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Compressible Navier--Stokes Flow in Schrödinger-Type Variables

यह शोध पत्र आइसोथर्मल कंप्रेसिबल नेवियर-स्टोक्स प्रवाह के श्रोडिंगर-प्रकार के एम्प्लीट्यूड वेरिएबल्स में प्रथम सटीक यूलरियन पुनर्गठन को प्रस्तुत करता है, जो इस प्रणाली को स्व-सुसंगत विभवों (self-consistent potentials) वाली गैररेखीय काल्पनिक-समय समीकरणों में रूपांतरित करता है, जिनका प्रत्यक्ष सिमुलेशन के विरुद्ध सत्यापन किया गया है और जो प्रवाह के संक्षिप्त विवरण तथा क्वांटम एल्गोरिदम के लिए संभावित अनुप्रयोग प्रदान करते हैं।

मूल लेखक: James R. Beattie, Max Sokolova, Khush Negandhi, Bart Ripperda

प्रकाशित 2026-05-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: James R. Beattie, Max Sokolova, Khush Negandhi, Bart Ripperda

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि अंतरिक्ष में गैस का एक घूमता हुआ, संकुचित होता बादल कैसे चलता है। भौतिकी में, इसे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों (Navier-Stokes equations) द्वारा वर्णित किया जाता है। इन समीकरणों को तरल पदार्थ के लिए "सड़क के नियमों" की तरह समझें। वे अविश्वसनीय रूप से जटिल, अव्यवस्थित और हल करने में कठिन हैं क्योंकि तरल अपने आप पर दबाव डालता है (नॉनलीनियर/अरेखीय), घर्षण के कारण ऊर्जा खो देता है (डिसिपेटिव/अपव्ययी), और दबने या फैलने के साथ अपना घनत्व बदलता है।

यह शोध पत्र इन उलझे हुए नियमों को फिर से लिखने का एक चतुर नया तरीका प्रस्तुत करता है। लेखक, जेम्स बीटी और उनकी टीम ने एक गणितीय "अनुवाद" खोजा है जो इन अराजक तरल समीकरणों को ऐसे समीकरणों के सेट में बदल देता है जो श्रोडिंजर समीकरणों (Schrödinger equations) की तरह दिखते हैं—वे प्रसिद्ध समीकरण जिनका उपयोग क्वांटम कणों (जैसे इलेक्ट्रॉन) की गति को समझाने के लिए किया जाता है।

यहाँ उनके आविष्कार का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. पुरानी समस्या: "घूमता हुआ सूप"

आमतौर पर, एक तरल का वर्णन करना उबलते हुए सूप के बर्तन को ट्रैक करने जैसा है जहाँ बुलबुले (घनत्व) और भंवर (भ्रमकता/vorticity) सब आपस में मिले हुए हैं। यदि आप केवल बुलबुलों के लिए गणित लिखने की कोशिश करते हैं, तो घूमने वाली गति उसमें बाधा डालती है, और इसके विपरीत भी। यह गणित "नॉनलीनर" है, जिसका अर्थ है कि छोटे बदलाव भी बड़े, अप्रत्याशित परिणामों की ओर ले जा सकते हैं, जिससे इसे कंप्यूटरों के लिए हल करना बहुत कठिन हो जाता है।

2. नई तरकीब: "जादुई लेंस"

लेखकों ने कोल-हॉफ ट्रांसफॉर्मेशन (Cole-Hopf transformation) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि आप एक विशेष जादुई लेंस के माध्यम से तरल को देख रहे हैं। जब आप इस लेंस के माध्यम से देखते हैं, तो वह अस्त-व्यस्त, घूमता हुआ सूप गायब नहीं होता, बल्कि उसका रूप बदल जाता है।

तरल की गति और घनत्व को सीधे ट्रैक करने के बजाय, वे तीन नए "एम्प्लीट्यूड" (मान लीजिए कि ये तीन अलग-अलग प्रकाश किरणों की चमक या तीव्रता हैं) को ट्रैक करते हैं:

