⚛️ quantum physics

IQP circuits for 2-Forrelation

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि 2-Forrelation समस्या, जो शास्त्रीय और क्वांटम क्वेरी जटिलता को इष्टतम रूप से अलग करती है, को कुशल शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग के साथ न्यूनतम इंस्टेंटेनियस क्वांटम पॉलिनॉमियल-टाइम (IQP) सर्किटों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिससे $\mathsf{BPP}^{\mathsf{IQP}}$ और पॉलिनॉमियल पदानुक्रम के बीच ऑरेकल सेपरेशन मजबूत होता है और निर्णय समस्याओं में क्वांटम लाभ को सत्यापित करने के लिए एक नया मार्ग प्राप्त होता है।

मूल लेखक: Quentin Buzet, André Chailloux

प्रकाशित 2026-04-17

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Quentin Buzet, André Chailloux

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "IQP circuits for 2-Forrelation" पेपर का सरल भाषा, उपमाओं और रूपकों का उपयोग करते हुए विवरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: क्वांटम "जादुई ट्रिक"

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं जो एक सामान्य कंप्यूटर (एक क्लासिकल कंप्यूटर) के लिए अविश्वसनीय रूप से कठिन है लेकिन एक क्वांटम कंप्यूटर के लिए आसान है। इस विशिष्ट पहेली को 2-Forrelation कहा जाता है।

2-Forrelation को एक ऐसे खेल के रूप में सोचें जहाँ आपके पास दो गुप्त रेसिपी (फंक्शंस $f$ और $g$ ) हैं। लक्ष्य यह पता लगाना है कि क्या ये दो रेसिपी एक बहुत ही विशिष्ट, छिपे हुए तरीके से "गुप्त रूप से संबंधित" हैं।

क्लासिकल कंप्यूटर उन जासूसों की तरह हैं जिन्हें रेसिपी के हर एक घटक (ingredient) को एक-एक करके जांचना होगा। इसे हल करने के लिए, उन्हें लाखों सामग्रियों को चखना पड़ेगा, जिसमें सदियों लग जाएंगे।
मानक क्वांटम कंप्यूटर उन जादूगरों की तरह हैं जो केवल कुछ जादुई नजरों से पूरी रेसिपी को एक साथ चख सकते हैं। वे इसे तुरंत हल कर देते हैं।

लेखकों ने जो बड़ा सवाल पूछा था, वह यह था: "क्या हमें इस पहेली को हल करने के लिए एक पूर्ण-विकसित जादूगर (एक मानक क्वांटम कंप्यूटर) की आवश्यकता है, या क्या हम एक सरल जादुई ट्रिक से काम चला सकते हैं?"

उन्होंने खोजा कि हम ऐसा कर सकते हैं! हम इस कठिन पहेली को एक बहुत ही सरल, अधिक प्रतिबंधित प्रकार के क्वांटम मशीन का उपयोग करके हल कर सकते हैं जिसे IQP सर्किट कहा जाता है।

IQP सर्किट क्या है? (द "इंस्टेंटेनियस" मशीन)

इस सफलता को समझने के लिए, हमें एक मानक क्वांटम कंप्यूटर और एक IQP (इन्स्टेंटेनियस क्वांटम पॉलिनोमियल-टाइम) सर्किट के बीच के अंतर को समझना होगा।

मानक क्वांटम कंप्यूटर: एक जटिल ऑर्केस्ट्रा की कल्पना करें जहाँ वाद्य यंत्र एक के बाद एक बजते हैं। पहले वायलिन बजता है, फिर बांसुरी, फिर ड्रम। क्रम मायने रखता है, और संगीतकारों को लंबे समय तक पूरी तरह से तालमेल (coherent) में रहना पड़ता है। इसे बनाना कठिन है क्योंकि यदि ऑर्केस्ट्रा शोर मचाने लगे या ताल खो दे, तो संगीत विफल हो जाता है।
IQP सर्किट: एक ऐसे गायक समूह (choir) की कल्पना करें जहाँ सभी ठीक एक ही समय पर गाते हैं। क्योंकि वे सभी एक साथ गाते हैं, उन्हें इस बात की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि कौन पहले जाएगा। तकनीकी शब्दों में, एक IQP सर्किट में सभी "गेट्स" (संगीत के स्वर) कम्यूट (commute) करते हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें किसी भी क्रम में या एक साथ बजाया जा सकता है।

