Turing or Cantor: That is the Question
यह शोध पत्र तर्क देता है कि एलन ट्यूरिंग का मौलिक कार्य जॉर्ज कैंटर के सेट थ्योरी पर आधारित है, जबकि अनिश्चितता (undecidability) के नए मापों का प्रस्ताव करता है, सुपर-ट्यूरिंग कंप्यूटेशन मॉडल्स का विस्तार करता है, अनिश्चित समस्याओं (undecidable problems) के लिए तीन नई जटिलता श्रेणियों (U-complete, D-complete, और H-complete) को परिभाषित करता है, और U-complete वर्ग के लिए P बनाम NP के समकक्ष के नकारात्मक समाधान को प्रस्तुत करता है।
मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें
यहाँ "Turing or Cantor: That is the Question" पेपर का सरल भाषा, उपमाओं और रूपकों का उपयोग करके किया गया विवरण है।
बड़ी तस्वीर: "अहल्य" (Unsolvable) समस्याओं के बारे में एक जासूसी कहानी
कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो दुनिया के हर अपराध को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास एक विशाल, आदर्श नियम पुस्तिका (एक कंप्यूटर प्रोग्राम) है जो किसी भी अपराध को सुलझा सकती है, बस यदि आप उसे पर्याप्त समय दें।
एलन ट्यूरिंग (कंप्यूटर विज्ञान के जनक) 1930 के दशक में आए और उन्होंने कहा, "एक मिनट रुकिए। मेरी इस आदर्श नियम पुस्तिका के साथ भी, कुछ ऐसे अपराध हैं जिन्हें मैं कभी नहीं सुलझा सकता। चाहे मैं कितनी भी कोशिश करूँ, नियम पुस्तिका बस गोल-गोल घूमती रहेगी।" यह प्रसिद्ध हाल्टिंग प्रॉब्लम (Halting Problem) है: यह जानना कि क्या कोई प्रोग्राम अंततः रुक जाएगा या हमेशा के लिए चलता रहेगा।
जॉर्ज कैंटर (1800 के दशक के एक गणितज्ञ) इस पेपर के "छिपे हुए नायक" हैं। उन्होंने खोजा कि अनंत (infinity) के अलग-अलग आकार होते हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि वास्तविक संख्याओं (Real Numbers) (जैसे 3.14159...) की संख्या पूर्ण संख्याओं (Whole Numbers) (1, 2, 3...) की संख्या से एक बड़ी अनंतता है।
पेपर का मुख्य विचार:
लेखक, यूजीन एबरबैक, तर्क देते हैं कि ट्यूरिंग इन "अहल्य" समस्याओं की खोज कैंटर के गणित के बिना नहीं कर पाते।
- उपमा: पूर्ण संख्याओं को संभावित कंप्यूटर प्रोग्रामों (एल्गोरिदम) की संख्या के रूप में सोचें। वास्तविक संख्याओं को सभी संभावित प्रश्नों या समस्याओं की संख्या के रूप में सोचें।
- कैंटर ने सिद्ध किया कि प्रश्नों की संख्या उन्हें हल करने वाले प्रोग्रामों से अधिक है।
- इसलिए, अधिकांश प्रश्न किसी भी कंप्यूटर द्वारा "अहल्य" (unsolvable) हैं।
पेपर पूछता है: "ट्यूरिंग या कैंटर: श्रेय किसे मिलना चाहिए?" उत्तर है: दोनों को। कैंटर ने वह मानचित्र बनाया जिसने दिखाया कि "अहल्य भूभाग" मौजूद हैं, और ट्यूरिंग ने वह वाहन (कंप्यूटर) बनाया जिसने यह सिद्ध किया कि वह वहाँ नहीं जा सकता।
अहल्य समस्याओं के नए "कठिनाई स्तर"
आमतौर पर, जब हम कहते हैं कि कोई समस्या "अहल्य" है, तो हम वहीं रुक जाते हैं। लेकिन यह पेपर कहता है, "इतना जल्दी नहीं! आइए ग्रेडिंग करें कि वे कितनी अहल्य हैं।"
लेखक कठिन गणितीय समस्याओं को ग्रेड करने के तरीके से प्रेरित होकर, उन समस्याओं के लिए तीन नए "कठिनाई स्तर" (कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस) बनाते हैं जिन्हें कंप्यूटर हल नहीं कर सकते।
1. U-Complete (द "अर्ध-हल करने योग्य" स्तर)
- उपमा: एक खजाने की खोज की कल्पना करें जहाँ आप खजाना पा सकते हैं यदि आप उसे खोजते हैं, लेकिन यदि खजाना वहाँ नहीं है, तो आप हमेशा खोजते रह सकते हैं और कभी जान नहीं पाएंगे कि वह गायब है या बस कहीं गहराई में छिपा हुआ है।