बीम 1 (संपीड़न/Compressive): यह ट्रैक करता है कि तरल को कैसे दबाया या खींचा जा रहा है।
बीम 2 (भंवर/Vortical): यह तरल के घूमने वाले, चक्करदार हिस्सों को ट्रैक करता है।
बीम 3 (मिश्रित/Mixed): यह घनत्व और संपीड़न का एक विशेष संयोजन है जो दोनों के बीच एक सेतु (bridge) के रूप में कार्य करता है।

3. परिणाम: "काल्पनिक समय" की फिल्में

जब वे तरल के नियमों को इन तीन नए बीमों में अनुवादित करते हैं, तो कुछ अद्भुत होता है। समीकरण अराजक तरल गति विज्ञान (fluid dynamics) के बजाय हीट इक्वेशन (ऊष्मा समीकरण) या इमेजिनरी-टाइम श्रोडिंजर समीकरणों की तरह दिखने लगते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप तरल की एक फिल्म देख रहे हैं। पुराने तरीके में, अभिनेता (तरल कण) इधर-उधर भाग रहे हैं, एक-दूसरे से टकरा रहे हैं, और चलते-चलते अपनी पटकथा बदल रहे हैं। नए तरीके में, अभिनेताओं को तीन अलग-अलग प्रकाश किरणों द्वारा बदल दिया जाता है। ये किरणें समय के साथ सुचारू रूप से विकसित होती हैं, जैसे धातु की छड़ में फैलती हुई गर्मी या एक क्वांटम कण का बहना।
चेतावनी: ये वास्तविक विज्ञान-फाई फिल्मों में दिखने वाली "रियल-टाइम" क्वांटम फिल्में नहीं हैं। ये "इमेजिनरी-टाइम" (काल्पनिक समय) की फिल्में हैं। इसका अर्थ है कि ये प्रसार (diffusion) और बहाव (drift) की प्रक्रिया का वर्णन करती हैं, न कि वास्तविक क्वांटम कणों के लहरदार, दोलनकारी व्यवहार का। हालाँकि, इसकी संरचना गणितीय रूप से श्रोडिजर समीकरण के समान है, बस इसमें एक मोड़ है।

4. "भूतिया" संबंध (The "Ghost" Connections)

शोध पत्र नोट करता है कि ये तीन बीम पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं हैं। वे "भूतिया" बलों द्वारा जुड़े हुए हैं।

यदि बीम 1 (दबाव) बदलता है, तो यह हेल्महोल्ट्ज़ प्रोजेक्शन (Helmholtz projection) नामक प्रक्रिया के माध्यम से बीम 2 (भंवर) और बीम 3 (घनत्व) को संकेत भेजता है।
इसे नर्तकों के एक समूह की तरह समझें। भले ही वे अलग-अलग लय पर नाच रहे हों (तीन बीम), वे सभी एक केंद्रीय बिंदु से अदृश्य धागों से बंधे हुए हैं। यदि एक नर्तक हिलता है, तो धागों का तनाव दूसरों को खींचता है। इन धागों का गणित जटिल है और इसके लिए "पॉइसन समीकरणों" (गणित की एक प्रकार की पहेली) को हल करने की आवश्यकता होती है, लेकिन मुख्य नृत्य की चालें (बीम) गणना करने में बहुत सरल हैं।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

लेखकों ने एक केल्विन-हेल्महोल्ट्ज़ अस्थिरता (Kelvin-Helmholtz instability) का अनुकरण करके इस नए सिस्टम का परीक्षण किया—यह एक क्लासिक परिदृश्य है जहाँ तरल की दो परतें एक-दूसरे के बगल से गुजरती हैं और भंवर पैदा करती हैं (जैसे पानी के ऊपर बहती हवा)।

