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Query Learning Nearly Pauli Sparse Unitaries in Diamond Distance

यह शोध पत्र एक कुशल क्वांटम लर्निंग एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो $\tilde{O}(s^6/\epsilon^4)$ क्वेरीज़ का उपयोग करके एक अज्ञात लगभग $(s,\epsilon)$ -स्पार्स यूनिटरी के निकट डायमंड डिस्टेंस में एक चैनल का निर्माण करता है, साथ ही सामान्य बाउंडेड पॉली $\ell_1$ -नॉर्म यूनिटरीज के लिए एक एक्सपोनेंशियल लोअर बाउंड स्थापित करता है और एक शिथिल इनपुट-प्रतिबंधित मेट्रिक के तहत सीखने की क्षमता (learnability) को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Zahra Honjani, Mohsen Heidari

प्रकाशित 2026-04-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zahra Honjani, Mohsen Heidari

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक रहस्यमय, जादुई काला डिब्बा (black box) है। आप इसमें कागज का एक टुकड़ा (एक क्वांटम अवस्था/quantum state) डाल सकते हैं, और यह बदले हुए कागज के रूप में कुछ बाहर निकाल देता है। आपका लक्ष्य यह पता लगाना है कि यह डिब्बा वास्तव में कैसे काम करता है ताकि आप इसकी एक प्रति (copy) बना सकें।

क्वांटम दुनिया में, इस "डिब्बे" को यूनिटरी (Unitary) कहा जाता है। समस्या यह है कि यदि डिब्बा पूरी तरह से रैंडम और जटिल है, तो इसे समझना एक तिजोरी के संयोजन (combination) का अनुमान लगाने जैसा है जिसमें अरबों डायल हैं और आप उन्हें एक-एक करके घुमा रहे हैं। इसमें ब्रह्मांड की आयु से भी अधिक समय लग जाएगा।

यह शोध पत्र एक शॉर्टकट खोजने के बारे में है। लेखक पूछते हैं: "क्या होगा यदि डिब्बा पूरी तरह से रैंडम न हो? क्या होगा यदि यह ज्यादातर सरल हो, जिसमें केवल कुछ 'विशेष' सामग्रियां ही अधिकांश काम कर रही हों?"

यहाँ उनकी खोज का विवरण दिया गया है, जिसे रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके समझाया गया है।

1. "पॉली रेसिपी" (सामग्रियां)

यह समझने के लिए कि एक क्वांटम बॉक्स कैसे काम करता है, वैज्ञानिक इसे पॉली ऑपरेटर्स (Pauli operators) नामक बुनियादी निर्माण खंडों से बनी एक "रेसिपी" में तोड़ देते हैं। इन्हें रसोई के बुनियादी मसालों की तरह समझें: नमक, काली मिर्च, चीनी और सिरका।

एक जटिल क्वांटम ऑपरेशन इन मसालों का मिश्रण है।
स्पार्स यूनिटरीज (Sparse Unitaries): एक ऐसे सूप की कल्पना करें जहाँ 99% स्वाद केवल 3 मसालों से आता है (नमक, काली मिर्च और एक चुटकी सिरका)। बाकी 400+ मसाले बहुत ही मामूली मात्रा में हैं। यह एक "स्पार्स" यूनिटरी है। इसे सीखना आसान है क्योंकि आपको केवल उन 3 प्रमुख मसालों को खोजना होता है।
नियरली स्पार्स यूनिटरीज (Nearly Sparse Unitaries): यह इस शोध पत्र का मुख्य केंद्र है। कल्पना करें कि एक सूप में 3 मसाले अभी भी मुख्य आकर्षण हैं, लेकिन दुनिया के हर अन्य मसाले की एक बहुत ही सूक्ष्म, नगण्य मात्रा भी उसमें मिली हुई है। यह पूरी तरह से सरल नहीं है, लेकिन यह "लगभग" सरल है। लेखक बताते हैं कि इन "अव्यवस्थित लेकिन ज्यादातर सरल" बॉक्सों को कुशलतापूर्वक कैसे सीखा जा सकता है।

