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Bayesian Nonparametric Mixed-Effect ODEs with Gaussian Processes

यह शोध पत्र MEGPODE को प्रस्तुत करता है, जो एक बेयसियन नॉनपैरामेट्रिक मिक्स्ड-इफेक्ट ODE मॉडल है जो विषय-विशिष्ट गतिकी (dynamics) को साझा जनसंख्या और व्यक्तिगत विचलन घटकों में विभाजित करने के लिए गॉसियन प्रक्रियाओं का उपयोग करता है, जिससे वर्चुअल कोलैकेशन और कलमन स्मूथिंग के माध्यम से बार-बार ODE समाधानों से बचते हुए प्रक्षेपवक्र (trajectory) भविष्यवाणी और जनसंख्या-क्षेत्र रिकवरी में सुधार होता है।

मूल लेखक: Julien Martinelli, Maksim Sinelnikov, Harri Lähdesmäki, Quentin Clairon, Mélanie Prague

प्रकाशित 2026-05-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Julien Martinelli, Maksim Sinelnikov, Harri Lähdesmäki, Quentin Clairon, Mélanie Prague

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि लोगों का एक समूह मैराथन कैसे दौड़ता है। आपके पास उनकी हृदय गति और गति का डेटा है, लेकिन हर धावक अलग है। कुछ स्वाभाविक रूप से तेज़ हैं, कुछ जल्दी थक जाते हैं, और कुछ की दौड़ने की शैली अद्वितीय है।

समस्या: "एक ही आकार सबके लिए" (One-Size-Fits-All) का जाल
पारंपरिक रूप से, वैज्ञानिक इसे मॉडल करने के लिए "नॉनलीनर मिक्स्ड-इफेक्ट्स ओडीई" (Nonlinear Mixed-Effects ODEs) नामक एक विधि का उपयोग करते हैं। इसे ऐसे समझें जैसे कि हर धावक को एक ही, कठोर ब्लूप्रिंट (खाके) का उपयोग करके वर्णित करने की कोशिश करना। आप यह मान लेते हैं कि सभी लोग भौतिकी के बिल्कुल समान नियमों का पालन करते हैं, बस उनकी शुरुआती गति या वजन में थोड़ा अंतर होता है।

समस्या यह है कि वास्तविक दुनिया में (जैसे जीव विज्ञान या चिकित्सा में), "नियम" स्वयं प्रत्येक व्यक्ति के लिए अलग हो सकते हैं। हो सकता है कि किसी धावक में एक अद्वितीय मांसपेशी फाइबर प्रकार हो जो यह बदल देता है कि वे ऊर्जा कैसे जलाते हैं। यदि आपका ब्लूप्रिंट बहुत अधिक कठोर है, तो आप इन छिपे हुए तंत्रों को मिस कर देंगे। अंत में, आपका मॉडल या तो सटीक होने के लिए बहुत सरल होगा या इतना जटिल हो जाएगा कि टूट जाएगा।

समाधान: MEGPODE (लचीली टीम)
लेखक MEGPODE नामक एक नई विधि पेश करते हैं। सबको एक ही कठोर ब्लूप्रिंट में फिट करने के बजाय, वे दौड़ के "नियमों" (गति के पीछे के गणित) को कुछ लचीला और सीखने योग्य मानते हैं।

यह इस प्रकार काम करता है, कुछ उपमाओं का उपयोग करते हुए:

1. "साझा प्लेबुक" बनाम "व्यक्तिगत कोच"

MEGPODE धावक की गति की व्याख्या को दो भागों में विभाजित करता है:

साझा जनसंख्या क्षेत्र ( $f_0$ ): कल्पना करें कि एक सार्वभौमिक "प्लेबुक" है जो औसत रूप से मैराथन दौड़ने के तरीके का वर्णन करती है। यह उन सामान्य भौतिकी को पकड़ती है जिसे सभी साझा करते हैं (गुरुत्वाकर्षण, वायु प्रतिरोध, बुनियादी मांसपेशी यांत्रिकी)।
विषय-विशिष्ट विचलन ( $g_i$ ): अब, कल्पना करें कि प्रत्येक धावक के पास एक व्यक्तिगत कोच है। यह कोच जानता है कि उस विशिष्ट व्यक्ति को क्या अलग बनाता है। शायद उनकी चाल अनूठी है या उन्हें कोई विशिष्ट चोट है। कोच सार्वभौमिक प्लेबुक में एक छोटा, कस्टम समायोजन जोड़ता है।