परीक्षण: उन्होंने पुराने, उलझे हुए तरल समीकरणों और नए, "श्रोडिजर-जैसे" बीमों का उपयोग करके एक साथ सिमुलेशन चलाया।
परिणाम: नया सिस्टम पुराने वाले से पूरी तरह मेल खाता था। घूमने वाले पैटर्न, घनत्व में परिवर्तन और ऊर्जा की हानि बिल्कुल समान थे।
लाभ: तरल को इन तीन अलग-अलग बीमों में विभाजित करके, लेखकों ने तरल के व्यवहार के "कंकाल" को उजागर कर दिया है। उन्होंने "स्पिन" (घूर्णन) को "स्क्विश" (दबाव) और "घनत्व" से अलग कर दिया है।

6. क्वांटम कनेक्शन (जो शोध पत्र वास्तव में कहता है)

शोध पत्र सुझाव देता है कि चूंकि ये नए समीकरण श्रोडिजर समीकरणों की तरह दिखते हैं, इसलिए इन्हें भविष्य में क्वांटम कंप्यूटरों पर चलाना आसान हो सकता है।

महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण: लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि वे यह दावा नहीं कर रहे हैं कि इससे आज क्वांटम कंप्यूटर तरल समस्याओं को तेजी से हल करने लगेंगे।
इसके बजाय, वे कह रहे हैं: "हमने समस्या को ऐसे प्रारूप में फिर से लिखा है जो उन समस्याओं जैसा दिखता है जिन्हें क्वांटम कंप्यूटर हल करने में अच्छे होते हैं (समय के साथ विकसित होने वाले लीनियर ऑपरेटर्स)।"
कठिन हिस्से (भूतिया धागे और नॉनलीनर इंटरैक्शन) अभी भी मौजूद हैं, लेकिन अब वे स्पष्ट रूप से अलग हो गए हैं। यह शोधकर्ताओं को यह देखने के लिए एक नया नक्शा प्रदान करता है कि तरल समस्या के कौन से हिस्से क्वांटम एल्गोरिदम द्वारा हल किए जा सकते हैं और कौन से हिस्से अभी भी शास्त्रीय (classical) कंप्यूटरों की आवश्यकता रखते हैं।

सारांश

यह शोध पत्र एक गणितीय अनुवाद है। यह संपीड़ित गैस प्रवाह के उलझे हुए, नॉनलीनर समीकरणों को तीन साफ, "इमेजिनरी-टाइम" तरंग समीकरणों के रूप में फिर से लिखता है। यह एक अराजक जैज़ इम्प्रोवाइजेशन (स्वतंत्र संगीत) को तीन अलग-अलग, सामंजस्यपूर्ण शीट म्यूजिक भागों में फिर से लिखने जैसा है। संगीत बिल्कुल वही है, लेकिन नया प्रारूप भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों के लिए इसे पढ़ना और बजाना आसान बना सकता है।

यहाँ बेटी एट अल. (Beattie et al.) के शोध पत्र "Compressible Navier–Stokes Flow in Schrödinger-Type Variables" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

द्रव गतिशीलता (fluid dynamics) को नियंत्रित करने वाले नेवियर-स्टोक्स (NS) समीकरण स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक (nonlinear), विसरित (dissipative) और गैर-हैमिल्टनियन (non-Hamiltonian) होते हैं। यह संरचना उन्हें मानक क्वांटम यांत्रिक उपकरणों का उपयोग करने या उन्हें सीधे क्वांटम एल्गोरिदम पर मैप करने में कठिन बनाती है, जो आमतौर पर रैखिक, यूनिटरी विकास (unitary evolution) पर निर्भर करते हैं।

