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Divide-and-Conquer Neural Network Surrogates for Quantum Sampling: Accelerating Markov Chain Monte Carlo in Large-Scale Constrained Optimization Problems

यह शोध पत्र एक डिवाइड-एंड-कॉन्कर न्यूरल नेटवर्क सरोगेट फ्रेमवर्क प्रस्तावित करता है जो बड़े पैमाने की संकुचित अनुकूलन समस्याओं (constrained optimization problems) में मार्कोव चेन मोंटे कार्लो मिक्सिंग को त्वरित करने के लिए QAOA से क्वांटम नमूनों का लाभ उठाता है, जो सिंथेटिक आइसिंग मॉडल और वास्तविक दुनिया के MNIST फीचर मास्क ऑप्टिमाइज़ेशन कार्यों दोनों पर शास्त्रीय विधियों की तुलना में महत्वपूर्ण गति वृद्धि प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Yuya Kawamata, Yuichiro Nakano, Keisuke Fujii

प्रकाशित 2026-04-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yuya Kawamata, Yuichiro Nakano, Keisuke Fujii

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, जटिल हवेली में फर्नीचर की सबसे अच्छी व्यवस्था खोजने की कोशिश कर रहे हैं। आप चाहते हैं कि कमरा एकदम सही दिखे (कम ऊर्जा), लेकिन आपका एक सख्त नियम है: आप कमरे में किसी भी समय ठीक 10 कुर्सियाँ ही रख सकते हैं। यह एक प्रतिबंधित अनुकूलन समस्या (constrained optimization problem) है।

कंप्यूटर की दुनिया में, इसे हल करना एक विशाल, धुंधली भूलभुलैया में सबसे अच्छा रास्ता खोजने जैसा है। इसे करने का मानक तरीका मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) कहलाता है। MCMC को एक आंखों पर पट्टी बांधे हुए खोजकर्ता के रूप में समझें जो छोटे, यादृच्छिक (random) कदम उठाता है। यदि कोई कदम अच्छा दिखता है, तो वे उसे लेते हैं; यदि नहीं, तो वे वहीं रुक जाते हैं।

समस्या क्या है? एक विशाल हवेली में जहाँ सख्त नियम हैं (जैसे "ठीक 10 कुर्सियाँ"), वहां खोजकर्ता फंस जाता है। वे एक बार में केवल एक कुर्सी को दूसरी कुर्सी से बदल सकते हैं। पूरे कमरे को फिर से व्यवस्थित करने में उन्हें बहुत समय लगता है क्योंकि वे बहुत धीरे चल रहे हैं और उन "काफी अच्छे" स्थानों में फंस जाते हैं जो वास्तव में सबसे अच्छे नहीं हैं।

यह शोध पत्र इस खोजकर्ता की गति बढ़ाने के लिए क्वांटम कंप्यूटर और AI का उपयोग करके एक चतुर नया तरीका प्रस्तावित करता है, लेकिन एक ट्विस्ट के साथ: क्वांटम कंप्यूटर से हर बार पूरा काम करने के लिए कहने के बजाय (जो धीमा और महंगा है), वे एक "विभाजित करो और जीतो" (Divide-and-Conquer) रणनीति का उपयोग करते हैं।

यहाँ उनके समाधान का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "आंखों पर पट्टी बांधा हुआ खोजकर्ता" बहुत धीमा है

कल्पना कीजिए कि एक खोजकर्ता 1,000 कुर्सियों को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहा है।

पुरानी विधि (कवासाकी डायनेमिक्स): खोजकर्ता दो कुर्सियां चुनता है और उन्हें आपस में बदल देता है। यदि नई व्यवस्था बेहतर है, तो वे उसे रखते हैं। लेकिन चूंकि वे एक बार में केवल दो कुर्सियों को बदल सकते हैं, इसलिए उन्हें कमरे के एक तरफ से दूसरी तरफ जाने में लाखों साल लग सकते हैं।
क्वांटम विचार: क्वांटम कंप्यूटर एक साथ कई संभावनाओं को देखने में माहिर होते हैं। वे तुरंत कुर्सियों की एक पूरी नई व्यवस्था सुझा सकते हैं। लेकिन हर एक कदम के लिए क्वांटम कंप्यूटर चलाना बहुत धीमा और महंगा है।

