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Galilean boost invariance does not survive the trace: symmetry breaking in open quantum systems

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक गैलिलियन-अपरिवर्तनीय (Galilean-invariant) कैलडेरा-लेगेट (Caldeira-Leggett) परिवेश को ट्रेस आउट करना, फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन प्रमेय (fluctuation-dissipation theorem) से जुड़े विपरित (dissipative) पदों के कारण, ओपन क्वांटम सिस्टम की न्यूनीकरण वाली गतिशीलता (reduced dynamics) में गैलिलियन बूस्ट कोवेरियन्स (Galilean boost covariance) को अनिवार्य रूप से तोड़ देता है, जबकि स्थानिक अनुवाद (spatial translations) और घूर्णन (rotations) अक्षुण्ण रहते हैं।

मूल लेखक: Leonardo F. Calderón, Esteban Marulanda, Santiago Morales, Leonardo A. Pachón

प्रकाशित 2026-05-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Leonardo F. Calderón, Esteban Marulanda, Santiago Morales, Leonardo A. Pachón

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक पूरी तरह से कोरियोग्राफ किए गए नृत्य को देख रहे हैं। इस नृत्य में, भौतिकी के नियम कहते हैं कि यदि आप और सभी नर्तक एक समान गति (एक "गैलीलियन बूस्ट") से एक साथ चलना शुरू करते हैं, तो नृत्य बिल्कुल वैसा ही दिखना चाहिए। कदम, लय और नर्तकों के बीच के संबंध नहीं बदलने चाहिए, चाहे आपने उनके साथ दौड़ने का निर्णय ही क्यों न लिया हो।

यह शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि क्या होता है जब एक नर्तक गुप्त रूप से अदृश्य लोगों (वातावरण या "बाथ") की एक भीड़ का हाथ थामे होता है जो उन्हें खींच रहे होते हैं।

यहाँ इस खोज का विवरण दिया गया है, सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए:

1. सेटअप: आदर्श नृत्य और भीड़

वैज्ञानिकों ने एक विशिष्ट मॉडल (कैल्डेरा-लेगेट मॉडल) का अध्ययन किया जहाँ एक एकल कण (सिस्टम) कई सूक्ष्म ऑसिलेटर्स (वातावरण) के साथ परस्पर क्रिया करता है।

पूरी तस्वीर: जब आप नर्तक और अदृश्य भीड़ दोनों को एक साथ देखते हैं, तो नृत्य पूरी तरह से सममित (symmetrical) होता है। यदि आप पूरे कमरे की गति बढ़ा देते हैं, तो भौतिकी कायम रहती है। भीड़ और नर्तक पूर्ण सामंजस्य में चलते हैं।
समस्या: वास्तविक दुनिया में, हम आमतौर पर अदृश्य भीड़ को नहीं देख पाते हैं। हम केवल नर्तक को देखते हैं। नर्तक का अध्ययन करने के लिए, हमें भीड़ को "ट्रेस आउट" (अनदेखा) करना पड़ता है।

2. खोज: जब आप नज़र हटाते हैं तो नृत्य टूट जाता है

शोध पत्र पूछता है: यदि हम भीड़ को समीकरण से हटा दें और केवल नर्तक को देखें, तो क्या नृत्य अभी भी वैसा ही दिखेगा यदि हम गति बढ़ा दें?

उत्तर है: नहीं।

जब आप समीकरण से भीड़ को हटा देते हैं, तो समरूपता (symmetry) टूट जाती है। नर्तक का व्यवहार इस बात पर निर्भर करता है कि आप उनके सापेक्ष कितनी तेजी से चल रहे हैं।

क्या समान रहता है: यदि आप केवल नर्तक को किसी अलग स्थान पर ले जाते हैं (अनुवाद/translation) या उन्हें घुमाते हैं (घूर्णन/rotation), तो नृत्य सामान्य दिखता है।
क्या टूट जाता है: यदि आप पूरे दृश्य की गति बढ़ाने की कोशिश करते हैं (एक "बूस्ट"), तो नर्तक की गति का वर्णन करने वाले गणित के नियम मूल नृत्य के नियमों से मेल नहीं खाते।