2. "शैडो" तकनीक (एक फोटो लेना)

आप पूरे सूप का स्वाद चखे बिना प्रमुख मसालों का पता कैसे लगा सकते हैं?
लेखक बेल सैंपलिंग (Bell Sampling) को शैडो टोमोग्राफी (Shadow Tomography) के साथ जोड़कर एक चतुर ट्रिक का उपयोग करते हैं।

उपमा: कल्पना करें कि आप एक विशाल, अपारदर्शी मूर्ति का आकार जानना चाहते हैं, लेकिन आप उसे छू नहीं सकते। इसके बजाय, आप उस पर अलग-अलग कोणों से रोशनी डालते हैं और दीवार पर पड़ने वाली उसकी परछाइयों (shadows) को देखते हैं।
जब डिब्बा विशिष्ट परीक्षण अवस्थाओं (test states) के साथ क्रिया करता है, तो उससे बनने वाले "सायों" (गणितीय पैटर्न) का विश्लेषण करके, एल्गोरिदम तुरंत "भारी" मसालों (बड़े गुणांकों) को पहचान सकता है और "धूल" (सूक्ष्म अवशेषों) को अनदेखा कर सकता है।
वे ऐसा तब भी कर सकते हैं जब उन्हें सूप के सटीक "वैश्विक स्वाद" (ग्लोबल फेज) का पता न हो, जो क्वांटम भौतिकी में एक आम समस्या है।

3. "लेगो" पुनर्निर्माण (एक प्रति बनाना)

एक बार जब उन्हें पता चल जाता है कि कौन से मसाले महत्वपूर्ण हैं, तो उन्हें उस डिब्बे की एक प्रति बनानी होती है।

चुनौती: यदि आप केवल अनुमानित मसालों को आपस में मिला देते हैं, तो परिणाम एक वैध क्वांटम बॉक्स नहीं हो सकता है (यह ऊर्जा को संरक्षित नहीं कर पाएगा या क्वांटम नियमों का पालन नहीं करेगा)। यह किसी कबाड़खाने से मिले यादृच्छिक कार के पुर्जों से कार बनाने जैसा है; यह दिखने में तो कार जैसी होगी, लेकिन चलेगी नहीं।
समाधान: वे लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज (LCU) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। इसे एक हाई-टेक 3D प्रिंटर की तरह समझें। आप इसमें प्रमुख मसालों की सूची (अनुमानित गुणांक) डालते हैं, और प्रिंटर एक नया, वैध क्वांटम मशीन बनाता है जो मूल मशीन के लगभग समान व्यवहार करता है, भले ही मूल में थोड़ी सी "धूल" मौजूद थी।

4. "रिलैक्स्ड" लक्ष्य (जब पूर्णता आवश्यक नहीं है)

यह शोध पत्र एक कठिन समस्या का भी समाधान करता है: क्या होगा यदि बॉक्स बिल्कुल भी सरल नहीं है? क्या होगा यदि यह हर एक मसाले का बहुत अधिक उपयोग करता है, लेकिन कुल "स्वाद" अभी भी सीमित है?

समस्या: इसे पूरी तरह से सीखना असंभव है (इसमें घातीय समय लगेगा)। यह समुद्र तट पर रेत के प्रत्येक कण को याद करने जैसा है।
समझौता: लेखक सफलता को मापने का एक नया तरीका पेश करते हैं जिसे रिस्ट्रिक्टेड डायमंड डिस्टेंस (Restricted Diamond Distance) कहा जाता है।
- उपमा: इस मांग के बजाय कि प्रति (copy) हर संभव इनपुट के लिए पूरी तरह से काम करे (जैसे एक कार जिसे मंगल ग्रह, पानी के नीचे और अंतरिक्ष में भी चलना चाहिए), हम केवल उन इनपुट के लिए नियम तय करते हैं जिनकी हमें वास्तव में आवश्यकता है (जैसे शहर की सड़कों पर गाड़ी चलाना)।
- "विशिष्ट" इनपुट (विशेष रूप से, वे इनपुट जो "मैक्सिमली मिक्स्ड" या रैंडम हैं) के लिए नियमों को ढीला करके, वे सिद्ध करते हैं कि आप इन जटिल बॉक्सों को कुशलतापूर्वक सीख सकते हैं।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह शोध सिद्धांत और वास्तविकता के बीच एक सेतु है।

