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HaM-World: Soft-Hamiltonian World Models with Selective Memory for Planning

HaM-World एक संरचित वर्ल्ड मॉडल पेश करता है जो लंबी अवधि की योजना को स्थिर करने और आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन डायनेमिक्स शिफ्ट के विरुद्ध मजबूती को महत्वपूर्ण रूप से सुधारने के लिए डिकंपोज्ड सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन लेटेंट स्पेस के साथ मांबा-आधारित चयनात्मक मेमोरी को एकीकृत करता है।

मूल लेखक: Haoyun Tang, Haodong Cui, Keyao Xu, Kun Wang, Zhandong Mei

प्रकाशित 2026-05-08

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Haoyun Tang, Haodong Cui, Keyao Xu, Kun Wang, Zhandong Mei

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को एक जटिल खेल खेलना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि जग्लिंग करना या एक डंडे को संतुलित करना। इसे अच्छी तरह से करने के लिए, रोबोट को एक "वर्ल्ड मॉडल" (world model) की आवश्यकता होती है—एक आंतरिक सिमुलेशन जो उसे यह कल्पना करने की अनुमति दे कि किसी निश्चित कार्य को करने से पहले क्या होगा।

यह शोध पत्र HaM-World का परिचय देता है, जो एक नए प्रकार का वर्ल्ड मॉडल है जिसे इन मानसिक सिमुलेशन को अधिक स्थिर और सटीक बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, विशेष रूप से लंबी अवधि के लिए या जब खेल के नियम थोड़े बदल जाते हैं।

यह कैसे काम करता है, इसे सरल अवधारणाओं और उपमाओं में विभाजित करके यहाँ समझाया गया है:

1. समस्या: "दिन का सपना" धुंधला हो जाता है

वर्तमान वर्ल्ड मॉडल एक ऐसे छात्र की तरह हैं जो एक कहानी को एक बार में एक वाक्य पढ़कर याद करने की कोशिश कर रहा है। यदि कहानी छोटी है, तो वे इसे पूरी तरह से याद रखते हैं। लेकिन यदि वे 100 कदम आगे की कहानी की कल्पना करने की कोशिश करते हैं, तो विवरण धुंधले हो जाते हैं, और कहानी बिखर जाती है।

समस्या: जैसे-जैसे रोबोट भविष्य में आगे की योजना बनाता है, उसके अनुमान अस्थिर होते जाते हैं। वह तब भी संघर्ष करता है जब वातावरण बदल जाता है (जैसे, फर्श फिसलन भरा हो जाता है या रोबोट का हाथ भारी हो जाता है)।
कारण: शोध पत्र का तर्क है कि मौजूदा मॉडल अपने "मस्तिष्क" में बहुत सारी चीजों को मिला देते हैं। वे रोबोट की स्थिति (वह कहाँ है), उसके संवेग/मोमेंटम (वह कितनी तेजी से चल रहा है), और संदर्भ (लक्ष्य क्या है या फर्श गीला है या नहीं) को आपस में भ्रमित कर देते हैं। यह मिश्रण त्रुटियों को तेजी से बढ़ने का कारण बनता है।

2. समाधान: तीन कमरों वाला एक विशिष्ट "मस्तिष्क"

HaM-World इसे एक बड़े अव्यवठित कमरे के बजाय रोबोट की आंतरिक स्थिति को तीन अलग-अलग "कमरों" या विभाजनों में व्यवस्थित करके हल करता है:

कमरा A: भौतिकी इंजन (q और p)
यह शुद्ध भौतिकी को संभालता है: स्थिति ( $q$ ) और संवेग ( $p$ )। लेखक यहाँ हैमिल्टोनियन डायनेमिक्स (Hamiltonian dynamics) नामक एक गणितीय अवधारणा का उपयोग करते हैं।
- उपमा: इसे एक बिलियर्ड टेबल के रूप में सोचें। बिलियर्ड टेबल पर, ऊर्जा संरक्षित रहती है; गेंदें एक-दूसरे से अनुमानित तरीकों से टकराती हैं। HaM-World रोबोट की स्थिति और संवेग को बिलियर्ड बॉल्स की तरह व्यवहार करने की कोशिश करता है। यह सिमुलेशन के लिए एक स्थिर "बैकबोन" बनाता है, जिससे रोबोट असंभव भौतिकी की कल्पना करने से बच जाता है (जैसे कि एक गेंद बिना किसी कारण के अचानक तेज हो जाना)।
- "सॉफ्ट" ट्विस्ट: वास्तविक जीवन एक आदर्श बिलियर्ड टेबल नहीं है; वहाँ घर्षण (friction) होता है, और रोबोट के पास मोटर्स होते हैं। इसलिए, HaM-World एक "सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन" दृष्टिकोण का उपयोग करता है। यह स्थिर बिलियर्ड-टेबल संरचना को बनाए रखता है लेकिन इसमें एक "रेसिडुअल" (residual) परत जोड़ने की अनुमति देता है जो घर्षण और मोटर नियंत्रण जैसी वास्तविक दुनिया की उलझनों को सीखती है।
कमरा B: संदर्भ कक्ष (c)
यह उस जानकारी को रखता है जो बिलियर्ड-टेबल के नियमों का पालन नहीं करती है।
- उपमा: यह रोबोट की नोटबुक है। यह ऐसी चीजें लिखता है जैसे "लक्ष्य उंगली को घुमाना है," "फर्श फिसलन भरा है," या "मुझे सावधान रहने की जरूरत है।" ये वे अर्थ संबंधी विवरण हैं जो शुद्ध स्थिति और गति की भौतिकी में फिट नहीं होते, लेकिन यह जानने के लिए महत्वपूर्ण हैं कि क्या करना है।
कमरा C: मेमोरी रूम (Mamba)
यह रोबोट की अल्पकालिक स्मृति (short-term memory) है।
- उपमा: कभी-कभी रोबोट सब कुछ नहीं देख पाता (आंशिक दृश्यता), या जब वह निर्णय लेता है और वास्तव में हिलता है उसके बीच देरी होती है। एक मानक मॉडल पिछले 5 सेकंड में क्या हुआ था, उसे भूल सकता है। HaM-World Mamba नामक एक विशेष मेमोरी सिस्टम का उपयोग करता है जो एक चयनात्मक फिल्टर की तरह कार्य करता है। यह वर्तमान निर्णय लेने के लिए आवश्यक अतीत के महत्वपूर्ण हिस्सों को याद रखता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि रोबोट अपने ही "दिन के सपने" में खो न जाए।

3. यह मिलकर कैसे काम करता है

जब रोबोट किसी चाल की योजना बनाता है, तो वह केवल अनुमान नहीं लगाता। वह अपने दिमाग के अंदर एक सिमुलेशन (एक "रोलआउट") चलाता है:

यह वर्तमान स्थिति को देखता है।
यह अतीत के विवरणों को भरने के लिए मेमोरी रूम का उपयोग करता है।
यह मोटर नियंत्रण द्वारा ट्यून किए गए स्थिर बिलियर्ड-टेबल नियमों का उपयोग करके फिजिक्स रूम को अपडेट करता है।
यह लक्ष्य या वातावरण के बारे में नई जानकारी के साथ कॉन्टेक्स्ट रूम को अपडेट करता है।
यह देखने के लिए कि कौन सा कार्य सबसे अच्छा परिणाम देता है, यह कई चरणों के लिए इस प्रक्रिया को दोहराता है।

क्योंकि भौतिकी वाला हिस्सा बहुत स्थिर है (बिलियर्ड टेबल की तरह) और मेमोरी वाला हिस्सा अंतराल भरने में बहुत अच्छा है, इसलिए रोबोट का "दिन का सपना" लंबे नियोजन काल (planning horizons) के लिए भी स्पष्ट और सटीक बना रहता है।

4. परिणाम: हर चीज़ में बेहतर

लेखकों ने चार मानक रोबोट कार्यों (जैसे चीता दौड़ना या उंगली से किसी वस्तु को घुमाना) पर HaM-World का परीक्षण किया।

