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Trade-off Functions for DP-SGD with Subsampling based on Random Shuffling: Tight Upper and Lower Bounds

यह शोधपत्र रैंडम शफलिंग सबसॅम्पलिंग के साथ डिफरेंशियल प्राइवेट स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट (DP-SGD) के ट्रेड-ऑफ फंक्शन के लिए सटीक, पारदर्शी क्लोज्ड-फॉर्म ऊपरी और निचली सीमाएं स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि यह विधि पॉइसन सबसॅम्पलिंग की तुलना में बेहतर व्याख्यात्मकता और अनुकूल गोपनीयता-उपयोगिता ट्रेड-ऑफ प्रदान करती है, विशेष रूप से उन स्थितियों में जहाँ नॉइज़ मल्टीप्लायर पर्याप्त रूप से बड़ा है।

मूल लेखक: Marten van Dijk, Murat Bilgehan Ertan

प्रकाशित 2026-05-08

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Marten van Dijk, Murat Bilgehan Ertan

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कंप्यूटर को बिल्लियों की तस्वीरों को पहचानना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, बिना कभी किसी विशिष्ट व्यक्ति की फोटो को कंप्यूटर को "दिखाए"। यह डिफरेंशियल प्राइवेसी (DP) का लक्ष्य है। ऐसा करने के लिए, कंप्यूटर तस्वीरों के छोटे समूहों (जिन्हें "मिनी-बैचेस" कहा जाता है) से सीखता है और सीखने की प्रक्रिया में थोड़ा सा "स्टैटिक" या "शोर" (noise) जोड़ देता है, जैसे रेडियो की आवाज़ बढ़ाकर किसी फुसफुसाहट को दबा देना।

बड़ा सवाल जिसका यह पेपर उत्तर देता है वह यह है: जब हम तस्वीरों को बेतरतीब ढंग से (randomly) शफल करते हैं, तो गोपनीयता सुनिश्चित करने के लिए हमें कितना शोर जोड़ने की आवश्यकता है?

समस्या: "शफल" बनाम "सिक्का उछालना"

वास्तविक दुनिया में, जब हम AI मॉडल को प्रशिक्षित करते हैं, तो हम आमतौर पर डेटा की एक विशाल सूची लेते हैं, उसे बेतरतीब ढंग से शफल करते हैं (जैसे ताश के पत्तों को शफल करना), और फिर उसे समान आकार के टुकड़ों में काट देते हैं ताकि मॉडल को सिखाया जा सके। इसे रैंडम शफलिंग (Random Shuffling) कहा जाता है।

हालाँकि, वर्षों से, गोपनीयता का विश्लेषण करने वाले गणितज्ञों ने एक अलग पद्धति का अध्ययन किया है जिसे पॉइसन सबसैंपलिंग (Poisson Subsampling) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि ताश के पत्तों को शफल करने के बजाय, आप हर एक फोटो के लिए सिक्का उछालते हैं: "हेड्स, इसे शामिल करें; टेल्स, इसे छोड़ दें।" यह गणितीय रूप से गणना करने में आसान है, लेकिन यह उस तरह से काम नहीं करता है जैसे अधिकांश वास्तविक दुनिया के सिस्टम वास्तव में काम करते हैं।

चूंकि "सिक्का उछालने" वाली विधि का विश्लेषण करने वाला गणित "शफल" विधि पर पूरी तरह से फिट नहीं बैठता है, इसलिए हमारे पास इस बात का कोई स्पष्ट, सटीक नियम नहीं था कि "शफल" विधि वास्तव में कितनी निजी थी। हम केवल अनुमान लगा रहे थे।

समाधान: एक नया, स्पष्ट नियम पुस्तिका

इस पेपर के लेखकों ने "शफल" विधि की गोपनीयता को मापने के लिए एक टाइट, क्लोज्ड-फॉर्म फॉर्मूला (एक स्पष्ट, सटीक समीकरण) तैयार किया है। उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने एक सटीक नियम बनाने के लिए उन्नत सांख्यिकीय उपकरणों (जैसे बेरी-एस्सेपन प्रमेय (Berry-Esseen theorem), जो एक अव्यवस्थित डेटा के ढेर और एक आदर्श बेल कर्व के बीच की दूरी को मापने के लिए एक अत्यंत सटीक पैमाने की तरह है) का उपयोग किया है।

