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Predicting Euler Characteristics and Constructing Topological Structure Using Machine Learning Techniques

यह शोध पत्र एक भौतिकी-सूचित मशीन लर्निंग ढांचे का प्रस्ताव करता है जो न्यूरल नेटवर्क को यूनिट वेक्टर फील्ड्स (जिन्हें स्पिन कॉन्फ़िगरेशन के रूप में व्याख्यायित किया जाता है) उत्पन्न करने और उनके स्काईर्मियन नंबर की गणना करने के लिए प्रशिक्षित करके इनपुट छवियों के यूलर विशेषता (Euler characteristic) की भविष्यवाणी करता है, जिसमें बड़े पूर्व-मौजूद डेटासेट की आवश्यकता के बिना स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित करने के लिए एक चुंबकीय हैमिल्टनियन का लॉस फंक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है।

मूल लेखक: Gyunghun Yu (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea), Seong Min Park (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea), Han Gyu Yoon (Department of Physics, Ky

प्रकाशित 2026-05-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gyunghun Yu (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea), Seong Min Park (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea), Han Gyu Yoon (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea), Tae Jung Moon (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea), Jun Woo Choi (Center for Spintronics, Korea Institute of Science and Technology, Seoul, South Korea), Hee Young Kwon (Center for Spintronics, Korea Institute of Science and Technology, Seoul, South Korea), Changyeon Won (Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul, South Korea)

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जादुई कैमरा है जो एक साधारण ब्लैक-एंड-व्हाइट ड्राइंग—जैसे कि एक वृत्त (circle), एक वर्ग (square), या एक वलय (ring)—को देख सकता है और तुरंत आपको उसकी आकृति के बारे में एक गुप्त संख्या बता सकता है। यह संख्या, जिसे यूलर विशेषता (Euler characteristic) कहा जाता है, वस्तुओं और उनके छिद्रों (holes) को गिनने का एक तरीका है। उदाहरण के लिए, एक ठोस वृत्त "1" है (एक वस्तु, कोई छिद्र नहीं), जबकि एक डोनट या वलय "0" है (एक वस्तु, लेकिन उसका छिद्र संख्या को शून्य कर देता है)।

आमतौर पर, कंप्यूटर को यह करने के लिए सिखाने के लिए आपको हजारों उदाहरण दिखाने की आवश्यकता होती है। लेकिन इस शोध पत्र के शोधकर्ताओं ने एक चतुर शॉर्टकट खोजा है। उन्होंने एक "स्मार्ट कैमरा" (एक न्यूरल नेटवर्क) बनाया जिसे केवल एक ही आकृति को देखने की आवश्यकता है ताकि वह नियम सीख सके, और फिर वह किसी भी ऐसी आकृति के लिए गुप्त संख्या का पता लगा सकता है जिसे उसने पहले कभी नहीं देखा है।

उन्होंने इसे कैसे किया, यहाँ कुछ मजेदार उपमाओं (analogies) का उपयोग करके बताया गया है:

1. जादुई अनुवादक: चित्रों को स्पिन फील्ड्स (Spin Fields) में बदलना

कंप्यूटर के मस्तिष्क को एक अनुवादक के रूप में सोचें। जब आप इसमें एक चित्र डालते हैं, तो यह केवल पिक्सेल को नहीं देखता है। इसके बजाय, यह उस चित्र को एक चुंबकीय मानचित्र (magnetic map) में अनुवादित करता है।

कल्पना कीजिए कि चित्र छोटे कंपास सुइयों (स्पिन्स) का एक सपाट क्षेत्र है।

यदि चित्र एक ठोस वृत्त है, तो कंप्यूटर कंपास की सुइयों को इस तरह व्यवस्थित करता है जैसे वे एक भंवर की तरह चारों ओर घूम रही हों। इस घूमते हुए पैटर्न को स्काईर्मियन (skyrmion) कहा जाता है।
यदि चित्र एक वलय (ring) है, तो कंप्यूटर एक "भंवर के भीतर दूसरा भंवर" (एक स्काईर्मियन के अंदर एक स्काईर्मियन) बनाता है।