वास्तविक उपकरण: आज के वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर शोर वाले और अपूर्ण हैं। वे पूर्ण "स्पार्स" मशीनें नहीं हैं, लेकिन वे अक्सर "नियरली स्पार्स" होते हैं। यह एल्गोरिदम हमें यह सत्यापित करने और सीखने का तरीका देता है कि हमारे वास्तविक उपकरण वास्तव में कैसे व्यवहार कर रहे हैं।
दक्षता: एक क्वांटम प्रक्रिया को समझने के लिए अरबों परीक्षणों के बजाय, इस पद्धति में केवल हजारों परीक्षणों की आवश्यकता हो सकती है, जिससे यह भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों को डीबग और प्रमाणित करना संभव हो जाता है।

सारांश

लेखकों ने एक नया "क्वांटम डिटेक्टिव किट" बनाया है।

पता लगाना (Detect): वे एक जटिल क्वांटम प्रक्रिया के मुख्य तत्वों को सूक्ष्म शोर को नजरअंदाज करते हुए तेजी से पहचान सकते हैं।
पुनर्निर्माण (Reconstruct): वे केवल मुख्य सामग्रियों का उपयोग करके उस प्रक्रिया का एक कामकाजी मॉडल बना सकते हैं।
अनुकूलन (Adapt): भले ही प्रक्रिया इतनी अव्यवस्थित हो कि उसे पूरी तरह से न सीखा जा सके, वे एक ऐसा संस्करण सीख सकते हैं जो उन विशिष्ट कार्यों के लिए पूरी तरह से काम करता है जिनकी हमें वास्तव में आवश्यकता है।

यह "अरबों अंकों के कोड" का अनुमान लगाने के असंभव कार्य को "तीन सबसे महत्वपूर्ण नंबरों" को खोजने के प्रबंधनीय कार्य में बदल देता है।

यहाँ ज़हरा होन्जानी और मोहसेन हेइदारी के शोध पत्र "Query Learning Nearly Pauli Sparse Unitaries in Diamond Distance" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र अज्ञात क्वांटम यूनिटरीज (unitaries) को कुशलतापूर्वक सीखने की मौलिक चुनौती को संबोधित करता है। बिना किसी संरचनात्मक धारणा (structural assumption) के, एक $n$ -qubit यूनिटरी को डायमंड डिस्टेंस (diamond distance) में $\epsilon$ एडिटिव एरर के साथ सीखने के लिए $\Omega(4^n)$ क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है, जो इस समस्या को बड़े सिस्टमों के लिए अव्यवहार्य (intractable) बना देता है।

लेखक एक विशिष्ट वर्ग की यूनिटरीज पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो अच्छी तरह से अध्ययन किए गए परिवारों (जैसे स्पार्स यूनिटरीज और क्वांटम $k$ -जंटा) का सामान्यीकरण करती हैं: नियरली $(s, \epsilon)$ -स्पार्स यूनिटरीज (Nearly $(s, \epsilon)$ -sparse unitaries)।

परिभाषा: एक $n$ -qubit यूनिटरी $U$ नियरली $(s, \epsilon)$ -स्पार्स है यदि इसके पाउली डिकंपोज़िशन $U = \sum_s \alpha_s \sigma_s$ में अधिकतम $s$ डोमिनेंट गुणांकों का एक सेट $S$ है, जिससे अवशेष द्रव्यमान (residual mass) पाउली $\ell_1$ -नॉर्म में छोटा है: $\sum_{s \notin S} |\alpha_s| \le \epsilon$ ।
लक्ष्य: एक अज्ञात यूनिटरी $U$ तक क्वेरी एक्सेस प्राप्त करके, एक हाइपोथीसिस यूनिटरी $\hat{U}$ का निर्माण करना ताकि डायमंड डिस्टेंस $d_\diamond(U, \hat{U})$ छोटा हो, और इसमें इस्तेमाल होने वाली क्वेरीज़ की संख्या $s, n,$ और $1/\epsilon$ के बहुपद (polynomial) में हो।

