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The Complexity of Stoquastic Sparse Hamiltonians

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टोनियन (Stoquastic Sparse Hamiltonians) समस्या $\mathsf{StoqMA}$ -पूर्ण है और इसका विभाज्य (separable) संस्करण $\mathsf{StoqMA}(2)$ -पूर्ण है, जिससे $\mathsf{StoqMA}$ जटिलता वर्ग की शक्ति की समझ आगे बढ़ती है।

मूल लेखक: Alex B. Grilo, Marios Rozos

प्रकाशित 2026-05-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alex B. Grilo, Marios Rozos

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके शोध पत्र (paper) की व्याख्या दी गई है।

बड़ी तस्वीर: "ऊर्जा" की पहेली

कल्पना कीजिए कि आपके पास हज़ारों छोटे स्विचों (क्वांटम बिट्स, या क्यूबिट्स) से बनी एक विशाल, जटिल मशीन है। इस मशीन की एक विशिष्ट "ग्राउंड स्टेट" (ground state) है, जो इसकी विश्राम अवस्था या इसकी सबसे कम ऊर्जा वाली सेटिंग की तरह है।

क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, इस जटिल मशीन के लिए उस सबसे कम ऊर्जा वाली सेटिंग का सटीक पता लगाना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह एक विशाल, धुंधले पहाड़ी क्षेत्र में बिना किसी मानचित्र के सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश करने जैसा है। कंप्यूटर वैज्ञानिक इसे लोकल हैमिल्टोनियन समस्या (Local Hamiltonian Problem) कहते हैं।

आमतौर पर, यह समस्या इतनी कठिन होती है कि यह QMA (क्वांटम मर्लिन-आर्थर) नामक समस्याओं के वर्ग से संबंधित होती है। QMA को एक ऐसे खेल के रूप में सोचें जहाँ एक शक्तिशाली जादूगर (मर्लिन) एक संदेही न्यायाधीश (आर्थर) को यह समझाने की कोशिश करता है कि उसने सबसे निचला बिंदु खोज लिया है। न्यायाधीश एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके जादूगर के उत्तर की जाँच कर सकता है।

विशेष मामला: "स्टोक्वास्टिक" (Stoquastic) मशीनें

यह शोध पत्र एक विशेष प्रकार की मशीन पर ध्यान केंद्रित करता है जिसे स्टोक्वासटिक हैमिल्टोनियन (Stoquastic Hamiltonian) कहा जाता है।

उपमा (Analogy): एक सामान्य मशीन की कल्पना करें जहाँ स्विच भ्रमित करने वाले, नकारात्मक तरीकों से धक्का या खींच सकते हैं (जैसे कि रस्साकशी जहाँ रस्सी दीवार के आर-पार जा रही हो)। यह एक "साइन समस्या" (sign problem) पैदा करता है जो शास्त्रीय कंप्यूटरों (जैसे आपका लैपटॉप) को उन्हें सिम्युलेट करने में विफल कर देता है।
स्टोक्वास्टिक का अंतर: एक स्टोक्वास्टिक मशीन "अच्छी" होती है। इसके सभी स्विच केवल ऐसे तरीके से धक्का या खींचते हैं जो चीज़ों को सकारात्मक बनाए रखते हैं। यहाँ कोई भ्रमित करने वाले नकारात्मक चिह्न नहीं होते। इस कारण, शास्त्रीय कंप्यूटर मोंटे कार्लो सिमुलेशन (Monte Carlo simulations - जैसे कि समय के साथ स्मार्ट होता जाने वाला रैंडम अनुमान) जैसी विधियों का उपयोग करके उन्हें बेहतर तरीके से सिम्युलेट कर सकते हैं।

भले ही ये मशीनें "अच्छी" हैं, लेकिन उनकी सबसे कम ऊर्जा का पता लगाना फिर भी कठिन है। यह पता चला है कि यह विशिष्ट समस्या StoqMA नामक वर्ग से संबंधित है। यह मानक शास्त्रीय अनुमान (MA) और अधिक उन्नत शास्त्रीय अनुमान (AM) के बीच का एक मध्य मार्ग है।