यह क्यों मायने रखता है?
क्योंकि वे एक साथ होते हैं, IQP सर्किट बनाना बहुत आसान है और उनमें त्रुटियों (errors) की संभावना कम होती है। वे पूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों की तुलना में "कमजोर" हैं, लेकिन लेखकों ने सिद्ध किया कि वे अभी भी इस 2-Forrelation पहेली को हल करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हैं।

गुप्त सामग्री: "क्वाड्रेटिक" कुंजी

उन्होंने इस सरल मशीन को इस कठिन पहेली को हल करने के योग्य कैसे बनाया? उन्होंने एक विशिष्ट आकार जिसे क्वाड्रेटिक फंक्शन (Quadratic Function) कहा जाता है, का उपयोग करके एक चतुर गणितीय ट्रिक का उपयोग किया।

2-Forrelation पहेली को दो तरंगों (waves) के बीच के "ओवरलैप" को मापने के प्रयास के रूप में सोचें।

इसे करने का मानक तरीका है चरणों का एक जटिल नृत्य (Hadamard gates) जो सरल IQP मशीन नहीं कर सकती।
लेखकों ने एक गणितीय "कुंजी" (फंक्शन $Q(x)$ ) खोज ली जो एक अनुवादक (translator) के रूप में कार्य करती है।

इस कुंजी के पास एक विशेष गुण है: यह एक जटिल क्वाड्रेटिक फंक्शन को एक सरल योग (sum) में बदल सकती है। यह एक जादुई डिकोडर रिंग की तरह है जो एक जटिल भाषा में लिखे गए गुप्त कोड को संख्याओं की एक सरल सूची में अनुवादित करता है।

इस कुंजी का उपयोग करके, वे इस कठिन पहेली के जटिल हिस्सों को IQP सर्किट की सरल, समकालिक संरचना के भीतर "छिपा" सके। उन्होंने मूल रूप से सरल मशीन को भारी काम करने के लिए चकमा दिया, बस गणित को सही ढंग से व्यवस्थित करके।

परिणाम: यह सब कुछ कैसे बदल देता है

इस पेपर के तीन प्रमुख निष्कर्ष हैं, जिन्हें सरल रूप में समझाया गया है:

1. हम इसे कम शक्ति के साथ कर सकते हैं

उन्होंने सिद्ध किया कि आपको इस विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए एक सुपर-पावरफुल, त्रुटिपूर्ण क्वांटम कंप्यूटर की आवश्यकता नहीं है। एक सरल, अधिक स्थिर "इंस्टेंटेनियस" मशीन (IQP) इसे केवल दो त्वरित जांचों (queries) के साथ कर सकती है।

उपमा: यह महसूस करने जैसा है कि आपको दौड़ जीतने के लिए फेरारी की आवश्यकता नहीं है; एक मजबूत, विश्वसनीय साइकिल भी पर्याप्त तेज़ है यदि आप सही शॉर्टकट जानते हैं।

2. "पॉलिनोमियल हाइरार्की" (क्लासिकल दीवार) को मात देना

कंप्यूटर विज्ञान में, एक सैद्धांतिक दीवार है जिसे पॉलिनोमियल हाइरार्की (Polynomial Hierarchy - PH) कहा जाता है। यह उस सीमा का प्रतिनिधित्व करती है जिसे क्लासिकल कंप्यूटर, कुछ प्रकार की समस्याओं के लिए, अनंत समय और संसाधनों के बावजूद, कुशलतापूर्वक हल नहीं कर सकते।

लेखकों ने दिखाया कि उनकी सरल IQP मशीन इस 2-Forrelation पहेली को हल कर सकती है, लेकिन कोई भी क्लासिकल कंप्यूटर (यहाँ तक कि एक सुपर-एडवांस्ड कंप्यूटर भी) इसे कुशलतापूर्वक हल नहीं कर सकता।
प्रभाव: यह सिद्ध करता है कि यहाँ तक कि "कमजोर" क्वांटम कंप्यूटर भी इस कार्य के लिए सबसे उन्नत क्लासिकल कंप्यूटरों की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक शक्तिशाली हैं। यह एक निश्चित "क्वांटम एडवांटेज" है।

