना पड़ा:

क्या प्रत्येक संभावित क्वांटम अवस्था को इन पथों से बनाया जा सकता है?

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास लेगो (Lego) ब्रिक्स का एक सेट है जिससे आप एक महल का सटीक मॉडल बना सकते हैं, यदि आप जानते हैं कि महल कहाँ से शुरू होता है और कहाँ समाप्त होता है। लेकिन क्या होगा यदि आप इन ब्रिक्स से एक यादृच्छिक, बिखरा हुआ ढेर बनाना चाहते हैं जो एक क्वांटम अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है?
गैप (अंतराल): लेखक स्वीकार करते हैं कि उन्होंने यह सिद्ध नहीं किया है कि इन विशिष्ट पथों के औसत से हर संभव 'मेसी' (बिखरी हुई) क्वांटम अवस्था बनाई जा सकती है। यह ऐसा है जैसे आपके पास एक आदर्श केक बनाने की रेसिपी है, लेकिन आप यह नहीं जानते कि क्या वह रेसिपी दुनिया के हर स्वाद वाले केक को बना सकती है। जब तक वे इसे सिद्ध नहीं करते, यह सिद्धांत अधूरा है।

4. अच्छी खबर: "नो-गो" (No-Go) संकेत लागू क्यों नहीं होते

दशकों से, भौतिकविदों के पास "नो-गो थ्योरम्स" (जैसे प्रसिद्ध बेल थ्योरम या PBR थ्योरम) हैं जो कहते हैं: "आप ऐसा सिद्धांत नहीं रख सकते जहाँ कणों के निश्चित पथ हों और फिर भी वे क्वांटम प्रयोगों से मेल खाते हों।"

लेखक तर्क देते हैं कि ये नियम उनके सिद्धांत पर लागू नहीं होते। क्यों? क्योंकि यह नॉन-मार्कोवियन डायनेमिक्स (Non-Markovian Dynamics) है।

मार्कोव नियम (उपमा): एक सामान्य शतरंज के खेल (मार्कोवियन) में, आपकी अगली चाल केवल वर्तमान बोर्ड पर निर्भर करती है। एक बार मोहरे चलने के बाद अतीत का कोई महत्व नहीं रह जाता।
टाइम-सिमेट्रिक नियम (उपमा): इस क्वांटम सिद्धांत में, "अगली चाल" वर्तमान बोर्ड और खेल के अंतिम गंतव्य दोनों पर निर्भर करती है। यह शतरंज खेलने जैसा है जहाँ आपकी आज की चाल उस 'चेकमेट' से प्रभावित होती है जिसे आप 50 चालों के बाद हासिल करने की योजना बना रहे हैं।
परिणाम: क्योंकि भविष्य वर्तमान को प्रभावित करता है, इसलिए मानक "नो-गो" नियम टूट जाते हैं। यह सिद्धांत "कॉन्टेक्स्टुअल" (संदर्भपूर्ण) है (परिणाम पूरी कहानी पर निर्भर करता है, न कि केवल वर्तमान स्थिति पर), लेकिन यह कोई त्रुटि नहीं है; यह टाइम-सिमेट्री की एक विशेषता है।

5. "ब्लॉक यूनिवर्स" का दृष्टिकोण (The "Block Universe" View)

यह शोध पत्र वास्तविकता के एक दृष्टिकोण का सुझाव देता है जिसे ब्लॉक यूनिवर्स कहा जाता है।

उपमा: एक मूवी रील की कल्पना करें। हमारे दैनिक जीवन में, हम ऐसा महसूस करते हैं जैसे हम फ्रेम-दर-फ्रेम फिल्म देख रहे हैं, और जैसे-जैसे हम आगे बढ़ते हैं, हम भविष्य का निर्माण करते हैं। इस सिद्धांत में, पूरी मूवी रील एक साथ मौजूद होती है। "स्टोकेस्टिक" (यादृच्छिक) नियम यह नहीं बताते कि कार को आगे कैसे चलाना है; वे शुरुआत से अंत तक के पूरे पथ की सीमाओं (constraints) का वर्णन करते हैं। कार बस पूरी फिल्म के आकार में खुद को "फिट" कर रही है।

सारांश: निर्णय क्या है?