मुख्य खोज: स्पर्सिटी (Sparsity) बनाम लोकैलिटी (Locality)

लेखकों ने StoqMA को बेहतर ढंग से समझने की कोशिश की। ऐसा करने के लिए, उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार की मशीन पर गौर किया: स्पार्स हैमिल्टोनियन (Sparse Hamiltonians)।

लोकल हैमिल्टोनियन (Local Hamiltonians): एक ऐसी मशीन की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक स्विच केवल अपने निकटतम पड़ोसियों से बात करता है (जैसे कि एक पंक्ति में खड़े लोग जो केवल अपने बगल वाले व्यक्ति से बात करते हैं)।
स्पार्स हैमिल्टोनियन (Sparse Hamiltonians): एक ऐसी मशीन की कल्पना करें जहाँ एक स्विच कमरे में किसी से भी बात कर सकता है, लेकिन प्रत्येक स्विच केवल बहुत कम, निश्चित संख्या में लोगों से बात करता है (मान लीजिए, दस लाख में से 10 लोग)। यह "स्पार्स" (विरल) है क्योंकि अधिकांश कनेक्शन खाली हैं।

शोध पत्र का दावा:
लेखकों ने सिद्ध किया कि इन "स्पार्स" मशीनों की सबसे कम ऊर्जा का पता लगाना ठीक उतना ही कठिन है जितना कि "लोकल" मशीनों का।

परिणाम: "स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टोनियन" समस्या StoqMA-complete है।
इसका अर्थ क्या है: यदि आप स्पार्स संस्करण को कुशलतापूर्वक हल कर सकते हैं, तो आप लोकल संस्करण को भी हल कर सकते हैं, और इसके विपरीत भी। वे समान रूप से कठिन हैं। यह आश्चर्यजनक है क्योंकि स्पार्स मशीनें बहुत अधिक सामान्य और लचीली होती हैं, फिर भी इस विशिष्ट क्वांटम संदर्भ में वे हल करने में अधिक "आसान" नहीं होती हैं।

उन्होंने यह कैसे किया: "हैडामार्ड" (Hadamard) टेस्ट

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखकों को न्यायाधीश (आर्थर) के लिए जादूगर (मर्लिन) के उत्तर की जाँच करने का एक नया तरीका बनाना पड़ा।

समस्या: ऊर्जा की जाँच करने का सामान्य तरीका जटिल क्वांटम गणित (फेज एस्टीमेशन) शामिल करता है जिसे "स्टोक्वास्टिक" न्यायाधीश करने की अनुमति नहीं है क्योंकि उनके उपकरण बहुत सरल हैं (वे "नकारात्मक" गणित को नहीं संभाल सकते)।
समाधान: लेखकों ने एक चतुर ट्रिक बनाई। उन्होंने बड़ी मशीन को छोटे, एकल-कनेक्शन वाले टुकड़ों (1-sparse terms) में तोड़ दिया। फिर, उन्होंने एक "हैडामार्ड-जैसा" टेस्ट बनाया।
- रूपक (Metaphor): कल्पना कीजिए कि न्यायाधीश जादूगर को एक सिक्का पकड़ने के लिए कहता है। न्यायाधीश एक स्विच घुमाता है जो यादृच्छिक रूप से सिक्के को एक विशिष्ट पड़ोसी से जोड़ता है। फिर न्यायाधीश जाँचता है कि सिक्का एक विशिष्ट तरीके से गिरा या नहीं। विभिन्न यादृच्छिक कनेक्शनों के साथ इसे कई बार करने से, न्यायाधीश बिना पूर्ण क्वांटम सुपरकंप्यूटर की आवश्यकता के मशीन की कुल ऊर्जा की गणना कर सकता है।

"सेपरेबल" (Separable) मोड़: दो जादूगर, कोई टेलीपैथी नहीं

शोध पत्र ने एक भिन्नता पर भी गौर किया जिसे सेपरेबल स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टोनियन (Separable Stoquastic Sparse Hamiltonian) कहा जाता है।

