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A Factorization Identity for Twisted Multinomial Coefficients with Application to Pilot States in Hamiltonian Decoded Quantum Interferometry

यह शोध पत्र एक तिरछी (skew-symmetric) आव्यूह द्वारा भारित एक ट्विस्टेड बहुपद गुणांक (twisted multinomial coefficient) प्रस्तुत करता है और सिद्ध करता है कि एक पूर्ववर्ती-एकरूपता (predecessor-uniformity) की स्थिति के तहत, यह गॉसियन द्विपद गुणांकों (Gaussian binomials) के एक गुणनफल में विभाजित होता है, एक ऐसा पहचान जो हैमिल्टनियन डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री में पायलट स्टेट तैयारी के लिए सटीक मैट्रिक्स उत्पाद अवस्थाओं (matrix product states) के निर्माण को सक्षम बनाती है।

मूल लेखक: Pawel Wocjan

प्रकाशित 2026-04-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Pawel Wocjan

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, जटिल केक बनाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन मैदा और चीनी के बजाय, आपकी सामग्री क्वांटम कण (विशेष रूप से "पॉली ऑपरेटर्स" नामक छोटे चुंबक) हैं। आप इन सामग्रियों को एक विशिष्ट क्रम में मिलाना चाहते हैं ताकि एक विशेष क्वांटम अवस्था (जिसे "पायलट स्टेट" कहा जाता है) बनाई जा सके, जो एक क्वांटम कंप्यूटर को कठिन समस्याओं को हल करने में मदद करती है, जैसे कि किसी अणु की न्यूनतम ऊर्जा अवस्था खोजना।

समस्या यह है कि आपके क्वांटम घटक बहुत नखरेबाज हैं। जब आप उनमें से दो को आपस में बदलते हैं, तो वे केवल अपनी जगह नहीं बदलते; वे कभी-कभी एक स्विच बदल देते हैं, जिससे "प्लस" बदलकर "माइनस" (या एक अधिक जटिल फेज) हो जाता है। इसे एंटीकम्यूटेशन (Anticommutation) कहा जाता है।

समस्या: "अव्यवस्थित रसोई"

अतीत में, यदि आप इन सामग्रियों में से $k$ को मिलाने का परिणाम ज्ञात करना चाहते थे, तो आपको उन्हें रखने के हर एक संभावित क्रम को देखना पड़ता था।

यदि आपके पास 3 सामग्रियां हैं, तो $3! = 6$ क्रम हैं।
यदि आपके पास 20 सामग्रियां हैं, तो $20!$ (2.4 क्विंटिलियन) क्रम हैं।

इस समस्या को संभालने का पुराना तरीका ऐसी सामग्रियों के समूह बनाना था जो "आपस में मेल खाती हैं" (कम्यूट करती हैं) और उन "लड़ने वाले" (एंटीकम्यूट) घटकों को अलग, छोटे द्वीपों के रूप में मानना था जो आपस में टकराते हैं। यदि आपकी रसोई में एक विशाल द्वीप होता जहाँ हर कोई हर किसी से लड़ रहा होता, तो पुराना तरीका विफल हो जाता। उस रेसिपी की गणना करने में बहुत समय लगता क्योंकि "लड़ने वाला" समूह बहुत बड़ा था।

नई खोज: "समान नियम"

लेखक, पावेल वोकजान (Paweł Wocjan) ने एक विशेष नियम की खोज की जो इस अव्यवस्थित रसोई को एक व्यवस्थित असेंबली लाइन में बदल देता है। वे इसे "प्रीडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी" (Predecessor-Uniformity) कहते हैं।

यहाँ इसका एक उदाहरण है:
कल्पना कीजिए कि आप लोगों को एक कमरे में प्रवेश करने के लिए कतार में खड़ा कर रहे हैं।

