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What Are Pulsar Companions Made of? Using Gravitational Tides to Probe Their Compositions

यह शोधपत्र कम-उत्केंद्रता (low-eccentricity) और लघु-अवधि वाले पल्सर साथियों की अनूठी निर्माण इतिहासों पर प्रकाश डालने के लिए, उनके आंतरिक रासायनिक और संरचनात्मक संघटकों को सीमित करने हेतु एप्सिडल मोशन (apsidal motion) और कक्षीय पूर्वसर्ग (orbital precession) जैसे गुरुत्वाकर्षण ज्वारीय प्रभावों का उपयोग करने का प्रस्ताव करता है।

मूल लेखक: Liam Colombo-Murphy, Lucas Brown, Stefano Profumo, M. Grant Roberts, Aya Westerling

प्रकाशित 2026-04-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Liam Colombo-Murphy, Lucas Brown, Stefano Profumo, M. Grant Roberts, Aya Westerling

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, कॉस्मिक डांस फ्लोर है। आमतौर पर, हम ग्रहों को हमारे सूर्य जैसे सौम्य, चमकते सितारों के इर्द-गिर्द नाचते हुए देखते हैं। लेकिन कभी-कभी, ग्रह बहुत अधिक तीव्र चीज़ों के इर्द-गिर्द नाचते हैं: एक पल्सर (pulsar)।

एक पल्सर एक विशाल तारे का अवशेष है जो विस्फोट होकर खत्म हो गया था। यह शहर के आकार का न्यूट्रॉन पदार्थ का एक गोला है जो एक सेकंड में सैकड़ों बार घूमता है और लाइटहाउस की तरह प्रकाश की किरणें उत्सर्जित करता है। यह अविश्वसनीय रूप से भारी, घना है और इसका गुरुत्वाकर्षण खिंचाव इतना शक्तिशाली है कि यह आपको तुरंत कुचल सकता है।

यह शोध पत्र उन खगोलविदों के एक समूह (लियाम कोलोम्बो-मर्फी के नेतृत्व में) के बारे में है जो यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि ये "पल्सर ग्रह" वास्तव में किस चीज़ से बने हैं। क्या वे चट्टानी हैं? गैसीय हैं? या वे किसी और अजीब चीज़ से बने हैं, जैसे कि एक विशाल हीरा या यहाँ तक कि "स्ट्रेंज मैटर" (strange matter)?

यहाँ उनके जासूसी कार्य का विवरण दिया गया, जिसे सरल रूप में समझाया गया है:

1. रहस्य: "डायमंड प्लैनेट" (हीरे का ग्रह)

टीम चार विशिष्ट प्रणालियों (systems) की जांच कर रही है जहाँ एक ग्रह एक पल्सर के बहुत करीब चक्कर लगा रहा है। क्योंकि यह कक्षा इतनी तंग है और पल्सर बहुत भारी है, इसलिए ग्रह को गुरुत्वाकर्षण द्वारा दबाया जा रहा है।

सुराग: इनमें से एक ग्रह, PSR J1719-1438b, इतना घना है कि यदि आप इसका एक चम्मच हिस्सा लें, तो उसका वजन एक पहाड़ के बराबर होगा। वैज्ञानिक इसे "डायमंड प्लैनेट" कहते हैं क्योंकि यह कार्बन से बना हो सकता है जिसे इतनी ज़ोर से दबाया गया है कि वह हीरे में बदल गया है।
समस्या: हम इन ग्रहों को सीधे नहीं देख सकते। वे बहुत छोटे और बहुत दूर हैं। हमें केवल इसलिए पता चलता है कि वे मौजूद हैं क्योंकि वे पल्सर को खींचते हैं, जिससे उसके "बीप" (पल्स) के समय में बदलाव आता है।

2. विधि: "कॉस्मिक ट्रैम्पोलिन" टेस्ट

वैज्ञानिक इन ग्रहों के बारे में जाने बिना कि वे किस चीज़ से बने हैं, यह जानने के लिए गुरुत्वाकर्षण ज्वार (gravitational tides) की अवधारणा का उपयोग करते हैं।

