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High-Girth Regular Quantum LDPC Codes from Square-Base Hypergraph Products via CPM Lifts

यह शोध पत्र वर्गाकार-आधारित हाइपरग्राफ उत्पाद कोडों के एक वर्ग को प्रस्तुत करता है जो उच्च जाली (गर्थ) और नियमितता प्राप्त करते हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि एक विशिष्ट CPM-लिफ्टेड उदाहरण के माध्यम से ऐसे कोड डिपोलराइजिंग शोर के तहत असाधारण त्रुटि-सुधार प्रदर्शन प्रदर्शित कर सकते हैं।

मूल लेखक: Koki Okada, Kenta Kasai

प्रकाशित 2026-05-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Koki Okada, Kenta Kasai

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक अत्यंत शक्तिशाली, स्वयं की मरम्मत करने वाला डिजिटल वॉल्ट (तिजोरी) बनाने की कोशिश कर रहे हैं। इस तिजोरी को गुप्त जानकारी (क्वांटम डेटा) को संग्रहीत करने की आवश्यकता है जो अविश्वसनीय रूप से नाजुक है और शोर (noise) से आसानी से खराब हो सकती है, जैसे तूफान में एक फुसफुसाहट। इसे सुरक्षित करने के लिए, आपको गणितीय नियमों से बनी एक "जाल" (net) की आवश्यकता है जो डेटा को नष्ट होने से पहले त्रुटियों को पकड़ सके। यही क्वांटम LDPC कोड्स हैं: डिजिटल शोर को पकड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया एक परिष्कृत जाल।

यह शोध पत्र एक विशेष, बहुत शक्तिशाली प्रकार का जाल डिजाइन करने के बारे में है, जिसे स्क्वायर-बेस हाइपरग्राफ प्रोडक्ट (Square-Base Hypergraph Product) नामक एक चतुर निर्माण पद्धति का उपयोग करके बनाया गया है। यहाँ इसका रोजमर्रा की भाषा में विवरण दिया गया है:

1. ब्लूप्रिंट: "बेस मैट्रिक्स" (The Base Matrix)

इस कोड को एक विशाल इमारत के रूप में सोचें। पूरी इमारत को शून्य से डिजाइन करने के बजाय, लेखक एक छोटे, आदर्श ब्लूप्रिंट (जिसे बेस मैट्रिक्स कहा जाता है) से शुरुआत करते हैं।

ग्रिड: यह ब्लूप्रिंट 1s और 0s का एक वर्गाकार ग्रिड है।
नियम: लेखकों ने इस ग्रिड के लिए विशिष्ट नियम खोजे हैं:
- प्रत्येक पंक्ति (row) और कॉलम में 1s की संख्या समान होनी चाहिए (जैसे एक होटल के हर कमरे में खिड़कियों की संख्या समान होना)।
- ग्रिड को कुछ निश्चित "छोटे लूपों" (short loops) से बचना चाहिए। कल्पना कीजिए कि आप इमारत में घूम रहे हैं; आप नहीं चाहेंगे कि आप ऐसे शॉर्टकट लें जो आपको बहुत जल्दी वापस वहीं ले आए जहाँ से आपने शुरू किया था, क्योंकि ऐसे शॉर्टकट उन कमजोर स्थानों को बनाते हैं जहाँ त्रुटियाँ छिप सकती हैं।
- ग्रिड में एक विशिष्ट "छिपी हुई गहराई" (गणितीय रूप से जिसे कोरैंक/corank कहा जाता है) होनी चाहिए ताकि तिजोरी वास्तव में डेटा स्टोर कर सके।

2. विस्तार: "CPM लिफ्ट" (The CPM Lift - फोटोकॉपीयर)

एक बार जब उनके पास एक छोटा, आदर्श ब्लूप्रिंट आ जाता है, तो वे इसे एक विशाल कोड में विस्तारित करने के लिए CPM लिफ्ट नामक एक गणितीय "फोटोकॉपीयर" का उपयोग करते हैं।