इसे इस तरह समझें:

पुराना तरीका: "यदि आप कार्ड्स को शफल करते हैं, तो आप शायद सुरक्षित हैं, लेकिन हम यह ठीक-ठीक नहीं बता सकते कि आप कितने सुरक्षित हैं जब तक कि हम दस लाख सिमुलेशन न चला लें।"
नया तरीका: "यदि आप कार्ड्स को शफल करते हैं और इसमें इस विशिष्ट मात्रा में शोर जोड़ते हैं, तो यहाँ वह सटीक गणितीय गारंटी है कि कोई भी सिस्टम के साथ धोखाधड़ी नहीं कर सकता।"

मुख्य निष्कर्ष (सरल भाषा में)

1. शोर का "स्वीट स्पॉट" (Sweet Spot)
पेपर में पाया गया है कि शोर का एक विशिष्ट दायरा है जहाँ गणित खूबसूरती से काम करता है।

बहुत कम शोर: यदि शोर बहुत कम है, तो सिस्टम एक शांत कमरे में फुसफुसाहट जैसा है; एक हमलावर आसानी से गुप्त बात सुन सकता है। पेपर पुष्टि करता है कि एक निश्चित सीमा से नीचे, गोपनीयता की गारंटी देना असंभव है।
बिल्कुल सही: यदि शोर एक निश्चित स्तर से ऊपर है (विशेष रूप से, जब शोर मल्टीप्लायर $\sigma$ लगभग $\sqrt{3/\ln M}$ से अधिक होता है), तो लेखक एक स्पष्ट फॉर्मूला प्रदान करते हैं जो दिखाता है कि सिस्टम अत्यंत निजी है।
परिणाम: प्रशिक्षण के एक दौर (एक "एपॉक") के लिए, यदि आपके पास लगभग 11.4 मिलियन डेटा पॉइंट्स हैं और आपने उन्हें 1.14 मिलियन छोटे समूहों में विभाजित किया है, तो मानक मात्रा में शोर ( $\sigma=1$ ) जोड़ने से आपको एक बहुत मजबूत गोपनीयता गारंटी मिलती है। यह इतनी मजबूत है कि एक हमलावर केवल अनुमान लगा रहा है, जैसे कि यह तय करने के लिए सिक्का उछालना कि क्या किसी विशिष्ट व्यक्ति के डेटा का उपयोग किया गया था।

2. "मल्टी-राउंड" का जाल (The Multi-Round Trap)
क्या होता है यदि आप कई राउंड (एपॉक्स) के लिए मॉडल को प्रशिक्षित करते हैं?

रैखिक खतरा (The Linear Danger): यदि आप केवल हर राउंड से होने वाले गोपनीयता नुकसान को जोड़ते हैं, तो गोपनीयता की गारंटी बहुत तेज़ी से खराब हो जाती है। यह एक बारूदी सुरंग (minefield) में चलने जैसा है; यदि आप 100 कदम उठाते हैं, तो आपके बम पर पैर रखने की संभावना 100 गुना बढ़ जाती है। पेपर दिखाता है कि उनके वर्तमान फॉर्मूले के साथ, यदि आप बहुत अधिक राउंड के लिए प्रशिक्षण लेते हैं, तो गोपनीयता की गारंटी तब तक ढह जाएगी जब तक कि आपके पास एक असंभव रूप से बड़ा डेटासेट न हो।
एसिम्प्टोटिक आशा (The Asymptotic Hope): लेखकों ने यह भी देखा कि "लंबे समय में" (जैसे-जैसे डेटासेट अनंत रूप से बड़ा होता जाता है) क्या होता है। उन्होंने पाया कि गोपनीयता का नुकसान हमारी सोच से बहुत धीमी गति से बढ़ता है—यह राउंड की संख्या के बजाय राउंड के वर्गमूल (square root) की तरह बढ़ता है, न कि राउंड की संख्या की तरह। यह एक बहुत बड़ा सुधार है, जो सुझाव देता है कि सीमा (limit) में, आप अपनी गोपनीयता खोए बिना अधिक राउंड के लिए प्रशिक्षण ले सकते हैं। हालाँकि, वे स्वीकार करते हैं कि वास्तविक दुनिया के सीमित डेटासेट के लिए इसे गणना करने के लिए उनके पास अभी एक सरल फॉर्मूला नहीं है।

