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Gravitational Sommerfeld Effects: Formalism, Renormalization, and Perturbation to $O(G^{10})$

यह शोधपत्र ज्वारीय प्रभावों (tidal effects) के साथ बाइनरी इंस्पिरल के लिए गुरुत्वाकर्षण सोमरफेल्ड कारकों (gravitational Sommerfeld factors) की गणना करने हेतु एक व्यवस्थित वर्ल्डलाइन प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत (worldline effective field theory) ढांचे को विकसित करता है, जो $O(G^{10})$ तक कारक के परिमाण और कला (phase) के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियों (closed-form expressions) को व्युत्पन्न करता है और विश्लेषणात्मक रूप से समाधान करता है, जबकि वेवफॉर्म पुनर्समन (waveform resummation) में सुधार के लिए रेडिएटिव मल्टीपोल मोमेंट्स (radiative multipole moments) के लिए एक नया पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण (renormalization group equation) स्थापित करता है।

मूल लेखक: Chih-Hao Chang, Chia-Hsien Shen, Zihan Zhou

प्रकाशित 2026-04-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Chih-Hao Chang, Chia-Hsien Shen, Zihan Zhou

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि दो भारी वस्तुएं, जैसे ब्लैक होल या न्यूट्रॉन स्टार, अंतरिक्ष में एक-दूसरे के चारों ओर नृत्य कर रही हैं। जैसे-जैसे वे करीब आती हैं, वे स्पेसटाइम (spacetime) के ताने-बाने को हिला देती हैं, जिससे लहरें निकलती हैं जिन्हें हम गुरुत्वाकर्षण तरंगें (gravitational waves) कहते हैं। इन तरंगों का पता लगाना ब्रह्मांड के संगीत को सुनने जैसा है, लेकिन इस गीत को पूरी तरह से समझने के लिए, हमें यह जानना होगा कि नर्तकों के करीब आने पर वह धुन बिल्कुल कैसे बदलती है।

यह शोध पत्र ऐसा है जैसे भौतिकविदों की एक टीम ब्रह्मांड के लिए ऑडियो इंजीनियरों के रूप में काम कर रही है। वे गुरुत्वाकर्षण तरंग के संकेत में होने वाले एक विशिष्ट "विकृति" (distortion) को ठीक करने की कोशिश कर रहे हैं, जो तब होती है जब तरंगों को हम तक पहुँचने से पहले एक भारी वातावरण (तारों के स्वयं के गुरुत्वाकर्षण) से होकर गुजरना पड़ता है।

यहाँ उनके कार्य का सरल उपमाओं (analogies) के माध्यम से विवरण दिया गया है:

1. "गूँज" की समस्या (टेल इफेक्ट्स - Tail Effects)

कल्पना कीजिए कि आप एक बड़े, खाली कैन्यन (घाटी) में चिल्ला रहे हैं। आपकी आवाज़ बाहर निकलती है, लेकिन उसका कुछ हिस्सा कैन्यन की दीवारों से टकराता है, वापस गूँजता है और आपकी मूल पुकार के साथ मिल जाता है। इससे एक प्रतिध्वनि (echo) पैदा होती है।
ब्रह्मांड में, जब गुरुत्वाकर्षण तरंगें उत्सर्जित होती हैं, तो वे केवल खाली स्थान में सीधी रेखा में नहीं चलतीं। वे भारी तारों द्वारा बनाए गए घुमावदार "कैन्यन" के माध्यम से यात्रा करती हैं। तरंगें इस वक्रता (curvature) से टकराकर वापस आती हैं और उत्सर्जित हो रही नई तरंगों के साथ हस्तक्षेप करती हैं।

शोध पत्र का लक्ष्य: वे इसे "टेल इफेक्ट" (Tail Effect) कहते हैं। यह एक सार्वभौमिक गूँज की तरह है जो किसी भी जोड़ी के भारी पिंडों के लिए होती है, चाहे वे किसी भी चीज़ से बने हों। लेखकों ने यह गणना करना चाहा कि यह गूँज कितनी मजबूत है और यह गुरुत्वाकर्षण तरंग की ध्वनि को कैसे बदलती है।