3. क्वांटम शक्ति को साबित करने का एक नया तरीका (बिना सिरदर्द के)

आमतौर पर, यह सिद्ध करने के लिए कि एक क्वांटम कंप्यूटर बेहतर है, वैज्ञानिक इसे एक रैंडम पैटर्न (सैंपलिंग) उत्पन्न करने के लिए कहते हैं जो चेक करने में बहुत कठिन हो। यह एक जादूगर से टोपी से खरगोश निकालने के लिए कहने जैसा है, लेकिन इसे सत्यापित करने का एकमात्र तरीका पूरे जादू को देखना है, जो कठिन है।

समस्या: इन "सैंपलिंग" प्रयोगों को सत्यापित करना एक दुस्वप्न (nightmare) है।
समाधान: चूंकि 2-Forrelation एक डिसीजन प्रॉब्लम (Decision Problem) है (हाँ/नहीं उत्तर), इसलिए इसे सत्यापित करना बहुत आसान है। आप बस उत्तर की जाँच करते हैं।
लाभ: यह क्वांटम एडवांटेज दिखाने के लिए एक नया दरवाजा खोलता है। हम सरल, आसानी से सत्यापित किए जाने वाले प्रयोग बना सकते हैं जो यह सिद्ध करते हैं कि क्वांटम कंप्यूटर श्रेष्ठ हैं, बिना जटिल और अनचेकेबल रैंडम पैटर्न पर भरोसा किए।

सारांश

इस पेपर के लेखकों ने एक प्रसिद्ध, कठिन क्वांटम पहेली (2-Forrelation) ली और दिखाया कि इसे एक सरल, अधिक मजबूत प्रकार के क्वांटम कंप्यूटर (IQP) द्वारा हल किया जा सकता है।

उन्होंने एक चतुर गणितीय शॉर्टकट (क्वाड्रेटिक फंक्शन) का उपयोग किया जो सरल मशीन को जटिल, क्रमिक चरणों की आवश्यकता के बिना आगे बढ़ने की अनुमति देता है। यह सिद्ध करता है कि यहाँ तक कि "कमजोर" क्वांटम कंप्यूटर भी सबसे अच्छे क्लासिकल कंप्यूटरों को मात देने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हैं, जो क्वांटम तकनीक की वास्तविक शक्ति प्रदर्शित करने का एक नया, आसान रास्ता प्रदान करता है।

यहाँ क्वेंटिन बुज़ेट और आंद्रे चैलौक्स के शोध पत्र "IQP circuits for 2-Forrelation" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण और संदर्भ

2-Forrelation समस्या:
2-Forrelation समस्या दो फलनों $f, g: \{0, 1\}^n \to \{-1, +1\}$ के बीच उनके "forrelation" मान के आधार पर अंतर करने से संबंधित है:
$\Phi(f, g) = \frac{1}{2^{3n/2}} \sum_{x,y \in \{0, 1\}^n} (-1)^{x \cdot y} f(x)g(y)$
कार्य यह तय करना है कि क्या $|\Phi(f, g)|$ बड़ा है या छोटा।

क्लासिकल हार्डनेस (Classical Hardness): इसके लिए $\Theta(2^{n/2})$ रैंडमाइज्ड क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है।
क्वांटम दक्षता (Quantum Efficiency): इसे $O(1)$ क्वांटम क्वेरीज़ (विशेष रूप से मानक BQP मॉडल में 2 क्वेरीज़) के साथ हल किया जा सकता है।
जटिलता का महत्व (Complexity Significance): यह क्लासिकल और क्वांटम क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी के बीच एक इष्टतम सेपरेशन (optimal separation) प्रदान करता है और इसका उपयोग राज और ताल [RT22] द्वारा एक ऑरेकल के सापेक्ष जटिलता वर्गों BQP और पॉलीनोमियल हाइरार्की (PH) को अलग करने के लिए किया गया था।

खुला प्रश्न:
जबकि 2-Forrelation BQP में हल किया जा सकता है, ऐसा नहीं माना जाता कि यह BQP-कम्प्लीट है। एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: 2-Forrelation को हल करने के लिए न्यूनतम क्वांटम संसाधनों की क्या आवश्यकता है? विशेष रूप से, क्या इसे इंस्टेंटेनियस क्वांटम पॉलिनोमियल-टाइम (IQP) सर्किट द्वारा हल किया जा सकता है?

