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Bridging the Gap Between Average and Discounted TD Learning

यह शोध पत्र औसत-पुरस्कार (average-reward) सेटिंग के लिए एक नवीन नीति मूल्यांकन एल्गोरिदम पेश करता है जो आयाम-निर्भर पदों (dimension-dependent terms) के बिना अभिसरण (convergence) की गारंटी देने के लिए दो मार्कोवियन प्रक्षेप पथों (Markovian trajectories) का उपयोग करता है और द्विघात नमूना जटिलता (quadratic sample complexity) प्राप्त करता है, जिससे यह डिस्काउंटेड TD लर्निंग की सैद्धांतिक दक्षता से मेल खाता है।

मूल लेखक: Haoxing Tian, Zaiwei Chen, Ioannis Ch. Paschalidis, Alex Olshevsky

प्रकाशित 2026-05-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Haoxing Tian, Zaiwei Chen, Ioannis Ch. Paschalidis, Alex Olshevsky

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: "हमेशा की नौकरी" बनाम "अल्पकालिक काम"

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को काम करना सिखा रहे हैं। रोबोट को यह बताने के दो मुख्य तरीके हैं कि "अच्छा काम करने" का क्या मतलब है:

डिस्काउंटेड दृष्टिकोण (अल्पकालिक काम - The Short-Term Gig): यह आज किसी विशेष कार्य के लिए कार्यकर्ता को भुगतान करने जैसा है। आप इस बात पर बहुत ध्यान देते हैं कि वे अभी कितना पैसा कमा रहे हैं, और आप इस बात पर कम ध्यान देते हैं कि वे अगले साल क्या कमा सकते हैं। गणित में, इसे "डिस्काउंटेड लर्निंग" कहा जाता है। इसका विश्लेषण करना आसान है क्योंकि इसके नियम स्पष्ट और स्थिर हैं।
एवरेज-रिवॉर्ड दृष्टिकोण (हमेशा की नौकरी - The Forever Job): यह एक सीईओ को कंपनी के अनंत काल (infinite horizon) के दीर्घकालिक प्रदर्शन के आधार पर वेतन देने जैसा है। आपको एक अच्छे या बुरे दिन की परवाह नहीं है; आपको हमेशा के लिए मिलने वाले स्थिर औसत (steady average) की परवाह है। यह "एवरेज-रिवॉर्ड" सेटिंग है।

समस्या:
लंबे समय तक, "हमेशा की नौकरी" (एवरेज-रिवॉर्ड) के लिए गणित वैज्ञानिकों के लिए एक दुःस्वप्न बना रहा। "अल्पकालिक काम" की दुनिया में, गणित एक रबर बैंड की तरह व्यवहार करता है जो हमेशा एक ही स्पष्ट केंद्र बिंदु पर वापस आता है। लेकिन "हमेशा की नौकरी" की दुनिया में, गणित एक फिसलन भरी स्लाइड की तरह है। नियम रोबोट को केवल एक उत्तर पर स्थिर होने के लिए मजबूर नहीं करते हैं; यह हमेशा इधर-उधर फिसल सकता है, या इस पर निर्भर करता है कि आपने इसे कैसे धकेला।

इस कारण से, रोबोट की लर्निंग को ठीक करने के पिछले प्रयासों को या तो अजीब, अवास्तविक धारणाएं बनानी पड़ीं (जैसे यह मान लेना कि रोबोट एक विशिष्ट स्थिति में नहीं हो सकता) या यह स्वीकार करना पड़ा कि रोबोट शायद कभी भी एक एकल, विश्वसनीय उत्तर पर स्थिर न हो पाए।

समाधान: स्लाइड पर चलने का एक नया तरीका

इस शोध पत्र के लेखकों ने इसे ठीक करने के लिए एक नया एल्गोरिदम पेश किया है। वे इस "फिसलन भरी स्लाइड" को बिना किसी अजीब धारणा के फिर से एक स्थिर रबर बैंड जैसा बनाने में सफल रहे।

उन्होंने इसे कुछ रूपकों (metaphors) का उपयोग करके समझाया है:

1. "डबल-चेन" ट्रिक (जुड़वां यात्री - The Twin Walkers)

गणित की समस्या को हल करने के लिए, लेखकों ने एक ऐसा एल्गोरिदम बनाया है जो एक ही समय में दो स्वतंत्र रोबोटों को चलाता है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि आप एक शहर में लोगों की औसत ऊंचाई का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप एक व्यक्ति से पूछते हैं, "आपके बगल में खड़े व्यक्ति की औसत ऊंचाई क्या है?" और फिर उसे इस बात से गुणा करते हैं कि "अभी आपने जिस यादृच्छिक (random) व्यक्ति से मुलाकात की, उसकी औसत ऊंचाई क्या है?", तो आपको गलत उत्तर मिलेगा क्योंकि दोनों लोग स्वतंत्र नहीं हैं।
समाधान: लेखक दो अलग-अलग "चेन" का उपयोग करते हैं। एक रोबोट वर्तमान स्थिति को देखता है, और एक पूरी तरह से अलग रोबोट (एक समानांतर ट्रैक पर चल रहा है) एक यादृच्छिक स्थिति का अवलोकन करता है। इन दोनों अवलोकनों को अलग और स्वतंत्र रखकर, गणित "भ्रमित" होना बंद हो जाता है और वास्तविक औसत पा सकता है।

2. "ग्रेडिएंट स्प्लिटिंग" (दो लोगों की टीम - The Team of Two)

यह पेपर "ग्रेडिएंट स्प्लिटिंग" नामक एक गणितीय तकनीक का उपयोग करता है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि आप एक पहाड़ी पर एक भारी पत्थर को धकेलने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आप केवल दो अलग-अलग कोणों से ढलान देख सकते हैं। यदि आप केवल एक कोण के आधार पर धक्का देने की कोशिश करते हैं, तो आप गलत दिशा में धक्का दे सकते हैं।
समाधान: एल्गोरिदम "धक्के की शक्ति" को दो भागों में विभाजित करता है। एक भाग तत्काल परिवर्तन को संभालता है, और दूसरा भाग दीर्घकालिक औसत को संभालता है। जब आप इन दो "आंशिक धक्कों" को मिलाते हैं, तो वे उस बल को पूरी तरह से पुन: निर्मित करते हैं जो पत्थर को सीधे ऊपर तक धकेलने के लिए आवश्यक है, भले ही अकेले कोई भी हिस्सा यह नहीं कर सके। यह गणित को सुचारू रूप से काम करने देता है, ठीक वैसे ही जैसे "अल्पकालिक काम" की दुनिया में होता है।

3. "सिंगल-चेन" अपग्रेड (एकल यात्री - The Solo Walker)

हालांकि दो रोबोटों का उपयोग करना बहुत अच्छा काम करता है, लेकिन यह महंगा है। लेखकों ने केवल एक रोबोट का उपयोग करने वाला एक संस्करण भी बनाया है।

रूपक: यह एक अकेले यात्री की तरह है जो अपने साथ एक मानसिक "नोटबुक" रखता है कि वह कहाँ गया है। दूसरे व्यक्ति से यादृच्छिक डेटा पॉइंट पूछने के बजाय, यात्री अपने स्वयं के इतिहास के आधार पर औसत का अनुमान लगाता है।
समझौता (Trade-off): यह थोड़ा कम कुशल है (इसे सीखने में थोड़ा अधिक समय लगता है), लेकिन यह बहुत अधिक व्यावहारिक है क्योंकि आपको केवल एक ही रोबलेट चलाने की आवश्यकता है।

यह क्यों मायने रखता है (परिणाम)

पेपर पिछले तरीकों पर तीन बड़ी जीत का दावा करता है:

यह सभी के लिए काम करता है (टेबुलर और लीनियर): पिछले तरीके अक्सर टूट जाते थे यदि आप उन्हें सरल, छोटी समस्याओं (जिन्हें "टेबुलर" सेटिंग्स कहा जाता है) पर या जटिल, बड़ी समस्याओं पर उपयोग करने की कोशिश करते थे। यह नया तरीका बिना किसी विशेष नियम के दोनों के लिए काम करता है। यह एक सार्वभौमिक कुंजी है।
यह एक उत्तर पाता है: पुराने तरीके कभी-कभी रोबोट को अलग-अलग जगहों पर रुकने देते थे, जो इस बात पर निर्भर करता था कि आपने इसकी शुरुआत कैसे की थी। यह नया तरीका गारंटी देता है कि रोबोट हमेशा ठीक उसी एक अद्वितीय स्थान पर रुकेगा, चाहे आपने इसकी शुरुआत कैसे भी की हो।
यह तेज़ और स्मार्ट है: गणित दिखाता है कि यह नया तरीका पिछले प्रयासों की तुलना में बहुत तेज़ी से सीखता है।
- कंडीशन नंबर: गणित में, "कंडीशन नंबर" यह मापने का एक तरीका है कि समस्या कितनी "अव्यवस्थित" या "फिसलन भरी" है। पिछले तरीके जैसे-जैसे समस्या अधिक अव्यवस्थित होती गई, वैसे-वैसे धीमे होते गए (यह अव्यवस्था की चौथी घात के साथ बढ़ता है)। यह नया तरीका अव्यवस्था के वर्ग (square) के साथ स्केल करता है।
- रूपक: कल्पना कीजिए कि आप कीचड़ में चलने की कोशिश कर रहे हैं। पुराने तरीके जैसे-जैसे कीचड़ गहरा होता गया, वे तेजी से फंसते और धीमे होते गए। यह नया तरीका "स्नोशूज़" (snowshoes) पहनने जैसा है; आप थोड़ा डूबते तो हैं, लेकिन आप एक स्थिर, प्रबंधनीय गति से चलते रहते हैं।

सारांश

यह पेपर अल्पकालिक लर्निंग के आसान गणित और दीर्घकालिक लर्निंग के कठिन गणित के बीच के अंतर को पाटता है। एक चतुर "दो-रोबोट" ट्रिक और एक "स्प्लिटिंग" तकनीक का उपयोग करके, उन्होंने एक ऐसा एल्गोरिदम बनाया है जो स्थिर, विश्वसनीय और तेज़ है, जिससे दीर्घकालिक औसत लर्निंग को अंततः अल्पकालिक लर्निंग जितना मजबूत बनाया जा सका है।

तकनीकी सारांश: औसत और डिस्काउंटेड TD लर्निंग के बीच के अंतर को पाटना

समस्या विवरण (Problem Statement)

टेम्पोरल डिफरेंस (TD) लर्निंग रिइन्फोर्समेंट लर्निंग का एक आधार स्तंभ है, फिर भी औसत-रिवॉर्ड (average-reward) सेटिंग में इसका सैद्धांतिक विश्लेषण डिस्काउंटेड सेटिंग की तुलना में काफी पीछे है। डिस्काउंटेड मामले में, बेलमैन ऑपरेटर एक कॉन्ट्रैक्शन मैपिंग (contraction mapping) है, जो अद्वितीय समाधान और सरल अभिसरण विश्लेषण सुनिश्चित करता है। इसके विपरीत, औसत-रिवॉर्ड सेटिंग में, बेलमैन ऑपरेटर किसी भी नॉर्म (norm) के सापेक्ष कॉन्ट्रैक्टिव नहीं है, और संगत बेलमन समीकरण का समाधान अद्वितीय नहीं है (यह केवल एक योज्य स्थिरांक/additive constant तक ही परिभाषित है)।

औसत-रिवॉर्ड TD से संबंधित मौजूदा साहित्य डिस्काउंटेड मामले की तुलना में कई सीमाओं से ग्रस्त है:

प्रतिबंधात्मक धारणाएं (Restrictive Assumptions): कई विधियों के लिए विशिष्ट धारणाओं (जैसे $\Phi\theta \neq ce$ ) की आवश्यकता होती है जो टैबुलर सेटिंग को बाहर करती हैं।
अभिसरण गारंटी (Convergence Guarantees): कुछ दृष्टिकोण केवल एक सैंपल-पाथ-डिपेंडेंट फिक्स्ड पॉइंट या सेट तक अभिसरण की गारंटी देते हैं, न कि एक अद्वितीय, नियत (deterministic) समाधान तक।
डायमेंशन डिपेंडेंस (Dimension Dependence): अभिसरण सीमाओं (convergence bounds) में अक्सर पैरामीटर डायमेंशन $d$ के स्पष्ट कारक शामिल होते हैं।
कंडीशन नंबर स्केलिंग (Condition Number Scaling): अत्याधुनिक सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी अक्सर समस्या के कंडीशन नंबर पर क्वाटिक (quartic) निर्भरता प्रदर्शित करती है ( $O(\eta^{-4})$ ), जबकि डिस्काउंटेड सेटिंग क्वाड्रेटिक (quadratic) स्केलिंग प्राप्त करती है ( $O(\eta^{-2})$ )।
एल्गोरिद्मिक जटिलता (Algorithmic Complexity): पूर्ववर्ती कार्यों में बेहतर स्केलिंग प्राप्त करने के लिए अक्सर जटिल वेरिएंस-रिडक्शन तकनीकों (जैसे नेस्टेड लूप्स) की आवश्यकता होती थी, जो मानक TD की सरलता से विचलित होती हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक औसत-रिवॉर्ड सेटिंग में पॉलिसी इवैल्यूएशन के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं, जिसमें बेलमन समीकरण के समाधान को एक प्रतिबंधित अनुकूलन समस्या (constrained optimization problem) के रूप में तैयार किया गया है। मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि सापेक्ष वैल्यू फंक्शन $W^*$ को एक स्टेडी-स्टेट बाधा ( $\mu^\top W^* = 0$ ) को संतुष्ट करना चाहिए।

1. डबल-चेन एल्गोरिदम (Double-Chain Algorithm)

प्रोजेक्टेड बेलमन समीकरण $W^* = \Pi T_\pi W^*$ को हल करने के लिए, जहाँ $\Pi = I - e\mu^\top$ , लेखक एक स्टोकेस्टिक अपडेट नियम व्युत्पन्न करते हैं। इस सेटिंग में स्टोकेस्टिक एप्रोक्सिमेशन में एक प्रमुख चुनौती "डबल सैंपलिंग" का मुद्दा है: टर्म $\mu\mu^\top(R + W_t)$ का अनुमान लगाने के लिए रैंडम वेरिएबल्स के गुणनफल के एक्सपेक्टेशन की आवश्यकता होती है, जिसे सहसंबंध (correlation) के कारण एकल प्रक्षेपवक्र (single trajectory) से अनुमानित नहीं किया जा सकता है।

इसे हल करने के लिए, लेखक एक डबल-चेन एल्गोरिदम पेश करते हैं जो प्रत्येक पुनरावृत्ति (iteration) में दो स्वतंत्र मार्कोव श्रृंखलाओं ( $\{s_t\}$ और $\{\hat{s}_t\}$ ) का उपयोग करता है।

अपडेट नियम: पैरामीटर वेक्टर $\theta_t$ $θ_{t}$ को दो घटकों का उपयोग करके अपडेट किया जाता है:
- $g(s_t, s'_t, \theta_t)$ : मानक TD एरर टर्म $D(R + P\Phi\theta_t - \Phi\theta_t)$ का अनुमान लगाता है।
- $f(s_t, \hat{s}_t, \theta_t)$ : स्वतंत्र सैंपल $\hat{s}_t$ का उपयोग करके सहसंबंध को तोड़ने के माध्यम से बाधा टर्म $-\mu\mu^\top(R + \Phi\theta_t)$ का अनुमान लगाता है।
लीनियर एप्रोक्सिमेशन: यह विधि फीचर स्पेस पर अपडेट को प्रोजेक्ट करके लीनियर फंक्शन एप्रोक्सिमेशन ( $W \approx \Phi\theta$ ) तक सामान्यीकृत होती है।

2. सिंगल-चेन एल्गोरिदम (Single-Chain Algorithm)