परिदृश्य: कल्पना कीजिए कि मशीन को दो हिस्सों में बांटा गया है (बायां और दायां)। न्यायाधीश सबसे कम ऊर्जा जानना चाहता है, लेकिन एक नियम के साथ: जादूगर को दो अलग-अलग, अन-एंटेंगल्ड (unentangled) उत्तर देने होंगे (एक बाएं हिस्से के लिए, एक दाएं हिस्से के लिए)। वे उनके बीच "क्वांटम टेलीपैथी" (entanglement) लिंक साझा नहीं कर सकते।
परिणाम: लेखकों ने दिखाया कि यह विशिष्ट समस्या StoqMA(2)-complete है।
- StoqMA(2) एक ऐसा वर्ग है जहाँ न्यायाधीश के पास दो अन-एंटेंगल्ड जादूगर होते हैं।
- यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह दिखाता है कि भले ही आप जादूगरों को अलग-अलग काम करने के लिए मजबूर करें (कोई क्वांटम टीम वर्क नहीं), समस्या सामान्य मामले जितनी ही कठिन बनी रहती है।

"दो जादूगर पर्याप्त हैं" का नियम

अंत में, लेखकों ने पूछा: "क्या होगा यदि हमारे पास तीन जादूगर हों, या दस जादूगर हों? क्या इससे न्यायाधीश का काम आसान या कठिन होगा?"

निष्कर्ष: उन्होंने सिद्ध किया कि इस विशिष्ट प्रकार के क्वांटम खेल के लिए, दो जादूगर पर्याप्त हैं।
उपमा: भले ही 100 जादूगरों की एक टीम न्यायाधीश को समझाने की कोशिश कर रही हो, न्यायाधीश पूरे दल का अनुकरण (simulate) कर सकता है बस उनमें से दो को बिल्कुल वही संदेश भेजने के लिए कहकर और यह जाँचकर कि क्या वे सच बोल रहे हैं। पूरी शक्ति को कैप्चर करने के लिए आपको दो से अधिक की आवश्यकता नहीं है।

सारांश

स्टोक्वास्टिक मशीनें एक विशेष, "अच्छी" प्रकार की क्वांटम मशीन हैं जो "साइन समस्या" से बचती हैं।
लेखकों ने सिद्ध किया कि स्पार्स स्टोक्वास्टिक मशीनों की सबसे कम ऊर्जा का पता लगाना लोकल मशीनों की तुलना में उतना ही कठिन है। दोनों StoqMA-complete हैं।
उन्होंने एक नई परीक्षण विधि विकसित की जो एक प्रतिबंधित न्यायाधीश को पूर्ण क्वांटम शक्ति की आवश्यकता के बिना इन ऊर्जाओं को सत्यापित करने की अनुमति देती है।
उन्होंने दिखाया कि भले ही आप मशीन को दो भागों में विभाजित करें और जादूगरों को अलग-अलग काम करने के लिए मजबूर करें, समस्या कठिन बनी रहती है (StoqMA(2)-complete)।
उन्होंने सिद्ध किया कि दो अन-एंटेंगल्ड जादूगरों से अधिक होने पर आपको कोई अतिरिक्त शक्ति नहीं मिलती; दो किसी भी संख्या में जादूगरों का अनुकरण करने के लिए पर्याप्त हैं।

यह कार्य क्वांटम जटिलता (quantum complexity) के परिदृश्य को समझने में मदद करता है, यह दर्शाता है कि "कठिन" समस्याएँ वास्तव में कहाँ स्थित हैं और विभिन्न प्रकार की क्वांटम मशीनें एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