गणितीय शब्दों में, मॉडल कहता है: कुल गति = सार्वभौमिक प्लेबुक + व्यक्तिगत कोच का समायोजन।

2. "अदृश्य स्याही" (Gaussian Processes)

उन्हें कैसे पता चलता है कि प्लेबुक और व्यक्तिगत कोच कैसे दिखते हैं यदि उन्होंने उन्हें पहले कभी नहीं देखा है? वे गौसियन प्रोसेस (GPs) नामक एक उपकरण का उपयोग करते हैं।

एक GP को एक बहुत ही स्मार्ट, लचीले अदृश्य स्याही के टुकड़े के रूप में समझें।

यह यह नहीं मानता कि नियम एक सीधी रेखा या एक सरल वक्र है।
यह किसी भी आकार को बना सकता है, लेकिन यह सुचारू, समझदारी भरे आकारों को प्राथमिकता देता है।
जैसे-जैसे यह अधिक डेटा (अधिक धावक) देखता है, स्याही चित्र को भर देती है, जिससे प्लेबुक और प्रत्येक व्यक्तिगत कोच के समायोजन का वास्तविक आकार प्रकट होता है।

क्योंकि यह "अदृश्य स्याही" का उपयोग करता है, मॉडल गलत आकार का अनुमान लगाने में नहीं फंसता है। यह डेटा को कहानी बताने देता है।

3. "घोस्ट रनर" (Ghost Runner) ट्रिक (आभासी अवलोकन)

आमतौर पर, यह पता लगाने के लिए कि एक धावक कैसे चलता है, आपको बार-बार जटिल गणितीय समीकरणों को हल करना पड़ता है, जो धीमा और गणनात्मक रूप से भारी होता है। यह हर एक वायु अणु का अनुकरण करके मौसम की भविष्यवाणी करने जैसा है।

MEGPODE एक चतुर ट्रिक "वर्चुअल कोलोकेशन" (Virtual Collocation) का उपयोग करता है।

पूरी दौड़ को शुरू से अंत तक सिम्युलेट करने के बजाय, मॉडल ट्रैक पर विशिष्ट चेकपॉइंट्स पर "घोस्ट रनर्स" (भूतिया धावक) रखता है।
यह पूछता है: "यदि धावक यहाँ होता, तो क्या उसकी गति उन नियमों से मेल खाती जिनका वे पालन कर रहे हैं?"
यदि घोस्ट रनर की गति उन नियमों से मेल नहीं खाती, तो मॉडल नियमों को धीरे से तब तक बदलता है जब जब तक वे फिट न हो जाएं।
यह एक कठिन, धीमी सिमुलेशन समस्या को एक तेज़, मानक गणितीय समस्या (जैसे पहेली सुलझाना) में बदल देता है जिसे कंप्यूटर तुरंत कर सकते हैं।

4. परिणाम: बेहतर पूर्वानुमान और समझ

लेखकों ने सिंथेटिक सिस्टम (कंप्यूट किए गए जैविक और भौतिक सिस्टम जैसे स्पंदित हृदय गति या बीमारी का प्रसार) पर इस परीक्षण किया।

सत्य की प्राप्ति: जब "वास्तविक" नियम जटिल और अज्ञात थे, तो MEGPODE पुराने तरीकों की तुलना में "सार्वभौमिक प्लेबुक" को समझने में बहुत बेहतर था। यह शोर (noise) से भ्रमित नहीं हुआ।
भविष्यवाणी करना: जब भविष्य बताने (पूर्वानुमान लगाने) के लिए पूछा गया कि एक धावक दौड़ कैसे समाप्त करेगा, तो MEGPODE अधिक सटीक था।
यह जानना कि वह क्या नहीं जानता: क्योंकि यह संभाव्यता (probability) का उपयोग करता है, मॉडल कह सकता है, "मुझे सार्वभौमिक प्लेबुक के बारे में बहुत विश्वास है, लेकिन मैं इस विशिष्ट धावक के व्यक्तिगत कोच के बारे में कम आश्वस्त हूँ क्योंकि हमारे पास अभी पर्याप्त डेटा नहीं है।" चिकित्सा जैसे क्षेत्रों में यह सुरक्षा के लिए महत्वपूर्ण है।