2. "भीड़" का प्रभाव (सोमरफेल्ड फैक्टर - The Sommerfeld Factor)

गुरुत्वाकर्षण तरंगों को एक स्टेडियम छोड़ने की कोशिश करने वाले धावक के रूप में सोचें।

खाली स्थान में (सपाट/Flat): धावक आसानी से बाहर निकल जाता है।
स्टेडियम में (वक्राकार/Curved): धावक एक विशाल भीड़ (गुरुत्वाकर्षण) से घिरा हुआ है। भीड़ पीछे से धक्का देती है, जिससे बाहर निकलना कठिन हो जाता है, लेकिन यह एक विशेष तरीके से धावक के प्रयास को बढ़ाता भी है।
भौतिकी में, इसे सोमरफेल्ड प्रभाव (Sommerfeld Effect) कहा जाता है। यह एक गणितीय "बढ़ावा" (boost) या "ड्रेसिंग" है जो तरंग को प्राप्त होता है क्योंकि वह उस गुरुत्वाकर्षण से बचकर निकल रही है जिससे वह उत्पन्न हुई है।
शोध पत्र की सफलता: पिछले मॉडलों को केवल सबसे सरल मामलों के लिए यह "बढ़ावा" ज्ञात था। इस शोध पत्र ने अत्यधिक सटीकता के साथ (गुरुत्वाकर्षण की शक्ति के 10वें घात तक) इस बढ़े हुए प्रभाव की गणना की और महत्वपूर्ण रूप से, यह भी शामिल किया कि यदि तारे "लचीले" (squishy) हों (टाइडल इफेक्ट्स) तो क्या होगा।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि तारे केवल कठोर बॉलिंग बॉल नहीं हैं, बल्कि विशाल पानी के गुब्बारे हैं। जब वे नृत्य करते हैं, तो वे एक-दूसरे को खींचते और दबाते हैं। लेखकों ने यह पता लगाया कि यह "पिचकना" (squishing) गूँज और बढ़े हुए प्रभाव को कैसे बदलता है।

3. "अनुवादक" उपकरण (EFT + BHPT)

इसे हल करने के लिए, लेखकों को दो अलग-अलग भाषाओं का उपयोग करना पड़ा जो आमतौर पर एक-दूसरे से बात नहीं करती हैं:

EFT (प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत - Effective Field Theory): एक विधि जो तारों को छोटे बिंदुओं की तरह मानती है और उत्तर को टुकड़ों में बनाती है, जैसे लेगो (Lego) ब्लॉक्स को एक के ऊपर एक रखना। यह "निकट क्षेत्र" (तारों के करीब) के लिए बेहतरीन है।
BHPT (ब्लैक होल विचलन सिद्धांत - Black Hole Perturbation Theory): ब्लैक होल विशेषज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली एक विधि जो सीधे जटिल तरंग समीकरणों को हल करती है। यह "दूर क्षेत्र" (जहाँ तरंगें हम तक पहुँचती हैं) के लिए बेहतरीन है।

नवाचार: लेखकों ने एक "सार्वभौमिक अनुवादक" (एक "कनेक्शन मैट्रिक्स") बनाया जो इन दोनों विधियों को आपस में बात करने की अनुमति देता है। उन्होंने निकट क्षेत्र से लेगो ब्लॉक्स लिए, उन्हें दूर क्षेत्र की भाषा में अनुवादित किया, और पूरे पहेली को एक साथ हल किया। इसने उन्हें ऐसे उत्तर दिए जो पहले गणना करना असंभव था।

4. "वॉल्यूम नॉब" (पुनर्मानकीकरण - Renormalization)

भौतिकी में, जब आप चीजों की इतनी सटीकता से गणना करते हैं, तो अक्सर आपको "अनंत" (infinite) संख्याएँ मिलती हैं जो समझ में नहीं आतीं (जैसे वॉल्यूम नॉब का अनंत पर अटक जाना)।