दो श्रृंखलाओं को बनाए रखने के ओवरहेड से बचने के लिए, लेखक ग्रेडिएंट TD (GTD) से प्रेरित एक सिंगल-चेन एल्गोरिदम प्रस्तावित करते हैं।

तंत्र (Mechanism): दूसरे स्वतंत्र स्टेट $\hat{s}_t$ को सैंपल करने के बजाय, एल्गोरिदम एक सहायक चर $w_t$ बनाए रखता है जो $E[\phi(s)] = \Phi^\top\mu$ को ट्रैक करता है।
अपडेट: डबल-चेन अपडेट में $\phi(\hat{s}_t)$ टर्म को $w_t$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। चर $w_t$ को एक अलग स्टोकेस्टिक एप्रोक्सिमेशन स्टेप के माध्यम से अपडेट किया जाता है ताकि यह $\Phi^\top\mu$ की ओर अभिसरित हो सके।
ट्रेड-ऑफ: हालांकि यह सैंपलिंग की आवश्यकता को सरल बनाता है, इसका विश्लेषण डबल-चेन वेरिएंट की तुलना में थोड़ा खराब कंडीशन नंबर निर्भरता दिखाता है।

3. सैद्धांतिक ढांचा: ग्रेडिएंट स्प्लिटिंग (Theoretical Framework: Gradient Splitting)

अभिसरण विश्लेषण ग्रेडिएंट स्प्लिटिंग [19] की तकनीक पर निर्भर करता है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि उनके एल्गोरिदम का अपेक्षित अपडेट दिशा एक विशिष्ट कंपोजिट क्वाड्रेटिक फंक्शन के "ग्रेडिएंट स्प्लिटिंग" के रूप में कार्य करती है:
$f(\theta) = \|\Phi(\theta - \theta^*)\|_{\text{Dir}}^2 + (\mu^\top\Phi(\theta - \theta^*))^2$
यह लेखकों को एक विशिष्ट फंक्शन के लिए मानक स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट (SGD) रिकर्सन तकनीकों का उपयोग करके एल्गोरिदम का विश्लेषण करने की अनुमति देता है, बावजूद इसके कि मूल बेलमैन ऑपरेटर नॉन-कॉन्ट्रैक्टिव प्रकृति का है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

पेपर दावा करता है कि वह निम्नलिखित विशेषताओं को एक साथ प्राप्त करके औसत-रिवॉर्ड और डिस्काउंटेड TD लर्निंग के बीच के सैद्धांतिक अंतर को पाटता है:

अद्वितीय, सैंपल-स्वतंत्र फिक्स्ड पॉइंट: प्रस्तावित एल्गोरिदम लगभग निश्चित रूप से (almost surely) एक एकल, नियत समाधान $\theta^*$ की ओर अभिसरित होते हैं जो रैंडम प्रक्षेपवक्र और इनिशियलाइजेशन से स्वतंत्र है।
टैबुलर और लीनियर सेटिंग्स के लिए प्रयोज्यता: विश्लेषण टैबुलर मामलों (जहाँ $\Phi = I$ ) और लीनियर फंक्शन एप्रोक्सिमेशन दोनों के लिए मान्य है, जिसमें $e \notin \text{span}(\Phi)$ जैसी प्रतिबंधात्मक धारणा की आवश्यकता नहीं है।
डायमेंशन-फ्री बाउंड्स: अभिसरण सीमाओं में डायमेंशन $d$ के स्पष्ट कारक नहीं होते हैं (उन कारकों के अलावा जो $\|\theta^*\|$ या $\|\theta_0\|$ में निहित हैं)।
लास्ट इटरेट कन्वर्जेंस: परिणाम अंतिम पुनरावृत्ति (last iterate) के लिए गारंटीकृत हैं, जो औसत (averaging) पर निर्भर करने के बजाय मानक डिस्काउंटेड TD के समान है।
बेहतर कंडीशन नंबर स्केलिंग:
- डबल-चेन एल्गोरिदम $\tilde{O}(\epsilon^{-1}\eta_1^{-2})$ की सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करता है, जहाँ $\eta_1$ एक कंडीशन नंबर है जिसे $\min_{\|x\|=1} (\|\Phi x\|_{\text{Dir}}^2 + (\mu^\top\Phi x)^2)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह डिस्काउंटेड सेटिंग में देखी गई क्वाड्रेटिक स्केलिंग से मेल खाता है।
- सिंगल-चेन एल्गोरिदम $\tilde{O}(\epsilon^{-1}\eta^{-4})$ (क्वाटिक) प्राप्त करता है, जो कुछ पूर्ववर्ती कार्यों की तुलना में सुधार है लेकिन डबल-चेन वेरिएंट की तुलना में थोड़ा खराब है।
एल्गोरिद्मिक सरलता: द्विघात (quadratic) स्केलिंग बिना किसी वेरिएंस रिडक्शन तकनीक (जैसे नेस्टेड लूप्स या पीरियोडिक फुल बैच) के प्राप्त की जाती है, जो प्लेन TD अपडेट की सरलता को बनाए रखती है।