सारांश

MEGPODE चीजों के समूहों (जैसे कोशिकाएं, रोगी या ग्रह) को मॉडल करने का एक नया तरीका है जो समय के साथ चलते या बदलते रहते हैं। सबको एक कठोर, पूर्व-लिखित नियम पुस्तिका का पालन करने के लिए मजबूर करने के बजाय, यह समूह के लिए एक साझा नियम पुस्तिका और प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक कस्टम नियम पुस्तिका सीखता है। यह इन नियमों को बिना उनके आकार का अनुमान लगाए खोजने के लिए लचीले गणित (Gaussian Processes) का उपयोग करता है, और गणनाओं को तेज़ी से करने के लिए "घोस्ट रनर" ट्रिक का उपयोग करता है।

पेपर का दावा है कि यह विधि पिछले तरीकों की तुलना में वास्तविक अंतर्निहित गतिकी (dynamics) को बेहतर ढंग से प्राप्त करती है, अव्यवस्थित वास्तविक दुनिया के डेटा को अच्छी तरह से संभालती है, और समूह के औसत और व्यक्तिगत अंतरों दोनों की स्पष्ट तस्वीर प्रदान करती है।

तकनीकी सारांश: गॉसियन प्रोसेस के साथ बेयसियन नॉनपैरामेट्रिक मिक्स्ड-इफेक्ट ओडीई (MEGPODE)

समस्या विवरण

डायनामिकल मॉडलिंग फार्माकोमेट्रिक्स, सिस्टम्स बायोलॉजी और एपिडेमियोलॉजी जैसे क्षेत्रों में आवश्यक है, जहाँ विषमता (heterogeneity) अंतर्निहित होती है: विभिन्न विषय या इकाइयाँ संबंधित लेकिन भिन्न निरंतर-समय डायनेमिक्स का पालन करती हैं। क्लासिकल नॉनलीनर मिक्स्ड-इफेक्ट्स (NLME) ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन (ODE) मॉडल इसे एक साझा यांत्रिक प्रणाली को विषय-विशिष्ट रैंडम इफेक्ट्स के साथ जोड़कर संबोधित करते हैं। हालाँकि, ये मॉडल पैरामेट्रिक वेक्टर फील्ड्स पर निर्भर करते हैं, जिससे वे संरचनात्मक मिसस्पेसिफिकेशन (structural misspecification) के प्रति संवेदनशील हो जाते हैं जब अंतर्निहित तंत्र केवल आंशिक रूप से ज्ञात होता है या जब व्यक्तिगत अंतरों को सरल पैरामेट्रिक परिवर्तनों द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है।

मौजूदा नॉनपैरामेट्रिक दृष्टिकोण, जैसे कि गॉसियन प्रोसेस (GP) ODEs या न्यूरल ODEs, लचीलापन तो प्रदान करते हैं लेकिन वे आमतौर पर एक साझा डायनेमिकल सिस्टम मानते हैं, न कि विषय-विशिष्ट वेक्टर फील्ड्स पर एक स्पष्ट मिक्स्ड-इफेक्ट पदानुक्रम (hierarchy)। इसके विपरीत, हालिया जनसंख्या-स्तर के निरंतर-समय मॉडल विषय परिवर्तनशीलता को कैप्चर करते हैं, लेकिन अक्सर परिमित-आयामी (finite-dimensional) पैरामेट्रिक या न्यूरल प्रभावों पर निर्भर करते हैं, न कि बेयसियन नॉनपैरामेट्रिक पदानुक्रम पर। यह एक पद्धतिगत अंतराल छोड़ता है: निरंतर-समय डायनेमिक्स के लिए एक नॉनपैरामेट्रिक मिक्स्ड-इफेक्ट मॉडल का अभाव जो सीधे ODE स्तर पर कार्य करता हो और जनसंख्या तथा विषय दोनों स्तरों पर अनिश्चितता परिमाणीकरण (uncertainty quantification) प्रदान करता हो।