3. यह क्यों महत्वपूर्ण है
यह पेपर सिद्धांत (theory) और अभ्यास (practice) के बीच के अंतर को पाटता है।

फेडेरेटेड लर्निंग (Federated Learning): यह फेडेरेटेड लर्निंग जैसी तकनीकों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, जहाँ आपका फोन आपके डेटा पर एक मॉडल को प्रशिक्षित करता है और उसे केंद्रीय सर्वर पर नहीं भेजता है। ऐसी स्थितियों में, डेटा को अक्सर शफल किया जाता है और बैचों में प्रोसेस किया जाता है।
अब कोई अनुमान नहीं: इससे पहले, इंजीनियरों को रूढ़िवादी अनुमानों (सबसे खराब स्थिति मान लेना) का उपयोग करना पड़ता था या जटिल कंप्यूटर सिमुलेशन पर निर्भर रहना पड़ता था जिन्हें समझना कठिन था। अब, उनके पास अपने मापदंडों (parameters) को सेट करने के लिए एक स्पष्ट, पारदर्शी फॉर्मूला है।

निचोड़ (The Bottom Line)

लेखकों ने सबसे सामान्य तरीके (रैंडम शफलिंग) के लिए एक सटीक "प्राइवेसी कैलकुलेटर" बनाया है। उन्होंने सिद्ध किया है कि सही मात्रा में शोर और पर्याप्त बड़े डेटासेट के साथ, हम प्रशिक्षण के एक एकल दौर में बहुत मजबूत गोपनीयता गारंटी प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि कई राउंड के लिए प्रशिक्षण लेना अभी भी एक चुनौती है, यह कार्य वास्तविक दुनिया में गोपनीयता के माध्यम से नेविगेट करने के लिए पहला स्पष्ट, गणितीय मानचित्र प्रदान करता है, जो हमें अस्पष्ट अनुमानों से सटीक, भरोसेमंद संख्याओं की ओर ले जाता है।

तकनीकी सारांश: रैंडम शफ़लिंग पर आधारित DP-SGD के लिए ट्रेड-ऑफ फलन (Trade-off Functions)

समस्या विवरण

डिफरेंशियल प्राइवेसी (DP) बाधाओं के तहत डीप लर्निंग मॉडल को प्रशिक्षित करने के लिए डिफरेंशियल प्राइवेट स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट (DP-SGD) एक मानक तंत्र है। जबकि $f$ -डिफरेंशियल प्राइवेसी ( $f$ -DP) ढांचा फॉल्स-पॉजिटिव और फॉल्स-नेगेटिव दरों के बीच ट्रेड-ऑफ फंक्शन्स के माध्यम से गोपनीयता गारंटी का सबसे सटीक लक्षण वर्णन प्रदान करता है, मौजूदा विश्लेषण मुख्य रूप से पॉइसन सबसैंपलिंग (जहाँ डेटा पॉइंट्स को एक निश्चित प्रायिकता के साथ स्वतंत्र रूप से मिनीबैचेस में शामिल किया जाता है) पर केंद्रित रहे हैं।