शोधकर्ताओं ने एक जादुई संबंध खोजा: कंपास की सुइयां कितनी बार घूमती हैं (स्काईर्मियन संख्या), वह बिल्कुल उसी गुप्त आकृति संख्या (यूलर विशेषता) के बराबर होती है।

2. "वन-शॉट" लर्निंग ट्रिक

अधिकांश AI को सीखने के लिए उदाहरणों के एक विशाल पुस्तकालय की आवश्यकता होती है। इस टीम का AI एक प्रतिभाशाली छात्र की तरह है जिसे पूरी अवधारणा को समझने के लिए केवल एक उदाहरण देखने की आवश्यकता है।

उन्होंने AI को एक साधारण वृत्त का चित्र दिखाया और उससे कहा, "कंपास की सुइयों को इस तरह घुमाओ कि वह '1' के बराबर हो।"
AI ने अपने आप घूमते हुए पैटर्न के नियमों को समझ लिया।
फिर, उन्होंने इसका परीक्षण त्रिकोणों, वर्गों और जटिल स्नोफ्लेक्स (snowflakes) पर किया। भले ही उसने पहले कभी ये आकृतियाँ नहीं देखी थीं, फिर भी उसने सही गिनती से मेल खाने के लिए कंपास की सुइयों को सफलतापूर्वक पुनर्व्यवस्थित किया।

यह वैसा ही है जैसे आपने एक बच्चे को एक सेब दिखाकर गिनना सिखाया हो, और फिर वह बिना कभी संतरे, केले या अंगूर देखे, तुरंत फलों के ढेर को गिन सके।

3. "फिजिक्स टीचर": चीजों को स्थिर रखना

यहाँ पेचीदा हिस्सा है: एक ही गिनती प्राप्त करने के लिए कंपास की सुइयों को व्यवस्थित करने के कई अलग-अलग तरीके हो सकते हैं। AI भ्रमित हो सकता है और ऐसे अजीब, अस्थिर पैटर्न बना सकता है जो भौतिक रूप से सही नहीं लगते।

इसे ठीक करने के लिए, शोधकर्ताओं ने प्रशिक्षण प्रक्रिया में एक "फिजिक्स टीचर" (भौतिकी शिक्षक) जोड़ा। उन्होंने AI को वास्तविक दुनिया के भौतिकी (जैसे कि चुंबक स्वाभाविक रूप से कैसे संरेखित होते हैं) पर आधारित नियमों का एक सेट दिया।

टीचर के बिना: AI एक ऐसा भंवर बना सकता है जो गणितीय रूप से तो सही दिखता है लेकिन भौतिक रूप से असंभव है, जैसे कि निर्वात (vacuum) में घूमता हुआ बवंडर।
टीचर के साथ: AI को ऐसे भंवर बनाने के लिए मजबूर किया जाता है जो वास्तविक चुंबकों की तरह व्यवहार करते हैं। यह सुइयों को सुचारू रूप से और स्थिरता से संरेखित करना सीखता है, ठीक वैसे ही जैसे वे धातु के एक वास्तविक टुकड़े में होंगे।

यह सुनिश्चित करता है कि AI केवल अनुमान नहीं लगा रहा है; यह एक वास्तविक, स्थिर चुंबकीय संरचना बनाकर खुद को साबित करता है।

4. वास्तविक दुनिया के परीक्षण

टीम ने दो प्रकार की वास्तविक दुनिया की छवियों पर इस जादु적인 कैमरे का परीक्षण किया:

मैग्नेटिक स्ट्राइप्स (Magnetic Stripes): उन्होंने लैब प्रयोग में वास्तविक चुंबकीय पट्टियों की एक तस्वीर ली। AI ने सफलतापूर्वक धुंधली छवि को इस स्पष्ट मानचित्र में बदल दिया कि छोटी कंपास सुइयां किस दिशा में इशारा कर रही थीं, जो भौतिकी के साथ पूरी तरह मेल खाता था।
कणों की गिनती (Counting Particles): उन्होंने AI को सिलिका नैनोपार्टिकल्स (जैसे धूल के कण) की एक तस्वीर दिखाई। AI ने प्रत्येक कण को एक छोटे चुंबकीय भंवर में बदल दिया। भंवरों को गिनकर, उसने छवि में कणों की संख्या को सटीक रूप से गिना, भले ही वे आपस में बहुत करीब या घने हों।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह शोध पत्र दिखाता है कि कंप्यूटर को आकृतियों और छिद्रों के बारे में सिखाने के लिए आपको एक विशाल डेटाबेस की आवश्यकता नहीं है। चुंबकत्व की भाषा (घूमते हुए कंपास सुइयों) का उपयोग करके और चीजों को स्थिर रखने के लिए थोड़े से भौतिकी का उपयोग करके, एक कंप्यूटर केवल एक नज़र में किसी छवि के टोपोलॉजिकल रहस्यों को देख सकता है। यह सरल ज्यामिति और जटिल चुंबकीय भौतिकी के बीच के अंतर को पाटने का एक नया तरीका है।

तकनीकी सारांश: मशीन लर्निंग तकनीकों का उपयोग करके यूलर विशेषता (Euler Characteristics) की भविष्यवाणी और टोपोलॉजिकल संरचना का निर्माण

समस्या विवरण

टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस (TDA) जटिल डेटा से विशेषताओं को निकालने के लिए शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, फिर भी पारंपरिक तरीके अक्सर जटिल संरचनाओं के साथ संघर्ष करते हैं या व्यापक कम्प्यूटेशनल प्रतिमानों की आवश्यकता रखते हैं। हालांकि हाल के दृष्टिकोणों ने AI को TDA के साथ एकीकृत किया है, लेकिन यूलर विशेषता जैसे टोपोलॉजिकल इनवेरियंट्स (topological invariants) की भविष्यवाणी करने के लिए मौजूदा विधियाँ आमतौर पर पूर्व-मौजूदा स्पिन कॉन्फ़िगरेशन या मोंटे कार्लो सिमुलेशन के बड़े, लेबल किए गए डेटासेट पर निर्भर करती हैं। ये सुपरवाइज्ड लर्निंग फ्रेमवर्क डेटा-गहन (data-intensive) हैं और इनमें लचीलेपन की कमी है, क्योंकि वे मौलिक भौतिक सिद्धांतों के बजाय विशिष्ट प्रशिक्षण वितरणों के आधार पर चुंबकीय बनावट (magnetic textures) का निर्माण करते हैं। इसके अलावा, मानक इमेज-टू-इमेज रिग्रेशन मॉडल को ग्राउंड-ट्रुथ स्पिन कॉन्फ़िगरेशन की आवश्यकता होती है, जो किसी भी इनपुट इमेज के लिए उपलब्ध होना या उत्पन्न करना कठिन होता है।

इस अध्ययन में संबोधित मुख्य चुनौती यह है कि बिना किसी बड़े पूर्व-मौजूदा डेटासेट या ग्राउंड-ट्रुथ स्पिन डेटा के, एक इनपुट इमेज की यूलर विशेषता की भविष्यवाणी कैसे की जाए और एक संगत चिरल मैग्नेटिक स्पिन कॉन्फ़िगरेशन (chiral magnetic spin configuration) का निर्माण कैसे किया जाए। लेखक एक ऐसी विधि विकसित करने का लक्ष्य रखते हैं जो सीधे एक एकल ज्यामितीय इमेज और यूलर विशेषता एवं स्काईर्मियन नंबर (skyrmion number) के बीच गणितीय संबंध से टोपोलॉजिकल संबंधों को सीख सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित दृष्टिकोण एक न्यूरल नेटवर्क का उपयोग करता है जो एक सिंगल-चैनल इनपुट इमेज (जो एक टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट का प्रतिनिधित्व करती है) को तीन-चैनल आउटपुट इमेज में परिवर्तित करता है, जो एक स्पिन कॉन्फ़िगरेशन ( $\mathbf{S}_{out}$ ) को एनकोड करता है। स्पिन कॉन्फ़िगरेशन हाइजेनबर्ग स्पिन (सामान्यीकृत वेक्टर्स जिनके तीन घटक होते हैं) से बना होता है। मुख्य नवाचार प्रशिक्षण रणनीति में निहित है, जो पारंपरिक सुपरवाइज्ड लर्निंग के बजाय सेल्फ-सुपरवाइज्ड लर्निंग के एक रूप के रूप में कार्य करती है।