अंतराल (The Gap): जबकि कोले-हॉफ (Cole–Hopf) रूपांतरण ने 1D विस्कस बर्गर्स समीकरण को सफलतापूर्वक रैखिक बनाया (इसे हीट/श्रोडिंगर समीकरण में मैप किया), यह बहु-आयामी असंपीड्य (incompressible) या संपीड्य (compressible) NS प्रवाहों के लिए सीधे विस्तारित नहीं होता है क्योंकि इसमें गैर-रैखिक एडवेक्शन पद ( $u \cdot \nabla u$ ) और दबाव प्रवणता (pressure gradient) के बीच युग्मन (coupling) होता है।
चुनौती (The Challenge): पिछले कार्यों (जैसे कि ओहकितानी द्वारा) ने असंपीड्य NS प्रवाह के लिए कोले-हॉफ प्रकार के लॉगरिदमिक ट्रांसफॉर्म को विस्तारित किया, जिसमें क्षमता (potential) और भंवर (vortical) घटकों को अलग किया गया। हालाँकि, सम्पीड्य आइसोथर्मल NS प्रवाह (जहाँ घनत्व $\rho$ बदलता है और एक निरंतरता समीकरण का पालन करता है न कि डिफ्यूजन समीकरण का) के लिए एक कठोर, सटीक पुनर्गठन की कमी थी। लेखक इस अंतराल को भरने का लक्ष्य रखते हैं ताकि रिड्यूस्ड-ऑर्डर मॉडलिंग और संभावित क्वांटम एल्गोरिदम अनुप्रयोगों को सुगम बनाया जा सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक कोले-हॉफ-प्रकार के लॉगरिदमिक रूपांतरणों का उपयोग करके आइसोथर्मल संपीड्य NS समीकरणों का एक सटीक यूलरियन पुनर्गठन (Eulerian reformulation) व्युत्पन्न करते हैं। कार्यप्रणाली में शामिल हैं:

हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन (Helmholtz Decomposition): वेग क्षेत्र $u$ $u$ को एक संपीड़ित (compressive/irrotational) भाग और एक सोलेनोइडल (solenoidal/vortical) भाग में विभाजित किया जाता है।
- 2D में: $u = \nabla \phi + \nabla^\perp \psi$ ।
- 3D में: $u = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{\psi}$ (एक वेक्टर स्ट्रीमफंक्शन का उपयोग करते हुए)।
लॉगरिदमिक आयाम चर (Logarithmic Amplitude Variables): विभवों (potentials) को लॉगरिदमिक आयामों में परिवर्तित किया जाता है:
- संपीड़ित विभव (Compressive potential): $\phi = -2\mu_c \ln \Theta$ ।
- भंवर विभव (Vortical potential): $\psi = 2\mu_s \ln \Xi$ (2D) या वेक्टर स्ट्रीमफंक्शन $\mathbf{\psi} = k \ln \mathbf{\vartheta}$ (3D)।
मिश्रित घनत्व-संपीड़ित आयाम (Mixed Density-Compressive Amplitude): घनत्व निरंतरता समीकरण को संभालने के लिए एक मिश्रित चर $\Psi_\alpha$ $Ψ_{α}$ का परिचय एक महत्वपूर्ण नवाचार है, जिसे केवल घनत्व द्वारा श्रोडिंगर समीकरण में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।
- परिभाषा: $\Psi_\alpha = \rho^\alpha \Theta^{1-2\alpha}$ , जहाँ $\alpha \neq 0, 1/2$ ।
- यह विशिष्ट पावर लॉ उन स्पष्ट लैपलेसियन पदों ( $\Delta \tau$ ) और ग्रेडिएंट-स्क्वेर्ड पदों ( $|\nabla \tau|^2$ ) को रद्द करने के लिए चुना गया है जो अन्यथा एक बंद दूसरे क्रम के समीकरण को रोकते।
वेक्टर-पोटेंशियल कपलिंग (Vector-Potential Coupling): $\Psi_\alpha$ के लिए परिणामी समीकरण एक श्रोडिंगर-प्रकार के समीकरण का रूप लेता है जिसमें लैपलेसियन के साथ एक वेक्टर पोटेंशियल $A_\alpha$ जुड़ा हुआ है, जो चुंबकीय श्रोडिंगर ऑपरेटर के समान है लेकिन एक विद्युत चुम्बकीय क्षमता के बजाय एक वास्तविक, स्व-सुसंगत प्रवाह क्षमता (self-consistent flow potential) के साथ।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