हालाँकि, व्यावहारिक कार्यान्वयन और स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन आमतौर पर रैंडम शफ़लिंग का उपयोग करते हैं, जहाँ डेटासेट को प्रत्येक इपॉक (epoch) में एक बार परम्यूट (permute) किया जाता है और निश्चित आकार के मिनीबैचेस में विभाजित किया जाता है। विश्लेषित एल्गोरिदम (पॉइसन) और तैनात किए गए एल्गोरिदम (शफ़लिंग) के बीच यह विसंगति वास्तविक दुनिया के सिस्टम की गोपनीयता गारंटी को अनिश्चित रूप से परिभाषित छोड़ देती है। शफ़ल्ड DP-SGD पर पिछले कार्यों ने केवल स्पष्ट प्रतिकूल घटनाओं (adversarial events) या संख्यात्मक मूल्यांकन के माध्यम से ट्रेड-ऑफ फंक्शन पर ऊपरी सीमाएँ (प्राइवेसी लॉस पर निचली सीमाएँ) प्रदान की हैं, जिनमें स्पष्ट, पारदर्शी अभिव्यक्तियों का अभाव था। हाल के असंभवता परिणामों (impossibility results) से संकेत मिलता है कि कम शोर मल्टीप्लायर ( $\sigma \le 1/\sqrt{2 \ln M}$ ) के लिए, ट्रेड-ऑफ फंक्शन आदर्श रैंडम गेसिंग डायगोनल ( $1-a$ ) से स्पष्ट रूप से दूर रहता है, लेकिन उच्च-शोर शासन (high-noise regime) में व्यवहार एक खुला प्रश्न बना हुआ था जिसके लिए एक सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म विश्लेषण की आवश्यकता थी।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक $f$ -DP ढांचे के भीतर रैंडम शफ़लिंग के साथ DP-SGD के ट्रेड-ऑफ फंक्शन का एक सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म विश्लेषण व्युत्पन्न करते हैं। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

एडवर्सरियल रिडक्शन (Adversarial Reduction): समस्या को एक स्केलर हाइपोथेसिस टेस्टिंग समस्या में बदल दिया जाता है। वर्स्ट-केस एडवरसरी मॉडल के तहत (जो एक अलग रिकॉर्ड के योगदान को अलग कर सकता है), एडवरसरी $M$ राउंड का अवलोकन करती है। नल हाइपोथेसिस ( $H_0$ ) के तहत, सभी अवलोकन शुद्ध शोर $N(0, 1)$ हैं। अल्टरनेटिव हाइपोथेसिस ( $H_1$ ) के तहत, ठीक एक राउंड (शफ़लिंग परम्यूटेशन द्वारा यादृच्छिक रूप से चुना गया) में एक शिफ्टेड ऑब्जर्वेशन $N(1/\sigma, 1)$ होता है, जबकि शेष शोर बने रहते हैं।
लाइक्लीहुड रेशियो टेस्ट (Likelihood Ratio Test): नेमन-पियर्सन लेम्मा (Neyman-Pearson lemma) द्वारा, इष्टतम परीक्षण लाइक्लीहुड रेशियो को थ्रेसहोल्ड करता है, जो लॉगनॉर्मल वेरिएबल्स $Y_j = \exp(X_j/\sigma - 1/(2\sigma^2))$ , जहाँ $X_j \sim N(0, 1)$ है, के सैंपल एवरेज को थ्रेसहोल्ड करने में बदल जाता है।
नॉन-एसिम्प्टोटिक विश्लेषण (बेरी-एस्मीन): एक एकल इपॉक के लिए, लेखक लॉगनॉर्मल वेरिएबल्स के सैंपल मीन के नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में अभिसरण दर को बांधने के लिए बेरी-एस्मीन प्रमेय (Berry-Esseen theorem) लागू करते हैं। यह $\sigma \ge \sqrt{3/\ln M}$ शासन के लिए ट्रेड-ऑफ फंक्शन $f(a)$ पर एक ठोस, नॉन-एसिम्प्टोटिक लोअर बाउंड प्रदान करता है। यह बाउंड $f(a) \ge 1 - a - \delta$ के रूप में व्यक्त किया गया है, जहाँ $\delta$ शोर मल्टीप्लायर $\sigma$ और राउंड्स की संख्या $M$ का एक स्पष्ट फलन है।
एसिम्प्टोटिक विश्लेषण (एजवर्थ एक्सपेंशन): बेरी-एस्मीन बाउंड्स में सुधार करने के लिए, जो $O(1/\sqrt{M})$ एरर टर्म द्वारा सीमित हैं, लेखक टू-टर्म एजवर्थ एक्सपेंशन (two-term Edgeworth expansion) पर आधारित एक प्रमाण तकनीक पेश करते हैं। सेंट्रल लिमिट थ्योरम का यह सामान्यीकरण लॉगनॉर्मल वेरिएबल्स के योग के वितरण का एक सूक्ष्म एसिम्प्टोटिक अनुमान लगाने की अनुमति देता है। यह दृष्टिकोण $M \to \infty$ के रूप में ट्रेड-ऑफ फंक्शन के एसिम्प्टोटिक व्यवहार को स्थापित करता है जहाँ इपॉक्स की संख्या $E = c_M^2 M$ के रूप में स्केल होती है जहाँ $c_M \to 0$ ।

