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Nash without Numbers: A Social Choice Approach to Mixed Equilibria in Context-Ordinal Games

यह शोध पत्र संख्यात्मक उपयोगिताओं (numerical utilities) को सामाजिक चयन सिद्धांत (social choice theory) के माध्यम से एकत्रित क्रमबद्ध वरीयता रैंकिंगों (ordinal preference rankings) से प्रतिस्थापित करके नैश इक्विलिब्रियम (Nash equilibrium) को "संदर्भ-क्रमबद्ध" (context-ordinal) खेलों के लिए सामान्यीकृत करता है, जिससे सटीक उपयोगिता उद्दीपन (utility elicitation) की आवश्यकता के बिना सीधे मानवीय वरीयताओं से प्राप्त संतुलनों के अस्तित्व की शर्तों, जटिलता सीमाओं और शिक्षण नियमों को स्थापित किया जाता है।

मूल लेखक: Ian Gemp, Crystal Qian, Marc Lanctot, Kate Larson

प्रकाशित 2026-05-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ian Gemp, Crystal Qian, Marc Lanctot, Kate Larson

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप किसी खेल में, जैसे कि रॉक-पेपर-सिज़र्स (पत्थर-कागज-कैंची), सबसे अच्छी चाल समझने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके पास कोई स्कोरबोर्ड नहीं है। आपको यह नहीं पता कि जीतने पर "10 अंक" मिलते हैं और हारने पर "0 अंक" मिलते हैं। आप केवल अपनी भावनाओं को जानते हैं: "मैं जीतने को बराबरी करने से बेहतर मानता हूँ, और बराबरी करने को हारने से बेहतर मानता हूँ।"

दशकों तक, गेम थ्योरी (रणनीति का गणित) इस समस्या को हल करने के लिए संघर्ष करती रही है। प्रसिद्ध "नैश इक्विलिब्रियम" (Nash Equilibrium)—एक ऐसी स्थिति जहाँ कोई भी अपनी रणनीति बदलना नहीं चाहता—आमतौर पर यह जानने की आवश्यकता रखती है कि उन सटीक अंकों के मान क्या हैं। यदि आपके पास वे संख्याएँ नहीं हैं, तो गणित विफल हो जाता है।

यह शोध पत्र, "नाश विदाउट नंबर्स" (Nash without Numbers), इस समस्या को हल करने के लिए एक चतुर नया तरीका प्रस्तावित करता है। यह सुझाव देता है कि हम नकली संख्याएँ बनाने की कोशिश करने के बजाय, अपनी सर्वश्रेष्ठ चाल खोजने के लिए वोटिंग थ्योरी (सोशल चॉइस) के उपकरणों का उपयोग करें।

यहाँ उनके विचार का सरल उपमाओं का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "मौन" खेल (The "Silent" Game)

एक सामान्य खेल में, यदि आपका प्रतिद्वंद्वी 25% बार रॉक, 30% बार पेपर और 45% बार सिज़र्स खेलता है, तो आप प्रत्येक चाल के लिए अपना "अपेक्षित स्कोर" (expected score) की गणना करते हैं। आप उस चाल को चुनते हैं जिसका स्कोर सबसे अधिक होता है।

लेकिन इस नए परिवेश में, आप स्कोर की गणना नहीं कर सकते। आपके पास केवल प्राथमिकताओं की एक सूची है। यदि आपका प्रतिद्वंद्वी रॉक खेलता है, तो आप कह सकते हैं, "मैं पेपर को सिज़र्स से और सिज़र्स को रॉक से बेहतर मानता हूँ।" यदि वे पेपर खेलते हैं, तो आप कह सकते हैं, "मैं सिज़र्स को रॉक से और रॉक को पेपर से बेहतर मानता हूँ।"

पुराना गणित पूछता है: "औसत स्कोर क्या है?"
नया गणित पूछता है: "यदि हम इन सभी अलग-अलग परिदृश्यों के बीच एक वोटिंग आयोजित करें, तो कौन जीतेगा?"