2. कार्यप्रणाली और प्रमुख तकनीकें (Methodology and Key Techniques)

प्रस्तावित समाधान एक मल्टी-स्टेज पाइपलाइन है जो बेल सैंपलिंग (Bell sampling), शैडो टोमोग्राफी (Shadow Tomography), और लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज (LCU) को जोड़ती है।

अ. बड़े पाउली गुणांकों का अनुमान लगाना (The Core Subroutine)

लेखक एक नया एल्गोरिदम विकसित करते हैं जो यह पहचानने और बड़े पाउली गुणांकों के परिमाण (magnitude) और सापेक्ष चरणों (relative phases) का अनुमान लगाने की पहचान करता है कि यूनिटरी किसी स्पार्स हैमिल्टोनियन द्वारा जनरेट की गई है या नहीं, या इसके लिए टाइम-इवोल्यूशन एक्सेस की आवश्यकता है।

सपोर्ट आइडेंटिफिकेशन (Bell Sampling):
- वे चोई स्टेट (Choi state) $|J(U)\rangle = (U \otimes I)|\text{EPR}\rangle^{\otimes n}$ तैयार करते हैं।
- बेल बेसिस (Bell basis) में चोई स्टेट को मापकर, वे उन इंडेक्स $s$ को सैंपल करते हैं जिनकी प्रायिकता $|\alpha_s|^2$ के समानुपाती होती है।
- यह उन्हें उच्च प्रायिकता के साथ उन इंडेक्स के सेट $X$ की पहचान करने की अनुमति देता है जिनके गुणांकों का परिमाण $|\alpha_s| \ge \theta$ है।
गुणांक अनुमान (Shadow Tomography):
- स्टैंडर्ड शैडो टोमोग्राफी रियल-वैल्यूड ऑब्जर्वेबल्स का अनुमान लगाती है। चूंकि यूनिटरीज के पाउली गुणांक कॉम्प्लेक्स होते हैं, इसलिए लेखक इस तकनीक को अनुकूलित करते हैं।
- वे पहले सबसे बड़े गुणांक $|\alpha_t|$ (जहाँ $t \in X$ ) के परिमाण का अनुमान लगाते हैं।
- इसके बाद, वे विशिष्ट ऑब्जर्वेबल्स ( $R_{t,s}$ और $I_{t,s}$ ) का उपयोग करके अन्य $s \in X$ के लिए अनुपातों $\alpha_s / \alpha_t$ का अनुमान लगाते हैं, जो बेल बेसिस प्रोजेक्टरों से निर्मित होते हैं।
- परिणाम: वे सभी बड़े गुणांकों को एक ग्लोबल फेज एम्बिग्युटी (जो बिना कंट्रोल्ड- $U$ एक्सेस के अपरिहार्य है) और एडिटिव एरर के साथ रिकवर करते हैं।

ब. हाइपोथीसिस यूनिटरी का निर्माण (LCU Framework)

पाउली सीरीज़ का केवल ट्रंकेशन (truncation) एक वैध यूनिटरी प्रदान नहीं करता है। एक लागू करने योग्य हाइपोथीसिस बनाने के लिए:

वे लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज (LCU) फ्रेमवर्क का उपयोग करते हैं।
वे अनुमानित गुणांकों को एनकोड करने के लिए एक "प्रिपेयर" ऑरेकल और संबंधित पाउली ऑपरेटर्स को लागू करने के लिए एक "सेलेक्ट" ऑरेकल का निर्माण करते हैं।
वे नॉन-यूनिटरी लीनियर कॉम्बिनेशन को एक लगभग-निश्चित (near-deterministic) यूनिटरी सर्किट में लागू करने की सफलता की संभावना को बढ़ाने के लिए ऑब्लिवियस एम्प्लीट्यूड एम्प्लीफिकेशन (OAA) का उपयोग करते हैं।