मुख्य योगदान

एकल इपॉक के लिए क्लोज्ड-फॉर्म लोअर बाउंड: यह पेपर हाई-नॉइज़ शासन ( $\sigma \ge \sqrt{3/\ln M}$ ) में शफ़ल्ड DP-SGD के ट्रेड-ऑफ फंक्शन के लिए पहला सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म लोअर बाउंड प्रदान करता है। बाउंड इस प्रकार है:
$f(a) \ge 1 - a - \delta$
जहाँ $\delta$ को $\sigma$ और $M$ के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (थ्योरम 4.1)। बेरी-एस्मीन प्रूफ फ्रेमवर्क के भीतर यह परिणाम कांस्टेंट फैक्टर्स तक सटीक (tight) है।
ठोस पैरामीटर अनुशंसाएँ: लेखक सार्थक डिफरेंशियल प्राइवेसी के लिए विशिष्ट पैरामीटर सेटिंग्स व्युत्पन्न करते हैं। $\sigma=1$ और $\delta=10^{-2}$ के साथ एक एकल इपॉक ( $E=1$ ) के लिए, वे दिखाते हैं कि $N \approx 1.14 \times 10^7$ का डेटासेट जिसे $M \approx 1.14 \times 10^6$ राउंड में विभाजित किया गया है, पर्याप्त है। यह दर्शाता है कि बड़े डेटासेट और एकल इपॉक के साथ फेडरेटेड लर्निंग सेटिंग्स में सार्थक प्राइवेसी प्राप्त की जा सकती है।
एसिम्प्टोटिक गॉसियन-DP लक्षण वर्णन: एजवर्थ एक्सपेंशन का उपयोग करते हुए, पेपर स्थापित करता है कि फिक्स्ड $\sigma$ के लिए, जैसे-जैसे $M \to \infty$ और $E = c_M^2 M$ (जहाँ $c_M \to 0$ ), $E$ -फोल्ड कंपोज्ड ट्रेड-ऑफ फंक्शन रैंडम गेसिंग डायगोनल ( $1-a$ ) की ओर अभिसरित होता है। यह नैव कम्पोजिशन द्वारा सुझाए गए लीनियर $O(E)$ पेनल्टी के बजाय $O(\sqrt{E})$ सेपरेशन के रूप में इपॉक्स की संख्या पर निर्भरता में सुधार करता है (कोरोलरी 5.3)।
पॉइसन सबसैंपलिंग के साथ तुलना: लेखक अपने एसिम्प्टोटिक परिणामों की पॉइसन सबसैंपलिंग के अनुरूप परिणामों के साथ तुलना करते हैं। वे पाते हैं कि लो-नॉइज़ लिमिट ( $\sigma \to 0$ ) में, रैंडम शफ़लिंग पॉइसन सबसैंपलिंग की तुलना में आदर्श रैंडम गेसिंग डायगोनल के $\sqrt{2}$ गुना करीब है, जबकि हाई-नॉइज़ लिमिट ( $\sigma \to \infty$ ) में दोनों शासन समान हो जाते हैं।