कार्यप्रणाली: MEGPODE

लेखक MEGPODE का प्रस्ताव करते हैं, जो एक बेयसियन नॉनपैरामेट्रिक मिक्स्ड-इफेक्ट ODE मॉडल है। मुख्य नवाचार प्रत्येक विषय के वेक्टर फील्ड $f_i(x)$ को एक साझा जनसंख्या घटक $f_0(x)$ और एक विषय-विशिष्ट विचलन $g_i(x)$ में विभाजित करना है:
$f_i(x) = f_0(x) + g_i(x)$
दोनों घटकों को स्वतंत्र-आउटपुट गॉसियन प्रोसेस (GP) प्रायर (prior) द्वारा सुसज्जित किया गया है। यह फॉर्मूलेशन क्लासिकल NLME डीकंपोजिशन को पैरामीटर स्पेस से फंक्शन स्पेस में स्थानांतरित करता है।

प्रमुख तकनीकी घटक

पदानुक्रमित GP प्रायर (Hierarchical GP Prior): जनसंख्या क्षेत्र $f_0$ और विषय-विशिष्ट विचलन $g_i$ को क्रमशः कर्नेल $k_0$ और $k_r$ के साथ GPs का उपयोग करके मॉडल किया गया है। यह साझा क्षेत्र के माध्यम से विषयों को "शक्ति उधार लेने" (borrow strength) की अनुमति देता है जबकि व्यक्तिगत लचीलापन बनाए रखता है।
स्केलेबल प्रतिनिधित्व (Scalable Representation): पूर्ण GP इन्फरेंस की कम्प्यूटेशनल जटिलता से बचने के लिए, क्षेत्रों को इंड्यूसिंग-फीचर एक्सपेंशन (Nyström approximation) का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है। साझा और स्थानीय क्षेत्रों को अलग-अलग इंड्यूसिंग लोकेशन्स $Z_0$ और $Z_r$ के माध्यम से दर्शाया जाता है, जिसमें एक्सपेंशन कोएफिशिएंट्स पर गॉसियन प्रायर होते हैं। एक श्रिंकेज पैरामीटर $\lambda_r$ विषय-विशिष्ट विचलन के परिमाण को नियंत्रित करता है, जो व्यक्तिगत विचलन को साझा जनसंख्या क्षेत्र की ओर रेगुलराइज करता है।
स्टेट-स्पेस ट्रजेक्टरी प्रायर और कोलोकेशन (State-Space Trajectory Priors & Collocation): प्रशिक्षण के दौरान बार-बार संख्यात्मक ODE समाधानों से बचने के लिए, विधि स्टेट-स्पेस GP ट्रजेक्टरी प्रायर (इंटीग्रेटेड वीनर प्रोसेस का उपयोग करके) को वर्चुअल कोलोकेशन ऑब्जर्वेशन के साथ जोड़ती है। ODE बाधा $\dot{x}_i(t) = f_i(x_i(t))$ को कोलोकेशन समय पर स्यूडो-ऑब्जर्वेशन के माध्यम से एक सॉफ्ट कंस्ट्रेंट के रूप में लागू किया जाता है।
अल्टरनेटिंग इन्फरेंस स्कीम (Alternating Inference Scheme): इन्फरेंस एक अल्टरनेटिंग लूप के माध्यम से आगे बढ़ता है:
- ट्रजेक्टरी अपडेट: वर्तमान वेक्टर फील्ड अनुमानों को देखते हुए, लेटेंट ट्रजेक्टरीज को कलमन स्मूथिंग का उपयोग करके अपडेट किया जाता है। नॉनलीनियर कोलोकेशन बाधा को एक रेफरेंस ट्रजेक्टरी के आसपास स्थानीय रूप से लीनियरलाइज़ किया जाता है, जो समस्या को एक लीनियर-गॉसियन स्मूथिंग समस्या में बदल देता है।
- फील्ड अपडेट: स्मूथ की गई ट्रजेक्टरीज (स्यूडो-डेरिवेटिव्स) को देखते हुए, वेक्टर फील्ड कोएफिशिएंट्स को फीचर स्पेस में एक हेटरोसेडास्टिक लीनियर-गॉसियन मिक्स्ड रिग्रेशन समस्या को हल करके अपडेट किया जाता है। यह चरण कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है और गॉसियन पोस्टीरियर्स के नेचुरल पैरामीटर्स के लिए क्लोज्ड-फॉर्म अपडेट प्रदान करता है।