यहाँ एलेक्स बी. ग्रिलो और मारियो रोज़ोस के शोध पत्र "The complexity of Stoquastic Sparse Hamiltonians" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टनियन (Stoquastic Sparse Hamiltonian - StoqSH) की कम्प्यूटेशनल जटिलता को संबोधित करता है। जबकि लोकल (local) स्टोक्वास्टिक हैमिल्टनियन की जटिलता अच्छी तरह से समझी जा रही है (जिसे StoqMA-complete माना जाता है), स्पार्स (sparse) स्टोक्वास्टिक हैमिल्टनियन की जटिलता को सीधे तौर पर स्थापित नहीं किया गया था।

स्पार्स हैमिल्टनियन, लोकल हैमिल्टनियन की तुलना में एक व्यापक वर्ग है; एक $k$ -लोकल हैमिल्टनियन जिसमें $m$ पद (terms) हैं, वह $2^{km}$ -स्पार्स होता है। StoqSH समस्या यह पूछती है कि, एक $d$ -स्पार्स स्टोक्वास्टिक हैमिल्टनियन $H$ (जहाँ ऑफ-डायगोनल तत्व गैर-धनात्मक हैं) और पैरामीटर $\alpha, \beta$ दिए जाने पर, क्या ग्राउंड स्टेट एनर्जी $\lambda_{\min}(H) \le \alpha$ है या $\lambda_{\min}(H) \ge \beta$ , यह मानते हुए कि इनमें से एक मामला सत्य है।

मुख्य चुनौती यह है कि लोकल स्टोक्वासिक हैमिल्टनियन के लिए StoqMA में समावेशन (containment) सिद्ध करने वाली मानक तकनीकें (जो स्थानीय पदों को विशिष्ट प्रोजेक्शन में बदलने पर निर्भर करती हैं) स्पार्स सेटिंग में विस्तारित नहीं होती हैं। इसके अलावा, सामान्य स्पार्स हैमिल्टनियन (जो QMA में उपयोग किए जाते हैं) के लिए फेज एस्टिमेशन (Phase Estimation) जैसी मानक क्वांटम सत्यापन विधियाँ स्वाभाविक रूप से क्वांटम होती हैं और उन्हें प्रतिबंधित स्टोक्वास्टिक वेरीफायर द्वारा सिम्युलेट नहीं किया जा सकता, जो क्लासिकल रिवर्सिबल सर्किट और हेडामार्ड बेसिस मेजरमेंट तक सीमित होते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक सत्यापन प्रक्रिया (verification procedure) का उपयोग करते हैं जो स्पार्स हैमिल्टनियन संरचना और स्टोक्वास्टिक वेरीफायर की सीमाओं के बीच के अंतर को पाटती है। कार्यप्रणाली के तीन मुख्य घटक हैं:

स्पार्स अपघटन (Sparse Decomposition):
लेखक एक ज्ञात अपघटन ([BCC+14] से) का उपयोग करते हैं जहाँ किसी भी $d$ -स्पर्स हैमिल्टनियन $H$ को $d^2$ 1-स्पार्स पदों के योग ( $H = \sum H_j$ ) के रूप में लिखा जा सकता है। महत्वपूर्ण रूप से, यदि $H$ स्टोक्वास्टिक है, तो इस अपघटन में प्रत्येक पद $H_j$ भी स्टोक्वास्टिक होगा, और गैर-शून्य मैट्रिक्स तत्व विशिष्ट पदों को अनन्य रूप से सौंपे जाएंगे।
सामान्यीकृत StoqMA वेरीफायर (gStoqMA):
सत्यापन को संभालने के लिए, लेखक एक सामान्यीकृत StoqMA वेरीफायर पेश करते हैं। मानक StoqMA वेरीफायर हेडामार्ड बेसिस में एक सिंगल क्वबिट को मापते हैं। लेखक gStoqMA को परिभाषित करते हैं, जहाँ वेरीफायर बहुपद (polynomial) संख्या में क्वबिट्स को हेडामार्ड, $|0\rangle$ , या $|1\rangle$ बेसिस में माप सकता है।