2. समाधान: "विभाजित करो और जीतो" की रणनीति

पूरी हवेली को एक साथ व्यवस्थित करने के बजाय, लेखक हवेली को छोटे, प्रबंधनीय कमरों (ब्लॉक्स) में विभाजित करते हैं।

चरण 1. विभाजित करें: वे कनेक्शन के बड़े ग्राफ को छोटे टुकड़ों में बांट देते हैं।
चरण 2. क्वांटम "शेफ": प्रत्येक छोटे कमरे के लिए, वे एक क्वांटम कंप्यूटर (विशेष रूप से एक एल्गोरिदम जिसे QAOA कहा जाता है) का उपयोग करके केवल उस कमरे के लिए कुर्सियों की एक "परफेक्ट" व्यवस्था तैयार करते हैं। क्वांटम कंप्यूटर स्थानीय व्यवस्था को जल्दी से खोजने में सक्षम है।
चरण 3. AI "चेला" (न्यूरल नेटवर्क): यही जादुई हिस्सा है। हर बार महंगे क्वांटम शेफ को बुलाने के बजाय, वे एक न्यूरल नेटवर्क (एक प्रकार का AI) को शेफ को देखते हुए प्रशिक्षित करते हैं।
- AI सीखता है: "ओह, जब क्वांटम शेफ इस कमरे में 3 कुर्सियां देखता है, तो वे आमतौर पर उन्हें इस तरह से व्यवस्थित करते हैं।"
- AI एक सरोगेट (Surrogate) बन जाता है। यह क्वांटम शेफ के व्यवहार की हूबहू नकल करता है लेकिन एक सामान्य कंप्यूटर पर चलता है, जो कि बहुत तेज़ है।
चरण 4. "स्मार्ट" खोजकर्ता: अब, खोजकर्ता केवल दो कुर्सियों को नहीं बदलता। वे एक पूरा कमरा चुनते हैं, AI चेले से पूछते हैं, "इस कमरे में कुर्सियों को व्यवस्थित करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?" AI एक ऐसा सुझाव देता है जो "कुल 10 कुर्सियों" के नियम का पालन करता है। खोजकर्ता एक ही बार में पूरे कमरे की व्यवस्था को बदल देता है।

3. यह गेम-चेंजर क्यों है

गति: क्योंकि AI एक बार में 16 कुर्सियों को हिलाने का सुझाव दे सकता है (केवल 2 के बजाय), खोजकर्ता पूरे हवेली को बहुत तेज़ी से कवर करता है।
स्केलेबिलिटी (Scalability): जैसे-जैसे हवेली बड़ी होती जाती है (अधिक कुर्सियाँ), पुरानी विधि तेजी से धीमी होती जाती है। यह नया तरीका तेज़ रहता है क्योंकि यह बड़ी समस्या को छोटे, हल करने योग्य टुकड़ों में तोड़ देता है।
वास्तविक दुनिया का परीक्षण: उन्होंने एक वास्तविक दुनिया की समस्या पर इसका परीक्षण किया: MNIST (हाथ से लिखे अंक)।
- कार्य: संख्या को पहचानने के लिए 28x28 के चित्र से 50 सबसे महत्वपूर्ण पिक्सेल चुनें।
- परिणाम: उनकी विधि ने पुरानी विधि की तुलना में बहुत तेज़ी से बेहतर पिक्सेल सेट खोज लिया। इसने प्रक्रिया को जल्दी रोककर अंकों को पहचानने की सटीकता में 2% का सुधार भी किया।

बड़ी तस्वीर की उपमा (Big Picture Analogy)

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल पुस्तकालय को व्यवस्थित कर रहे हैं।