परिणाम

शासन वैधता (Regime Validity): विश्लेषण $\sigma \ge \sqrt{3/\ln M}$ के लिए वैध है। यह शासन एर्टन और वैन डाइक [12] के असंभवता परिणाम का पूरक है, जो दिखाता है कि $\sigma < 1/\sqrt{2 \ln M}$ के लिए, ट्रेड-ऑफ फंक्शन $1-a$ से दूर रहता है। ये परिणाम मिलकर शफ़ल्ड DP-SGD के प्राइवेसी लैंडस्केप को मैप करते हैं।
कंपोजिशन बाउंड्स:
- नॉन-एसिम्प्टोटिक: सिंगल-इपॉक बाउंड को इटरेट करने से $f^{\otimes E}(a) \ge (1-\delta)^E - a$ प्राप्त होता है, जो प्राइवेसी लॉस के लिए $E$ पर लीनियर डिपेंडेंसी दर्शाता है।
- एसिम्प्टोटिक: एजवर्थ-आधारित विश्लेषण एक बेहतर निर्भरता का सुझाव देता है, जहाँ डायगोनल से सेपरेशन $O(\mu E)$ के बजाय $O(\mu \sqrt{E})$ के रूप में स्केल होता है, बशर्ते $E$ , $M$ के साथ सब-लीनियरली स्केल हो।
व्यावहारिक निहितार्थ: पेपर शफ़ल्ड DP-SGD के लिए "प्रैक्टिकल स्वीट स्पॉट" के रूप में सिंगल-इपॉक शासन की पहचान करता है। उन फेडरेटेड लर्निंग परिदृश्यों में जहाँ क्लाइंट कुछ ही इपॉक्स में भाग लेते हैं, वास्तविक डेटासेट आकारों के साथ सार्थक प्राइवेसी गारंटी ( $\delta \approx 0.01$ ) प्राप्त की जा सकती है। इसके विपरीत, पेपर एक "मल्टी-इपॉक एक्सप्लोजन" को उजागर करता है जहाँ लीनियर कंपोजिशन बाउंड के तहत $E$ को बढ़ाने से आवश्यक डेटासेट का आकार $N$ तेजी से अव्यवहारिक हो जाता है (उदाहरण के लिए, $E=100$ के लिए $N \sim 10^{11}$ की आवश्यकता होती है)।

महत्व और दावे

पेपर का दावा है कि यह एक सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म विश्लेषण प्रदान करता है जो साहित्य में विश्लेषित एल्गोरिदम (पॉइसन) और व्यवहार में तैनात किए गए एल्गोरिदम (रैंडम शफ़लिंग) के बीच के अंतर को हल करता है। पारदर्शी, व्याख्या योग्य बाउंड्स व्युत्पन्न करके, लेखक अभ्यासकर्ताओं को अपारदर्शी संख्यात्मक उपकरणों पर निर्भर रहने के बजाय सीधे पैरामीटर आवश्यकताओं को पढ़ने में सक्षम बनाते हैं।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

सिद्धांत और व्यवहार को जोड़ना: यह प्रमाणित करना कि रैंडम शफ़लिंग, जो मशीन लर्निंग फ्रेमवर्क में मानक है, एक कठोर प्राइवेसी विश्लेषण को स्वीकार करता है जो लो-नॉइज़ शासन में पॉइसन सबसैंपलिंग की तुलना में अक्सर अधिक अनुकूल होता है।
प्राइवेसी लैंडस्केप को परिभाषित करना: शफ़ल्ड DP-SGD के लिए सार्थक प्राइवेसी के लिए आवश्यक सटीक शोर थ्रेसहोल्ड को परिभाषित करने के लिए मौजूदा असंभवता परिणामों को पूरक बनाना।
पैरामीटर चयन का मार्गदर्शन करना: विशिष्ट प्राइवेसी बजट प्राप्त करने के लिए $M$ , $N$ , और $\sigma$ चुनने हेतु ठोस सूत्र प्रदान करना, जो विशेष रूप से फेडरेटेड लर्निंग अनुप्रयोगों के लिए प्रासंगिक है।

लेखक भविष्य के कार्य के संबंध में विनम्र रहते हैं, यह नोट करते हुए कि जबकि एसिम्प्टोटिक परिणाम कई इपॉक्स के लिए बेहतर $\sqrt{E}$ निर्भरता का सुझाव देते हैं, इस निर्भरता (एक एसिम्प्टोटिक लिमिट के बजाय) के लिए एक ठोस, क्लोज्ड-फॉर्म प्रमाण प्राप्त करना एक खुला प्रश्न बना हुआ है। इसके अतिरिक्त, एक ठोस मल्टी-इपॉक बाउंड प्राप्त करने के लिए एजवर्थ एक्सपेंशन में अनुक्रमों $\delta_M$ और $\gamma_M$ को स्पष्ट बनाना भविष्य के अनुसंधान के लिए एक दिशा के रूप में पहचाना गया है।