वे सिद्ध करते हैं कि यह सामान्यीकरण वर्ग की कम्प्यूटेशनल शक्ति को नहीं बढ़ाता है; इसे पूर्णता/सटीकता अंतराल (completeness/soundness gap) में रैखिक हानि के साथ एक मानक StoqMA वेरीफायर द्वारा सिम्युलेट किया जा सकता है (थ्योरम 1.2)। यह स्टोक्वास्टिक ढांचे के भीतर मल्टी-क्वबिट मेजरमेंट (विशेष रूप से स्वैप टेस्ट) के उपयोग की अनुमति देता है।

StoqSH के लिए सत्यापन प्रक्रिया (Verification Procedure for StoqSH):
StoqSH के लिए एक मुख्य योगदान एक सत्यापन प्रोटोकॉल है जो एक विटनेस स्टेट $|\psi\rangle$ को एक संभाव्यता के साथ स्वीकार करता है जो ऊर्जा प्रत्याशा (energy expectation) $\langle \psi | H | \psi \rangle$ से रैखिक रूप से संबंधित है। वेरीफायर यादृच्छिक रूप से दो उप-प्रक्रियाओं ( $V_1$ और $V_2$ ) के बीच चयन करता है:

प्रक्रिया $V_1$ : हैमिल्टनियन मैट्रिक्स तत्वों के ऑरेकल का उपयोग करके $|\psi\rangle$ पर निर्भर एक अवस्था का निर्माण करती है और 1-स्पार्स पद $H_j$ का उपयोग करती है। यह एक नियंत्रित ऑरेकल क्वेरी और $X$ तथा $Z$ बेसिस में मेजरमेंट के साथ एक "हेडामार्ड-जैसे" परीक्षण करती है। स्वीकृति की संभावना ऑफ-डायगोनल तत्वों और ऊर्जा से संबंधित होती है।
प्रक्रिया $V_2$ : एक पूरक प्रक्रिया है जो अंतिम क्वबिट को $Z$ बेसिस में मापती है।
संयुक्त परिणाम: $V_1$ और $V_2$ की स्वीकृति संभाविताओं को औसत निकालकर, कुल स्वीकृति संभाव्यता $1/2 - \frac{1}{4d^2}\langle \psi | H | \psi \rangle$ हो जाती है। यह रैखिक संबंध वेरीफायर को कम-ऊर्जा (YES) और उच्च-ऊर्जा (NO) इंस्टेंस के बीच अंतर करने की अनुमति देता है।

मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

1. StoqSH की StoqMA-पूर्णता (StoqMA-Completeness of StoqSH)
प्राथमिक परिणाम थ्योरम 1.1 है, जो बताता है कि स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टनियन समस्या StoqMA-complete है।

कठिनाई (Hardness): क्योंकि लोकल स्टोक्वास्टिक हैमिल्टनियन, स्पार्स स्टोक्वास्टिक हैमिल्टनियन का एक विशेष मामला है और पहले से ही StoqMA-हार्ड ज्ञात हैं।
समावेशन (Containment): ऊपर वर्णित सत्यापन प्रक्रिया के माध्यम से स्थापित किया गया, जो सिद्ध करता है कि StoqSH $\in$ StoqMA।

2. सेपरेबल स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टनियन और StoqMA(2)
लेखक अपने विश्लेषण को सेपरेबल स्टोक्वास्टिक स्पार्स हैमिल्टनियन (SepStoqSH) समस्या तक विस्तारित करते हैं, जहाँ विटनेस को उत्पाद अवस्था (product state) $|\psi\rangle = |\chi_A\rangle \otimes |\chi_B\rangle$ तक सीमित किया गया है।