पुराना तरीका: आप गलियारों में चलते हैं और एक बार में दो किताबों को बदलते हैं। पूरी लाइब्रेरी को व्यवस्थित करने में जीवन बीत जाएगा।
क्वांटम तरीका: आपके पास एक जादुई रोबोट है जो पूरी लाइब्रेरी को तुरंत पूरी तरह से व्यवस्थित कर सकता है। लेकिन रोबोट को जगाना धीमा और महंगा है।
इस शोध पत्र का तरीका: आप रोबोट को एक बार में केवल एक शेल्फ व्यवस्थित करने के लिए कहते हैं। फिर, आप एक मानव सहायक (न्यूरल नेटवर्क) को काम पर रखते हैं जो रोबोट को देखता है और सीखता है कि उस विशिष्ट शेल्फ को पूरी तरह से कैसे व्यवस्थित किया जाए। अब, आप मानव सहायक से एक सेकंड में एक पूरा शेल्फ व्यवस्थित करवा सकते हैं, बार-बार, बिना उस महंगे रोबोट को जगाए।

निष्कर्ष

लेखकों ने एक हाइब्रिड सिस्टम बनाया है जहाँ क्वांटम कंप्यूटर एक AI को सिखाने के लिए भारी काम करते हैं, और फिर वह AI बिजली की गति से वास्तविक अनुकूलन प्रक्रिया को चलाता है। यह हमें वर्तमान, अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों पर भी विशाल, जटिल समस्याओं (जैसे नए पदार्थों को डिजाइन करना या AI फीचर्स को ऑप्टिमाइज़ करना) को हल करने की अनुमति देता है, जिससे व्यावहारिक, वास्तविक दुनिया की समस्याओं के लिए "क्वांटम एडवांटेज" को वास्तविकता बनाना संभव होता है।

यहाँ शोध पत्र "Divide-and-Conquer Neural Network Surrogates for Quantum Sampling: Accelerating Markov Chain Monte Carlo in Large-Scale Constrained Optimization Problems" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र बड़े पैमाने की, प्रतिबंधित अनुकूलन समस्याओं (constrained optimization problems), विशेष रूप से उन समस्याओं के लिए कुशल मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) सैंपलिंग करने की चुनौती का समाधान करता है, जिनमें एक निश्चित हैमिंग वेट (fixed Hamming weight) बाधा होती है (जहाँ बाइनरी वेरिएबल्स $x_i$ का योग $K$ के बराबर स्थिर रहता है)।

संदर्भ: क्वांटम-एन्हांस्ड MCMC (प्रस्ताव वितरण के रूप में क्वांटम सैंपल का उपयोग करके) ने क्वांटम सैंपलिंग की क्षमता दिखाई है, लेकिन वर्तमान विधियाँ बड़े पैमाने की समस्याओं के लिए संघर्ष करती हैं।
शास्त्रीय विधियों की सीमाएँ: कावासाकी डायनेमिक्स (Kawasaki dynamics) (पेयर-फ्लिप अपडेट) जैसी शास्त्रीय विधियाँ बाधाओं का सख्ती से पालन करती हैं, लेकिन जैसे-जैसे सिस्टम का आकार बढ़ता है, वे तेजी से धीमी हो जाती हैं क्योंकि वे एक समय में केवल दो स्पिन को ही अपडेट करती हैं।
प्रत्यक्ष क्वांटम दृष्टिकोण की सीमाएँ: प्रत्येक MCMC चरण में प्रस्ताव (proposals) उत्पन्न करने के लिए वेरिएशनल क्वांटम एल्गोरिदम (जैसे QAOA) चलाना कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत महंगा है, क्योंकि NISQ (नोइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम) उपकरणों पर क्वांटम सर्किट निष्पादन और मेजरमेंट नॉइज़ की लागत बहुत अधिक होती है।
अंतराल (Gap): एक ऐसी स्केलेबल विधि की आवश्यकता है जो बाधाओं का सम्मान करते हुए, बड़े और गैर-स्थानीय (non-local) अपडेट प्रस्तावित करने के लिए क्वांटम सैंपलिंग क्षमताओं का लाभ उठा सके, बिना MCMC प्रक्रिया के दौरान बार-बार क्वांटम सर्किट निष्पादन की आवश्यकता के।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक डिवाइड-एंड-कॉन्कर न्यूरल नेटवर्क सरोगेट फ्रेमवर्क का प्रस्ताव करते हैं। मुख्य विचार यह है कि बड़ी समस्या को छोटे उप-समस्याओं में विभाजित किया जाए, उन्हें क्वांटम सर्किटों का उपयोग करके हल किया जाए, और MCMC में उपयोग के लिए क्वांटम सैंपलिंग वितरण की नकल करने के लिए न्यूरल नेटवर्क सरोगेट्स को प्रशिक्षित किया जाए।