सपना: क्वांटम यांत्रिकी केवल छिपे हुए, टाइम-सिमेट्रिक पथों का सांख्यिकी (statistics) है।
वास्तविकता की जाँच: हमारे पास एक बेहतरीन गणितीय इंजन (ड्रमंड का निर्माण) है जो विशिष्ट मामलों के लिए काम करता है, लेकिन हमने यह सिद्ध नहीं किया है कि यह हर चीज़ के लिए काम करता है (रिप्रेजेंटेबिलिटी गैप)।
आशा की किरण: भले ही इंजन अपूर्ण हो, तथ्य यह है कि यह नॉन-मार्कोवियन (भविष्य-प्रभावित) है, जिसका अर्थ है कि यह उन प्रसिद्ध "नो-गो" सिद्धांतों से बच निकलता है जो आमतौर पर ऐसे सिद्धांतों को खत्म कर देते हैं।

संक्षेप में: लेखक कह रहे हैं, "हमने एक तरीका खोजा है जिससे आप एक ही समय में आगे और पीछे की ओर गाड़ी चला सकते हैं, जो तर्क के नियमों को तोड़े बिना क्वांटम भौतिकी की विचित्रता को समझाता है। हमें बस यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि यह ड्राइविंग शैली हर संभव गंतव्य के लिए काम करती है, इससे पहले कि हम कह सकें कि हमने रहस्य को सुलझा लिया है।"

यहाँ साइमन फ्रीडरिक और मृतुंजय त्यागी के शोध पत्र "Can Quantum Field Theory be Recovered from Time-Symmetric Stochastic Mechanics? Part II: Prospects for a Trajectory Interpretation" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र हुसिमी Q-फंक्शन (Husimi Q-function) पर आधारित क्वांटम फील्ड थ्योरी (QFT) के लिए एक ट्रैजेक्टरी इंटरप्रिटेशन (पथ व्याख्या) प्रदान करने की चुनौती का समाधान करता है।

संदर्भ: एक सहवर्ती शोध पत्र में, लेखकों ने एक अद्वितीय समय-प्रतिवर्ती (time-reversal-invariant) स्टोकेस्टिक सामान्यीकरण (stochastic generalization) को व्युत्पन्न किया जो लियौविल समीकरण (Liouville equation) का विस्तार है। उन्होंने दिखाया कि बोसोनिक QFT के एक व्यापक वर्ग के लिए (जिनके एंटी-विक (Anti-Wick) हैमिल्टोनियन सिंबल फेज-स्पेस वेरिएबल्स में अधिक से अधिक द्विघात (quadratic) हैं), यह समीकरण हुसिमी Q-फंक्शन के विकास के साथ सटीक रूप से मेल खाता है।
लक्ष्य: हुसिमी Q-फंक्शन को केवल एक गणितीय उपकरण के रूप में नहीं, बल्कि फेज-स्पेस पर एक वास्तविक प्रायिकता घनत्व (probability density) के रूप में व्याख्यायित करना, जहाँ क्वांटम प्रणालियों के पास सभी गतिशील चर (dynamical variables) हर समय स्पष्ट मान (sharp values) होते हैं। यदि सफल रहे, तो यह क्वांटम मापन समस्या (quantum measurement problem) को "कोलैप्स" को बेयसियन अपडेटिंग (Bayesian updating) के रूप में मानकर हल कर देगा।
बाधा: विकास समीकरण एक ट्रेसलेस डिफ्यूजन फॉकर-प्लैंक समीकरण (FPE) है। मानक स्टोकेस्टिक ट्रैजेक्टरी व्याख्याएँ (जैसे ओनसैगर-मैचअप फॉर्मलिज्म) एक धनात्मक-निश्चित (positive-definite) डिफ्यूजन मैट्रिक्स की आवश्यकता रखती हैं ताकि फॉरवर्ड-टाइम पथों को परिभाषित किया जा सके। इसकी ट्रेसलेस प्रकृति (जिसमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों आइजनवैल्यू होते हैं) मानक इनिशियल-वैल्यू समस्या को अपरिभाषित (ill-posed) बना देती है।
मुख्य प्रश्न: क्या इस ट्रेसलेस डिफ्यूजन FPE की व्याख्या अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रैजेक्टरीज के माध्यम से की जा सकती है, और यदि हाँ, तो क्या यह व्याख्या सभी क्वांटम अवस्थाओं के लिए लागू होती है, या केवल विशिष्ट एन्सेम्बल्स (ensembles) के लिए?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का एक कठोर गणितीय विश्लेषण करते हैं, जो विशेष रूप से ड्रमंड के टाइम-सिमेट्रिक स्टोकेस्टिक एक्शन फॉर्मलिज्म पर केंद्रित है।