3. अपराधी: "घर्षण" (Friction) पद

लेखकों ने केवल यह नहीं कहा कि "यह टूट जाता है"; उन्होंने यह भी खोजा कि गणित का कौन सा हिस्सा इसके लिए जिम्मेदार है। उन्होंने नर्तक की गति को नियंत्रित करने वाले समीकरण (मास्टर इक्वेशन) को देखा और इसमें चार मुख्य तत्व पाए:

संगीत (हैमिल्टोनियन): वह ऊर्जा जो नृत्य को संचालित करती है।
लहरें (डिफ्यूजन): स्थिति और संवेग (momentum) में यादृच्छिक कंपन।
मंदता (डैम्पिंग/डिसिपेशन): वह घर्षण जो नर्तक को धीमा करता है।

ब्रेकर (तोड़ने वाला): समरूपता का टूटना केवल मंदता (डिसिपेशन) वाले भाग में होता है।
इसे इस तरह समझें: "घर्षण" जो नर्तक को धीमा करता है, वह अदृश्य भीड़ द्वारा नर्तक को खींचने के कारण होता है। जब आप दृश्य की गति बढ़ाते हैं, तो भीड़ से मिलने वाला "खिंचाव" नर्तक के अपने संवेग की तरह व्यवहार नहीं करता है। गणित प्रकट करता है कि "घर्षण" वाला पद एक ऐसा बेमेल (mismatch) पैदा करता है जो अन्य पदों में नहीं होता।

4. "नो-गो" नियम: आप सब कुछ नहीं पा सकते

यह शोध पत्र एक सख्त समझौते को स्थापित करता है, जैसे कि तीन-तरफा रस्साकशी जहाँ आप केवल दो ही जीत सकते हैं:

गैलीलियन इनवेरिएंस (Galilean Invariance): वह नियम कि भौतिकी किसी भी स्थिर गति पर समान दिखती है।
फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन थ्योरम (FDT): ऊष्मागतिकी का एक मौलिक नियम जो कहता है कि यदि घर्षण (डैम्पिंग) है, तो गर्मी के कारण होने वाले यादृच्छिक कंपन (fluctuations) भी होने चाहिए।
रिड्यूस्ड कोवेरिएंस (Reduced Covariance): यह विचार कि अकेले नर्तक उसी समरूपता नियमों का पालन करता है जो पूरे समूह का है।

फैसला: यदि आपके पास एक वास्तविक वातावरण है जहाँ नर्तक घर्षण (डैम्पिंग) और गर्मी (fluctuations) महसूस करता है, तो आप यह नहीं कर सकते कि अकेला नर्तक समूह के समरूपता नियमों का पालन करे। शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप समरूपता को बनाए रखने की कोशिश करते हैं, तो आप ऊष्मागतिकी के नियमों (FDT) को तोड़ देते हैं। यदि आप ऊष्मागतिकी के नियमों को बनाए रखते हैं, तो समरूपता टूट जाती है।

5. यह कब मायने रखता है? (तापमान का पैमाना)

शोध पत्र यह देखने के लिए एक "स्कोर" की गणना करता है कि समरूपता टूटने का प्रभाव कितना बुरा है। यह स्कोर क्वांटम प्रभावों और गर्मी के अनुपात ( $\hbar\gamma / k_B T$ ) पर निर्भर करता है।

कमरे का तापमान (शांत क्षेत्र): कमरे के तापमान पर लेविटेड नैनोपार्टिकल जैसी बड़ी वस्तुओं के लिए, स्कोर बहुत कम ( $10^{-10}$ ) होता है। समरूपता का टूटना इतना सूक्ष्म है कि यह मायने नहीं रखता। नृत्य एकदम सही दिखता है।
अति-शीत अवस्था (शोर वाला क्षेत्र): ऑप्टिकल लैटिस में ठंडे परमाणुओं या अति-शीत अणुओं जैसी चीजों के लिए, यह स्कोर बहुत अधिक ( $10^{-1}$ ) होता है। यहाँ, समरूपता का टूटना महत्वपूर्ण है। यदि आप इन ठंडे परमाणुओं के साथ उच्च-परिशुद्धता वाले प्रयोग कर रहे हैं, तो आप इस तथ्य को अनदेखा नहीं कर सकते कि "घर्षण" समरूपता को तोड़ देता है।