एक ट्रैम्पोलिन पर पल्सर और उसके ग्रह को दो लोगों के रूप में सोचें।

पल्सर बीच में एक विशाल, भारी वजन है।
ग्रह उसके चारों ओर उछलने वाला एक छोटा वजन है।
क्योंकि पल्सर बहुत भारी है, यह अपने आस-पास के स्थान (space) को खींचता है। ग्रह भी खिंच जाता है, जैसे कि टॉफी का एक टुकड़ा।

टॉफी का आकार कहानी बताता है:

यदि ग्रह नरम, फूली हुई गैस (जैसे एक सामान्य बृहस्पति) से बना है, तो यह आसानी से खिंच जाता है। यह एक मार्शमैलो की तरह है।
यदि ग्रह कठोर, घने पत्थर या हीरे से बना है, तो यह लगभग नहीं खिंचता। यह एक पत्थर की तरह है।
यदि ग्रह विदेशी "स्ट्रेंज मैटर" से बना है, तो यह इतना घना हो सकता है कि इसका कोई आकार ही न बचे।

वैज्ञानिक इस खिंचाव की क्षमता को "लव नंबर" (Love Number) कहते हैं (भौतिकी में यह थोड़ा भ्रमित करने वाला नाम है, लेकिन इसे "दबने की क्षमता का स्कोर" समझें)।

3. टूल: APSIDE (डिजिटल सिम्युलेटर)

टीम ने APSIDE (A Python Solver for Integrating tiDal characteristics from Equations of state) नामक एक कंप्यूटर प्रोग्राम बनाया है।

कल्पना कीजिए कि APSIDE एक आभासी भौतिक प्रयोगशाला (virtual physics lab) है। वैज्ञानिक इसमें अलग-अलग "नुस्खे" डालते हैं कि एक ग्रह किस चीज़ से बना हो सकता है:

नुस्खा A: शुद्ध हाइड्रोजन (एक गैस दानव की तरह)।
नुस्खा B: लोहा और चट्टान (पृथ्वी की तरह)।
नुस्खा C: ठंडा कार्बन (हीरे की तरह)।
नुस्खा D: स्ट्रेंज क्वार्क मैटर (वह विदेशी पदार्थ)।

फिर प्रोग्राम सिमुलेशन करता है: "यदि यह ग्रह हीरे से बना होता, तो यह कितना खिंचता? इससे इसके चक्कर लगाने के तरीके में क्या बदलाव आता?"

4. जासूसी का काम: "बीप्स" को सुनना

पल्सर ब्रह्मांड की सबसे सटीक घड़ियाँ हैं। यदि कोई ग्रह इसके चारों ओर घूमता है, तो पल्स का समय थोड़ा बदल जाता है।

प्रिसेशन (Precession): जैसे-जैसे ग्रह चक्कर लगाता है, उसका पथ एक पूर्ण वृत्त में नहीं रहता; पूरा ऑर्बिट धीरे-धीरे घूमता है (जैसे एक घूमती हुई लट्टू डगमगाती है)। इसे एप्सिडल मोशन (apsidal motion) कहा जाता है।
संबंध: ऑर्बिट कितनी तेज़ी से डगमगाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि ग्रह कितना "दबने योग्य" (squishy) है।
- एक दबने योग्य ग्रह (गैस) एक बड़ा डगमगाहट पैदा करता है।
- एक कठोर ग्रह (हीरा) बहुत कम डगमगाहट पैदा करता है।

वैज्ञानिकों ने PINT नामक सॉफ्टवेयर का उपयोग करके इन पल्सरों को 10, 20 या 50 वर्षों तक सुनने का सिमुलेशन किया। उन्होंने पूछा: "गैस जायंट और डायमंड के बीच अंतर बताने के लिए हमें कितने समय तक सुनना होगा?"

5. परिणाम: उन्हें क्या मिला?