पुराना तरीका: हर बार जब व्यक्ति A, व्यक्ति B से मिलता है, तो उनका हाथ मिलाने का तरीका अनूठा और जटिल होता है। यदि व्यक्ति C प्रवेश करता है, तो उसका A के साथ एक अलग जटिल तरीका होगा और B के साथ तीसरा तरीका होगा। कतार के कुल "हैंडशेक एनर्जी" की गणना करना एक दुःस्वप्न है।
नया तरीका (Predecessor-Uniformity): लेखक ने पाया कि एक ऐसी स्थिति है जहाँ नियम सरल है: "यदि आप $j$ -वें व्यक्ति के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, तो आपसे पहले प्रवेश करने वाले सभी लोगों के साथ आपका हाथ मिलाने का तरीका बिल्कुल एक जैसा होगा।"
- शायद आप अपने से पहले आए सभी लोगों के साथ "हाई फाइव" (कम्यूट) करते हैं।
  कठोरता से कहें कि यह मायने नहीं रखता कि वे कौन हैं, केवल यह मायने रखता है कि वे आपसे पहले हैं।

जादुई सूत्र: "रशियन नेस्टिंग डॉल"

इस सरल नियम के कारण, लेखक ने एक गणितीय पहचान सिद्ध की। एक विशाल, अव्यवस्थित संख्या (एक "ट्विस्टेड मल्टीनोमियल कोएफिशिएंट") की गणना करने के बजाय, आप इसे छोटे, स्वतंत्र गणनाओं के ढेर में तोड़ सकते हैं।

इसे एक रशियन नेस्टिंग डॉल (Russian Nesting Doll) की तरह सोचें:

पूरी बड़ी गुड़िया को एक साथ खोलने के बजाय, आप महसूस करते हैं कि यह एक के भीतर एक रखी छोटी गुड़ियों की एक श्रृंखला है।
आप पहले स्तर की गणना करते हैं, फिर दूसरे की, फिर तीसरे की।
कुल परिणाम इन सरल परतों का गुणनफल मात्र है।

गणितीय रूप में, यह एक ऐसी समस्या को जो एक्सपोनेंशियल (Exponentially) रूप से बढ़ती है (जो बहुत तेज़ी से असंभव हो जाती है), एक ऐसी समस्या में बदल देता है जो पॉलीनोमियल (Polynomially) रूप से बढ़ती है (जो प्रबंधनीय और तेज़ है)।

यह क्वांटम कंप्यूटरों के लिए क्यों महत्वपूर्ण है

यह केवल एक गणितीय ट्रिक नहीं है; यह एक विशिष्ट क्वांटम एल्गोरिदम जिसे हैमिल्टोनियन डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (HDQI) कहा जाता है, को अनलॉक करने की कुंजी है।

पायलट स्टेट: एल्गोरिदम चलाने के लिए, आपको पहले एक "पायलट स्टेट" (एक विशिष्ट क्वांटम रेसिपी) तैयार करने की आवश्यकता होती है।
बाधा (Bottleneck): कुछ प्रकार के क्वांटम सिस्टमों (जैसे कि फर्मियॉन्स या इलेक्ट्रॉन्स का वर्णन करने वाले सिस्टम) के लिए, सभी सामग्रियां आपस में लड़ती हैं। पुराना तरीका कहता था, "शुभकामनाएं, इसमें ब्रह्मांड की आयु से भी अधिक समय लगेगा।"
समाधान: इस पहचान के साथ, कंप्यूटर पायलट स्टेट को तुरंत कैलकुलेट कर सकता है, भले ही हर एक सामग्री का हर दूसरी सामग्री के साथ झगड़ा हो रहा हो।

एक पेच (द "लोकैलिटी" समस्या)

इसमें एक छोटा सा पेच है। यह "यूनिफॉर्म नियम" तब सबसे अच्छा काम करता है जब सामग्रियां नॉन-लोकल (Non-local) हों।

लोकल (Local): कल्पना कीजिए कि सामग्रियां एक मेज पर रखी हैं। सामग्री 1 केवल सामग्री 2 को छूती है। यह सामग्री 100 को नहीं छूती।
नॉन-लोकल (Non-Local): कल्पना कीजिए कि सामग्री 1, सामग्री 100 के साथ हाथ मिला रही है, भले ही वे कमरे के विपरीत छोरों पर हों।