2. समाधान: "क्राउड वोट" (भीड़ का मतदान) रूपक

लेखक कल्पना करते हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी की मिश्रित रणनीति (उनकी चालों का रैंडम मिश्रण) एक मतदाताओं की भीड़ बनाती है।

उपमा: कल्पना करें कि आपके प्रतिद्वंद्वी की रणनीति एक मौसम का पूर्वानुमान है। यह 25% धूप वाला, 30% बादल वाला और 45% बारिश वाला है।
वोट: हर प्रकार के मौसम के लिए, आपके पास क्या पहनना है, इसके लिए अलग प्राथमिकता है।
- यदि धूप है, तो आप वोट देते हैं: "शॉर्ट्स > जींस > कोट।"
- यदि बादल हैं, तो आप वोट देते हैं: "जींस > शॉर्ट्स > कोट।"
- यदि बारिश है, तो आप वोट देते हैं: "कोट > जींस > शॉर्ट्स।"
चुनाव: अब, कल्पना करें कि एक विशाल चुनाव हो रहा है जहाँ 25% मतदाता "धूप वाले मतदाता" हैं, 30% "बादल वाले मतदाता" हैं और 45% "बारिश वाले मतदाता" हैं।
विजेता: आप औसत तापमान की गणना नहीं करते हैं। इसके बजाय, आप इस भीड़ पर एक वोटिंग नियम (जैसे बोर्ड काउंट या मैक्सिमल लॉटरीज़) चलाते हैं। वह वस्तु जो चुनाव जीतती है, आपकी "सर्वश्रेष्ठ प्रतिक्रिया" (Best Response) है।

शोध पत्र इसे "कॉन्टेक्स्ट-ऑर्डिनल नैश इक्विलिब्रियम" (Context-Ordinal Nash Equilibrium) कहता है। यह एक स्थिर अवस्था है जहाँ, यदि हर कोई अपनी "वोटिंग विजेता" चाल चलता है, तो किसी के पास भी अपनी रणनीति बदलने का कोई प्रोत्साहन नहीं होता।

3. यह क्यों मायने रखता है: वास्तविक दुनिया के इंसान

लेखक तर्क देते हैं कि मनुष्य वास्तव में कई स्थितियों में इसी तरह सोचते हैं।

चुनाव: मतदाता आमतौर पर यह नहीं कहते कि "मैं उम्मीदवार A को 8.4 अंक और उम्मीदवार B को 7.9 अंक देता हूँ।" वे बस उन्हें रैंक करते हैं: "A > B > C।"
AI मूल्यांकन: AI एजेंटों का परीक्षण करते समय, हम अक्सर केवल यह जानते हैं कि एक विशिष्ट खेल में कौन सा एजेंट "बेहतर" है, लेकिन हमारे पास सभी खेलों में उनकी तुलना करने के लिए कोई सार्वभौमिक स्कोरकार्ड नहीं होता है।

लेखकों ने इसे दो वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों पर परखा है:

वीडियो गेम एजेंट: उन्होंने अटाारी (Atari) गेम्स खेलने वाले AI एजेंटों का मूल्यांकन किया। कच्चे स्कोर के बजाय, उन्होंने एजेंटों को विभिन्न कार्यों के विरुद्ध प्रदर्शन के आधार पर रैंक किया। उनके नए तरीके ने एक स्थिर "सर्वश्रेष्ठ" एजेंट मिश्रण खोजा जो किसी भी प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ मजबूत था।
मानवीय नेतृत्व चुनाव: उन्होंने एक "लॉस्ट एट सी" (समुद्र में खो जाना) प्रयोग के डेटा का विश्लेषण किया जहाँ समूहों को एक नेता चुनने के लिए कहा गया था। उन्होंने पाया कि मनुष्य अक्सर इस तरह से वोट नहीं करते जो एक पूर्ण संतुलन (equilibrium) से मेल खाता हो (वे गलतियाँ करते थे या भ्रमित करने वाले तरीकों में रणनीतिक रूप से कार्य करते थे)। हालाँकि, उनका नया गणित सफलतापूर्वक यह गणना कर सकता था कि उस अस्त-व्यस्त, वास्तविक दुनिया के परिदृश्य में "पूर्ण" रणनीतिक वोटिंग कैसी दिखेगी।