यह फ्रेमवर्क चार मुख्य चरणों से बना है:

A. डिवाइड-एंड-कॉन्कर पार्टीशनिंग (Divide-and-Conquer Partitioning)

इस आइसिंग समस्या के इंटरेक्शन ग्राफ को दो अलग-अलग प्रकार के ब्लॉक पार्टीशन ( $P^{(1)}$ और $P^{(2)}$ ) में विभाजित किया जाता है।
ग्रीडी एल्गोरिदम (Greedy Algorithm): ब्लॉक्स का निर्माण ग्रीडी तरीके से उन वर्टिसिस को समूहबद्ध करके किया जाता है जिनके बीच स्ट्रॉन्ग कपलिंग वेट होता है, ताकि ब्लॉक के बाहर के नोड्स के साथ होने वाले इंटरेक्शन को अनदेखा करने से होने वाली त्रुटि को कम किया जा सके।
क्रॉस-पार्टिशनिंग (Cross-Partitioning): दोनों पार्टीशनों को अलग-अलग रैंडम सीड के साथ उत्पन्न किया जाता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि $P^{(2)}$ के ब्लॉक्स $P^{(1)}$ के ब्लॉक्स की सीमाओं को पार करते हैं। यह MCMC चेन को पूरे स्टेट स्पेस में प्रभावी ढंग से घूमने में मदद करता है और लोकल ट्रैपिंग (local trapping) से बचाता है।

B. सबग्राफ पर क्वांटम सैंपलिंग (QAOA)

प्रत्येक ब्लॉक के लिए दोनों पार्टीशनों में, एक क्वांटम एप्रोक्सिमेट ऑप्टिमाइजेशन एल्गोरिदम (QAOA) निष्पादित किया जाता है।
XY मिक्सर: प्रत्येक ब्लॉक के भीतर फिक्स्ड हैमिंग वेट बाधा को सख्ती से बनाए रखने के लिए, लेखक एक XY मिक्सर हैमिलटोनियन ( $H_M = \frac{1}{2}\sum (X_i X_j + Y_i Y_j)$ ) का उपयोग करते हैं। यह $|01\rangle$ और $|10\rangle$ अवस्थाओं को स्वैप करता है, जिससे ब्लॉक के भीतर कुल '1' की संख्या स्थिर रहती है।
ट्रेनिंग डेटा जनरेशन: विशिष्ट ब्लॉक हैमिलटोनियन के लिए लो-टेम्परेचर बोल्ट्ज़मैन वितरण को अनुमानित करने के लिए QAOA सर्किट को ऑप्टिमाइज़ किया जाता है। इन ऑप्टिमाइज़्ड सर्किटों से सैंपल जेनरेट किए जाते हैं।