समाधान: लेखकों ने "वॉल्यूम नॉब" को नियंत्रित करने का एक नया तरीका विकसित किया (जिसे 'रेनॉर्मलाइजेशन ग्रुप फ्लो' कहा जाता है)। उन्होंने महसूस किया कि तारों का "लचीलापन" (टाइडल रिस्पॉन्स) गुरुत्वाकर्षण तरंगों के साथ एक विशिष्ट तरीके से मिलता है।
परिणाम: उन्होंने एक नया फॉर्मूला खोजा जो एक "स्मार्ट इक्वलाइज़र" की तरह काम करता है। यह स्वचालित रूप से गुरुत्वाकर्षण तरंग की ध्वनि को समायोजित करता है ताकि गूँज और लचीलेपन के प्रभाव को ध्यान में रखा जा सके, जिससे हमें संकेत की बहुत स्पष्ट तस्वीर मिलती है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

वर्तमान में, जब वैज्ञानिक गुरुत्वाकर्षण तरंगों का पता लगाते हैं (जैसे LIGO के साथ), तो वे यह पता लगाने के लिए संकेत की तुलना कंप्यूटर मॉडलों से करते हैं कि क्या हुआ था (उदाहरण के लिए, "वे दो ब्लैक होल थे, जो 1.4 बिलियन प्रकाश वर्ष दूर थे")।

समस्या: यदि मॉडल इन सूक्ष्म "गूँज" और "लचीलेपन" के प्रभावों को पूरी तरह से ध्यान में नहीं रखते हैं, तो मॉडल थोड़े गलत हो सकते हैं।
समाधान: यह शोध पत्र उन मॉडलों के लिए एक "हाई-डेफिनिशन ब्लूप्रिंट" प्रदान करता है। "सोमरफेल्ड फैक्टर" को पूरी तरह से समझकर, भविष्य के डिटेक्टर ब्रह्मांड के संगीत को बहुत अधिक स्पष्टता के साथ सुन पाएंगे, जिससे गुरुत्वाकर्षण और तारों की प्रकृति के बारे में नए रहस्य उजागर हो सकते हैं।

संक्षेप में: उन्होंने एक अत्यंत सटीक गणितीय लेंस बनाया जो गुरुत्वाकर्षण की गूँज और तारों के लचीलेपन के कारण होने वाले "धुंधलेपन" को ठीक करता है, जिससे हम ब्रह्मांड की सबसे हिंसक घटनाओं को एकदम स्पष्टता के साथ सुन सकते हैं।

यहाँ चांग, शेन और झोउ के शोध पत्र "Gravitational Sommerfeld Effects: Formalism, Renormalization, and Perturbation to $O(G^{10})$ " का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र उच्च सटीकता के साथ बाइनरी इनस्पायरल (binary inspirals) से उत्पन्न होने वाले गुरुत्वाकर्षण तरंगों (gravitational waveforms) के मॉडलिंग की चुनौती को संबोधित करता है। हालाँकि विभिन्न विश्लेषणात्मक तकनीकें (Post-Newtonian, Effective Field Theory, आदि) मौजूद हैं, लेकिन "टेल प्रभावों" (tail effects) को पुनर्संयोजित (resumming) करने के लिए एक व्यवस्थित संगठनात्मक सिद्धांत (systematic organizing principle)—जो वक्रीय पृष्ठभूमि (curved background) से गुरुत्वाकर्षण तरंगों के प्रकीर्णन (scattering) से उत्पन्न होने वाले सार्वभौमिक सुधारों को दर्शाता है—अभी भी अपूर्ण है।

विशेष रूप से, लेखक निम्नलिखित लक्ष्यों को प्राप्त करना चाहते हैं:

गुरुत्वाकर्षण सोमरफेल्ड कारक ( $S$ ) की गणना करना, जो वक्रीय श्वार्ज़चाइल्ड पृष्ठभूमि (Schwarzschild background) और ज्वारीय अंतःक्रियाओं (tidal interactions) के कारण तरंग (waveform) के सार्वभौमिक संवर्धन (universal enhancement) का वर्णन करता है।
इस पुनर्संयोजन ढांचे में ज्वारीय प्रभावों (finite-size deformations और dissipation) को शामिल करना, जिन्हें पिछले मॉडलों में अक्सर अलग से या केवल अग्रणी क्रम (leading order) पर माना जाता था।
तरंग उत्सर्जन चरण (waveform emission phase) और लोचदार प्रकीर्णन चरण बदलावों (elastic scattering phase shifts) के बीच सटीक संबंध व्युत्पन्न करना।
मौजूदा पुनर्संयोजन मॉडलों (जैसे डैमर-नागर फॉर्मूला) का परीक्षण करने और उन्हें बेहतर बनाने के लिए अत्यंत उच्च क्रमों ( $O(G^{10})$ ) तक गणना को आगे बढ़ाना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक हाइब्रिड फॉर्मलिज्म विकसित करते हैं जो वर्ल्डलाइन प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत (Worldline Effective Field Theory - EFT) और ब्लैक होल विक्षोभ सिद्धांत (Black Hole Perturbation Theory - BHPT) को जोड़ता है।

A. सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework)

वर्ल्डलाइन EFT: बाइनरी सिस्टम को एक बिंदु कण (point particle) के रूप में मॉडल किया गया है जिसके मल्टीपोल मोमेंट्स ( $Q_L$ ) और ज्वारीय लव संख्याएँ ( $C_{\ell,n}$ ) एक $d$ -आयामी श्वार्ज़चाइल्ड पृष्ठभूमि में गति कर रहे हैं। एक्शन (action) में बल्क ग्रेविटी, ज्वारीय अंतःक्रियाएं (Love terms), और स्रोत पद (source term) शामिल हैं।
तरंग समीकरण (Wave Equation): स्केलर क्षेत्र $\phi$ (जो विक्षोभ का प्रतिनिधित्व करता है) एक स्थानीयकृत स्रोत और एक विभव (potential) $V(r)$ के साथ एक तरंग समीकरण का पालन करता है, जिसमें दीर्घ-रेंज गुरुत्वाकर्षण ( $V_{grav}$ ) और लघु-रेंज ज्वारीय अंतःक्रिया ( $V_{Love}$ ) शामिल है।
सोमरफेल्ड कारक की परिभाषा: इसे मुक्त तरंग (free waveform) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है जब $r \to \infty$ :
$S = \lim_{r \to \infty} \frac{\text{Waveform}}{\text{Waveform}|_{\text{free}}}$
यह कारक अनंत लैडर आरेखों (infinite ladder diagrams)—अर्थात स्रोत और विभव के बीच लैडर जैसी अंतःक्रियाओं—के पुनर्संयोजन को समाहित करता है।

B. गणनात्मक रणनीति: हाइब्रिड दृष्टिकोण (Computational Strategy: The Hybrid Approach)

तरंग समीकरण को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, लेखक दो भिन्न क्षेत्रों को जोड़ते हैं:

निकट क्षेत्र (Near Zone - NZ) - EFT आधार:
- इसे EFT में बोन श्रृंखला (Born series) विस्तार का उपयोग करके हल किया जाता है।
- समाधान को मूल बिंदु (origin) के पास $r$ की घातों में विस्तारित किया जाता है।
- पुनर्सामान्यीकरण (Renormalization): बिंदु-कण सीमा से उत्पन्न होने वाले पराबैंगनी (Ultraviolet - UV) विचलन को आयामी नियमितीकरण (dimensional regularization) के माध्यम चाहिए। यह सीमा स्थिति गुणांकों ( $B^{reg}, B^{irr}$ ) और स्रोत मोमेंट्स ( $Q_L$ ) के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह (Renormalization Group - RG) समीकरणों की ओर ले जाता है।
दूर क्षेत्र (Far Zone - FZ) - BHPT आधार:
- इसे मानो-सुजुकी-ताकासुगी (Mano–Suzuki–Takasugi - MST) विधि का उपयोग करके हल किया जाता है, जो BHPT में टेलकी समीकरण (Teukolky equation) को हल करने की एक शक्तिशाली विश्लेषणात्मक तकनीक है।
- समाधानओं को पुनर्सामान्यीकृत कोणीय संवेग $\nu$ के पदों में व्यक्त किया जाता है।
मिलान (Matching):
- लेखक एक कनेक्शन मैट्रिक्स $W$ का निर्माण करते हैं जो EFT आधार (निकट क्षेत्र) को BHPT आधार (दूर क्षेत्र) से जोड़ता है।
- सोमरफेल्ड कारक को $W$ के तत्वों और ज्वारीय प्रतिक्रिया फलन (tidal response function) $F_\ell$ के पदों में विश्लेषणात्मक रूप से व्युत्पन्न किया जाता है।