प्रक्रिया: वे छोटे ब्लूप्रिंट में मौजूद प्रत्येक "1" को 1s और 0s के एक पूरे नए, बड़े पैटर्न से बदल देते हैं।
परिणाम: यह एक छोटी 15x15 की ग्रिड को एक विशाल 28,800-बिट कोड में बदल देता है। यह ऐसा है जैसे एक जटिल टाइल पैटर्न को लेकर पूरे स्टेडियम के फर्श पर टाइल्स बिछा दी जाएं, यह सुनिश्चित करते हुए कि पैटर्न हर जगह पूरी तरह फिट बैठता है।

3. "अनिवार्य लूप" की समस्या (The Unavoidable Loop Problem)

यहाँ पेचीदा हिस्सा आता है। लेखकों ने एक गणितीय नियम की खोज की: क्योंकि इन क्वांटम कोड्स को काम करने के लिए एक विशेष तरीके से बनाया जाना चाहिए (एक नियम जिसे CSS ऑर्थोगोनैलिटी कहा जाता है), जाल में कुछ ऐसे "लूप" होते हैं जिन्हें हटाया नहीं जा सकता।

रूपक (Metaphor): कल्पना कीजिए कि आप एक बाड़ (fence) बना रहे हैं। आप चाहते हैं कि बाड़ में कोई छोटे छेद न हों। हालाँकि, भौतिक विज्ञान के नियम (इस मामले में क्वांटम गणित) आपको बाड़ के डिजाइन में एक विशिष्ट प्रकार के 8-चरणों वाले लूप रखने के लिए मजबूर करते हैं। आप इन लूपों को 8 चरणों से बड़ा नहीं बना सकते; आपको बस यह स्वीकार करना होगा कि 8 ही सबसे अच्छा विकल्प है।
निष्कर्ष: लेखकों ने सिद्ध किया कि उनके विशिष्ट डिजाइन के लिए, जाल में सबसे छोटा लूप ठीक 8 चरणों का है। उन्होंने दिखाया कि चाहे आप फोटोकॉपीयर की सेटिंग्स में कितना भी बदलाव क्यों न करें, आप इन 8-चरणों वाले लूपों को खत्म नहीं कर सकते।

4. परीक्षण: "तूफान का सिमुलेशन" (The Hurricane Simulation)

यह देखने के लिए कि क्या उनका कोड वास्तव में काम करता है, उन्होंने इसे एक विशाल "तूफान" (डिजिटल शोर, जिसे डिपोलराइजिंग चैनल कहा जाता है) के बीच एक बड़े तनाव परीक्षण (stress test) से गुजारा।

सेटअप: उन्होंने एक "डिपोलराइजिंग चैनल" नामक डिजिटल शोर के "तूफान" का अनुकरण किया जिसने उनके कोड पर प्रहार किया।
डिकोडर: उन्होंने त्रुटियों को खोजने के लिए एक स्मार्ट जासूस (बलीफ प्रोपेगेशन डिकोडर) का उपयोग किया। यदि जासूस फंस जाता, तो वे बचे हुए मलबे को ठीक करने के लिए एक "लाइट" रिपेयर टूल (OSD-lite) का उपयोग करते।
परिणाम: उन्होंने इस सिमुलेशन को 299 मिलियन बार (लगभग 300 मिलियन परीक्षण!) चलाया।
स्कोर: एक बहुत उच्च शोर स्तर (14% त्रुटि दर) पर, कोड डेटा को रिकवर करने में कभी विफल नहीं हुआ। वास्तव में, इसके विफल होने की सांख्यिकीय संभावना 1 करोड़ में 1 से भी कम है।

5. ट्रेड-ऑफ (The Trade-off)

शोध पत्र एक विशिष्ट ट्रेड-ऑफ नोट करता है:

"डिजाइन" दर: यदि आप कागज पर गणित को देखते हैं, तो कोड ऐसा दिखता है जैसे यह शून्य डेटा स्टोर करता है (रेट 0)।
"वास्तविक" दर: हालाँकि, ब्लूप्रिंट में "छिपी हुई गहराई" (कोरंक) के कारण, यह कोड वास्तव में डेटा स्टोर करता है (उनके सबसे बड़े उदाहरण में 62 बिट्स)।
उपमा: यह एक ऐसी इमारत की तरह है जो बाहर से खाली दिखती है, लेकिन अपनी चतुर आंतरिक वास्तुकला के कारण, इसमें वास्तव में 62 गुप्त कमरे हैं।