- इसका अर्थ: यदि उत्तर "हाँ" है, तो कंप्यूटर अंततः इसे ढूंढ लेगा और रुक जाएगा। यदि उत्तर "No" है, तो कंप्यूटर हमेशा के लिए चलता रहेगा।
- उदाहरण: स्वयं "हाल्टिंग प्रॉब्लम"। यदि कोई प्रोग्राम रुकता है, तो हमें पता चल जाता है कि वह रुक गया। यदि नहीं, तो हम अनंत काल तक प्रतीक्षा करते हैं।
- स्थिति: यह अहल्य समस्याओं का "सबसे आसान" प्रकार है।
2. D-Complete (द "डायगोनलाइजेशन" स्तर)
- उपमा: एक पुस्तकालय की कल्पना करें जहाँ लाइब्रेरियन पुस्तकालय की हर किताब का एक कैटलॉग लिखने की कोशिश करता है। लेकिन हर बार जब वे एक सूची लिखते हैं, तो उन्हें एक नई किताब जोड़नी पड़ती है जो उस सूची में नहीं है। सूची कभी पूरी या सटीक नहीं हो सकती।
- इसका अर्थ: ये समस्याएँ इतनी पेचीदा हैं कि कंप्यूटर "हाँ" या "नहीं" भी भरोसेमंद तरीके से नहीं कह सकता। वह उत्तर को पहचान भी नहीं सकता यदि वह उसे देख ले।
- क्यों "डायगोनलाइजेशन"? यह कैंटर की प्रसिद्ध ट्रिक से आता है जिसमें वे संख्याओं की संख्या से अधिक होने को सिद्ध करने के लिए विकर्ण (diagonal) पर संख्याओं को काटते हैं।
- स्थिति: U-Complete से कठिन। कंप्यूटर यहाँ पूरी तरह से खो जाता है।
3. H-Complete (द "हाइपर-अहल्य" स्तर)
- उपमा: एक ऐसी समस्या की कल्पना करें जिसे हल करने के लिए अनंत समय की आवश्यकता होती है, भले ही आपके पास एक ऐसी मशीन हो जो एक साथ अनंत चीजें कर सके। यह एक ऐसे नंबर तक गिनने जैसा है जो "अनंत" से भी बड़ा है।
- इसका अर्थ: ये समस्याएँ इतनी जटिल हैं कि यदि हम अपने कंप्यूटरों को "सुपर-कंप्यूटरों" (हाइपर-कंप्यूटरों) में अपग्रेड कर दें जो अनंत चरण कर सकते हैं, तब भी वे इन्हें हल नहीं कर पाएंगे।
- स्थिति: सबसे कठिन स्तर। अहल्य समस्याओं का "माउंट एवरेस्ट"।
"अहल्यता का माप" (The Measure of Unsolvable)
पेपर समस्याओं को देखने का एक नया तरीका सुझाता है। केवल यह कहने के बजाय कि "यह असंभव है," आइए पूछें: "इस समस्या का कितना प्रतिशत असंभव है?"
- 0% अहल्य: एक सामान्य समस्या (जैसे नामों की सूची को क्रमबद्ध करना)। कंप्यूटर इसे हर बार हल करता है।
- 50% अहल्य: एक ऐसी समस्या जहाँ आधे समय कंप्यूटर इसे हल कर सकता है, और आधे समय यह फंस जाता है।
- 100% अहल्य: एक ऐसी समस्या जहाँ कंप्यूटर हर एक प्रयास में फंस जाता है।
यह हमें समझने में मदद करता है कि "अहल्य" केवल ब्लैक-एंड-व्हाइट स्विच नहीं है; यह एक स्पेक्ट्रम है।
अनंत सीढ़ी
अंत में, पेपर एक दिमाग चकरा देने वाला विचार प्रस्तावित करता है: "असंभव" का केवल एक स्तर नहीं है।
जिस तरह कैंटर ने दिखाया कि अनंत के कई आकार होते हैं (अनंत 1, अनंत 2, अनंत 3...), लेखक का सुझाव है कि अहल्य समस्याओं की एक अनंत सीढ़ी है।
- D-Complete से भी कठिन समस्याएँ हैं।
- उनसे भी कठिन समस्याएँ हैं।
- और इसी तरह, अनंत तक।
निष्कर्ष: कौन जीता?
पेपर शीर्षक प्रश्न पर एक चंचल निर्णय के साथ समाप्त होता है: "ट्यूरिंग या कैंटर?"
- ट्यूरिंग ने हमें समस्याओं को हल करने के लिए उपकरण (कंप्यूटर) दिए।
- कैंटर ने हमें मानचित्र (अनंत का गणित) दिया जिसने दिखाया कि क्यों कुछ समस्याओं को कभी हल नहीं किया जा सकता।
निर्णय: बिना उस मानचित्र के कि अहल्यता मौजूद थी, अहल्यता की खोज संभव नहीं थी। इसलिए, जबकि ट्यूरिंग "कंप्यूटर विज्ञान के पिता" हैं, कैंटर "दादाजी" हैं जिन्होंने वह आधार तैयार किया जिसने ट्यूरिंग के कार्य को संभव बनाया।
संक्षेप में: कंप्यूटर अद्भुत हैं, लेकिन वे गणित की प्रकृति द्वारा सीमित हैं। और कैंटर की बदौलत, हम जानते हैं कि वे क्यों सीमित हैं।
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