एन्सेम्बल पदानुक्रम विश्लेषण (Ensemble Hierarchy Analysis): वे एक ट्रैजेक्टरी व्याख्या की व्यवहार्यता का परीक्षण करने के लिए एन्सेम्बल्स के एक पदानुक्रम को परिभाषित करते हैं:
- E0: सीमा शर्तों (boundary conditions) के अनुरूप सभी पथ।
- E1: निश्चित सीमा शर्तों के लिए एक पाथ मेजर (Onsager-Machlup प्रकार) द्वारा भारित पथ।
- E2: E1 एन्सेम्बल्स का विभिन्न सीमा शर्तों पर एक औसत।
- E3: एक विशिष्ट प्रारंभिक Q-फंक्शन (लक्षित क्वांटम अवस्था) पर आधारित एक एन्सेम्बल।
ड्रमंड का निर्माण (Drummond's Construction): वे ड्रमंड की विधि का उपयोग करते हैं, जो मिश्रित-समय सीमा शर्तों (mixed-time boundary conditions) को पेश करती है। फेज-स्पेस निर्देशांकों को $(x, y)$ चरों में बदलकर—जहाँ $x$ का धनात्मक डिफ्यूजन (फॉरवर्ड टाइम) है और $y$ का ऋणात्मक डिफ्यूजन (बैकवर्ड टाइम) है—वे एक टाइम-सिमेट्रिक स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (TSSDE) को परिभाषित करते हैं।
पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन: वे एक वास्तविक एक्शन फंक्शनल $S[\phi] = \int L dt$ द्वारा परिभाषित पाथ प्रायिकता का विश्लेषण करते हैं, जहाँ लैग्रेंजियन ओनसैगर-मैचअप प्रकार का है लेकिन एक टाइम-सिमेट्रिक सेटिंग और मिश्रित सीमा शर्तों पर लागू होता है ( $x(t_0)$ निश्चित, $y(t_f)$ निश्चित)।
मार्कोवियनिटी परीक्षण (Markovianity Testing): वे अपने ट्रैजेक्टरीज के सांख्यिकीय गुणों की जांच करते हैं, विशेष रूप से मार्कोव गुण (Markov property) (अतीत और भविष्य की वर्तमान स्थिति द्वारा स्वतंत्र होना) और बर्नस्टीन गुण (Bernstein property) के लिए परीक्षण करते हैं।
नो-गो थ्योरम विश्लेषण (No-Go Theorem Analysis): वे क्वांटम फाउंडेशन्स के प्रमुख नो-गो थ्योरम्स (PBR, बेल, स्पेकेंस) के निहितार्थों की जांच करने के लिए अपने निष्कर्षों का परीक्षण करते हैं, विशेष रूप से $\lambda$ -मिडिएशन (λ-mediation) (तैयारी प्रक्रियाओं से मापन परिणामों की स्वतंत्रता) की धारणा का परीक्षण करके।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. "रिप्रेजेंटेबिलिटी गैप" (The "Representability Gap")