सारांश

लेखकों ने निम्नलिखित तरीकों से एक नए प्रकार का क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड बनाया:

एक छोटा, सटीक वर्गाकार ग्रिड डिजाइन किया।
एक गणितीय फोटोकॉपीयर का उपयोग करके इसे एक विशाल कोड में विस्तारित किया।
यह सिद्ध किया कि हालांकि कुछ छोटे लूप (8 चरण) अपरिहार्य हैं, फिर भी कोड अविश्वसनीय रूप से मजबूत है।
भारी शोर के खिलाफ इसका परीक्षण किया और दिखाया कि यह 299 मिलियन परीक्षणों में भी त्रुटिहीन रूप से काम करता है।

उन्होंने अभी तक यह आविष्कार नहीं किया है कि क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग कैसे किया जाए; उन्होंने बस उनके भीतर के डेटा के लिए एक बहुत बेहतर "सुरक्षा जाल" बनाया है।

यहाँ कोकी ओकाडा और केंटा कासाई के शोध पत्र "High-Girth Regular Quantum LDPC Codes from Square-Base Hypergraph Products via CPM Lifts" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र कैल्डरब्रैंड-शोर-स्टीन्स (CSS) फ्रेमवर्क के भीतर परिमित-लंबाई (finite-length), नियमित (regular), उच्च-गर्थ (high-girth) क्वांटम लो-डेंसिटी पैरिटी-चेक (QLDPC) कोड डिजाइन करने की चुनौती को संबोधित करता है।

बाधाएं: CSS कोड के लिए दो क्लासिकल पैरिटी-चेक मैट्रिसेस ( $H_X$ और $H_Z$ ) की आवश्यकता होती है जिन्हें कम्यूट (commute) करना चाहिए ( $H_X H_Z^T = 0$ )। यह ऑर्थोगोनैलिटी (orthogonality) बाधा, अनियमित क्लासिकल LDPC कोडों की तुलना में रो (row) और कॉलम डिग्री (नियमितता) और गर्थ (गिरे हुए चक्रों का अपवर्जन) को स्वतंत्र रूप से अनुकूलित करने की क्षमता को सीमित करती है।
अंतराल (The Gap): जबकि हाइपरग्राफ प्रोडक्ट (HGP) कोड सकारात्मक एसिम्प्टोटिक रेट वाले QLDPCs उत्पन्न करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करते हैं, परिमित-लंबाई के निर्माण अक्सर निम्नलिखित समस्याओं से ग्रस्त होते हैं:
1. कम गर्थ (Low Girth): छोटे चक्र (4-चक्र, 6-चक्र) बेलिफ प्रोपेगेशन (BP) डिकोडर्स के प्रदर्शन को खराब करते हैं।
2. शून्य डिज़ाइन रेट (Zero Design Rate): मानक वर्गाकार-आधारित (square-base) HGP निर्माण अक्सर शून्य डिज़ाइन रेट रखते हैं, जो लॉजिकल क्वबिट्स उत्पन्न करने के लिए रैंक डेफिशिएंसी (rank deficiencies) पर निर्भर करते हैं।
3. ऑर्थोगोनैलिटी-प्रेरित चक्र (Orthogonality-Forced Cycles): यह स्पष्ट नहीं है कि CSS ऑर्थोगोनैलिटी बाधा, CPM लिफ्ट्स के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती है ताकि विशिष्ट चक्र लंबाई को मजबूर किया जा सके, जिससे संभावित रूप से प्राप्त होने योग्य गर्थ (achievable girth) सीमित हो सकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक स्क्वायर-बेस हाइपरग्राफ प्रोडक्ट्स को CPM लिफ्ट्स के साथ संयोजित करने की एक निर्माण रणनीति प्रस्तावित करते हैं।