वे StoqMA(k) को परिभाषित करते हैं, जो $k$ अनएंटैंगल्ड (unentangled) प्रूवर्स के साथ QMA(k) का स्टोक्वास्टिक एनालॉग है।
थ्योरम 1.4 (सरलीकृत): वे दिखाते हैं कि कुछ पूर्णता और सटीकता मापदंडों के लिए, $k$ प्रूवर्स को 2 प्रूवर्स द्वारा सिम्युलेट किया जा सकता है ( $StoqMA(k) \subseteq StoqMA(2)$ )। प्रमाण [HM13] से "प्रोडक्ट टेस्ट" प्रोटोकॉल को स्टोक्वास्टिक सेटिंग में अनुकूलित करता है, जो मल्टी-क्वबिट मेजरमेंट (gStoqMA सामान्यीकरण के माध्यम से) करने की क्षमता का लाभ उठाता है।
थ्योरम 4.5: SepStoqSH समस्या StoqMA(2)-complete है। कठिनाई का प्रमाण [CS12] के सेपरेबल स्पार्स हैमिल्टनियन के लिए सर्किट-टू-हैमिल्टनियन निर्माण को स्टोक्वास्टिक सेटिंग में अनुकूलित करता है, जो त्रुटि प्रवर्धन (error amplification) की कमी को संभालने के लिए परटर्बेशन थ्योरी (perturbation theory) का उपयोग करता है।

3. StoqMA का सामान्यीकरण (Generalization of StoqMA)
लेखक gStoqMA पेश करते हैं और सिद्ध करते हैं कि बहुपद-आकार के मेजरमेंट की अनुमति देने से पैरामीटर शिफ्ट के बिना वर्ग की शक्ति नहीं बढ़ती है (थ्योरम 3.5)। यह गुण स्टोक्वास्टिक प्रूफ सिस्टम के अध्ययन के लिए स्वतंत्र रूप से रुचि का विषय हो सकता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह शोध पत्र StoqMA जटिलता वर्ग की समझ को आगे बढ़ाने का दावा करता है, जो रैंडमाइज्ड क्लास MA और AM के बीच स्थित है ( $NP \subseteq MA \subseteq StoqMA \subseteq AM$ )।

पूर्णता (Completeness): StoqSH को StoqMA के लिए एक पूर्ण समस्या के रूप में पहचानकर, लेखक इस वर्ग के लिए एक अधिक सामान्य प्राकृतिक समस्या प्रदान करते हैं, जो प्रतिबंधित लोकल मॉडलों से आगे निकल जाती है।
सेपरेबल प्रमाण (Separable Proofs): यह कार्य StoqMA(2) को सिंगल-प्रूवर स्टोक्वास्टिक सत्यापन और सामान्य मल्टी-प्रूवर क्वांटम सत्यापन के बीच एक दिलचस्प मध्यवर्ती मॉडल के रूप में स्थापित करता है। यह StoqMA(2) के लिए एक प्राकृतिक पूर्ण समस्या (SepStoqSH) प्रदान करता है, जो QMA(2) के लिए सेपरेबल स्पार्स हैमिल्टनियन की भूमिका के समान है।
मजबूती (Robustness): परिणाम बताते हैं कि स्टोक्वास्टिक वेरीफायर की शक्ति भले ही विटनेस को सेपरेबल होने तक सीमित कर दी जाए, फिर भी स्पार्स होने पर बनी रहती है।

लेखक उल्लेख करते हैं कि हालांकि वे दिखाते हैं कि विशिष्ट मापदंडों के लिए StoqMA(k), StoqMA(2) में सिम्युलेट हो जाता है, लेकिन कड़े एरर बाउंड के तहत इस कोलैप्स की मजबूती एक खुला प्रश्न बना हुआ है। इसके अतिरिक्त, सेपरेबल स्टोक्वास्टिक लोकल हैमिल्टनियन समस्या की जटिलता भी खुली है, क्योंकि लोकल डेंसिटी मैट्रिक्स कंसिस्टेंसी के वर्तमान तकनीकें सीधे तौर पर स्टोक्वास्टिक सेटिंग में लागू नहीं होती हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र स्पार्स स्टोक्वास्टिक हैमिल्टनियन की कम्प्यूटेशनल कठिनाई को स्थापित करता है, मल्टी-क्वबिट मेजरमेंट का उपयोग करने वाली एक नई सत्यापन तकनीक पेश करता है, और कई अनएंटैंगल्ड प्रूवर्स वाले स्टोक्वास्टिक प्रूफ सिस्टम की शक्ति का लक्षण वर्णन करता है।