प्रमुख योगदान

लेख में चार प्राथमिक योगदानों को रेखांकित किया गया है:

वैचारिक (Conceptual): ODE डायनेमिक्स के लिए एक नॉनपैरामेट्रिक मिक्स्ड-इफेक्ट फॉर्मूलेशन का परिचय, जो पैरामीटर स्पेस से फंक्शन स्पेस में NLME डीकंपोजिशन को स्थानांतरित करता है।
पद्धतिगत (Methodological): एक स्केलेबल इन्फरेंस स्कीम का विकास जो स्टेट-स्पेस GP प्रायर को कोलोकेशन बाधाओं के साथ जोड़ता है, जिससे बार-बार ODE इंटीग्रेशन के बिना ट्रजेक्टरीज के लिए कलमन-स्मूथिंग अपडेट और वेक्टर फील्ड्स के लिए स्केलेबल गॉसियन अपडेट प्राप्त होते हैं।
अनुभवजन्य (Empirical): विविध सिंथेटिक बेंचमार्क (ऑसिलेटरी और बायोमेडिकल सिस्टम) पर मूल्यांकन, जो स्ट्रॉन्ग बेसलाइन्स (जिसमें पैरामेट्रिक NLME-ODEs, GP-ODEs, और मिक्स्ड-इफेक्ट न्यूरल ODEs शामिल हैं) की तुलना में जनसंख्या-क्षेत्र रिकवरी और विषय-स्तर की ट्रजेक्टरी भविष्यवाणी में सुधार प्रदर्शित करता है।
सैद्धांतिक (Theoretical): अनिश्चितता और जटिलता के लिए कम्प्यूटेबल डायग्नोस्टिक्स का व्युत्पन्न, जिसमें पोस्टीरियर-मीन डायनेमिक्स के लिए वेल-पोज़डनेस के प्रमाण, स्पष्ट कोवेरिएंस डीकंपोजिशन और कंडीशनल फील्ड अपडेट की कॉनवेक्सिटी शामिल है।

प्रयोगात्मक परिणाम

लेखकों ने लीनियर ऑसिलेटर्स, लोटका–वोल्टेरा, वान डेर पोल, फिट्ज़ह्यू–नागुमो, SIR, और फार्माकोकाइनेटिक मॉडल सहित सिंथेटिक बेंचमार्क पर MEGPODE का मूल्यांकन किया। विषमता को पैरामीटर्स पर रैंडम इफेक्ट्स या स्मूथ रेसिडुअल वेक्टर फील्ड्स के माध्यम से पेश किया गया था।