A. स्क्वायर-बेस HGP निर्माण

मनमानी क्लासिकल कोडिंग के बजाय, लेखक इनपुट को एक वर्ग बाइनरी बेस मैट्रिक्स $B \in \mathbb{F}_2^{s \times s}$ तक सीमित करते हैं।

निर्माण: CSS चेक मैट्रिसेस को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$H_X(B) = [B \otimes I_s \mid I_s \otimes B^T], \quad H_Z(B) = [I_s \otimes B \mid B^T \otimes I_s]$
नियमितता (Regularity): थ्योरम 2 सिद्ध करता है कि यदि $B$ एक $w$ -रेगुलर मैट्रिक्स है (सभी पंक्तियों और स्तंभों का भार $w$ है), तो परिणामी क्वांटम कोड $(w, 2w)$ -रेगुलर होता है।
लॉजिकल क्वबिट्स: लॉजिकल क्वबिट्स की संख्या $k$ , बेस मैट्रिक्स के कोरैंक ( $c_B$ ) द्वारा निर्धारित होती है: $k = 2c_B^2$ । डिज़ाइन रेट तकनीकी रूप से शून्य है ( $n = m_X + m_Z$ ), लेकिन वास्तविक दर रैंक डेफिशिएंसी के कारण सकारात्मक है।

B. शॉर्ट-साइकिल विश्लेषण और CPM लिफ्ट्स

लेखक विश्लेषण करते हैं कि CPM लिफ्ट्स (1s को $P \times P$ सर्कुलेंट परम्यूटेशन मैट्रिसेस से बदलना) टैनर ग्राफ गर्थ (Tanner graph girth) को कैसे प्रभावित करते हैं।

बेस गर्थ (Base Girth): वे स्थापित करते हैं कि यदि बेस मैट्रिक्स $B$ में कोई 4-चक्र या सरल 6-चक्र नहीं है, तो बेस HGP कोड इस गुण को विरासत में प्राप्त करता है।
ऑर्थोगोनैलिटी-प्रेरित 8-चक्र (Orthogonality-Forced 8-Cycles): एक प्रमुख सैद्धांतिक योगदान लेम्मा 4 और थ्योरम 5 है, जो यह सिद्ध करते हैं कि बेस मैट्रिक्स में विशिष्ट स्थानीय पैटर्न (जो CSS ऑर्थोगोनैलिटी से उत्पन्न होते हैं) चुने गए शिफ्ट मानों के बावजूद, प्रत्येक CPM लिफ्ट में टैनर 8-चक्रों के अस्तित्व को मजबूर करते हैं।
- निहितार्थ: इन विशिष्ट वर्गाकार-आधारित निर्माणों के लिए, टैनर गर्थ 8 से अधिक नहीं हो सकता। लिफ्ट का आकार $P$ बढ़ाने से इन 8-चक्रों को समाप्त नहीं किया जा सकता।
रैंक संरक्षण (Rank Preservation): थ्योरम 7 लिफ्टिंग के बाद लॉजिकल क्वबिट्स की संख्या के लिए एक निचली सीमा प्रदान करता है, यह दिखाते हुए कि $\hat{k} \geq k$ (बेस मान), जो यह सुनिश्चित करता है कि लिफ्टिंग लॉजिकल स्पेस को नष्ट नहीं करती है।

C. बेस मैट्रिक्स डिज़ाइन

लेखक विशिष्ट बेस मैट्रिसेस $B$ को डिजाइन करते हैं ताकि वे निम्नलिखित को संतुष्ट कर सकें:

नियमितता (Regularity): फिक्स्ड कॉलम वेट $w$ (इसके लिए $w=3$ और $w=4$ के लिए परीक्षण किया गया)।
गर्थ (Girth): 4-चक्रों और 6-चक्रों का अपवर्जन (फानो प्लेन को छोड़कर जिसमें 6-चक्र मौजूद हैं)।
कोरैंक (Corank): लॉजिकल क्वबिट्स बढ़ाने के लिए $c_B$ को अधिकतम करना।
कनेक्टिविटी (Connectivity): यह सुनिश्चित करना कि बेस टैनर ग्राफ कनेक्टेड है ताकि साधारण कोड डुप्लीकेशन से बचा जा सके।