6. बाहर निकलने का एक ही रास्ता: "स्क्वीजिंग" (Squeezing) बचाव

शोध पत्र इस समस्या को ठीक करने के लिए एक विशिष्ट तकनीक का उल्लेख करता है: पैरामीट्रिक ड्राइविंग (Parametric Driving)।
कल्पना कीजिए कि नर्तक को एक बाहरी बल द्वारा लयबद्ध रूप से दबाया और खींचा जा रहा है (जैसे एक मेट्रोनोम जो ताल को तेज और धीमा करता है)।

यदि आप सिस्टम को पर्याप्त तेजी से "स्क्वीज़" (दबाते) करते हैं, तो यह वास्तव में थोड़े समय के लिए समरूपता-तोड़ने वाले प्रभाव को दबा सकता है।
दिलचस्प बात यह है कि यही "स्क्वीजिंग" वह है जो गर्म वातावरण में क्वांटम एंटैंगलमेंट को जीवित रहने में मदद करती है। इसलिए, वह स्थिति जो "क्वांटम संबंध" को बचाती है, वही संयोग से अस्थायी रूप से "समरूपता के टूटने" को भी ठीक कर देती है।

सारांश

सरल शब्दों में: आप अपने वातावरण से एक क्वांटम सिस्टम को पूरी तरह से अलग नहीं कर सकते बिना भौतिकी की एक मौलिक समरूपता को खोए।

यदि एक कण एक "बाथ" (जैसे हवा या थर्मल फील्ड) के साथ इस तरह से परस्पर क्रिया कर रहा है जिससे घर्षण और गर्मी उत्पन्न होती है, तो उस कण के लिए भौतिकी के नियम इस बात पर भिन्न दिखेंगे कि आप एक स्थिर गति से चल रहे हैं या स्थिर खड़े हैं। "घर्षण" वह विशिष्ट अपराधी है जो समरूपता को बिगाड़ देता है। यह गणित की कोई त्रुटि नहीं है; यह एक मौलिक विशेषता है कि ओपन क्वांटम सिस्टम कैसे काम करते हैं।

यहाँ कैल्डरोन (Calderón) और अन्य द्वारा लिखित शोध पत्र "Galilean boost invariance does not survive the trace: symmetry breaking in open quantum systems" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र ओपन क्वांटम सिस्टम्स (open quantum systems) के एक मौलिक प्रश्न को संबोधित करता है: क्या आंशिक ट्रेस (partial trace) लेने पर गैलीलियन बूस्ट कोवेरियेंस (Galilean boost covariance) सुरक्षित रहता है?

संदर्भ: जबकि वैश्विक सममिति (जैसे स्थानिक अनुवाद और घूर्णन) अक्सर एक संयुक्त निकाय (सिस्टम + एनवायरनमेंट) से एक संक्षिप्त निकाय (reduced system) में परिवर्तन के दौरान बनी रहती हैं, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या गैलीलियन बूस्ट (एक स्थिर सापेक्ष वेग से चलने वाले जड़त्वीय ढांचों के बीच रूपांतरण) संरक्षित रहते हैं।
द्वंद्व: पूर्व साहित्य (जैसे होलेवो, गैसबार्री आदि) ने उन गतिक मानचित्रों (dynamical maps) की संरचना को वर्णित किया है जो गैलीलियन कोवेरियेंस को मानते हैं। हालाँकि, इन कार्यों ने इस बात का कठोर परीक्षण नहीं किया कि क्या एक सूक्ष्म, गैलीलियन-इनवेरिएंट मॉडल से एनवायरनमेंट को ट्रेस आउट करने पर ऐसी कोवेरियेंस उभर सकती है।
मुख्य प्रश्न: यदि एक सिस्टम, एक गैलीलियन-इनवेरिएंट एनवायरनमेंट (विशेष रूप से कैलडेरा-लेगेट बाथ) के साथ अंतःक्रिया करता है, तो क्या परिणामी रिड्यूस्ड मास्टर इक्वेशन बूस्ट कोवेरिएंट रहती है? यदि नहीं, तो कौन सा विशिष्ट ऑपरेटर टर्म इस सिमेट्री ब्रेकिंग (सममिति भंग) का कारण बनता है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक कैलडेरा-लेगेट मॉडल के ढांचे के भीतर एक कठोर ऑपरेटर-स्तरीय विश्लेषण का उपयोग करते हैं, जो द्विघाती सिस्टम-बाथ कपलिंग (quadratic system-bath couplings) का मानक प्रतिमान है।