A. संपीड्य NS का सटीक पुनर्गठन

यह शोध पत्र सम्पीड्य आइसोथर्मल नेवियर-स्टोक्स प्रवाह के लिए पहला सटीक कोले-हॉफ-प्रकार का पुनर्गठन प्रदान करता है। सिस्टम को $(\rho, u)$ से तीन आयाम चरों में परिवर्तित किया जाता है:

$\Theta$ (संपीदित आयाम): एक स्व-सुसंगत स्केलर पोटेंशियल के साथ हीट/इमेजिनरी-टाइम श्रोडिंगर समीकरण का पालन करता है।
$\Xi$ (भंवर आयाम 2D में) / $\vartheta_j$ (वेक्टर स्ट्रीमफंक्शन 3D में): गैर-रैखिक विभवों के साथ हीट-प्रकार के समीकरणों का पालन करते हैं। 3D में, यह ओहकितानी के असंपीड्य वेक्टर-पोटेंशियल फॉर्मूलेशन को संपीड्य मामले तक विस्तारित करता है।
$\Psi_\alpha$ (घनत्व-वाहक आयाम): एक वेक्टर-पोटेंशियल-कपल्ड श्रोडिंगर-प्रकार का समीकरण संतुष्ट करता है:
$\partial_t \Psi_\alpha = D_\alpha (\nabla + A_\alpha)^2 \Psi_\alpha + V_\alpha^{(v)} \Psi_\alpha$
जहाँ $A_\alpha$ प्रवाह वेग से प्राप्त एक वास्तविक वेक्टर पोटेंशियल है, और $V_\alpha^{(v)}$ एक स्व-सुसंगत विभव है।

B. संरचनात्मक अंतर्दृष्टि (Structural Insights)

ऑपरेटर अपघटन (Operator Decomposition): रूपांतरण स्पष्ट रूप से संपीड़ित, भंवर और घनत्व-वाहक डिग्री ऑफ फ्रीडम को अलग करता है।
नॉनलोकैलिटी (Nonlocality): सिस्टम केवल हेल्महोल्ट्ज़ और पॉइसन प्रोजेक्शन (फोर्सिंग टर्म्स $\Phi_F, \Psi_F$ को पुनर्गठित करने के लिए आवश्यक) के माध्यम से नॉनलोकल रहता है, लेकिन विकास समीकरण स्वयं स्थानीय विभेदक ऑपरेटर (local differential operators) हैं।
इमेजिनरी-टाइम प्रकृति: यूनिटरी क्वांटम हाइड्रोडायनामिक्स (जैसे मैड्यूलिंग) के विपरीत, ये इमेजिनरी-टाइम हीट या ड्रिफ्ट-डिफ्यूजन समीकरण हैं, जो श्यानता (viscosity) की विसरित प्रकृति को दर्शाते हैं।

C. MHD तक विस्तार

परिशिष्ट B में, लेखक सम्पीड्य मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स (MHD) के लिए ढांचे को विस्तारित करते हैं, चुंबकीय वेक्टर पोटेंशियल के लिए समान रूपांतरण व्युत्पन्न करते हैं और दिखाते हैं कि कैसे लोरेन्ज़ बल सोलेनोइडल फोर्सिंग को संशोधित करता है।

D. अवरोध का प्रमाण (Proof of Obstruction)

लेखक (परिशिष्ट C में) कठोरता से सिद्ध करते हैं कि एक शुद्ध घनत्व-मात्र रूपांतरण (जैसे $R = \rho^\alpha$ ) एक बंद दूसरे क्रम के श्रोडिंगर-प्रकार के समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकता है। निरंतरता समीकरण स्वाभाविक रूप से प्रथम-क्रम के ट्रांसपोर्ट टर्म उत्पन्न करता है जिन्हें संपीड़ित क्षमता $\Theta$ के साथ युग्मित किए बिना समाप्त नहीं किया जा सकता है।

4. परिणाम और सत्यापन (Results and Validation)