4. "रेगुलराइजेशन" (Regularization) का तरीका

एक तकनीकी बाधा यह है कि वोटिंग "उछल-कूद" वाली (jumpy) हो सकती है। यदि एक अतिरिक्त व्यक्ति अपना वोट बदलता है, तो विजेता अचानक उम्मीदवार A से बदलकर उम्मीदवार B हो सकता है। यह सीखना या संतुलन खोजना कठिन बनाता है।

लेखकों ने एक "रेगुलराइजेशन" ट्रिक पेश की है। इसे वोटिंग प्रक्रिया में थोड़ा शोर या भ्रम जोड़ने के रूप में समझें।

कल्पना करें कि कभी-कभी, एक मतदाता भ्रमित हो जाता है और एक यादृच्छिक (random) विकल्प के लिए वोट देता है, या "मौसम का पूर्वानुमान" थोड़ा धुंधला है।
यह "जंप्स" (अचानक बदलाव) को सुचारू बनाता है, जिससे वोटिंग का परिणाम अचानक होने के बजाय धीरे-धीरे बदलता है। यह कंप्यूटरों को मानक लर्निंग एल्गोरिदम (जैसे ग्रेडिएंट डिसेंट) का उपयोग करके संतुलन खोजने की अनुमति देता है, ठीक वैसे ही जैसे वे संख्याओं वाले खेलों में करते हैं।

सारांश

यह शोध पत्र "औसत स्कोर की गणना करने" की अवधारणा को "भारित चुनाव (weighted election) चलाने" से बदल देता है।

पुराना तरीका: "यदि मैं रॉक खेलता हूँ, तो मुझे औसतन 5.2 अंक मिलते हैं।"
नया तरीका: "यदि मैं रॉक खेलता हूँ, और हम मेरे प्रतिद्वंद्वी के खेलने के तरीके के आधार पर एक वोटिंग आयोजित करते हैं, तो रॉक चुनाव जीतता है।"

ऐसा करके, उन्होंने एक नया प्रकार का नैश इक्विलिब्रियम बनाया जो तब भी काम करता है जब खिलाड़ियों के पास केवल रैंकिंग होती है और संख्याएँ नहीं होतीं, यह सिद्ध करते हुए कि आप बिना किसी जीत या हार को विशिष्ट मान दिए, स्थिर और तर्कसंगत रणनीतियाँ खोज सकते हैं।

तकनीकी सारांश: नैश विदाउट नंबर्स: मिक्स्ड इक्विलिब्रिया के लिए एक सोशल चॉइस अप्रोच

समस्या विवरण

शास्त्रीय गेम थ्योरी नैश इक्विलिब्रियम (NE) पर आधारित है, जो मौलिक रूप से अपेक्षित संख्यात्मक उपयोगिता (expected numerical utilities) के अधिकतमकरण पर आधारित है। हालाँकि, कई रणनीतिक परिदृश्यों में—जैसे कि चुनाव, मानव प्राथमिकता निष्कर्षण (human preference elicitation), और एजेंट मूल्यांकन—सटीक कार्डिनल उपयोगिता उपलब्ध नहीं होती या उसे प्राप्त करना कठिन होता है। खिलाड़ी सह-खिलाड़ियों के संयुक्त कार्यों के आधार पर परिणामों की ऑर्डिनल रैंकिंग प्रदान कर सकते हैं, लेकिन "सर्वश्रेष्ठ प्रतिक्रिया" (best response) की मानक परिभाषा (अपेक्षित उपयोगिता को अधिकतम करना) तब अस्पष्ट हो जाती है जब सह-खिलाड़ी मिश्रित (mixed/probabilistic) रणनीतियों का उपयोग करते हैं। इस समस्या को संबोधित करने के पिछले प्रयास या तो संभावना सिद्धांत (possibility theory) के लिए संभाव्यता सिद्धांत को त्याग देते हैं, या तीसरे पक्ष के समन्वयक की आवश्यकता वाले मेडियेटेड इक्विलिब्रिया (mediated equilibria) पेश करते हैं, या केवल प्योर स्ट्रैटेजी तक विश्लेषण को सीमित कर देते हैं। केंद्रीय चुनौती एक ऐसी मिश्रित-रणनीति इक्विलिब्रियम को परिभाषित करने की है जो अंतर्निहित कार्डिनल उपयोगिताओं की धारणा के बिना केवल ऑर्डिनल प्राथमिकताओं पर निर्भर करती है।