1. स्कीर्मियन नंबर के माध्यम से टोपोलॉजिकल मैपिंग

मॉडल को इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि उत्पन्न स्पिन कॉन्फ़िगरेशन का स्कीर्मियन नंबर ( $n(\mathbf{S}_{out})$ ), इनपुट इमेज के यूलर विशेषता ( $\chi_{input}$ ) के अनुरूप होता है। स्कीर्मियन नंबर की गणना आसन्न स्पिनों (adjacent spins) द्वारा बनाए गए सॉलिड एंगल्स के इंटीग्रेशन द्वारा की जाती है:
$n(\mathbf{S}) = \frac{1}{4\pi} \int \mathbf{S} \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial y} \right) dx dy$
प्राथमिक उद्देश्य कंप्यूटेड स्कीर्मियन नंबर और इनपुट इमेज से प्राप्त लक्षित यूलर विशेषता के बीच मीन स्क्वेर्ड एरर (mean squared error) को कम करना है।

2. लॉस फंक्शन आर्किटेक्चर (Loss Function Architecture)

कुल लॉस फंक्शन ( $\mathcal{L}_{total}$ ) में तीन घटक शामिल हैं:

टोपोलॉजिकल लॉस ( $\mathcal{L}_{topo}$ ): लक्षित यूलर विशेषता और कंप्यूटेड स्कीर्मियन नंबर के बीच का मीन स्क्वेर्ड एरर। यह नेटवर्क को टोपोलॉजिकल मैपिंग सीखने के लिए प्रेरित करता है।
नॉर्मलाइजेशन लॉस ( $\mathcal{L}_{norm}$ ): यह सुनिश्चित करता है कि आउटपुट स्पिन वेक्टर्स यूनिट लेंथ ( $|\mathbf{S}| \approx 1$ ) के करीब हों, जो हाइजेनबर्ग स्पिन मॉडल का पालन करते हैं।
हैमिल्टोनियन लॉस ( $\mathcal{L}_{\mathcal{H}}$ ): एक फिजिक्स-इंफॉर्म्ड टर्म जिसे स्पिन कॉन्फ़िगरेशन में अंतर्निहित डिग्री ऑफ फ्रीडम को नियंत्रित करने के लिए पेश किया गया है। चूंकि कई अलग-अलग स्पिन टेक्सचर एक ही स्कीर्मियन नंबर दे सकते हैं, इसलिए यह लॉस एक मैग्नेटिक हैमिल्टोनियन ( $\mathcal{H}$ $H$ ) को शामिल करता है ताकि ऊर्जा स्थिरता (energetic stability) लागू की जा सके। हैमिल्टोनियन में शामिल हैं:
- एक्सचेंज इंटरैक्शन ( $J$ )
- डज़ालोशिंस्की-मोरिया (DM) इंटरैक्शन ( $D$ )
- आउट-ऑफ-प्लेन एनिसोट्रॉपी ( $K$ )
  नेटवर्क को केवल एक एकल ज्यामितीय इमेज (जैसे, एक वृत्त) और उसके ज्ञात यूलर विशेषता (लेबल के रूप में) का उपयोग करके प्रशिक्षित किया जाता है, बिना किसी पेयर्ड स्पिन कॉन्फ़िगरेशन डेटा के।

मुख्य परिणाम

1. एकल डेटा से सीखना

मॉडल एक एकल इमेज पर प्रशिक्षण के बाद टोपोलॉजिकल संबंधों को सामान्यीकृत (generalize) करने की क्षमता प्रदर्शित करता है। क्रॉस-वैलिडेशन प्रयोगों में, वृत्त, वर्ग या त्रिकोण की एक एकल इमेज पर प्रशिक्षित मॉडल विविध टेस्ट शेप्स (रिंग्स, इनवर्टेड कलर्स और जटिल क्लस्टर्स सहित) की यूलर विशेषताओं की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करता है।