संख्यात्मक सत्यापन: लेखकों ने dedalus स्पेक्ट्रल फ्रेमवर्क का उपयोग करके एक केल्विन-हेल्महोत्ज़ अस्थिरता (KHI) शियर लेयर के प्रत्यक्ष संपीड्य NS सिमुलेशन के विरुद्ध रूपांतरित 2D सिस्टम को सत्यापित किया।
- सटीकता: $t/t_{sh} = 10.0$ (10 शियर टर्नओवर समय) पर, घनत्व के लिए सापेक्ष $L_2$ त्रुटियां $1.05 \times 10^{-5}$ और वेग के लिए $5.42 \times 10^{-6}$ थीं।
- फेज अलाइनमेंट: पुनर्गठित भंवर क्षेत्रों (vorticity fields) ने प्रत्यक्ष सिमुलेशन की तुलना में कोई फेज ड्रिफ्ट नहीं दिखाया।
- संरक्षण (Conservation): वैश्विक संवेग और मुक्त ऊर्जा डायग्नोस्टिक्स मशीन परिशुद्धता ( $10^{-9}$ से $10^{-10}$ ) के भीतर प्रत्यक्ष सिमुलेशन से मेल खाते हैं।
ज्यामितीय पृथक्करण: विज़ुअलाइज़ेशन (चित्र 2) ने प्रदर्शित किया कि रूपांतरित चर प्रवाह विशेषताओं को प्रभावी ढंग से अलग करते हैं: $\chi = \ln \Xi$ भंवर शियर लेयर्स को ट्रैक करता है, जबकि $\tau = \ln \Theta$ और $\ln \Psi_\alpha$ बड़े पैमाने के संपीड़ित और घनत्व-युग्मित संरचनाओं को कैप्चर करते हैं।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

क्वांटम कंप्यूटिंग प्रासंगिकता: हालांकि लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि यह क्वांटम स्पीडअप का दावा नहीं है, यह पुनर्गठन गैर-रैखिक PDEs को ऐसे रूप में मैप करता है जिसमें रैखिक ऑपरेटरों (हीट/श्रोडिंगर) को गैर-रैखिक विभवों के साथ जोड़ा गया है। यह संरचना ऑपरेटर इवोल्यूशन के लिए क्वांटम एल्गोरिदम के लिए संभावित रूप से अनुकूल है, बशर्ते कि स्टेट प्रिपरेशन, नॉनलोकल प्रोजेक्शन और पॉजिटिविटी बाधाओं जैसी चुनौतियों का समाधान किया जाए।
रिड्यूस्ड-ऑर्डर मॉडलिंग: यह फॉर्मूलेशन विशिष्ट ऑपरेटर संरचनाओं ( $L_\Theta, L_\Xi, L_{\Psi_\alpha}$ ) को उजागर करता है जो रिड्यूस्ड-ऑर्डर मॉडल के लिए एडेप्टिव बेस के रूप में कार्य कर सकते हैं, जो संभवतः मानक फूरियर या POD मोड की तुलना में अधिक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व प्रदान कर सकते हैं।
सैद्धांतिक भौतिकी: यह संपीड्य विक्षोभ (turbulence) के लिए एक नया सटीक परिवर्तन चर प्रदान करता है, जो नियमितता मानदंडों (regularity criteria) और संपीड्यता एवं भंवर (vorticity) के बीच परस्पर क्रिया पर एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है।
सीमाएँ: विधि के लिए आयामों ( $\Theta, \Xi, \Psi_\alpha$ ) का धनात्मक रहना आवश्यक है (संख्यात्मक स्थिरता के लिए एक बाधा), यह आइसोथर्मल इक्वेशन ऑफ स्टेट को मानती है, और इसमें नॉनलोकल पॉइसन समाधानों पर निर्भरता है जो कम्प्यूटेशनल रूप से महंगे हो सकते हैं।

संक्षेप में, यह कार्य जटिल, गैर-रैखिक संपीड्य द्रव गतिशीलता के लिए कोले-हॉफ रूपांतरण को सफलतापूर्वक सामान्य करता है, जिससे शास्त्रीय हाइड्रोडायनामिक्स और श्रोडिंगर-प्रकार के फॉर्मलिज्म के बीच एक गणितीय रूप से सटीक सेतु बनता है।