स. बाउंडेड $\ell_1$ -नॉर्म यूनिटरीज को संभालना

उन यूनिटरीज के व्यापक वर्ग के लिए जहाँ कुल पाउली $\ell_1$ -नॉर्म ( $L_1$ ) सीमित है लेकिन स्पर्सिटी की गारंटी नहीं है, लेखक एक रिस्ट्रिक्टेड डायमंड डिस्टेंस (Restricted Diamond Distance) पेश करते हैं।

प्रेरणा: स्टैंडर्ड डायमंड डिस्टेंस (सभी इनपुट्स पर वर्स्ट-केस) इस वर्ग के लिए बहुत स्ट्रॉन्ग है।
परिभाषा: यह डिस्टेंस उन इनपुट स्टेट्स तक सीमित है जहाँ सिस्टम ऑफ इंटरेस्ट पर मार्जिनल मैक्सिमली मिक्सड स्टेट ( $I/N$ ) है।
संबंध: वे सिद्ध करते हैं कि इस प्रतिबंधित मीट्रिक के तहत, डिस्टेंस उनके एप्रोक्सिमेशन के पाउली $\ell_2$ -नॉर्म एरर द्वारा बाउंडेड है, जिससे स्टैंडर्ड डायमंड नॉर्म की एक्सपोनेंशियल डायमेंशन डिपेंडेंस से बचा जा सकता है।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

परिणाम 1: कुशल पाउली गुणांक अनुमान

थ्योरम: एक एल्गोरिदम मौजूद है जो, एक थ्रेशोल्ड $\theta$ दिए जाने पर, $\theta$ या उससे अधिक परिमाण वाले सभी पाउली गुणांकों की पहचान करता है और उन्हें (ग्लोबल फेज तक) $O(\epsilon/\theta)$ एडिटिव एरर के साथ अनुमानित करता है।
जटिलता (Complexity): $\tilde{O}(\log(1/\theta)/\epsilon^4)$ क्वेरीज़।
महत्व: यह टाइम-इवोल्यूशन एक्सेस या सबग्रुप सपोर्ट की धारणाओं की आवश्यकता के बिना जनरल यूनिटरीज के लिए स्पार्स रिकवरी तकनीकों का विस्तार करता है।

परिणाम 2: नियरली स्पार्स यूनिटरीज को सीखना

थ्योरम: एक एल्गोरिदम मौजूद है जो डायमंड डिस्टेंस में नियरली $(s, \epsilon)$ -स्पार्स यूनिटरीज को सीख सकता है।
क्वेरी जटिलता: $\tilde{O}(s^6 / \epsilon^4)$ ।
कार्यान्वयन: एल्गोरिदम एक ऐसा क्वांटम सर्किट आउटपुट करता है जिसे बहुपद समय में डायमंड डिस्टेंस एरर $O(\sqrt{s}\epsilon)$ के साथ लागू किया जा सकता है।
महत्व: यह जनरल नियरली स्पार्स यूनिटरीज के लिए ब्लैक-बॉक्स मॉडल में पहला कुशल लर्निंग एल्गोरिदम है।

परिणाम 3: बाउंडेड $\ell_1$ -नॉर्म यूनिटरीज को सीखना

लोअर बाउंड: स्टैंडर्ड डायमंड डिस्टेंस के तहत बाउंडेड पाउली $\ell_1$ -नॉर्म वाली यूनिटरीज को सीखना अव्यवहार्य है, जिसके लिए $\Omega(2^{n/2})$ क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है (अनस्ट्रक्चर्ड सर्च में रिड्यूसिबल)।
अपर बाउंड: यूनिफॉर्मली रिस्ट्रिक्टेड डायमंड डिस्टेंस (मैक्सिमली मिक्सड मार्जिनल्स वाले इनपुट्स) के तहत, ये यूनिटरीज सीखने योग्य हैं।
क्वेरी जटिलता: $\tilde{O}(L_1^8 / \epsilon^{16})$ ।
महत्व: यह एक ट्रेड-ऑफ स्थापित करता है: सटीकता मीट्रिक को एक भौतिक रूप से प्रासंगिक सेटिंग (एवरेज इनपुट्स) में ढीला करके, आप बहुत व्यापक वर्ग की यूनिटरीज को कुशलतापूर्वक सीख सकते हैं।

4. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

क्लासिकल और क्वांटम लर्निंग को जोड़ना: यह कार्य क्लासिकल स्पार्स बूलियन फंक्शन्स (कुशिलेविज़-मैंसौर एल्गोरिदम) के लर्निंग के साथ मजबूत समानताएं खींचता है, लेकिन इसे क्वांटम डोमेन के लिए अनुकूलित करता है जहाँ गुणांक कॉम्प्लेक्स होते हैं और ग्लोबल फेज अस्पष्ट होते हैं।
सामान्यीकरण (Generalization): यह $k$ -जंटा, स्पार्स हैमिल्टोनियन और सबग्रुप सपोर्ट वाली यूनिटरीज को सीखने के पिछले परिणामों को एकीकृत और सामान्य करता है, जिससे टाइम-कंट्रोल एक्सेस (वेरिएबल टाइम इवोल्यूशन) की आवश्यकता समाप्त हो जाती है जो हालिया हैमिल्टोनियन लर्निंग कार्यों में एक पूर्व शर्त थी।
व्यावहारिक मीट्रिक्स: रिस्ट्रिक्टेड डायमंड डिस्टेंस पेश करके, यह पेपर उन परिदृश्यों के लिए अधिक ऑपरेशनली मीनिंगफुल मीट्रिक प्रदान करता है जहाँ सीखी गई यूनिटरी को विशिष्ट एन्सेम्बल (जैसे थर्मल स्टेट्स या मैक्सिमली मिक्सड इनपुट्स) पर लागू किया जाता है, बजाय वर्स्ट-केस एडवर्सरियल इनपुट्स के।
एल्गोरिथमिक नवाचार: चोई स्टेट पर बेल सैंपलिंग को कॉम्प्लेक्स गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए क्लासिकल शैडो टोमोग्राफी के साथ जोड़ना एक नवीन तकनीकी योगदान है जो यूनिटरीज के लिए पिछली शैडो टोमोग्राफी विधियों की सीमाओं को पार करता है।

5. जटिलता बाउंड्स का सारांश (Summary of Complexity Bounds)

लक्षित वर्ग (Target Class)	मीट्रिक (Metric)	क्वेरी जटिलता (Query Complexity)	नोट्स (Notes)
Nearly $(s, \epsilon)$ -Sparse	Standard Diamond	$\tilde{O}(s^6 / \epsilon^4)$	मुख्य परिणाम; $s$ का बहुपद।
Bounded $\ell_1$ ( $L_1$ )	Standard Diamond	$\Omega(2^{n/2})$	अव्यवहार्य (Lower Bound)।
Bounded $\ell_1$ ( $L_1$ )	Restricted Diamond	$\tilde{O}(L_1^8 / \epsilon^{16})$	शिथिल मीट्रिक के तहत कुशल।
Sparse Hamiltonian	Variable Time	$\tilde{O}(s^2 / \epsilon)$	पिछला कार्य (Abbas et al.); टाइम कंट्रोल की आवश्यकता।
Sparse Hamiltonian	Fixed Time	$\tilde{O}(s^2 / \epsilon^4)$	पिछला कार्य (Arunachalam et al.)।

पेपर भविष्य के खुले प्रश्नों की पहचान करके समाप्त होता है, जैसे कि क्वेरी जटिलता एक्सपोनेंट्स (संभावित रूप से हाइजेनबर्ग स्केलिंग के माध्यम से) में सुधार करना और एप्रोक्सिमेटेड यूनिटरीज के कार्यान्वयन को रिफाइन करना।