मॉडल सेटअप:
- एक सिस्टम कण ( $M_S$ ) जो $N$ बाथ ऑसिलेटर्स ( $m_n, \omega_n$ ) से जुड़ा है।
- अंतःक्रिया केवल समन्वय अंतरों $(q_0 - q_n)$ पर निर्भर करती है, जो यह सुनिश्चित करती है कि पूर्ण लैग्रेंजियन स्पष्ट रूप से गैलीलियन इनवेरिएंट है।
- सिस्टम एक बाहरी विभव (harmonic या general) के अधीन है।
रिड्यूस्ड डायनेमिक्स का व्युत्पत्ति (Derivation):
- लेखक हु-पाज़-झांग (Hu–Paz–Zhang - HPZ) मास्टर इक्वेशन का उपयोग करते हैं, जो बिना मार्कोवियन सन्निकटन (Markovian approximations) के रिड्यूस्ड डेंसिटी मैट्रिक्स $\hat{\rho}_S$ का वर्णन करती है।
- वे इस मास्टर इक्वेशन का विश्लेषण एक गैलीलियन बूस्ट यूनिटरी ऑपरेटर $\hat{U}_g = \exp(i \mathbf{u} \cdot \hat{G}_S)$ के तहत करते हैं, जहाँ $\hat{G}_S$ सिस्टम का बूस्ट जनरेटर है।
सममिति विश्लेषण (Symmetry Analysis):
- लेखक HPZ समीकरण को चार अलग-अलग ऑपरेटर संरचनाओं में विभाजित करते हैं:
  1. यूनिटरी इवोल्यूशन (हैमिल्टोनियन)।
  2. एनोमलस डिफ्यूजन (मिश्रित कम्यूटेटर)।
  3. नॉर्मल डिफ्यूजन (डबल कम्यूटेटर)।
  4. डिसिपेशन (कम्यूटेटर-एंटीकम्यूटेटर)।
- वे बूस्ट ट्रांसफॉर्मेशन के तहत प्रत्येक टर्म का व्यक्तिगत रूप से कोवेरियेंस परीक्षण करते हैं।
गैर-द्विघाती व्यवस्थाओं में विस्तार (Extension to Non-Quadratic Regimes):
- वे द्विघाती विभवों से परे विश्लेषण का विस्तार करने के लिए इन्फ्लुएंस फंक्शनल के स्टोकेस्टिक अपघटन (stochastic decomposition) का उपयोग करते हैं, जिसमें रिड्यूस्ड डायनेमिक्स को शोर (noise) के वास्तविकताओं के स्टोकेस्टिक औसत के रूप में माना जाता है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. सिमेट्री-ब्रेकिंग टर्म की पहचान

केंद्रीय निष्कर्ष यह है कि गैलीलियन बूस्ट इनवेरिएंस, रिड्यूस्ड डायनेमिक्स में टूट जाता है, और यह उल्लंघन पूरी तरह से डिसिपेटिव एंटीकम्यूटेटर टर्म में केंद्रित है।

तंत्र (Mechanism): एक बूस्ट के तहत, मोमेंटम ऑपरेटर एक c-नंबर द्वारा शिफ्ट होता है ( $\hat{P} \to \hat{P} - M_S \mathbf{u}$ $\hat{P} \to \hat{P} - M_{S} u$ )।
- हैमिल्टोनियन, एनोमलस डिफ्यूजन और नॉर्मल डिफ्यूजन टर्म कोवेरिएंट रूप से रूपांतरित होते हैं (नेस्टेड कम्यूटेटर्स के भीतर c-नंबर शिफ्ट शून्य हो जाते हैं या टाइम-डेरिवेटिव टर्म्स द्वारा रद्द हो जाते हैं)।
- डिसिपेटिव टर्म (जो $\Gamma(t)f(t)$ के समानुपाती है) एक एंटीकम्यूटेटर $\{ \hat{P}, \hat{\rho} \}$ को शामिल करता है। $\hat{P}$ का शिफ्ट एक गैर-शून्य क्रॉस-टर्म उत्पन्न करता है:
  $\frac{d\hat{\rho}'_S}{dt} = \hat{L}_t \hat{\rho}'_S + 2i M_S \Gamma(t)f(t) \mathbf{u} \cdot [\hat{R}_S, \hat{\rho}'_S]$
निष्कर्ष: मास्टर इक्वेशन बूस्ट-इनवेरिएंट नहीं है जब तक कि डैम्पिंग कोएफिशिएंट $\Gamma(t)f(t)$ शून्य न हो।