C. न्यूरल नेटवर्क सरोगेट ट्रेनिंग (Conditional MADE)

MCMC के दौरान क्वांटम सर्किट चलाने के बजाय, लेखक प्रत्येक ब्लॉक के लिए एक मास्क्ड ऑटोएनकोडर फॉर डिस्ट्रिब्यूशन एस्टीमेशन (MADE) को प्रशिक्षित करते हैं।
कंडीशनिंग (Conditioning): MADE को एक कंडीशनल मॉडल के रूप में प्रशिक्षित किया जाता है जहाँ कंडीशनिंग वेरिएबल ब्लॉक का हैमिंग वेट ( $k_B$ ) है।
आर्किटेक्चर: नेटवर्क ऑटोरिग्रेसिव फैक्टराइजेशन $\hat{q}(x_B | k_B) = \prod \hat{q}(x_i | x_{<i}, k_B)$ को सीखता है। यह मॉडल को एक दिए गए हैमिंग वेट के लिए विशिष्ट रूप से QAOA वितरण की नकल करने वाले सैंपल जेनरेट करने की अनुमति देता है।
दक्षता (Efficiency): एक बार प्रशिक्षित होने के बाद, न्यूरल नेटवर्क शास्त्रीय हार्डवेयर पर तुरंत सैंपल जेनरेट कर सकता है, जिससे MCMC चरण के दौरान क्वांटम निष्पादन की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

D. MCMC निष्पादन (MCMC Execution)

प्रत्येक MCMC चरण में, एक पार्टीशन टाइप ( $s \in \{1, 2\}$ ) और एक ब्लॉक इंडेक्स को रैंडमली चुना जाता है।
चयनित ब्लॉक के लिए आवश्यक हैमिंग वेट की गणना इसके कॉम्प्लीमेंट (अन्य सभी ब्लॉक्स) के आधार पर की जाती है ताकि ग्लोबल कंस्ट्रेंट (वैश्विक बाधा) को पूरा किया जा सके।
कंडीशनल MADE चयनित ब्लॉक के लिए एक प्रस्ताव (proposal) जेनरेट करता है।
प्रस्ताव को मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स (Metropolis-Hastings) मानदंड का उपयोग करके स्वीकार या अस्वीकार किया जाता है, जिसमें न्यूरल नेटवर्क सरोगेट से प्राप्त लाइकलीहुड रेशियो का उपयोग किया जाता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

स्केलेबल कंस्ट्रेंड MCMC: फिक्स्ड हैमिंग वेट बाधाओं के तहत बड़े पैमाने की समस्याओं ( $N$ अप टू 784) के लिए सफलतापूर्वक डिवाइड-एंड-कॉन्वर क्वांटम सैंपलिंग को न्यूरल नेटवर्क सरोगेट्स के साथ लागू करने वाला पहला फ्रेमवर्क।
XY मिक्सर इंटीग्रेशन: क्वांटम स्तर पर बाधाओं को स्वाभाविक रूप से बनाए रखने के लिए QAOA में स्पष्ट रूप से XY मिक्सर का उपयोग करना, जिसे फिर शास्त्रीय सरोगेट में निष्ठापूर्वक स्थानांतरित किया जाता है।
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डुअल-पार्टिशन रणनीति: दो अलग-अलग, ओवरलैपिंग ब्लॉक पार्टीशन का उपयोग MCMC चेन को लोकल मोड्स में फंसने से रोकता है, जो ब्लॉक-अपडेट विधियों में एक सामान्य समस्या है।
सरोगेट दक्षता: यह प्रदर्शित करना कि क्वांटम डेटा पर प्रशिक्षित एक शास्त्रीय न्यूरल नेटवर्क MCMC के दौरान क्वांटम सर्किट की जगह ले सकता है, जिससे यह दृष्टिकोण NISQ उपकरणों के लिए व्यावहारिक बन जाता है जहाँ सर्किट निष्पादन महंगा है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