यह गणित इन "लंबे समय तक चलने वाले" इंटरैक्शन (जैसे इलेक्ट्रॉन्स के लिए उपयोग किया जाने वाला जॉर्डन-विगनर ट्रांसफॉर्मेशन) के लिए खूबसूरती से काम करता है, लेकिन "लोकल" सामग्रियों (जैसे क्रिस्टल लैटिस) के लिए इसे लागू करना कठिन है जहाँ चीजें केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ ही परस्पर क्रिया करती हैं।

सारांश

समस्या: क्वांटम मिश्रण की रेसिपी की गणना करना आमतौर पर बहुत कठिन होता है क्योंकि सामग्रियां जटिल, अद्वितीय तरीकों से परस्पर क्रिया करती हैं।
खोज: यदि सामग्रियां एक सरल नियम का पालन करती हैं (आपसे पहले आए सभी लोगों के साथ एक जैसा व्यवहार होता है), तो गणित एक सरल, तेज़ गुणनफल में सिमट जाता है।
परिणाम: अब हम उन शक्तिशाली क्वांटम एल्गोरिदम के लिए शुरुआती अवस्थाओं (starting states) को कुशलतापूर्वक तैयार कर सकते हैं जो पहले बहुत महंगे माने जाते थे, विशेष रूप से उन सिस्टमों के लिए जहाँ हर चीज़ हर चीज़ के साथ परस्पर क्रिया करती है।

यह एक गुप्त कोड खोजने जैसा है जो 100 साल की गणना को 10 सेकंड की गणना में बदल देता है, बशर्ते सामग्रियां "यूनिफॉर्म नियम" के अनुसार चलने को तैयार हों।

यहाँ पावेल वोकजान (Paweł Wocjan) के शोध पत्र "A Factorization Identity for Twisted Multinomial Coefficients with Application to Pilot States in Hamiltonian Decoded Quantum Interferometry" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एक कॉम्बिनेटोरियल (संयोजन संबंधी) समस्या को संबोधित करता है जो हैमिल्टोनियन डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (HDQI) के संदर्भ में उत्पन्न होती है, जो कि कई-निकाय (many-body) हैमिल्टोनियन्स के गिब्स (Gibbs) और ग्राउंड स्टेट्स तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया एक क्वांटॉन एल्गोरिदम है।

मुख्य चुनौती: HDQI प्रोटोकॉल में, "पायलट स्टेट" (pilot state) तैयार करने के लिए एक जनरेटर बेसिस (जैसे पाउली ऑपरेटर्स) में हैमिल्टोनियन की घात $H^k$ का विस्तार करना आवश्यक होता है। यदि $H = \sum c_j P_j$ है, तो विस्तार गुणांक $\alpha_r$ जनरेटरों के क्रमपरिवर्तन (permutations) के योग पर आधारित होते हैं, जो उनके बीच के कम्यूटेशन/एंटी-कम्यूटेशन चरणों (phases) द्वारा भारित (weighted) होते हैं।
कॉम्बिनेटोरियल ऑब्जेक्ट: ये गुणांक ट्विस्टेड मल्टीनोमियल कोएफिशिएंट्स (twisted multinomial coefficients) के अनुरूप होते हैं, जहाँ एक इनवर्जन (क्रम से बाहर के इंडेक्स का जोड़ा) का भार $\Omega$ द्वारा निर्धारित विशिष्ट जोड़े के आधार पर निर्भर करता है।
बाधा (Bottleneck): सामान्य मामले में, इन गुणांकों के लिए कोई क्लोज्ड-फॉर्म फैक्टराइजेशन मौजूद नहीं है। मौजूदा विधियाँ (जो एंटी-कम्यूटेशन ग्राफ के कनेक्टेड कंपोनेंट्स पर आधारित हैं) की कम्प्यूटेशनल लागत सबसे बड़े कनेक्टेड कंपोनेंट के आकार के साथ घातांकीय (exponentially) रूप से बढ़ती है, जिससे वे अत्यधिक गैर-स्थानीय (non-local) या पूर्णतः कनेक्टेड सिस्टमों के लिए अव्यवहार्य हो जाती हैं।