B. द्विपद कपलिंग के लिए "नो-गो" प्रमेय (The "No-Go" Theorem for Bilinear Coupling)

यह शोध पत्र द्विपद रूप से जुड़े (bilinearly coupled) सिस्टम्स में तीन स्थितियों के बीच एक सख्त असंगतता स्थापित करता है:

सूक्ष्म मॉडल की गैलीलियन इनवेरिएंस।
तापीय संतुलन में फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन थ्योरम (FDT)।
रिड्यूस्ड बूस्ट कोवेरियेंस।

तर्क श्रृंखला:

गैलीलियन इनवेरिएंस के लिए आवश्यक है कि अंतःक्रिया सापेक्ष निर्देशांकों (relative coordinates) पर निर्भर करे।
यह कपलिंग संरचना मजबूर करती है कि सिस्टम हैमिल्टोनियन अंतःक्रिया के साथ कम्यूट न करे ( $[\hat{H}_S, \hat{V}_{int}] \neq 0$ ), जिसके लिए मोमेंटम एक्सचेंज करने हेतु एक गैर-शून्य डिसिपेटिव चैनल ( $\Gamma(t)f(t) \neq 0$ ) आवश्यक है।
FDT, डिसिपेटिव कोएफिशिएंट ( $\Gamma f$ ) को बाथ के एब्जॉर्प्टिव स्पेक्ट्रल डेंसिटी के माध्यम से डिफ्यूसिव कोएफिशिएंट ( $\Gamma h$ ) से जोड़ता है।
इसलिए, आप FDT का उल्लंघन किए बिना या मोमेंटम-एक्सचेंज चैनल को पूरी तरह समाप्त किए बिना बूस्ट-ब्रेकिंग टर्म ( $\Gamma f$ ) को दबा नहीं सकते।

C. वैधता का मात्रात्मक क्षेत्र (Quantitative Regime of Validity)

लेखक सिमेट्री ब्रेकिंग के परिमाण को नियंत्रित करने वाले एक आयामहीन पैरामीटर को परिभाषित करते हैं:
$\eta = \frac{\hbar \gamma}{k_B T}$

मैक्रोस्कोपिक/उच्च-T सीमा: कमरे के तापमान पर विशिष्ट ऑप्टोमैकेनिकल सिस्टम्स के लिए, $\eta \sim 10^{-10}$ है। यहाँ, बूस्ट-ब्रेकिंग नगण्य है, और कोवेरिएंट मैप्स उत्कृष्ट सन्निकटन (approximations) हैं।
क्वांटम/कोल्ड सीमा: कोल्ड एटम्स और अल्ट्राकोल्ड मॉलिक्यूल्स के लिए, $\eta \sim 10^{-1}$ है। इस शासन में, सिमेट्री ब्रेकिंग महत्वपूर्ण है। कोवेरिएंट मैप्स डिसिपेटिव सेक्टर को पकड़ने में विफल रहते हैं, जिससे मैक्रोस्कोपिसिटी मापों के दीर्घकालिक अनुमानों में त्रुटियां आती हैं।

D. द्विघाती विभवों से परे सामान्यीकरण

इन्फ्लुएंस फंक्शनल के स्टोकेस्टिक अपघटन का उपयोग करते हुए, लेखक तर्क देते हैं कि बूस्ट-वाइलेशन तंत्र केवल द्विघाती सिस्टम्स तक सीमित नहीं है।