अच्छी खबर: यदि ग्रह सामान्य चीज़ों (चट्टान, गैस, पानी) से बना है, तो ऑर्बिट में "डगमगाहट" बहुत बड़ी होती है। हम अवलोकन के कुछ दशकों में ही इस अंतर को पहचान सकते हैं। यह एक ड्रम और एक झाँझ (cymbal) के बीच के अंतर को सुनने जैसा होगा।
बुरी खबर: यदि ग्रह विदेशी, अति-घने पदार्थ (जैसे स्ट्रेंज क्वार्क मैटर या एक आदर्श हीरा) से बना है, तो यह इतना कठोर है कि यह लगभग बिल्कुल नहीं डगमगाता। इसका ऑर्बिट लगभग एक 'पॉइंट मास' (गणितीय बिंदु) की तरह दिखता है।
- निष्कर्ष: यदि हम लंबे समय तक सुनते हैं और ऑर्बिट बिल्कुल आइंस्टीन के जनरल रिलेटिविटी के अनुसार डगमगाता है (बिना किसी अतिरिक्त "दबने की क्षमता" के), तो इसका मतलब है कि ग्रह अविश्वसनीय रूप से घना और विदेशी है।
- ट्विस्ट: यदि हमें अतिरिक्त डगमगाहट दिखाई देती है, तो हम तुरंत "डायमंड" या "स्ट्रेंज मैटर" के सिद्धांतों को खारिज कर सकते हैं।

6. बड़ी तस्वीर

यह शोध पत्र भविष्य के लिए एक रोडमैप है। यह हमें बताता है:

हम इन ग्रहों को देख नहीं सकते, लेकिन हम उनके आकार को "महसूस" कर सकते हैं पल्सर की लय को सुनकर।
हमें धैर्य की आवश्यकता है। एक "डायमंड प्लैनेट" और एक "स्ट्रेंज मैटर प्लैनेट" के बीच अंतर बताने के लिए, हमें शायद 20 या 50 वर्षों तक सुनने की आवश्यकता होगी।
यह एक इतिहास की किताब है। यह जानकर कि ये ग्रह किस चीज़ से बने हैं, हम समझ सकते हैं कि वे कैसे बने। क्या वे एक तारे के विस्फोट से बचे थे? क्या वे मृत सितारों के अवशेष कोर थे?

संक्षेप में: लेखकों ने एक डिजिटल माइक्रोस्कोप बनाया है जो प्रकाश के बजाय गुरुत्वाकर्षण का उपयोग करता है। वे ब्रह्मांड से कुछ और दशकों के डेटा का इंतज़ार कर रहे हैं ताकि वे अंततः इस प्रश्न का उत्तर दे सकें: "क्या ये ग्रह चट्टान, हीरे या किसी ऐसी चीज़ से बने हैं जो अब तक देखी गई किसी भी चीज़ से कहीं अधिक अजीब है?"

यहाँ कोलोम्बो-मर्फी एवं अन्य द्वारा लिखित शोध पत्र "What Are Pulsar Companions Made of? Using Gravitational Tides to Probe Their Compositions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कम कक्षीय उत्केंद्रता (low orbital eccentricity) और लघु कक्षीय अवधि वाले पल्सर साथी (जिन्हें अक्सर "डायमंड प्लैनेट्स" या अल्ट्रा-कॉम्पैक्ट साथी कहा जाता है) अत्यधिक गुरुत्वाकर्षण वातावरण में निवास करते हैं। हालांकि उनकी उपस्थिति पल्सर टाइमिंग के माध्यम से पुष्ट है, लेकिन उनकी आंतरिक रासायनिक और संरचनात्मक संरचनाएँ काफी हद तक काल्पनिक बनी हुई हैं।