IQP मॉडल: एक प्रतिबंधित मॉडल जहाँ सभी गेट्स कम्यूट (commute) करते हैं (X-basis में डायगोनल)। वे सामान्य BQP सर्किट की तुलना में संरचनात्मक रूप से सरल हैं और सैंपलिंग के माध्यम से क्वांटम एडवांटेज प्रदर्शित करने के लिए उम्मीदवार हैं।
अंतराल (The Gap): पिछले कार्य ने दिखाया कि 2-Forrelation $1/2$ -BQP में हल किया जा सकता है लेकिन DQC1 के लिए इसमें एक्सपोनेंशियल क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है। यह अज्ञात था कि क्या IQP (जो $1/2$ -BQP के भीतर है) इसे हल कर सकता है। गिरिश [Gir25] ने स्पष्ट रूप से पूछा था कि क्या 2-Forrelation IQP में हल किया जा सकता है, और यदि नहीं, तो फूरियर ग्रोथ बाउंड्स (Fourier growth bounds) सिद्ध करने को कहा था।

2. कार्यप्रणाली और प्रमुख तकनीकें

लेखक 2-Forrelation को हल करने के लिए स्पष्ट IQP कंप्यूटेशन का निर्माण करते हैं। एक IQP कंप्यूटेशन को कुशल क्लासिकल प्री-प्रोसेसिंग और पोस्ट-प्रोसेसिंग (जिसे वर्ग BPPIQP द्वारा कैप्चर किया जाता है) के साथ एक या अधिक IQP सर्किट चलाने के रूप में परिभाषित किया गया है।

A. मुख्य निर्माण (एकल क्वेरी)

मानक BQP सर्किट 2-Forrelation के लिए ऑरेकल कॉल्स के बीच हैडामार्ड गेट्स को इंटरलीव करता है ( $H \to O \to H \to O \to H$ )। IQP सर्किट की संरचना $H^{\otimes m} D H^{\otimes m}$ होती है, जहाँ $D$ डायगोनल है।

चुनौती: ऑरेकल $O_{f,g}$ कम्प्यूटेशनल बेसिस में डायगोनल है, इसलिए इसे $D$ में समाहित किया जा सकता है। हालाँकि, मानक एल्गोरिथ्म के लिए दो ऑरेकल के बीच एक हैडामार्ड लेयर की आवश्यकता होती है, जो IQP में नहीं होती है।
समाधान: लेखक एक क्वाड्रेटिक फंक्शन $Q(x) = \sum_{i<j} x_i x_j$ $Q (x) = \sum_{i < j} x_{i} x_{j}$ का उपयोग करते हैं जो $\mathbb{F}_2$ $F_{2}$ पर आधारित है।
- मुख्य पहचान (Key Identity): $Q(x) + Q(y) + Q(x+y) = x \cdot y + |x||y| \pmod 2$ ।
- पैरिटी स्प्लिटिंग (Parity Splitting): जब $|x+y|$ विषम (odd) होता है, तो $|x||y| \equiv 0 \pmod 2$ , जिससे पहचान सरल होकर $Q(x) + Q(y) + Q(x+y) = x \cdot y$ हो जाती है।
- निर्माण: वे $(-1)^{Q(x)}$ से प्राप्त $\rho_0, \rho_1$ और एक "बेंट" फंक्शन $\sigma$ का उपयोग करके विशिष्ट डायगोनल ऑपरेटर्स $D$ और एक्सेप्टेंस सेट्स $F$ को परिभाषित करते हैं।
- परिणाम: दो सर्किटों के बीच यादृच्छिक रूप से चुनकर (एक जो विषम हैमिंग वेट सम को लक्षित करता है, दूसरा सम के लिए), वे एक स्वीकृति प्रायिकता (acceptance probability) प्राप्त करते हैं जो $\Phi(f, g)$ के समानुपाती है।