2. कार्यप्रणाली और सैद्धांतिक ढांचा (Methodology and Theoretical Framework)

लेखक इस फैक्टराइजेशन समस्या को विशिष्ट संरचनात्मक स्थितियों के तहत हल करने के लिए एक नया कॉम्बिनेटोरियल ढांचा प्रस्तुत करते हैं।

A. ट्विस्टेड अलजेब्रा और मल्टीनोमियल कोएफिशिएंट्स

ट्विस्टेड अलजेब्रा: पेपर एक सिंगल-ऑर्डर ट्विस्टेड अलजेब्रा $\mathcal{A}_\Omega$ को परिभाषित करता है जो $z_1, \dots, z_m$ द्वारा जनरेट होता है, जहाँ संबंध $z_j z_i = \omega_{ij} z_i z_j$ ( $j > i$ के लिए) हैं, जहाँ $\omega_{ij}$ गैर-शून्य जटिल संख्याएँ (complex numbers) हैं।
ट्विस्टेड मल्टीनोमियल कोएफिशिएंट: इसे सभी शफल्स (एक मल्टीसेट के क्रमपरिवर्तन) के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें प्रत्येक इनवर्जन $(r, s)$ (जहाँ $\sigma(r) > \sigma(s)$ ) के लिए भार $\omega_{\sigma(s), \sigma(r)}$ का गुणनफल शामिल है।
$\binom{k}{k_1, \dots, k_m}_\Omega = \sum_{\sigma \in \text{Sh}(k_1, \dots, k_m)} \prod_{r<s, \sigma(r)>\sigma(s)} \omega_{\sigma(s), \sigma(r)}$

B. प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी कंडीशन (Predecessor-Uniformity Condition)

केंद्रीय सैद्धांतिक योगदान $\Omega$ के लिए एक संरचनात्मक स्थिति की पहचान करना है जिसे प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी कहा जाता है।

परिभाषा: एक मैट्रिक्स $\Omega$ प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्म है यदि प्रत्येक जनरेटर $j$ के लिए, भार $\omega_{ij}$ सभी प्रेडेसेसरों $i < j$ के लिए स्थिर रहता है। अर्थात, $\omega_{ij} = q_j$ है जहाँ $q_j$ एक साइट-डिपेंडेंट पैरामीटर है।
निहितार्थ: यह स्थिति यह दर्शाती है कि एक अक्षर $j$ को सम्मिलित करने पर उत्पन्न होने वाला कुल चरण केवल इस बात पर निर्भर करता है कि वह कितने प्रेडेसेसरों के ऊपर से गुजरता है, न कि उनकी विशिष्ट पहचान पर।

C. फैक्टराइजेशन आइडेंटिटी (The Factorization Identity)

प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी की स्थिति के तहत, पेपर यह सिद्ध करता है कि ट्विस्टेड मल्टीनोमियल कोएफिशिएंट, इंटरलीविंग प्रक्रिया के प्रत्येक चरण के लिए अलग-अलग मापदंडों $q_j$ वाले गौसियन (q-deformed) द्विपद गुणांकों (binomial coefficients) के गुणनफल में विभाजित हो जाता है:
$\binom{k}{k_1, \dots, k_m}_\Omega = \prod_{j=1}^m \binom{\ell_j}{k_j}_{q_j}$
जहाँ $\ell_j = k_1 + \dots + k_j$ और $\binom{n}{r}_q$ एक गौसियन द्विपद गुणांक है।

प्रूफ स्ट्रैटेजी: प्रमाण क्रमवार तरीके से शफल्स का निर्माण करता है। चरण $j$ पर, $k_j$ प्रतियां अक्षर $j$ की, पिछले अक्षरों से बने शब्द में डाली जाती हैं। प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी के कारण, इन प्रतियों को डालने का कुल चरण केवल सम्मिलन स्थितियों के विभाजन पर निर्भर करता है, जो ठीक से गौसियन द्विपद $\binom{\ell_j}{k_j}_{q_j}$ के योग के बराबर है।