परिणाम (Results)

लेखक i.i.d. और मार्कोवियन सैंपलिंग के तहत दोनों एल्गोरिदम के लिए कॉन्स्टेंट और डिकेइंग स्टेप साइज़ के साथ परिमित-सैंपल (finite-sample) विश्लेषण प्रदान करते हैं।

सैद्धांतिक सीमाएं: प्रमेय 4.1-4.3 अभिसरण दर और सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी स्थापित करते हैं। डबल-चेन विधि पैरामीटर स्केलिंग के मामले में स्टेट-ऑफ-द-आर्ट डिस्काउंटेड TD से मेल खाती है।
संख्यात्मक प्रयोग: एल्गोरिदम का परीक्षण OpenAI Gym और MO-Gymnasium से 15 टैबुलर MDPs पर किया गया।
- परिणाम दिखाते हैं कि प्रस्तावित विधियाँ वास्तविक समाधान के सापेक्ष एप्रोक्सिमेशन एरर के मामले में सामान्य रूप से पूर्ववर्ती बेसलाइनों (जिनमें [10], [11], [12], [17], [18], और [21] शामिल हैं) से बेहतर प्रदर्शन करती हैं।
- प्रयोग पुष्टि करते हैं कि प्रस्तावित विधियाँ अद्वितीय समाधान की ओर अभिसरित होती हैं, जबकि कुछ बेसलाइन (जो सेट या सैंपल-डिपेंडेंट पॉइंट्स की ओर अभिसरित होती हैं) टैबुलर सेटिंग में उच्च वेरिएंस या एरर दिखाती हैं।

महत्व (Significance)

पेपर का दावा है कि यह औसत-रिवॉर्ड TD विश्लेषण से जुड़े निरंतर सैद्धांतिक मुद्दों को हल करता है। ग्रेडिएंट स्प्लिटिंग और टू-चेन (या ऑक्जिलरी वेरिएबल के साथ सिंगल-चेन) सैंपलिंग रणनीति का उपयोग करके, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि औसत-रिवॉर्ड TD, डिस्काउंटेड TD के समान अनुकूल अभिसरण गुण प्राप्त कर सकता है:

अद्वितीयता (Uniqueness): एक सुपरिभाषित, अद्वितीय समाधान की ओर अभिसरण।
व्यापकता (Generality): बिना किसी प्रतिबंधात्मक धारणा के टैबुलर और लीनियर सेटिंग्स के लिए उपयुक्तता।
दक्षता (Efficiency): जटिल वेरिएंस-रिडक्शन मशीनरी की आवश्यकता के बिना कंडीशन नंबर पर द्विघात निर्भरता।

यह कार्य सुझाव देता है कि औसत-रिवॉर्ड सेटिंग की सैद्धांतिक कठिनाइयों को समस्या को एक प्रतिबंधित अनुकूलन कार्य के रूप में पुनर्गठित करके और नॉन-कॉन्ट्रैक्टिव बेलमैन ऑपरेटर की प्रकृति को संभालने के लिए विशिष्ट सैंपलिंग रणनीतियों का लाभ उठाकर दूर किया जा सकता है।