B. $|\Phi(f, g)|$ को संभालना (साइंड बनाम एब्सोल्यूट वैल्यू)

साइंड वेरिएंट (Signed Variant): एक सिंगल IQP सर्किट 1 क्वेरी के साथ $\Phi(f, g)$ के साइन (sign) के आधार पर अंतर करने के लिए पर्याप्त है।
एब्सोल्यूट वैल्यू वेरिएंट (Absolute Value Variant): $|\Phi(f, g)|$ $∣Φ (f, g) ∣$ के आधार पर अंतर करने के लिए, लेखक दो स्वतंत्र रूप से साइन वाले सर्किट चलाते हैं। वे तब स्वीकार करते हैं जब दोनों रन एक ही परिणाम देते हैं (दोनों स्वीकार करते हैं या दोनों अस्वीकार करते हैं)।
- यह बायस (bias) को स्क्वायर करता है: $P_{acc} \approx \frac{1}{2} + c \cdot \Phi^2(f, g)$ ।
- इसके लिए संयुक्त ऑरेकल $O_{f,g}$ के 2 क्वांटम क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है।

C. फूरियर ग्रोथ बाउंड्स (Fourier Growth Bounds)

यह शोध पत्र IQP सर्किट के फूरियर ग्रोथ पर ऊपरी सीमाएँ भी स्थापित करता है।

परिभाषा: $L_{1, \ell}(p)$ एक्सेप्टेंस प्रोबेबिलिटी पॉलीनोमियल $p$ के डिग्री- $\ell$ फूरियर कोएफिशिएंट्स के वेट को मापता है।
परिणाम: $d$ -क्वेरी IQP सर्किट के लिए, जिसका एक्सेप्टेंस सेट साइज $|F|$ है, लेवल-2 फूरियर ग्रोथ $\sqrt{\min(|F|, 2^{nd})}$ द्वारा सीमित है।
निहितार्थ: चूंकि 2-Forrelation को हल करने के लिए $L_{1,2} = \Omega(2^{n/2})$ की आवश्यकता होती है, इसलिए कोई भी IQP सर्किट जो इसे हल करता है, उसे $|F| = \Omega(2^n)$ का एक्सेप्टेंस सेट होना चाहिए। लेखकों का निर्माण प्राप्त करता है कि $|F| = 2^n$ , जो सिद्ध करता है कि यह बाउंड टाइट (tight) है।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम

IQP में समाधान क्षमता:
- साइंड 2-Forrelation: 1 IQP सर्किट और 1 क्वांटम क्वेरी (क्लासिकल प्री/पोस्ट-प्रोसेसिंग के साथ) द्वारा हल किया जा सकता है।
- एब्सोल्यूट वैल्यू 2-Forrelation: 2 IQP सर्किट (क्रमवार चलाए गए) और 2 क्वांटम क्वेरीज़ द्वारा हल किया जा सकता है।
- यह गिरिश [Gir25] के खुले प्रश्न का सकारात्मक उत्तर देता है।
ऑरेकल सेपरेशन (BPPIQP बनाम PH):
- 2-Forrelation के IQP समाधान का उपयोग करते हुए, लेखक सिद्ध करते हैं कि एक ऑरेकल $O$ के सापेक्ष:
  $(\text{BPPIQP})^O \not\subseteq \text{PH}^O$
- महत्व: यह राज-ताल परिणाम ( $\text{BQP}^O \not\subseteq \text{PH}^O$ ) को मजबूत करता है। चूंकि IQP, BQP से काफी कमजोर मॉडल है, यह दिखाना कि यहाँ तक कि यह प्रतिबंधित मॉडल भी PH से अलग हो सकता है, यह दर्शाता है कि इस समस्या के लिए "क्वांटम एडवांटेज" के लिए पूर्ण BQP शक्ति की आवश्यकता नहीं है।
फूरियर ग्रोथ बाउंड्स:
- सिद्ध किया कि कोई भी IQP सर्किट जो निरंतर एडवांटेज के साथ 2-Forrelation को हल करता है, उसका एक्सेप्टेंस सेट एक्सपोनेंशियल रूप से बड़ा होना चाहिए ( $|F| = \Omega(2^n)$ )।
- यह 2-Forrelation के लिए मानक BQP सर्किट के विपरीत है, जो अक्सर एक एकल आउटकम (जैसे, $|0^n\rangle$ ) पर स्वीकार करते हैं। यह एक संरचनात्मक अंतर को उजागर करता है: आवश्यक फूरियर वेट प्राप्त करने के लिए IQP को एक उच्च-आयामी आउटपुट स्पेस की आवश्यकता होती है।