3. मुख्य परिणाम और अनुप्रयोग (Key Results and Applications)

A. सटीक मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट (MPS) प्रतिनिधित्व

फैक्टराइजेशन आइडेंटिटी पायलट स्टेट एम्पलीट्यूड्स $\alpha_r$ के कुशल प्रतिनिधित्व की अनुमति देती है।

परिणाम: एम्पलीट्यूड्स एक सटीक मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट (MPS) प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करते जिसका बॉन्ड डायमेंशन (bond dimension) $k+1$ है।
निर्माण: MPS टेंसरों का निर्माण हैमिल्टोनियन गुणांकों $c_j$ और गौसियन द्विपद गुणांकों का उपयोग करके किया जाता है।
जटिलता: एक एकल एम्पलीट्यूड की गणना करने में $O(m k^2)$ समय लगता है। यह पिछले तरीकों की तुलना में एक बहुपद (polynomial) सुधार है, जिनकी लागत एंटी-कम्यूटेशन ग्राफ के अत्यधिक कनेक्टेड होने पर घातांकीय (exponential) हो जाती है।

B. क्वांटम सिस्टम में विशेषज्ञता (Specialization to Quantum Systems)

क्यूबिट पाउली हैमिल्टोनियन्स ( $a=2$ ): यहाँ पैरामीटर $q_j$ $q_{j}$ को $\{+1, -1\}$ ${+ 1, - 1}$ तक सीमित किया गया है।
- $q_j = +1$ : कम्यूटिंग जनरेटर्स (मानक द्विपद)।
- $q_j = -1$ : एंटी-कम्यूटिंग जनरेटर्स ( $q=-1$ पर गौसियन द्विपद)।
- स्पर्सिटी (Sparsity): एंटी-कम्यूटिंग जनरेटर्स के लिए, गौसियन द्विपद कुछ पैरिटी संयोजनों के लिए शून्य हो जाता है, जिससे स्पार्स (sparse) MPS मैट्रिसेस प्राप्त होते हैं।
क्विड हैमिल्टोनियन्स ( $a=d$ , प्राइम): यह ढांचा $d$ -थ रूट्स ऑफ यूनिटी का उपयोग करके प्राइम-डायमेंशनल सिस्टमों तक विस्तारित है।

C. कनेक्टेड-कंपोनेंट विधियों से घातांकीय पृथक्करण (Exponential Separation)

पेपर नई MPS दृष्टिकोण की तुलना मौजूदा "कनेक्टेड-कंपोनेंट" विधि से करता है।

परिदृश्य: $m$ परस्पर एंटी-कम्यूटिंग पाउली ऑपरेटर्स (जैसे जॉर्डन-विग्नर निर्माण के माध्यम से) का एक सेट लें।
पुरानी विधि: एंटी-कम्यूटेशन ग्राफ एक पूर्ण ग्राफ ( $K_m$ ) है, जो $m$ आकार का एक एकल कनेक्टेड कंपोनेंट बनाता है। इसकी लागत $O(2^m)$ के रूप में स्केल करती है।
नई विधि: ट्विस्टिंग मैट्रिक्स किसी भी क्रम के तहत प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्म है (चूंकि सभी जोड़े एंटी-कम्यूट करते हैं, $\omega_{ij}=-1$ )। MPS दृष्टिकोण इसे $O(m k^2)$ में हल करता है।
निष्कर्ष: यह अत्यधिक गैर-स्थानीय सिस्टमों के लिए पायलट स्टेट तैयारी में कंप्यूटेशनल जटिलता में घातांकीय पृथक्करण (exponential separation) को प्रदर्शित करता है।

4. सीमाएँ और खुले प्रश्न (Limitations and Open Problems)