सटीकता: इसने भविष्य की कल्पना करने में अन्य शीर्ष मॉडलों की तुलना में बहुत कम गलतियाँ कीं। वास्तव में, इसके दीर्घकालिक भविष्यवाणी त्रुटियां अगले-सर्वश्रेष्ठ मॉडल से आधी से भी कम थीं।
मजबूती (Robustness): जब शोधकर्ताओं ने खेल के नियम बदल दिए (जैसे, रोबोट को भारी बनाया, उसकी क्रियाओं को धीमा किया, या उसके दृष्टि के कुछ हिस्सों को छिपा दिया), तो HaM-World ने अपना प्रदर्शन बनाए रखा। यह एकमात्र मॉडल था जिसने प्रत्येक कठिन परीक्षण स्थिति में उच्चतम स्कोर बनाए रखा।
दक्षता (Efficiency): इसने अन्य तरीकों की तुलना में कम प्रशिक्षण प्रयासों के साथ रोबोट को नियंत्रित करना सीखा।

सारांश

HaM-World एक रोबोट को एक बेहतर आंतरिक मानचित्र देने जैसा है। एक धुंधले, मिश्रित स्केच के बजाय, यह रोबोट को एक संरचित मानचित्र देता है जिसमें एक स्थिर भौतिक आधार (बिलियर्ड टेबल), महत्वपूर्ण नोट्स रखने की जगह (कॉन्टेक्स्ट), और एक विश्वसनीय स्मृति (फिल्टर) है। यह रोबोट को जटिल, दीर्घकालिक कार्यों की योजना बनाने में सक्षम बनाता है ताकि वह भ्रमित न हो या अपना रास्ता न भटके, भले ही उसके आसपास की दुनिया बदल रही हो।

तकनीकी सारांश: HaM-World

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

वर्ल्ड मॉडल्स (World models) लेटेंट डायनेमिक्स को सीखकर इमेजिन्ड रोलआउट्स (imagined rollouts) करने के लिए मॉडल-आधारित प्लानिंग को सक्षम बनाते हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे प्लानिंग हॉरिजन बढ़ता है या एनवायरनमेंट की डायनेमिक्स बदलती है, ये इमेजिन्ड रोलआउट्स अक्सर अस्थिर हो जाते हैं। लेखक तर्क देते हैं कि यह अस्थिरता प्लानर-फेसिंग लेटेंट रिप्रेजेंटेशन्स में दो लुप्त संरचनात्मक घटकों के कारण होती है:

अनुमानित मार्कोव पूर्णता (Approximate Markov Completeness): आंशिक दृश्यता (Partial observability) और एक्शन डिले (action delays) सिंगल-फ्रेम लेटेंट्स को मार्कोव स्टेट्स के रूप में अपर्याप्त बना देते हैं, फिर भी मौजूदा मॉडल्स में अक्सर हिस्ट्री-कंडीशन्ड मेमोरी की कमी होती है जो इसे संबोधित कर सके।
ज्यामितीय संगठन (Geometric Organization): मोनोलिथिक लेटेंट रिप्रेजेंटेशन्स कॉन्फ़िगरेशन, मोमेंटम और टास्क सेमेंटिक्स को आपस में उलझा देते हैं। यह उलझाव बिना किसी स्ट्रक्चरल कंस्ट्रेंट के मल्टी-स्टेप प्रेडिक्शन एरर्स को बढ़ा देता है, जिससे बाधित कंट्रोल रिजीम्स के तहत खराब फिजिकल-स्ट्रक्चर एक्सट्रपलेशन होता है।

वर्तमान दृष्टिकोण मुख्य रूप से अंतर्निहित जेनेरेटिव स्ट्रक्चर (जैसे, इनवेरिएंस और कंजर्वेशन लॉ) के बजाय सांख्यिकीय सहसंबंधों (statistical correlations) को कैप्चर करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्लानर्स लॉन्ग-हॉजन कंसिस्टेंसी और आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन (OOD) जनरलाइजेशन में संघर्ष करते हैं।

2. कार्यप्रणाली: HaM-World (Methodology: HaM-World)