4. महत्व और निहितार्थ

क्वांटम लैंडस्केप का मानचित्रण: ये परिणाम क्लासिकल (BPP), प्रतिबंधित क्वांटम (IQP, DQC1, $1/2$ -BQP), और पूर्ण क्वांटम (BQP) कंप्यूटेशन के बीच पदानुक्रम (hierarchy) के बारे में हमारी समझ को परिष्कृत करते हैं। 2-Forrelation को IQP की शक्ति के भीतर दिखाया गया है, जो इसे पहले की तुलना में पदानुक्रम में नीचे रखता है।
क्वांटम एडवांटेज प्रयोग:
- क्वांटम एडवांटेज के वर्तमान प्रस्ताव अक्सर सैंपलिंग समस्याओं (जैसे, बोसन सैंपलिंग, IQP सैंपलिंग) पर निर्भर करते हैं, जो क्लासिकली सत्यापित करने में कठिन होते हैं।
- चूंकि 2-Forrelation एक डिसीजन प्रॉब्लम (हाँ/नहीं) है और IQP द्वारा हल किया जा सकता है, यह क्वांटम एडवांटेज प्रदर्शित करने के लिए एक नया मार्ग प्रदान करता है।
- यदि कुशलतापूर्वक लागू करने योग्य ऑरेकल के साथ 2-Forrelation के उदाहरण बनाए जा सकते हैं, तो वे क्लासिकली वेरीफिएबल क्वांटम एडवांटेज प्रयोगों की ओर ले जा सकते हैं, जिससे सैंपलिंग कार्यों की सत्यापन बाधाओं को दूर किया जा सकता है।
बीजगणितीय अंतर्दृष्टि (Algebraic Insight): यह कार्य प्रतिबंधित मॉडलों के भीतर क्वांटम एल्गोरिदम डिजाइन करने में $\mathbb{F}_2$ पर क्वाड्रेटिक फॉर्म्स (विशेष रूप से रीड-मुलर कोड संरचना) की उपयोगिता को प्रदर्शित करता है।

सारांश तालिका

विशेषता	मानक BQP	IQP (यह कार्य)
2-Forrelation के लिए क्वेरीज़	1 (साइंड), 2 (एब्स)	1 (साइंड), 2 (एब्स)
सर्किट संरचना	इंटरलीव्ड हैडामार्ड्स	$H D H$ (कम्यूटिंग गेट्स)
एक्सेप्टेंस सेट साइज	छोटा (जैसे, $\|0^n\rangle$ )	बड़ा ( $\|F\| = \Omega(2^n)$ )
फूरियर ग्रोथ ( $L_{1,2}$ )	$\Theta(2^{n/2})$	$\Theta(2^{n/2})$ (टाइट बाउंड)
जटिलता वर्ग	$\text{BQP}^O \not\subseteq \text{PH}^O$	$(\text{BPPIQP})^O \not\subseteq \text{PH}^O$

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि 2-Forrelation को हल करने और PH को क्वांटम कंप्यूटेशन से अलग करने के लिए आवश्यक "जादू" पहले से ही प्रतिबंधित, कम्यूटिंग मॉडल IQP में मौजूद है, बशर्ते कि आप क्लासिकल प्री/पोस्ट-प्रोसेसिंग की अनुमति दें और एक बड़े आउटपुट स्पेस को स्वीकार करें।