वे फाइनाइट ज्योमेट्री संरचनाओं (फानो प्लेन, जनरलाइज्ड क्वाड्रैंगल्स $W(2), W(3)$ ) और कॉम्बिनेटोरियल संशोधनों (एज-स्विचिंग, रैंडमाइज्ड लोकल सर्च) का उपयोग करके इन मैट्रिसेस को उत्पन्न करते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

गर्थ पर सैद्धांतिक सीमा (Theoretical Limit on Girth): यह पेपर कठोरता से सिद्ध करता है कि वर्गाकार-आधारित HGP कोड के लिए, CSS ऑर्थोगोनैलिटी टैनर 8-चक्रों को मजबूर करती है। फलस्वरूप, इस विशिष्ट परिवार के लिए अधिकतम प्राप्त होने योग्य गर्थ 8 है, और कोई भी लिफ्टिंग इसे 10 तक नहीं ले जा सकती।
स्पष्ट परिमित-लंबाई निर्माण (Explicit Finite-Length Constructions): लेखक कई नियमित कोडों के लिए स्पष्ट पैरामीटर प्रदान करते हैं:
- कॉलम वेट 3:
  - $B_7$ (फानो प्लेन): गर्थ 6, $[[98, 18, 4]]$ .
  - $B_{15}$ (जनरलाइज्ड क्वाड्रैंगल $W(2)$ ): गर्थ 8, $[[450, 50, 6]]$ .
  - $B_{30}$ (कनेक्टेड एनलार्जमेंट $B_{15}$ का): गर्थ 8, $[[1800, 162, 6]]$ .
  - $B_{17}, B_{18}$ : लो-कोरैंक और रैंडमाइज्ड उदाहरण।
- कॉलम वेट 4:
  - $B_{13}$ (प्रोजेक्टिव प्लेन $PG(2,3) $): गर्थ 6,$ [[338, 2, 13]]$.
  - $B_{40}$ (जनरलाइज्ड क्वाड्रैंगल $W(3)$ ): गर्थ 8, $[[3200, 450, 8]]$ .
उच्च-प्रदर्शन डिकोडिंग परिणाम (High-Performance Decoding Results):
- $B_{15}$ बेस के एक रैंडमाइज्ड CPM लिफ्ट को $P=64$ के साथ बनाया गया, जिसके परिणामस्वरूप एक $[[28800, 62]]$ कोड प्राप्त हुआ जिसका गर्थ 8 है।
- डिकोडिंग प्रदर्शन: एक डिजेनरेसी-अवेयर (degeneracy-aware) बेलिफ प्रोपेगेशन (BP) डिकोडर और उसके बाद ऑर्डर्ड स्टैटिस्टिक्स डिकोडिंग-लाइट (OSD-lite) पोस्ट-प्रोसेसिंग का उपयोग करके, इस कोड ने डिपोलराइजिंग एरर प्रोबेबिलिटी $p = 0.1402$ पर $2.993 \times 10^8$ परीक्षणों में शून्य डिकोडिंग विफलताएं प्राप्त कीं।
- इस बिंदु पर विफलता दर के लिए 95% विल्सन अपर कॉन्फिडेंस बाउंड $1.28 \times 10^{-8}$ है।

4. परिणामों का सारांश (Results Summary)

बेस मैट्रिक्स	स्रोत	वेट	गर्थ	बेस पैरामीटर्स ( $n, k, d$ )	लिफ्टेड उदाहरण ( $P=64$ )
$B_7$	फानो प्लेन	(3,6)	6	$[[98, 18, 4]]$	N/A
$B_{15}$	$W(2)$	(3,6)	8	$[[450, 50, 6]]$	$[[28800, 62]]$ (गर्थ 8)
$B_{30}$	एज-स्विच्ड	(3,6)	8	$[[1800, 162, 6]]$	N/A
$B_{40}$	$W(3)$	(4,8)	8	$[[3200, 450, 8]]$	N/A