किसी भी विभव $V(\hat{x})$ के लिए, डिसिपेटिव सेक्टर (स्टोकेस्टिक नॉइज़) उल्लंघन को वहन करता है।
फ्रिक्शन कर्नेल (friction kernel) का काल्पनिक भाग स्टोकेस्टिक श्रोडिंगर समीकरणों में एक असममित फेज वेटिंग (asymmetric phase weighting) पेश करता है जो एनसेम्बल औसत (ensemble average) में जीवित रहता है, जिससे कोवेरियेंस बाधित होती है।

E. पैरामीट्रिक ड्राइविंग एक "एक-दिशीय" पलायन के रूप में

शोध पत्र यह जांचता है कि क्या बाहरी ड्राइविंग कोवेरियेंस को बहाल कर सकता है।

परिणाम: पैरामीट्रिक ड्राइविंग (स्क्वीजिंग) बूस्ट-ब्रेकिंग डायनेमिक्स को दबा सकती है यदि स्क्वीजिंग दर $\mu$ इस प्रकार हो कि $\mu \gtrsim \hbar \gamma^2 / k_B T$ हो।
निहितार्थ: यह स्थिति अक्सर उन रेजीमों में पूरी होती है जहाँ नॉन-इक्विलिब्रियम एंटैंगलमेंट संरक्षित रहता है। अतः, वे सिस्टम जो मजबूत स्टेडी-स्टेट एंटैंगलमेंट प्रदर्शित करते हैं, प्रभावी रूप से बहाल बूस्ट कोवेरियेंस प्रदर्शित कर सकते हैं, हालांकि यह एक पर्याप्त (sufficient) शर्त है, आवश्यक (necessary) नहीं।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

मौलिक भौतिकी (Foundational Physics): यह कार्य ओपन सिस्टम्स में स्पेस-टाइम सिमेट्री के अस्तित्व के संबंध में लंबे समय से चली आ रही अस्पष्टता को हल करता है। यह सिद्ध करता है कि डिसिपेशन ही गैलीलियन सिमेट्री ब्रेकिंग का भौतिक चालक है।
प्रभावी सिद्धांतों की सीमाएं (Limitations of Effective Theories): यह "कोवेरिएंट मास्टर इक्वेशन्स" (जिनका उपयोग अक्सर कोलैप्स मॉडल्स और मैक्रोस्कोपिसिटी टेस्ट में किया जाता है) के उपयोग पर सख्त सीमाएं लगाता है। ये मॉडल केवल तभी वैध सन्निकटन हैं जब डिसिपेशन, डिकोहेरेंस की तुलना में नगण्य हो ( $t \ll \gamma^{-1}$ ) या जब सिस्टम उच्च-तापमान सीमा में हो।
प्रायोगिक प्रासंगिकता (Experimental Relevance): शोध पत्र उन विशिष्ट प्रयोगात्मक प्लेटफार्मों (कोल्ड एटम्स, अल्ट्राकोल्ड मॉलिक्यूल्स) की पहचान करता है जहाँ बूस्ट कोवेरियेंस का टूटना मापने योग्य है। यह फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन थ्योरम और क्वांटम बाथ में मोमेंटम एक्सचेंज की प्रकृति के लिए एक नया ऑपरेशनल टेस्ट प्रदान करता है।
ऊष्मागतिकी संबंध (Thermodynamics Connection): यह परिणाम सिमेट्री विश्लेषण को सीधे क्वांटम थर्मोडायनामिक्स से जोड़ता है, यह दिखाते हुए कि रिड्यूस्ड विवरण में गैलीलियन इनवेरिएंस बनाए रखने की "कीमत" FDT का उल्लंघन या डिसिपेशन का नुकसान है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि द्विपद रूप से जुड़े (bilinearly coupled) ओपन क्वांटम सिस्टम्स के रिड्यूस्ड डायनेमिक्स में गैलीलियन बूस्ट इनवेरिएंस और डिसिपेशन परस्पर अनन्य (mutually exclusive) हैं। एक गैलीलियन-इनवेरिएंट एनवायरनमेंट पर आंशिक ट्रेस लेना अनिवार्य रूप से बूस्ट कोवेरियेंस को तोड़ देता है, और यह उल्लंघन सीधे मोमेंटम डैम्पिंग रेट के साथ स्केल करता है।