चुनौती: यह निर्धारित करना कि ये वस्तुएं पारंपरिक स्थलीय सामग्रियों (लोहा, सिलिकेट), अपभ्रष्ट पदार्थ (कार्बन-ऑक्सीजन व्हाइट ड्वार्फ अवशेष), या विलक्षण अवस्थाओं (स्ट्रेंज क्वार्क मैटर) से बनी हैं, कठिन है क्योंकि मानक द्रव्यमान-त्रिज्या संबंध अक्सर अस्पष्ट या वर्तमान अवलोकनों द्वारा अपर्याप्त रूप से बाधित होते हैं।
अवसर: ये प्रणालियाँ विशाल मेजबान न्यूट्रॉन तारे के कारण महत्वपूर्ण गुरुत्वाकर्षण ज्वार (gravitational tides) का अनुभव करती हैं और निकटता में रहती हैं। ये ज्वार एप्सिडल मोशन (कक्षीय पूर्ववलन/apsidal motion) और कक्षीय क्षय ( $\dot{P}_b$ ) को प्रेरित करते हैं। इन प्रभावों का परिमाण पूरी तरह से साथी के आंतरिक घनत्व वितरण पर निर्भर करता, जो एप्सिडल मोशन स्थिरांक ( $k_2$ ) और टाइडल क्वालिटी फैक्टर ( $Q$ ) में समाहित होता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखकों ने विभिन्न समीकरण अवस्थाओं (Equations of State - EOS) के लिए ज्वारीय विशेषताओं को मॉडल करने और उन्हें संभावित पल्सर टाइमिंग अवलोकनों के साथ तुलना करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल फ्रेमवर्क विकसित किया।

A. APSIDE पाइपलाइन

लेखकों ने APSIDE पेश किया (एक पायथन सॉल्वर जो समीकरण अवस्थाओं से ज्वारीय विशेषताओं को एकीकृत करने के लिए है), जो एक पायथन पाइपलाइन है जिसे निम्नलिखित के लिए डिज़ाइन किया गया है:

संरचना समीकरणों का एकीकरण: गैर-सापेक्षतावादी वस्तुओं के लिए हाइड्रोस्टैटिक इक्विलिब्रियम समीकरणों और सापेक्षतावादी वस्तुओं के लिए टॉलमैन-ओपेनहाइमर-वोकोफ (TOV) समीकरणों को हल करना ताकि रेडियल घनत्व प्रोफाइल $\rho(r)$ निर्धारित किया जा सके।
$k_2$ की गणना: गैर-सापेक्षतावादी शासन के लिए स्टर्न (1939) के औपचारिक रूप और सापेक्षतावादी शासन के लिए हिंडरर/पोस्टनिकोव (2008, 2010) के उपयोग से एप्सिडल मोशन स्थिरांक ( $k_2$ $k_{2}$ ) की गणना करना।
- $k_2$ का मान 0 (ब्लैक होल/पॉइंट मास) से 0.75 (समान घनत्व वाला गोला) के बीच होता है।
ज्वारीय अवलोकन योग्य (Tidal Observables) का मॉडलिंग: व्युत्पन्न $k_2$ और टाइडल क्वालिटी फैक्टर $Q$ के आधार पर अपेक्षित न्यूटोनियन एप्सिडल प्रीसेसन ( $\dot{\omega}_{tidal}$ ) और सेकुलर ऑर्बिटल डिके ( $\dot{P}_{b,tide}$ ) की गणना करना।

B. समीकरण अवस्थाओं (EOS) का सर्वेक्षण

अध्ययन ने प्रत्येक के लिए एक "फिंगरप्रिंट" बनाने के लिए व्यापक रेंज के कंपोजिशन का परीक्षण किया:

मानक ग्रहीय (Standard Planetary): लोहा, मैग्नीशियम सिलिकेट, सिलिकॉन कार्बाइड, जल ( $H_2O$ )।
गैस/द्रव (Gas/Fluid): शुद्ध हाइड्रोजन, हीलियम, और H-He मिश्रण।
अपभ्रष्ट/कार्बन (Degenerate/Carbon): कोल्ड कार्बन, कोल्ड कार्बन-ऑक्सीजन (50/50), और व्हाइट ड्वार्फ EOS (n=1.5 पॉलिट्रोप)।
विलक्षण (Exotic): स्ट्रेंज क्वार्क मैटर (SQS) के लिए MIT बैग मॉडल।
मेजबान पल्सर (Host Pulsar): SLy EOS (1.4 $M_\odot$ ) का उपयोग करके मॉडल किया गया।

C. लक्षित प्रणालियाँ (Target Systems)

इस फ्रेमवर्क को चार विशिष्ट प्रणालियों पर लागू किया गया:

PSR J1719-1438b: "डायमंड प्लैनेट" उम्मीदवार (1.2 $M_J$ , 2.18 घंटा अवधि)।
PSR J0636+5128b: एक विशाल साथी (19.9 $M_J$ , 1.6 घंटा अवधि)।
PSR J2322+2650b: एक कम घनत्व वाला साथी जिसमें deconfirmed कार्बन-समृद्ध वायुमंडल है।
PSR J1807-2459A b: एक प्रणाली जिसमें मापा गया नकारात्मक कक्षीय अवधि व्युत्पन्न (negative orbital period derivative) है।

D. सिमुलेशन और सत्यापन

PINT सिमुलेशन: लेखकों ने 1 से 200 वर्षों के बेसलाइन पर J1719-1438 और J0636+5128 के लिए मॉक 'टाइम-ऑफ-अराइवल' (TOA) डेटा उत्पन्न करने के लिए पल्सर टाइमिंग सॉफ्टवेयर PINT का उपयोग किया।
विभेदन का मीट्रिक (Metric for Distinguishability): उन्होंने एक सिग्नल-टू-नॉइज़ मीट्रिक $S_{ij}$ को परिभाषित किया ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि दो अलग-अलग EOS मॉडल के बीच सांख्यिकीय अंतर करने के लिए कितने वर्षों के अवलोकन की आवश्यकता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

संरचना संबंधी बाधाओं के लिए फ्रेमवर्क: सरल द्रव्यमान-त्रिज्या बाधाओं से आगे बढ़कर, पल्सर साथी के आंतरिक EOS को सीधे पल्सर टाइमिंग अवलोकनों (विशेष रूप से एप्सिडल मोशन) से जोड़ने का एक कठोर तरीका स्थापित किया।
APSIDE का सत्यापन: यह प्रदर्शित किया कि पाइपलाइन मानक ग्रहीय EOS, न्यूट्रॉन स्टार (SLy), और स्ट्रेंज क्वार्क स्टार (MIT Bag Model) के लिए ज्ञात द्रव्यमान-त्रिज्या और द्रव्यमान- $k_2$ संबंधों को सटीक रूप से पुनरुत्पादित करती है।
अवलोकनीयता का परिमाणीकरण: यह बताया कि पल्सर टाइमिंग कब विभिन्न संरचना वर्गों के बीच अंतर करने में सक्षम है।
विलक्षण पदार्थ का विभेदन: यह दिखाया कि एप्सिडल मोशन का मापन विलक्षण, अत्यधिक सघन संरचनाओं (जैसे स्ट्रेंज क्वार्क स्टार) को प्रभावी ढंग से खारिज कर सकता है यदि देखा गया प्रीसेसन जनरल रिलेटिविटी (GR) के अनुमान से अधिक हो।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