C. मुख्य विश्लेषणात्मक अंतर्दृष्टि (Key Analytic Insights)

चरण संबंध (Phase Relation): वे सिद्ध करते हैं कि संरक्षण प्रणालियों (conservative systems - जहाँ कोई ज्वारीय विक्षोभ नहीं है) के लिए, सोमरफेल्ड कारक का चरण लोचदार कॉम्पटन प्रकीर्णन (elastic Compton scattering) के चरण बदलाव का ठीक आधा होता है: $\text{Arg}(S_\ell) = \frac{1}{2} \text{Arg}(\hat{S}_\ell)$ ।
RG समीकरण: वे रेडिएटिव मल्टीपोल मोमेंट्स ( $Q_L$ ) और ज्वारीय प्रतिक्रिया फलन ( $F_\ell$ ) के लिए एक नए युग्मित (coupled) RG समीकरणों को व्युत्पन्न करते हैं, जो सार्वभौमिक टेल प्रभावों और गैर-सार्वभौमिक ज्वारीय प्रतिक्रियाओं के बीच मिश्रण (mixing) को कैप्चर करते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. सोमरफेल्ड कारक के लिए क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्ति (Closed-Form Expression)

यह शोध पत्र कनेक्शन मैट्रिक्स $W$ और ज्वारीय प्रतिक्रिया $F_\ell$ के पदों में सोमरफेल्ड कारक $S_\ell$ (समीकरण 21) के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्ति व्युत्पन्न करता है:
$S_\ell = \frac{(2\ell+1)!!}{2\omega^{\ell+1} (W_{21} + c_\ell F_\ell W_{22})}$
यह सूत्र सार्वभौमिक टेल प्रभावों और परिमित-आकार के ज्वारीय विरूपणों (finite-size tidal deformations) के उपचार को एकीकृत करता है।

B. उच्च-परिशुद्धता गणना डेटा (High-Precision Perturbative Data)

हाइब्रिड EFT-MST विधि का उपयोग करते हुए, लेखक आंशिक तरंगों (partial waves) $\ell = 0, 1, 2$ के लिए $O(G^{10})$ तक सोमरफेल्ड कारक (परिमाण और चरण) को विश्लेषणात्मक रूप से कंप्यूट करते हैं।

यह पिछले गणनाओं (जो आमतौर पर $O(G^3)$ या $O(G^7)$ तक सीमित थीं) की तुलना में एक महत्वपूर्ण छलांग है।
परिणाम मुख्य पाठ और एक सहायक फ़ाइल में दिए गए हैं, जिसमें लघुगणकीय पदों (logarithmic terms) और स्थिरांकों के स्पष्ट गुणांक शामिल हैं।