लेखक HaM-World (HMW) का प्रस्ताव करते हैं, जो एक स्ट्रक्चर्ड वर्ल्ड मॉडल है जो लेटेंट स्टेट को एक यूनिफाइड इंटरफेस में विभाजित करता है जो डायनेमिक्स प्रेडिक्शन, रिवॉर्ड/वैल्यू एस्टीमेशन, इमेजिन्ड रोलआउट्स और क्रॉस-एंट्रॉपी मेथड (CEM) एक्शन सर्च के बीच साझा किया जाता है। यह आर्किटेक्चर तीन मुख्य घटकों से बना है:

A. लेटेंट फैक्टराइजेशन ( $q, p, c$ )

लेटेंट स्टेट $z_t$ को स्पष्ट रूप से विभाजित किया गया है:

कैनोनिकल सबस्पेस $(q, p)$ : यह कॉन्फ़िगरेशन और मोमेंटम का प्रतिनिधित्व करता है। यह सबस्पेस एक सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन (Soft-Hamiltonian) प्रायर द्वारा नियंत्रित होता है।
कॉन्टेक्स्ट सबस्पेस $c$ : यह सेमेंटिक, डिसिपेटिव और नॉन-कंजर्वेटिव कारकों (जैसे, कॉन्टैक्ट स्विच, फ्रिक्शन, टास्क सेमेंटिक्स) को कैप्चर करता है जो ऊर्जा संरक्षण का कड़ाई से पालन नहीं करते हैं।

B. सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन डायनेमिक्स (Soft-Hamiltonian Dynamics)

कठोर ऊर्जा संरक्षण लागू करने के बजाय (जो घर्षण और कॉन्टैक्ट वाले कंट्रोल्ड सिस्टम के लिए बहुत प्रतिबंधात्मक है), HaM-World $(q, p)$ पेयर के लिए एक "सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन" अपडेट का उपयोग करता है:
$\Delta q_t = (1 - \alpha) \Delta q_{net} + \alpha \frac{\partial H}{\partial p}$
$\Delta p_t = (1 - \alpha) \Delta p_{net} - \alpha \frac{\partial H}{\partial q} + G_t a_t$

$H_\phi(q, p)$ : एक लर्न करने योग्य एनर्जी फील्ड।
$\alpha$ : एक मिक्सिंग कोएफिशिएंट जो डेटा-ड्रिवन नेटवर्क अपडेट्स और हैमिल्टोनियन वेक्टर फील्ड के बीच संतुलन बनाता है।
$G_t a_t$ : मोमेंटम अपडेट में जोड़ा गया एक स्पष्ट सीखा गया कंट्रोल ड्राइव।
मैकेनिज्म: यह डिज़ाइन मॉडल को स्थिरता के लिए एक ऊर्जा-संगठित ज्यामितीय बैकबोन बनाए रखने की अनुमति देता है, जबकि रेसिडुअल डायनेमिक्स और कंट्रोल ड्राइव के माध्यम से कॉन्टैक्ट, फ्रिक्शन और टास्क ऑब्जेक्टिव्स को फिट करने की लचीलापन भी बनाए रखता है।

C. सिलेक्टिव मेमोरी (Mamba)

आंशिक दृश्यता और एक्शन डिले को संबोधित करने के लिए, HaM-World लेटेंट डायनेमिक्स के लिए एक हिस्ट्री-कंडीशन्ड इनपुट ( $h_t$ ) के रूप में मांबा सिलेक्टिव स्टेट-स्पेस मॉडल्स (Mamba selective state-space models) को एकीकृत करता है।

पैरेलल रिकरेंट रोलआउट मॉडल्स के विपरीत, मांबा उसी लेटेंट डायनेमिक्स के लिए एक सिंगल हिस्ट्री-कंडीशन्ड इनपुट प्रदान करता है जिसका उपयोग प्लानर द्वारा किया जाता है।
यह सुनिश्चित करता है कि प्लानर इंटरफेस ट्रेनिंग, इमेजिन्ड रोलआउट्स और CEM सर्च के बीच यूनिफाइड रहे, बिना अलग से रिकरेंट स्टेट की आवश्यकता के।