एप्सिडल मोशन संवेदनशीलता:
- पारंपरिक/उच्च-घनत्व स्थलीय EOS: लोहा, सिलिकेट या पानी से बनी वस्तुओं की त्रिज्या बड़ी होती है और $k_2$ का मान उच्च होता है। इसके परिणामस्वरूप महत्वपूर्ण न्यूटोनियन प्रीसेसन ( $\dot{\omega}_{tidal}$ ) होता है, जो शुद्ध GR भविष्यवाणी से कई गुना अधिक है।
- विलक्षण/सघन EOS: स्ट्रेंज क्वार्क स्टार और कोल्ड कार्बन-ऑक्सीजन अवशेषों की त्रिज्या अत्यंत छोटी और $k_2$ बहुत कम होता है। उनका ज्वारीय योगदान नगण्य है, जिसका अर्थ है कि उनका कुल एप्सिडल मोशन पॉइंट-मास GR भविष्यवाणी के समान ही होता है।
अवलोकन समयसीमा (Observation Timescales):
- J1719-1438b और J0636+5128b जैसी प्रणालियों के लिए, पल्सर टाइमिंग निरंतर अवलोकन के कुछ दशकों (10-20 वर्ष) के भीतर $\dot{\omega}$ की $O(10^{-2})$ परिशुद्धता प्राप्त कर सकती है।
- विभेदन क्षमता: अधिकांश स्थलीय EOS को एक-दूसरे से और GR-केवल बेसलाइन से 5 से 10 वर्षों के भीतर अलग किया जा सकता है।
- "डायमंड प्लैनेट" की अस्पष्टता: घने कार्बन-ऑक्सीजन मॉडल और स्ट्रेंज क्वार्क स्टार मॉडल के बीच अंतर करना कठिन है क्योंकि दोनों ही प्रीसेसन दर के मामले में GR सीमा के बहुत करीब हैं। हालाँकि, GR सीमा से काफी ऊपर कोई भी मापा गया प्रीसेसन तुरंत विलक्षण सघन मॉडलों को खारिज कर देगा।
कक्षीय क्षय ( $\dot{P}_b$ ):
- हालांकि ज्वारीय क्षय एक संभावित प्रोब है, यह टाइडल क्वालिटी फैक्टर ( $Q$ ) और लव नंबर ( $k_2$ ) के बीच अनिश्चितता (degeneracy) के कारण जटिल है। इसके अलावा, गैर-ज्वारीय प्रभाव (Shklovskii प्रभाव, त्वरण) अक्सर $\dot{P}_b$ माप को दूषित करते हैं, जिससे एप्सिडल मोशन एक अधिक स्वच्छ प्रोब बन जाता है।
गुरुत्वाकर्षण तरंगें (परिशिष्ट):
- लेखक नोट करते हैं कि सघन वस्तुओं (SQS) के लिए, ज्वारीय विखंडन त्रिज्या (tidal disruption radius) बहुत छोटी है, जिससे बिना विखंडन के इनस्पायरल (inspiral) संभव हो सकता है। हालाँकि, परिणामी गुरुत्वाकर्षण तरंग स्ट्रेंथ वर्तमान (LIGO) या निकट भविष्य के डिटेक्टरों की पहचान सीमा से बहुत नीचे है, जिससे इन विशिष्ट प्रणालियों के लिए GW अवलोकन की संभावना कम है।

5. महत्व (Significance)

विलक्षण भौतिकी की जांच: यह कार्य स्ट्रेंज क्वार्क मैटर और अन्य विलक्षण पदार्थ अवस्थाओं के अस्तित्व का परीक्षण करने के लिए एक व्यवहार्य प्रयोगात्मक मार्ग प्रदान करता है। यदि किसी पल्सर साथी का प्रीसेसन दर GR के अनुरूप पाया जाता है (और कोई ज्वारीय योगदान नहीं है), तो यह अत्यधिक सघन, विलक्षण आंतरिक भाग का दृढ़ संकेत देता है।
ग्रह विज्ञान को परिष्कृत करना: एक्सोप्लैनेट के लिए ज्वारीय औपचारिकता को लागू करके, यह अध्ययन पल्सर बाइनरी डायनेमिक्स और मानक एक्सोप्लैनेट आंतरिक मॉडलिंग के बीच के अंतर को पाटता है, जो EOS विकास के लिए एक नया प्रतिबंध (ज्वारीय विकृति/tidal deformability) प्रदान करता है।
भविष्य की अवलोकन रणनीति: यह शोध पत्र तर्क देता है कि दीर्घकालिक, लंबे-आधारित पल्सर टाइमिंग इन वस्तुओं के लक्षण वर्णन के लिए सबसे प्रभावी वर्तमान विधि है। यह रेखांकित करता है कि जबकि द्रव्यमान और त्रिज्या अक्सर अस्पष्ट (degenerate) होते हैं, ज्वारीय प्रतिक्रिया (через $k_2$ ) एक विशिष्ट हस्ताक्षर प्रदान करती है जो इन अस्पष्टताओं को तोड़ सकती है, बशर्ते अवलोकन आधार 10-20 वर्षों तक विस्तारित हो।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि पल्सर टाइमिंग के माध्यम से एप्सिडल मोशन का मापन अत्यधिक सघन पल्सर साथियों के संरचना मॉडल को गलत सिद्ध करने के लिए एक शक्तिशाली, भले ही समय लेने वाला उपकरण है, जो मानक ग्रहीय सामग्रियों और विलक्षण सघन पदार्थ के बीच अंतर करने में सक्षम है।