लोकैलिटी बनाम प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी: पेपर एक महत्वपूर्ण भौतिक तनाव को उजागर करता है। प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी के लिए अक्सर जनरेटर्स के ओवरलैपिंग सपोर्ट (जैसे, सभी जनरेटर्स को सभी प्रेडेसेसरों के साथ एंटी-कम्यूट करना चाहिए) की आवश्यकता होती है। यह आमतौर पर जियोमेट्रिकली लोकल हैमिल्टोनियन्स (जहाँ दूर स्थित जनरेटर्स कम्यूट करते हैं) को नियम से बाहर कर देता है।
- उदाहरण: एक लैटिस (lattice) में, यदि $P_j$ एक स्थानीय पड़ोसी के साथ एंटी-कम्यूट करता है, तो प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी उसे सभी पिछले जनरेटर्स के साथ एंटी-कम्यूट करने के लिए मजबूर करती है, जिसमें दूर के जनरेटर्स भी शामिल हैं, जो भौतिक रूप से असंभव है।
डिकोडिंग आवश्यकता: HDQI प्रोटोकॉल के लिए न केवल पायलट स्टेट तैयारी (जो यहाँ हल की गई है) बल्कि उससे जुड़े हैमिल्टोनियन कोड के कुशल डिकोडिंग की भी आवश्यकता होती है।
- पेपर नोट करता है कि ऐसे हैमिल्टोनियन्स खोजना जो कुशल तैयारी (के लिए प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी) और कुशल डिकोडिंग (के लिए पर्याप्त कोड डिस्टेंस) दोनों को संतुष्ट करते हों, एक खुला प्रश्न बना हुआ है।
- उदाहरण: एक विक्षेपित (perturbed) टोरिक कोड कुशल पायलट स्टेट तैयारी की अनुमति दे सकता है, लेकिन इसका कोड डिस्टेंस छोटा हो सकता है (वेट-5 संबंधों के कारण), जिससे डिकोडिंग अविश्वसनीय हो जाती है।

5. महत्व (Significance)

कॉम्बिनेटोरियल सफलता: यह पेपर ट्विस्टेड मल्टीनोमियल कोएफिशिएंट्स के लिए एक नया, शुद्ध रूप से कॉम्बिनेटोरियल पहचान स्थापित करता है जो मानक $q$ -मल्टीनोमियल को मल्टी-पैरामीटर सेटिंग में सामान्यीकृत करता है। यह पहचान बिना किसी बीजगणितीय बाधा के मनमाने जटिल मापदंडों $q_j$ के लिए मान्य है।
एल्गोरिद्मिक दक्षता: यह पूर्णतः कनेक्टेड एंटी-कम्यूटेशन ग्राफ वाले हैमिल्टोनियन्स के लिए पायलट स्टेट एम्पलीट्यूड्स को कुशलतापूर्वक कंप्यूट करने के लिए ज्ञात पहला तरीका प्रदान करता है, जिससे जटिलता जनरेटरों की संख्या के घातांकीय से बहुपद (polynomial) में बदल जाती है।
क्वांटम एल्गोरिदम के लिए मार्गदर्शन: पायलट स्टेट तैयारी घटक को अलग करके, यह कार्य उन विशिष्ट संरचनात्मक आवश्यकताओं (प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्मिटी) को स्पष्ट करता है जो गणनात्मक सुगमता के लिए आवश्यक हैं। यह भविष्य के शोध को ऐसे भौतिक हैमिल्टोनेियन्स की पहचान करने की दिशा देता है जो गैर-स्थानीय जनरेटर संरचनाओं (तैयारी के लिए) और स्थानीय बाधाओं (डिकोडिंग के लिए) के बीच संतुलन बनाए रखते हैं।

संक्षेप में, वोकजान HDQI में एक बाधा के लिए एक कठोर गणितीय समाधान प्रदान करते हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि सामान्य समस्या कठिन है, एक विशिष्ट संरचनात्मक वर्ग (प्रेडेसेसर-यूनिफॉर्म) सटीक, कुशल सिमुलेशन के लिए एक मार्ग प्रदान करता है, जो क्वांटम स्टेट तैयारी एल्गोरिदम को स्केल करने का एक संभावित तरीका है।