कार्यप्रणाली

लेखक एक कॉन्टेक्स्ट-ऑर्डिनल गेम (COG) फ्रेमवर्क और एक संगत कॉन्टेक्स्ट-ऑर्डिनल नैश इक्विलिब्रियम (CO-NE) प्रस्तावित करते हैं।

1. कॉन्टेक्स्ट-ऑर्डिनल गेम्स (COG)

पारंपरिक ऑर्डिनल गेम्स (OG) के विपरीत, जहाँ खिलाड़ी वैश्विक स्तर पर संयुक्त परिणामों को रैंक करते हैं, एक COG यह मानता है कि खिलाड़ी अपने स्वयं के कार्यों को अपने सह-खिलाड़ियों के विशिष्ट संयुक्त कार्यों के संदर्भ (conditional) में ही रैंक कर सकते हैं।

परिभाषा: एक COG एक टुपल $\langle N, A, \rho \rangle$ है, जहाँ $\rho_i$ एक सह-खिलाड़ी के संयुक्त कार्य $a_{-i}$ को खिलाड़ी $i$ के कार्यों $A_i$ पर वरीयता संबंध (preference relation) के रूप में मैप करता है।
सोशल चॉइस के माध्यम से बेस्ट रिस्पॉन्स: एक मिश्रित रणनीति $x_{-i}$ के विरुद्ध बेस्ट रिस्पॉन्स को परिभाषित करने के लिए, लेखक प्रत्येक संभावित $a_{-i}$ द्वारा उत्पन्न "वोटों" (ऑर्डिनल रैंकिंग) को उनके सह-खिलाड़ी की रणनीति $x_{-i}(a_{-i})$ द्वारा भारित (weighted) करके एकत्रित करते हैं। यह वोटों की एक जनसंख्या बनाता है। इस जनसंख्या पर एक डबली प्रोबेबिलिस्टिक सोशल चॉइस फंक्शन (dpSCF) लागू किया जाता है ताकि विजेता कार्यों के सेट को निर्धारित किया जा सके।
CO-NE: एक रणनीति प्रोफाइल $x$ एक CO-NE है यदि प्रत्येक खिलाड़ी की मिश्रित रणनीति केवल उन कार्यों पर द्रव्यमान (mass) रखती है जो अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों द्वारा उत्पन्न वोटों के अनुसार जीतते हैं।

2. अस्तित्व और रेगुलराइजेशन (Existence and Regularization)

अस्तित्व (Existence): लेखक सौम्य शर्तों के तहत एक मिश्रित CO-NE के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं। वे दिखाते हैं कि यदि dpSCF अपर निरंतर (upper hemicontinuous - u.h.c.) है, तो काकुतनी फिक्स्ड पॉइंट थ्योरम (Kakutani's Fixed Point Theorem) के माध्यम से एक फिक्स्ड पॉइंट मौजूद होता है। वे पहचानते हैं कि कई मानक वोटिंग नियम (जैसे बोडा, मैक्सिमल लॉटरीज़, स्कोरिंग रूल्स) इसे वितरण (distributions) के रूप में देखने पर संतुष्ट करते हैं।
रेगुलराइजेशन (Regularization): निरंतरता और एकल-मूल्य (single-valuedness) सुनिश्चित करने के लिए (जो लर्निंग को सुगम बनाता है), लेखक एक रेगुलराइज्ड बेस्ट रिस्पेंस पेश करते हैं। इसमें शामिल है:
1. परटर्बेशन (Perturbation): वोट जनसंख्या के एक अंश $p$ को "उसरपर" (usurper) मतों (जहाँ एक नमूना लिया गया कार्य शीर्ष पर रैंक किया जाता है) से बदलना।
2. स्मूथिंग (Smoothing): टाई (ties) पर होने वाली विच्छिन्नता (discontinuities) को संभालने के लिए सह-खिलाड़ी रणनीति वितरण $x_{-i}$ पर डिरिचलेट परटर्बेशन (Dirichlet perturbation) लागू करना।
  यह रेगुलराइजेशन सुनिश्चित करता है कि बेस्ट-रिस्पॉन्स ऑपरेटर निरंतर और एकल-मूल्य वाला हो, जिससे ग्रेडिएंट-आधारित लर्निंग संभव हो सके।