प्रदर्शन: MEGPODE ने इंटरपोलेशन और फोरकास्टिंग दोनों सेटिंग्स में ट्रजेक्टरी सटीकता (RMSE) और डिस्ट्रिब्यूशनल फोरकास्ट क्वालिटी (CRPS) के लिए सबसे मजबूत औसत रैंक हासिल की। यह वास्तविक साझा जनसंख्या क्षेत्र ( $f_0$ ) को रिकवर करने में बेसलाइन्स से बेहतर रहा।
अनिश्चितता परिमाणीकरण (Uncertainty Quantification): जबकि न्यूरल ODE बेसलाइन्स कभी-कभी अधिक कंजर्वेटिव अनिश्चितता अनुमान (बेहतर NLPD) दिखा सकते हैं, MEGPODE ने साझा क्षेत्र और विषय-विशिष्ट विचलन दोनों के लिए एक अद्वितीय प्रोबेबिलिस्टिक ट्रीटमेंट प्रदान किया, जिससे अनिश्चितता डीकंपोजिशन के लिए डायग्नोस्टिक्स सक्षम हुआ।
मिसस्पेसिफिकेशन सुधार: एक "ग्रे-बॉक्स" प्रयोग में जहाँ वास्तविक डायनेमिक्स में एक मैकेनिस्टिक फिट्ज़ह्यू–नागुमो मॉडल के साथ एक स्मूथ रेसिडुअल करेक्शन शामिल था, MEGPODE का एक सेमी-मैकेनिस्टिक वेरिएंट (MEGPODE-M) सफलतापूर्वक स्ट्रक्चरल मिसस्पेसिफिकेशन को ठीक करने में सफल रहा, जिसने लो-डेटा एक्सट्रपलेशन रिजीम्स में शुद्ध मैकेनिस्टिक SAEM फिट्स और पूरी तरह से नॉनपैरामेट्रिक मॉडल्स की तुलना में बेहतर प्रदर्शन किया।
एब्लेशन (Ablations): संवेदनशीलता विश्लेषण ने दिखाया कि विधि हाइपरपैरामीटर्स के एक विस्तृत बेसिन में मजबूत है। साझा क्षेत्र ( $f_0$ ) या विषय-विशिष्ट विचलन ( $g_i$ ) में से किसी एक को हटाने से प्रदर्शन में गिरावट आई, जो मिक्स्ड-इफेक्ट स्ट्रक्चर की आवश्यकता की पुष्टि करता है।

महत्व और दावे

लेख दावा करता है कि MEGPODE एक महत्वपूर्ण पद्धतिगत अंतराल को भरता है, जो विषम निरंतर-समय डायनेमिक्स के लिए एक लचीला, प्रोबेबिलिस्टिक फ्रेमवर्क प्रदान करता है जो सीधे वेक्टर फील्ड पर कार्य करता है। पिछले दृष्टिकोणों के विपरीत जो या तो मैकेनिस्टिक रूप को फिक्स करते हैं या मिक्स्ड-इफेक्ट पदानुक्रम को अनदेखा करते हैं, MEGPODE:

NLME को फंक्शन स्पेस में उठाता है: यह जनसंख्या/व्यक्तिगत डीकंपोजिशन को पैरामीटर से वेक्टर फील्ड तक सामान्य करता है, जिससे विषमता के नॉनपैरामेट्रिक मॉडलिंग की अनुमति मिलती है।
लचीलेपन और संरचना के बीच संतुलन बनाता है: मैकेनिस्टिक व्याख्यात्मकता (साझा क्षेत्र के माध्यम से) को डेटा-संचालित लचीलेपन (GP रेसिड्यूल्स के माध्यम से) के साथ जोड़कर, यह उन प्रणालियों को मॉडल करने की चुनौती को संबोधित करता है जहाँ तंत्र आंशिक रूप से ज्ञात होते हैं।
स्केलेबल इन्फरेंस को सक्षम बनाता है: स्टेट-स्पेस रिप्रेजेंटेशन और लोकल लीनियरलाइजेशन का उपयोग बार-बार ODE सॉल्विंग के कम्प्यूटेशनल बॉटलनेक से बचता है, जिससे यह अनियमित ऑब्जर्वेशन वाली जनसंख्याओं के लिए स्केलेबल हो जाता है।

लेखक MEGPODE को "बायोलॉजी-इंफॉर्म्ड ML" की दिशा में एक कदम के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जो मैकेनिस्टिक स्ट्रक्चर, विषय-स्तर का संदर्भ और लचीले डेटा-संचालित घटकों को जोड़ता है। वे सीमाओं को स्वीकार करते हुए, नोट करते हैं कि वर्तमान सत्यापन सिंथेटिक डेटा तक सीमित है और उनकी विधि लोकल लीनियरलाइजेशन पर निर्भर करती है, जो तब खराब हो सकती है जब स्टेट पोस्टीरियर अत्यधिक मल्टीमॉडल हो। भविष्य के कार्य के रूप में ग्रे-बॉक्स एक्सटेंशन विकसित करने और डायनेमिकल कोवेरियेट्स को शामिल करने का सुझाव दिया गया है।