D. ट्रेनिंग ऑब्जेक्टिव्स (Training Objectives)

मॉडल को एक कंपोजिट लॉस फंक्शन के साथ प्रशिक्षित किया जाता है जिसमें शामिल हैं:

मल्टी-स्टेप रोलआउट कंसिस्टेंसी ( $L_{roll}$ ): प्लानिंग हॉरिजन पर एरर संचय को नियंत्रित करता है।
हैमिल्टोनियन एलाइनमेंट ( $L_{ham}$ ): एक सॉफ्ट डायरेक्शनल बायस जो नेटवर्क ब्रांच को हैमिल्टोनियन वेक्टर फील्ड के साथ अलाइन करता है।
एक्शन-फ्री एनर्जी रेगुलराइजेशन ( $L_{energy}$ ): एक्शन की अनुपस्थिति में एनर्जी ड्रिफ्ट को रोकता है।
स्टैंडर्ड ऑब्जेक्टिव्स: JEPA-स्टाइल रिप्रेजेंटेशन एलाइनमेंट, वन-स्टेप डायनेमिक्स कंसिस्टेंसी, और रिवॉर्ड/वैल्यू रिग्रेशन (symlog टू-हॉट टारगेट्स का उपयोग करके)।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

स्ट्रक्चर्ड प्लानर-फेसिंग डायनेमिक्स: $q/p/c$ लेटेंट फैक्टराइजेशन का परिचय जो मांबा सिलेक्टिव मेमोरी को सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन $(q, p)$ डायनेमिक्स के साथ जोड़ता है। यह CEM प्लानिंग, रिवॉर्ड एस्टीमेशन और डायनेमिक्स प्रेडिक्शन के लिए एक सिंगल लेटेंट इंटरफेस प्रदान करता है।
मैकेनिज्म-अवेयर इवैल्यूएशन: एक व्यापक मूल्यांकन प्रोटोकॉल जिसमें स्टैंडर्ड कंट्रोल परफॉरमेंस, लॉन्ग-हॉजन रोलआउट कंसिस्टेंसी (MSE at $k \in \{3, 5, 7\}$ ), और 12 OOD परटर्बेशन्स (डायनेमिक्स शिफ्ट्स, डिलेज़, मास्किंग) शामिल हैं।
एम्पिरिकल गेन्स: कई मेट्रिक्स पर बेहतर प्रदर्शन प्रदर्शित किया, विशेष रूप से लॉन्ग-हॉजन स्टेबिलिटी और OOD रोबस्टनेस में, जिसे मैकेनिज्म डायग्नोस्टिक्स द्वारा समर्थित किया गया है जो बाउंडेड एनर्जी ड्रिफ्ट और कोहेरेंट कंट्रोल-इंड्यूस्ड एनर्जी ट्रांसफर दिखाता है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

चार डीपमाइंड कंट्रोल सूट (DMC) कार्यों (Reacher Easy, Finger Spin, Cheetah Run, Cartpole Swingup) पर 100k-स्टेप सैंपल बजट के साथ मूल्यांकन किया गया:

कंट्रोल परफॉरमेंस: HaM-World ने उच्चतम एवरेज एरिया अंडर द कर्व (Avg. AUC) 117.9 प्राप्त किया, जिसने TD-MPC2 (+9.5%), SAC (+66.3%), और DreamerV3 (+101.2%) को पछाड़ दिया। इसने Finger Spin और Reacher Easy पर उच्चतम फाइनल रिटर्न प्राप्त किया।
लॉन्ग-हॉजन स्टेबिलिटी: HaM-World ने लॉन्ग-हॉजन रोलआउट एरर को स्ट्रॉन्ग बेसलाइन (TD-MPC2) के 45% और DreamerV3 के 14.3% तक कम कर दिया। इसने $k \in \{3, 5, 7\}$ के लिए 12 में से 11 MSE सेल्स में जीत हासिल की।
OOD जनरलाइजेशन: 12 OOD परटर्बेशन्स (मास चेंज, डैम्पिंग, फ्रिक्शन, एक्शन डिले और ऑब्जर्वेशन मास्किंग सहित) के तहत, HaM-World ने हर स्थिति में उच्चतम रिटर्न प्राप्त किया।
- Finger Spin पर, इसने TD-MPC2 पर 10.2% औसत OOD-रिटर्न गेन दिखाया।
- Reacher Easy पर, इसने TD-MPC2 पर 13.6% औसत OOD-रिटर्न गेन दिखाया।
मैकेनिज्म डायग्नोस्टिक्स:
- एनर्जी ड्रिफ्ट: एक्शन-फ्री रोलआउट्स में, सीखा गया हैमिल्टोनियन एनर्जी लगभग स्थिर रहा (लगभग 1% ड्रिफ्ट), जो सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन स्ट्रक्चर की पुष्टि करता है।
- कंट्रोल कपलिंग: विश्लेषण ने दिखाया कि एक्शन "पुश" ( $\nabla_p H$ पर कंट्रोल का प्रोजेक्शन) लगातार एनर्जी लेयर क्रॉसिंग के साथ सह-संबंधित था, जो कंट्रोल्ड-हैमिल्टोनियन डिज़ाइन को मान्य करता है।
- एब्लेशन: ज्यामितीय संरचना (A1) या मेमोरी (A2) को हटाने से प्रदर्शन काफी गिर गया। विशेष रूप से, आंशिक दृश्यता के तहत उपयोगिता के लिए मेमोरी प्रमुख पूर्व शर्त थी, जबकि सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन स्ट्रक्चर ने रोलआउट रोबस्टनेस की सीमा को ऊपर उठाया।

5. महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर का दावा है कि HaM-World यह प्रदर्शित करता है कि मार्कोव पूर्णता (सिलेक्टिव मेमोरी के माध्यम से) और ज्यामितीय निरंतरता (सॉफ्ट-हैमिल्टोनियन स्ट्रक्चर के माध्यम से) को यूनिफाइड लेटेंट डायनेमिक्स के युग्मित चरणों के रूप में उपचारित करना प्लानर प्रदर्शन को महत्वपूर्ण रूप से सुधारता है।

स्ट्रक्चरल बनाम स्टैटिस्टिकल: लाभ मॉडल की भौतिक नियमितताओं (ऊर्जा संगठन) को शामिल करने की क्षमता के कारण हैं, न कि केवल सांख्यिकीय सहसंबंध फिटिंग पर निर्भर रहने के कारण।
यूनिफाइड इंटरफेस: यह कार्य दिखाता है कि एक सिंगल लेटेंट स्टेट, जो प्रेडिक्शन, वैल्यू एस्टीमेशन और प्लानिंग द्वारा साझा किया जाता है, प्रभावी बनाया जा सकता है यदि वह कंजर्वेटिव डायनेमिक्स ( $q, p$ ) और नॉन-कंजर्वेटिव कॉन्टेक्स्ट ( $c$ ) के अलगाव का सम्मान करता है।
रोबस्टनेस: विधि रोलआउट की अस्थिरता के लिए एक स्ट्रक्चरल समाधान प्रदान करती है, जो अलग रिकरेंट प्लानर स्टेट्स की आवश्यकता के बिना डिस्ट्रीब्यूशन शिफ्ट और परटर्बेशन्स के तहत बेहतर एक्सट्रपलेशन को सक्षम बनाती है।

सीमाएं: लेखक नोट करते हैं कि वर्तमान कार्य चार DMC कार्यों पर स्टेट-बेस्ड ऑब्जर्वेशन्स तक सीमित है। पिक्सेल इनपुट, व्यापक मॉर्फोलॉजी और डिस्कंटीन्यूअस कॉन्टैक्ट परिदृश्यों तक स्केल करना एक खुला चैलेंज बना हुआ है। डायग्नोस्टिक्स समर्थित करते हैं कि इंटरफेस सीखा गया है, लेकिन वे यह साबित नहीं करते कि डायनेमिक्स वैश्विक रूप से हैमिल्टोनियन है।