3. लर्निंग और एप्रोक्सिमेशन मेट्रिक्स

चूंकि उपयोगिता अनुपस्थित है, इसलिए पारंपरिक एक्सप्लोइटेबिलिटी मेट्रिक्स का सीधे उपयोग नहीं किया जा सकता है। पेपर निम्नलिखित पेश करता है:

स्ट्रैटेजी स्पेस डिस्टेंस: एक खिलाड़ी की वर्तमान रणनीति और बेस्ट रिस्पॉन्स के सेट के बीच की दूरी (जैसे अर्थ मूवर्स डिस्टेंस) को मापना।
हैंडसाइट विनरेट (Hindsight Winrate): एक फिक्स्ड हैंडसाइट स्ट्रैटेजी (जो वोटिंग नियम के माध्यम से एकत्रित की गई है) के विरुद्ध ऑनलाइन स्ट्रैटेजी की तुलना करते हुए एक मेटा-गेम विश्लेषण।
डिस्टॉर्शन बाउंड्स (Distortion Bounds): पेपर में शास्त्रीय NE (यदि उपयोगिताएँ मौजूद होतीं) की तुलना में CO-NE की उप-इष्टतमता (suboptimality) के बाउंड्स का वर्णन है। यह दिखाता है कि योगात्मक डिस्टॉर्शन (additive distortion), वोटिंग नियम के स्वयं के डिस्टॉर्शन द्वारा सीमित है, जो विभिन्न सह-खिलाड़ी कार्यों के माध्यम से पेऑफ संचय के भिन्नता (variation) द्वारा स्केल होता है।

मुख्य योगदान

नैश इक्विलिब्रियम का सामान्यीकरण: यह पेपर नैश इक्विलिब्रियम का पहला ऐसा सामान्यीकरण प्रदान करता है जो पूरी तरह से ऑर्डिनल प्राथमिकताओं पर संचालित होता है।
सैद्धांतिक अस्तित्व: यह सोशल चॉइस फंक्शन्स पर मानक शर्तों के तहत ऐसे इक्विलिब्रिया के अस्तित्व को स्थापित करता है, जो गेम थ्योरी और सोशल चॉइस थ्योरी के बीच के अंतर को पाटता है।
एल्गोरिद्मिक फ्रेमवर्क: यह CO-NE को कंप्यूट करने के लिए लर्निंग रूल्स (विशेष रूप से FTRL) और रेगुलराइजेशन तकनीकें विकसित करता है, जो विच्छिन्न वोटिंग नियमों की कम्प्यूटेशनल चुनौतियों को संबोधित करता है।
जटिलता विश्लेषण: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि CO-NE को कंप्यूट करना सामान्यतः पॉलीनोमियल-टाइम में हल करने योग्य (NP-hard) नहीं है, जो पारंपरिक फैक्टरलाइज्ड स्ट्रक्चर को त्यागने वाले पूर्व कार्यों के विपरीत है।
डिस्टॉर्शन विश्लेषण: यह कार्डिनल उपयोगिताओं के बजाय ऑर्डिनल जानकारी का उपयोग करने की लागत को मात्रात्मक रूप से निर्धारित करता है, और इष्टतमता के नुकसान के लिए सैद्धांतिक सीमाएँ प्रदान करता है।

परिणाम और अनुप्रयोग

लेखक अपने सिद्धांत को दो अलग-अलग अनुप्रयोगों के माध्यम से मान्य करते हैं:

सामान्य एजेंट मूल्यांकन (Atari):
- सेटअप: कार्यों के एक सेट के विरुद्ध AI एजेंटों का मूल्यांकन करना, जहाँ प्रदर्शन मैट्रिक्स एजेंटों और कार्यों को खिलाड़ी मानता है।
- विधि: एजेंटों और कार्यों को एक COG के रूप में माना जाता है। "पेऑफ" को ऑर्डिनल रैंकिंग (जैसे क्वार्टाइल-आधारित ग्रेड) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
- परिणाम: FTRL के साथ सोशल ग्रेडिंग फंक्शन्स (SGF) और बोडा काउंट का उपयोग करके, लेखक एक CO-NE कंप्यूट करते हैं। परिणाम दिखाते हैं कि "रेनबो" एजेंट प्रतिकूल टास्क डिस्ट्रीब्यूशन के तहत भी सबसे मजबूत बनकर उभरता है, जो इसकी मजबूती को दर्शाता है। लर्निंग कर्व्स अभिसरण (convergence) और कम एक्सप्लोइटेबिलिटी दर्शाते हैं।
मानव चुनाव डेटा (Lost at Sea):
- सेटअप: "लॉस्ट एट सी" लीडर चयन कार्य से जुड़े मानव डेटा का विश्लेषण जिसमें 460 प्रतिभागी और 115 समूह शामिल थे। प्रतिभागियों ने नेतृत्व की इच्छा (willingness-to-lead) स्कोर और साथियों की रैंकिंग सबमिट की।
- विधि: चुनाव तंत्र को एक स्टोकेस्टिक COG के रूप में मॉडल किया गया है। लेखक विश्लेषण करते हैं कि क्या मानव व्यवहार एक CO-NE है।
- परिणाम: लगभग 30% चुनावों ने प्योर मैक्सिमल लॉटरी नैश इक्विलिब्रियम प्रोफाइल प्रदर्शित किए। शेष 70% में, मनुषनों ने विचलन (deviate) करने के लिए प्रोत्साहन दिखाया (जैसे रनऑफ को मैनिपुलेट करने के लिए लीडरशिप स्कोर को रणनीतिक रूप से कम करना)। लेखक विशिष्ट चुनावों के लिए एक लिमिटिंग लॉजिट इक्विलिब्रियम (LLE) को सफलतापूर्वक कंप्यूट करने में सफल रहे, जो रणनीतिक व्यवहारों (जैसे किसी पसंदीदा उम्मीदवार की ओर परिणाम को मोड़ने के लिए दौड़ से पीछे हटना) को प्रकट करता है जो CO-NE सिद्धांत के अनुरूप है।

महत्व और दावे

पेपर का दावा है कि यह नैश इक्विलिब्रियम का एक सामान्यीकरण प्रदान करता है जो सीधे प्राप्त की गई प्राथमिकताओं (elicited preferences) पर लागू होता है, जो मानव अंतःक्रियाओं का मूल डेटा है। अपेक्षित उपयोगिता के अधिकतमकरण को सोशल चॉइस एकत्रीकरण से बदलकर, यह ढांचा उन सेटिंग्स के लिए इक्विलिब्रियम विश्लेषण की अनुमति देता जहाँ संख्यात्मक उपयोगिता अज्ञात या गैर-मौजूद होती है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका दृष्टिकोण:

कार्डिनल उपयोगिताओं की खोज की आवश्यकता नहीं रखता है।
पारंपरिक मिश्रित रणनीतियों के फैक्टरलाइज्ड स्ट्रक्चर को बनाए रखता है (मेडियेटेड इक्विलिब्रिया के विपरीत)।
उपयोगिताओं के मिस-स्पेसिफिकेशन के प्रति मजबूत है, जब तक कि ऑर्डिनल रैंकिंग सुसंगत बनी रहती है।
कार्डिनल स्कोरिंग के बिना रणनीतिक व्यवहार के विश्लेषण के लिए एक सैद्धांतिक और व्यावहारिक टूलकिट प्रदान करता है।

यह कार्य गेम थ्योरी में "संख्याओं के बिना गणित" के दृष्टिकोण के रूप में खुद को स्थापित करता है, जो ऑर्डिनल सेटिंग्स में इक्विलिब्रियम की समस्या को हल करने के लिए सदियों पुराने सोशल चॉइस सिद्धांत का लाभ उठाता है।