सफलता: गैर-शून्य यूलर विशेषताओं वाले इनपुट्स के लिए, मॉडल सटीक स्पिन कॉन्फ़िगरेशन (जैसे, स्काईर्मियंस, स्काईर्मियुनियम्स) का निर्माण करता है जहाँ कंप्यूटेड स्कीर्मियन नंबर इनपुट के यूलर विशेषता से मेल खाता है।
सीमा: शून्य यूलर विशेषता वाली इमेज (जैसे, एक रिंग) पर प्रशिक्षण कठिन साबित हुआ। मॉडल एक ट्रिवियल, यूनिफॉर्म स्पिन कॉन्फ़िगरेशन ( $n=0$ ) की ओर झुकता है, बजाय रिंग की गैर-ट्रिवियल टोपोलॉजी को कैप्चर करने के, जिससे यह गैर-शून्य लक्ष्यों के लिए सामान्यीकरण करने में विफल रहता है।

2. चिरल टेक्सचर्स का निर्माण

प्रशिक्षण के दौरान कभी भी चिरल मैग्नेटिक टेक्सचर को देखे बिना भी, नेटवर्क स्वायत्त रूप से उन्हें निर्मित करता है।

आकार समानता (Shape Equivalence): टोपोलॉजिकल रूप से समान आकार (जैसे, एक वृत्त और एक त्रिकोण) समान स्कीर्मियन नंबर ( $n=1$ ) देते हैं।
इनवर्जन और होल्स: कलर-इनवर्टेड इमेज विपरीत पोलैरिटी ( $n=-1$ ) वाले स्पिन कॉन्फ़िगरेशन उत्पन्न करती हैं। छेद (holes) वाली इमेज (जैसे, एक स्क्वायर रिंग) ऐसे स्कीर्मियन नंबर देती हैं जहाँ आंतरिक और बाहरी सीमाओं का योगदान एक-दूसरे को रद्द कर देता है ( $n=0$ )।
ऑब्जेक्ट काउंटिंग: विधि जटिल इमेज (जैसे, 18 हेक्सागोन) में वस्तुओं को सफलतापूर्वक गिनती है और होल्स से होने वाले नेगेटिव योगदान को भी संभालती है (जैसे, 20 होल्स वाला विंडो फ्रेम $n = 1 - 20 = -19$ देता है)।

3. हैमिल्टोनियन लॉस का प्रभाव

हैमिल्टोनियन लॉस को शामिल करने से आउटपुट की स्थिरता और भौतिक वास्तविकता पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है:

नॉन-यूनिकनेस कंट्रोल: हैमिल्टोनियन लॉस के बिना, मॉडल वैध लेकिन मनमाने स्पिन कॉन्फ़िगरेशन बनाता है जहाँ कोर और बैकग्राउंड स्पिन गोला (sphere) पर रैंडम विपरीत बिंदुओं पर मैप होते हैं।
फिजिकल कंस्ट्रेंट्स: हैमिल्टोनियन लॉस को शामिल करने से नेटवर्क ऊर्जावान रूप से स्थिर टेक्सचर्स की ओर निर्देशित होता है।
- एक्सचेंज इंटरैक्शन: स्पिन वेरिएशंस को स्मूथ बनाता है।
- एनिसोट्रॉपी: स्पिन को आउट-ऑफ-प्लेन एक्सिस के साथ संरेखित करता है, जिससे रैंडमनेस कम होती है।
- DM इंटरैक्शन: विशिष्ट चिरल डोमेन वॉल पैटर्न (जैसे, नेल-टाइप) को लागू करता है, जिससे शेष डिग्री ऑफ फ्रीडम पूरी तरह समाप्त हो जाती है।
पैरामीटर ट्यूनिंग: मॉडल एनिसोट्रॉपी पैरामीटर ( $K$ ) को एडजस्ट करके विशिष्ट डोमेन वॉल विड्थ वाले स्पिन कॉन्फ़िगरेशन उत्पन्न कर सकता है, जो सैद्धांतिक भविष्यवाणियों ( $\delta \propto 1/\sqrt{K}$ ) के अनुरूप है।