सबसे महत्वपूर्ण खोज ट्रैजेक्टरी व्याख्या में एक महत्वपूर्ण सीमा की पहचान है:

गैप: जबकि ड्रमंड का निर्माण सफलतापूर्वक ट्रैजेक्टरीज पर एक मेजर (E1) को परिभाषित करता है और यह दिखाता है कि सीमा शर्तों पर औसत (E2) FPE को संतुष्ट करता है, यह स्थापित नहीं किया गया है कि प्रत्येक हुसिमी Q-फंक्शन को ऐसे औसत के रूप में दर्शाया जा सकता है (अर्थात, क्या E2 को किसी भी प्रारंभिक Q-फंक्शन से मेल खाने के लिए कंडीशन किया जा सकता है ताकि E3 बनाया जा सके)।
निहितार्थ: ट्रैजेक्टरी व्याख्या निश्चित सीमा शर्तों वाले एन्सेम्बल्स के लिए तो काम करती है, लेकिन यह सीधे तौर पर मनमाने क्वांटम स्टेट्स तक विस्तारित नहीं होती है। इस गैप को भरना केंद्रीय गणितीय चुनौती है; इसके बिना, यह व्याख्या सामान्य QFT को पुनः प्राप्त करने का दावा नहीं कर सकती।

B. गैर-मार्कोवियन गतिकी (Non-Markovian Dynamics)

लेखक सिद्ध करते हैं कि परिणामी ट्रैजेक्टरी डायनेमिक्स मौलिक रूप से गैर-मार्कोवियन (non-Markovian) हैं।

स्क्रीनिंग-ऑफ की विफलता: एक मार्कोव प्रक्रिया में, अवस्था $t_2$ अतीत ( $t_1$ ) को भविष्य ( $t_3$ ) से अलग (screen off) करती है। ड्रमंड की टाइम-सिमेट्रिक डायनेमिक्स में, कंडीशनल प्रोबेबिलिटी इस तरह से फैक्टराइज होती है जो एक चक्रीय निर्भरता संरचना (एक फॉरवर्ड और एक बैकवर्ड प्रोपेगेटिंग वेरिएबल शामिल करते हुए) बनाती है।
बर्नस्टीन गुण: हालांकि यह मार्कोवियन नहीं है, यह प्रक्रिया बर्नस्टीन गुण (Bernstein property) या रेसिप्रोकल प्रॉपर्टी को संतुष्ट करती है। यदि मध्यवर्ती समय पर पूर्ण कॉन्फ़िगरेशन ज्ञात है, तो अतीत और भविष्य के पथ सशर्त रूप से स्वतंत्र हो जाते हैं। हालाँकि, यह गुण केवल एक सिंगल टाइम स्लाइस के बजाय पूरे फेज-स्पेस कॉन्फ़िगरेशन पर कंडीशन करने पर निर्भर करता है।

C. नो-गो थ्योरम्स का समाधान (Resolution of No-Go Theorems)

गैर-मार्कोवियन डायनेमिक्स के मूलभूत निहितार्थ हैं:

$\lambda$ -मिडिएशन की विफलता: "ऑन्टोलॉजिकल मॉडल्स फ्रेमवर्क" की मुख्य धारणा (कि मापन परिणाम तैयारी प्रक्रिया $R$ के बजाय ऑन्टिक अवस्था $\lambda$ पर निर्भर करते हैं) विफल हो जाती है। इस ढांचे में, टाइम-ओरिएंटेड कंडीशनल प्रोबेबिलिटी $P(\phi_2 | \phi_1)$ तैयारी पर निर्भर करती है क्योंकि बैकवर्ड-इन-टाइम घटक भविष्य की सीमा से जानकारी ले जाता है।
परिणाम:
- PBR थ्योरम: लागू नहीं होता। अलग-अलग क्वांटम अवस्थाएं (Q-फंक्शंस) फेज-स्पेस पर ओवरलैपिंग डिस्ट्रीब्यूशन के अनुरूप हो सकती हैं, जो एक एपिस्टेमिक व्याख्या (epistemic interpretation) (अंडरलाइंग रियलिटी के बारे में अधूरा ज्ञान) की अनुमति देती है।
- स्पेकेंस कॉन्टेक्स्टुअलिटी/नेगेटिविटी: लागू नहीं होता। ये थ्योरम्स $\lambda$ -मिडिएशन की धारणा पर आधारित हैं। चूंकि यह धारणा विफल हो जाती है, इसलिए हुसिमी फंक्शन क्वांटम भविष्यवाणियों का उल्लंघन किए बिना एक सख्त गैर-ऋणात्मक (non-negative) प्रायिकता वितरण बना रह सकता है।
- बेल थ्योरम: स्थानीय कारणता (local causality) का उल्लंघन टाइम-सिमेट्रिक संरचना के माध्यम से समझाया गया है। एंटैंगलमेंट सहसंबंध एक "पास्ट कलेक्टर" (प्रारंभिक Q-फंक्शन) पर कंडीशन करने से उत्पन्न होते हैं जो फॉरवर्ड और बैकवर्ड प्रोपेगेटिंग स्ट्रीम्स को जोड़ता है, न कि सुपरल्यूमिनल सिग्नलिंग की आवश्यकता से।

4. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

सैद्धांतिक उपलब्धि:
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि ट्रेसलेस डिफ्यूजन FPE एक ट्रैजेक्टरी चित्र के साथ संगत है, जो कि मानक फॉरवर्ड-टाइम व्याख्याओं की विफलता को देखते हुए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) परिणाम है। यह स्थापित करता है कि हुसिमा फंकशन को फेज-स्पेस पर एक प्रायिकता घनत्व के रूप में देखा जा सकता है, बशर्ते कि एक टाइम-सिमेट्रिक, गैर-मार्कोवियन स्टोकेस्टिक डायनेमिक्स को स्वीकार किया जाए।

बाधाओं का स्पष्टीकरण:
लेखक स्पष्ट करते हैं कि इस कार्यक्रम के लिए प्राथमिक बाधाएं प्रसिद्ध नो-गो थ्योरम्स (बेल, PBR, आदि) नहीं हैं, जो गैर-मार्कोवियन संरचना के कारण अप्रासंगिक हो जाते हैं। इसके बजाय, वास्तविक चुनौतियाँ हैं:

रिप्रेजेंटेबिलिटी गैप: यह सिद्ध करना कि प्रत्येक हुसिमी फंक्शन को सीमा शर्तों के विशिष्ट एन्सेम्बल औसत द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है।
सामान्यीकरण (Generalization): इस ढांचे को सभी स्टैंडर्ड मॉडल हैमिल्टोनियंस (वर्तमान में द्विघात एंटी-विक सिंबल्स तक सीमित) को कवर करने के लिए विस्तारित करना।

दार्शनिक निहितार्थ:
परिणाम भौतिकी के "ब्लॉक यूनिवर्स" (block universe) दृष्टिकोण का समर्थन करते हैं जहाँ ट्रैजेक्टरीज चार-आयामी वर्ल्डलाइन्स (worldlines) के रूप में मौजूद होती हैं। स्टोकेस्टिक नियम इन वर्ल्डलाइन्स पर प्रतिबंधों का वर्णन करते हैं न कि भविष्य को अतीत से उत्पन्न करने की रेसिपी का। यह दृष्टिकोण QFT की अनुभवजन्य सफलता को एक यथार्थवादी (realist), ट्रैजेक्टरी-आधारित ऑन्टोलॉजी के साथ जोड़ने का एक संभावित मार्ग प्रदान करता है, बशर्ते कि रिप्रेजेंटेबिलिटी से संबंधित गणितीय अंतर को भरा जा सके।