A. 3-रेगुलर ग्राफ्स (Boltzmann Sampling)

सेटअप: 16 से 512 तक सिस्टम साइज वाले 3-रेगुलर ग्राफ्स पर परीक्षण किया गया। फिक्स्ड QAOA ब्लॉक साइज $|B|=16$ ।
मेट्रिक: ऑटोकोरिलेशन डिके रेट ( $\tau$ ), जहाँ उच्च $\tau$ तेज़ मिक्सिंग को दर्शाता है।
प्रदर्शन:
- प्रस्तावित विधि ने क्लासिकल कावासाकी डायनेमिक्स को लगातार पछाड़ दिया।
- स्पीडअप फैक्टर्स: लोकल कावासाकी (निकटतम-पड़ोसी स्वैप) की तुलना में 20.3x और ग्लोबल कावासाकी (गैर-निकटतम-पड़ोसी स्वैप) की तुलना में 7.6x का औसत स्पीडअप प्राप्त किया।
- स्केलेबिलिटी: प्रदर्शन का अंतर स्थिर रहा या $N$ बढ़ने के साथ सुधरा, जबकि शास्त्रीय विधियाँ काफी धीमी हो गईं।
- ब्लॉक साइज सेंसिटिविटी: प्रदर्शन में सुधार हुआ जैसे-जैसे QAOA ब्लॉक साइज बढ़ा, और $|B| \geq 6$ होने पर महत्वपूर्ण लाभ देखे गए।

B. MNIST फीचर सिलेक्शन (व्यावहारिक अनुप्रयोग)

सेटअप: MNIST इमेजेस ( $N=784$ पिक्सल) पर फीचर सिलेक्शन, जिसमें ठीक $K=50$ फीचर्स चुनने की बाधा है।
कार्य: लॉजिस्टिक रिग्रेशन मॉडल की क्लासिफिकेशन एक्यूरेसी को अधिकतम करने के लिए QUBO को ऑप्टिमाइज़ करना।
परिणाम:
- एनर्जी कन्वर्जेंस: प्रस्तावित विधि ग्लोबल कावासाकी डायनेमिक्स की तुलना में काफी तेज़ी से कम ऊर्जा अवस्थाओं तक पहुँच गई।
- क्लासिफिकेशन एक्यूरेसी: जब MCMC प्रक्रिया को जल्दी (50 स्टेप्स पर) रोका गया, तो प्रस्तावित विधि ने कावासाकी डायनेमिक्स (77.48%) की तुलना में 79.51% एक्यूरेसी हासिल की—जो कि 2.03% का एब्सोल्यूट इम्प्रूवमेंट है।
- 3000 स्टेप्स पर, दोनों विधियाँ समान एक्यूरेसी (~80.5%) तक अभिसरण (converge) हुईं, जो पुष्टि करता है कि प्रस्तावित विधि केवल बहुत तेज़ी से अभिसरण करती है।

5. महत्व (Significance)

NISQ व्यवहार्यता: यह शोध पत्र बड़े पैमाने की शास्त्रीय अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए संसाधन-सीमित NISQ उपकरणों का उपयोग करने के एक व्यावहारिक मार्ग को प्रदर्शित करता है। भारी काम को छोटे, प्रबंधनीय क्वांटम उप-समस्याओं पर ऑफलोड करके और शास्त्रीय सरोगेट्स का उपयोग करके, यह विधि वर्तमान हार्डवेयर की सीमाओं को दूर करती है।
कंस्ट्रेंट बॉटलनैक्स को दूर करना: यह प्रतिबंधित MCMC (जिसमें 'स्लो मिक्सिंग' की समस्या होती है) के लिए एक मजबूत समाधान प्रदान करता है, जो सांख्यिकीय भौतिकी (जैसे लैटिस गैस) और मशीन लर्निंग (जैसे फीचर सिलेक्शन, मास्क जनरेशन) जैसे अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है।
हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल प्रतिमान: यह कार्य न्यूरल नेटवर्क सरोगेट्स को क्वांटम सैंपलिंग क्षमताओं और शास्त्रीय ऑप्टिमाइजेशन वर्कफ़्लो के बीच एक सेतु के रूप में उपयोग करने की भूमिका को पुख्ता करता है, जिससे बिना फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटरों के भी सैंपलिंग दक्षता में "क्वांटम एडवांटेज" प्राप्त करना संभव होता है।