C. सटीक पुनर्सामान्यीकरण समूह समाधान (Exact Renormalization Group Solutions)

लेखक व्युत्पन्न RG समीकरणों को सटीक रूप से हल करते हैं।

वे विसंगति आयाम मैट्रिक्स (anomalous dimension matrix) के आइजनवैल्यू (eigenvalues) को $\pm(\ell - \nu)$ के रूप में पहचानते हैं, जहाँ $\nu$ BHPT से पुनर्सामान्यीकृत कोणीय संवेग है।
वे $Q_L$ और $F_\ell$ के 'रनिंग' (running) के लिए सटीक समाधान प्रदान करते हैं (समीकरण 31-32), जो दिखाते हैं कि ज्वारीय प्रतिक्रिया सभी क्रमों में रेडिएटिव मल्टीपोल के साथ कैसे मिश्रित होती है।

D. उन्नत पुनर्संयोजन प्रस्ताव (Improved Resummation Proposal)

अपने सटीक RG समाधानों के आधार पर, लेखक तरंग आयाम (waveform amplitude) के लिए एक नया गुणनखंड (factorization) प्रस्तावित करते हैं:
$|S_\ell| = |S|_{IR} \times |S|_{run} \times |S|_{rem}$

$|S|_{IR}$ : इन्फ्रारेड लघुगणक (Infrared logarithms - सार्वभौमिक टेल संवर्धन) को कैप्चर करता है।
$|S|_{run}$ : एक नया 'रनिंग फैक्टर' जो मल्टीपोल और टाइड्स के बीच मिश्रण को पुनर्संयोजित करता है, जिससे सार्वभौमिक विसंगति आयाम को पूर्ण BHPT मान $\nu(\omega) - \ell$ तक बढ़ावा मिलता है।
$|स|_{rem}$ : क्रम-दर-क्रम (order-by-order) गणना किए गए शेष सुधार।
यह प्रस्ताव मानक डैमर-नागर पुनर्संयोजन में सुधार करता है क्योंकि यह उप-अग्रणी (subleading) सार्वभौमिक लघुगणक और ज्वारीय मिश्रण प्रभावों को सही ढंग से कैप्चर करता है।

4. महत्व (Significance)

सटीक गुरुत्वाकर्षण तरंग भौतिकी: $O(G^{10})$ डेटा संख्यात्मक सापेक्षता (numerical relativity) और अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन (EOB, PN) को स्ट्रॉन्ग-फील्ड क्षेत्र में परीक्षण करने के लिए एक कठोर बेंचमार्क प्रदान करता है।
EFT और BHPT का एकीकरण: यह शोध पत्र एक मजबूत पद्धति प्रदर्शित करता है जो स्रोतों और परिमित-आकार के प्रभावों को संभालने के लिए EFT की व्यवस्थित शक्ति को BHPT (वक्रीय पृष्ठभूमि को संभालने के लिए) की विश्लेषणात्मक सटीकता के साथ जोड़ने का काम करती है।
ज्वारीय पुनर्संयोजन (Tidal Resummation): यह तरंग में ज्वारीय प्रभावों को पुनर्संयोजित करने के लिए पहला व्यवस्थित ढांचा स्थापित करता है, जो उन्हें केवल सरल अनुक्रमिक सुधारों के रूप में मानने से आगे बढ़ता है।
भावी अनुप्रयोग: यह फॉर्मलिज्म स्पिन-2 गुरुत्वाकर्षण विक्षोभों (जो गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए भौतिक मामला है) तक परिणामों को विस्तारित करने के लिए आधार तैयार करता है, जो अगली पीढ़ी के डिटेक्टर डेटा विश्लेषण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह केर ब्लैक होल (Kerr black holes) और कक्षीय कोणीय संवेग मिश्रण (orbital angular momentum mixing) के अध्ययन के द्वार भी खोलता है।

संक्षेप में, यह कार्य वक्रीय स्पेसटाइम और ज्वारीय विरूपण (tidal deformations) गुरुत्वाकर्षण तरंग उत्सर्जन को कैसे संशोधित करते हैं, इसे समझने के लिए एक व्यापक, उच्च-क्रम विश्लेषणात्मक टूलकिट प्रदान करता है, जो भविष्य के गुरुत्वाकर्षण तरंग खगोल विज्ञान के लिए अधिक सटीक तरंग मॉडल (waveform models) की ओर एक मार्ग प्रशस्त करता है।