प्रदर्शन: $[[28800, 62]]$ कोड (3,6) एन्सेम्बल के लिए सैद्धांतिक BP डेंसिटी-इवोल्यूशन थ्रेशोल्ड ( $p_{DE} \approx 0.1529$ ) के बहुत करीब काम करता है, जो यह दर्शाता है कि "जीरो डिज़ाइन रेट" बाधा के बावजूद उच्च-गर्थ नियमित कोड उत्कृष्ट परिमित-लंबाई प्रदर्शन प्राप्त कर सकते हैं।
डिजेनेरेसी (Degeneracy): परिणाम डिजेनरेट डिकोडिंग (उन त्रुटियों को स्वीकार करना जो स्टेबलाइजर्स द्वारा भिन्न होती हैं) के महत्व को रेखांकित करते हैं। प्रमुख सफलता मोड डिजेनरेट सफलता था, न कि सटीक त्रुटि सुधार।

5. महत्व और सीमाएं (Significance and Limitations)

महत्व:

डिज़ाइन फ्रेमवर्क: शुद्ध रैंडम सर्च के बजाय स्ट्रक्चर्ड फाइनाइट-जियोमेट्रिक डिज़ाइन का उपयोग करके उच्च गर्थ वाले रेगुलर QLDPC कोड डिजाइन करने के लिए एक स्पष्ट, जांच योग्य सेट प्रदान करता है।
गर्थ लिमिटेशन स्पष्टीकरण: यह प्रश्न हल करता है कि क्या CPM लिफ्ट्स वर्गाकार-आधारित HGP कोड के लिए गर्थ को मनमाने ढंग से बढ़ा सकते हैं, यह सिद्ध करते हुए कि ऑर्थोगोनैलिटी बाधाओं के कारण गर्थ 8 एक हार्ड सीलिंग (hard ceiling) है।
व्यावहारिक प्रदर्शन: यह दिखाता है कि डिज़ाइन रेट शून्य वाले कोड (लेकिन कोरैंक के माध्यम से सकारात्मक वास्तविक दर वाले) भी परिमित-लंबाई अनुप्रयोगों के लिए अत्यधिक प्रभावी हो सकते हैं, जो उच्च शोर स्तरों पर विफलता दरों के मामले में कई पिछले निर्माणों से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

सीमाएं:

डिस्टेंस सर्टिफिकेशन: पेपर नोट करता है कि हालांकि $p = 0.1402$ पर डिकोडिंग विफलताएं शून्य थीं, उच्च शोर स्तरों पर देखी गई विफलताएं सिंड्रोम-मिसमैच विफलताएं थीं, न कि लॉजिकल एरर। अतः, लिफ्ट किए गए कोड की न्यूनतम दूरी (minimum distance) को कड़ाई से प्रमाणित नहीं किया गया है (केवल बेस डिस्टेंस द्वारा निचली सीमा दी गई है)।
गर्थ कैप: इस विशिष्ट परिवार के लिए गर्थ $>8$ प्राप्त करने में असमर्थता, केवल गर्थ ऑप्टिमाइजेशन के माध्यम से आगे के प्रदर्शन लाभ की संभावना को सीमित करती है।
कनेक्टेडनेस: हालांकि लेखक कनेक्टिविटी सुनिश्चित करते हैं, लेकिन कनेक्टेड लिफ्ट्स में लॉजिकल क्वबिट्स बढ़ाने ( $\hat{k} > k$ ) की प्रक्रिया एक खुला प्रश्न है, क्योंकि इसके लिए गैर-तुच्छ रैंक डेफिशिएंसी की आवश्यकता होती है जो बेस से विरासत में नहीं मिलती है।

निष्कर्षतः, यह कार्य उच्च-गर्थ, नियमित क्वांटम LDPC कोड के निर्माण के लिए एक मजबूत सैद्धांतिक और व्यावहारिक ढांचा स्थापित करता है, यह सिद्ध करता है कि स्ट्रक्चर्ड फाइनाइट-जियोमेट्रिक बेस मैट्रिसेस को CPM लिफ्ट्स के साथ जोड़ने से असाधारण परिमित-लंबाई प्रदर्शन प्राप्त किया जा सकता है, भले ही CSS ऑर्थोगोनैलिटी की सख्त बाधाएं मौजूद हों।