4. व्यावहारिक अनुप्रयोग

यह अध्ययन वास्तविक दुनिया के डेटा पर दृष्टिकोण को मान्य करता है:

माइ्रोगैनेटिक इमेजिंग: मॉडल मैग्नेटिक डोमेन के स्कैनिंग ट्रांसमिशन एक्स-रे माइक्रोस्कोपी (STXM) इमेज को पूर्ण स्पिन कॉन्फ़िगरेशन में बदल देता है, जो सैद्धांतिक एनिसोट्रॉपी मानों के अनुरूप डोमेन वॉल प्रोफाइल को सटीक रूप से पुनरुत्पादित करता है।
पार्टिकल काउंटिंग: यह विधि उत्पन्न टेक्सचर्स के स्कीर्मियन नंबरों को जोड़कर ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी इमेज में सिलिका नैनोकणों को सफलतापूर्वक गिनती है।
नॉइज़ सेंसिटिविटी: लेखक नोट करते हैं कि गाऊसी ब्लर (Gaussian blur) के साथ प्रदर्शन घट जाता है, जहाँ ओवरलैपिंग ऑब्जेक्ट्स एक एकल टोपोलॉजिकल एंटिटी में मिल जाते हैं, जो शोर वाले वास्तविक परिदृश्यों में प्रीप्रोसेसिंग की आवश्यकता को रेखांकित करता है।

महत्व और दावे

यह शोध एक नए प्रतिमान का दावा करता है जहाँ एक न्यूरल नेटवर्क बड़े, पूर्व-मौजूदा स्पिन कॉन्फ़िगरेशन के डेटासेट पर निर्भर किए बिना जटिल, चिरल मैग्नेटिक टेक्सचर बनाने और यूलर विशेषता की भविष्यवाणी करने के लिए सीखता है।

डेटा दक्षता: यह विधि एक एकल ज्यामितीय इमेज को प्रशिक्षण लेबल के रूप में उपयोग करके उच्च भविष्य कहनेवाला सटीकता प्राप्त करती है, जो डेटा-गहन सुपरवाज़्ड लर्निंग दृष्टिकोणों के विपरीत है।
सेल्फ-सुपरवाइज्ड टोपोलॉजी: नेटवर्क स्वायत्त रूप से ज्यामितीय इनपुट और टोपोलॉजिकल आउटपुट (स्कीर्मियन नंबर) के बीच मैपिंग को सीखता है, जो केवल यूलर विशेषता और स्कीर्मियन नंबर के बीच गणितीय निरंतरता द्वारा निर्देशित होता है।
फिजिक्स-इंफॉर्म्ड फ्लेक्सिबिलिटी: एक मैग्नेटिक हैमिल्टोनियन को लॉस फंक्शन के रूप में एकीकृत करके, यह दृष्टिकोण न केवल टोपोलॉजिकल नंबर की भविष्यवाणी करता है बल्कि भौतिक रूप से स्थिर और यथार्थवादी स्पिन कॉन्फ़िगरेशन भी उत्पन्न करता है। यह प्रशिक्षण के दौरान हैमिल्टोनियन पैरामीटर्स को समायोजित करके मनमाने चुंबकीय टेक्सचर उत्पन्न करने की अनुमति देता है, जो सिमुलेशन डेटा की आवश्यकता के बिना माइ्रोगैनेटिक सिमुलेशन के विकल्प (surrogate) के रूप में कार्य करता है।
अंतर्विषयी सेतु (Interdisciplinary Bridge): यह कार्य कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स की अवधारणाओं (स्काईर्मियंस, हैमिल्टोनियन) को टोपोलॉजिकल विश्लेषण समस्याओं को हल करने के लिए मशीन लर्निंग के साथ सफलतापूर्वक एकीकृत करने का प्रदर्शन करता है, जो सामग्री विज्ञान और कम्प्यूटेशनल भौतिकी के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है।