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A Tale of Two Hartle-Hawking Wave Functions: Fully Gravitational vs Partially Frozen

यह शोध पत्र AdS और dS स्पेस-टाइम में पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण (fully gravitational) और आंशिक रूप से जमे हुए (partially frozen) हार्टले-हॉकिंग वेव फंक्शन्स के बीच अंतर करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि पूर्व सीमा उतार-चढ़ाव (boundary fluctuations) के कारण एक गैर-तुच्छ एक-लूप चरण (nontrivial one-loop phase) प्राप्त करता है जबकि उत्तर वास्तविक और धनात्मक बना रहता है, जिससे यह स्थापित होता है कि चरण की समस्या गुरुत्वाकर्षण पथ समाकल (gravitational path integral) की गतिशील प्रकृति द्वारा नियंत्रित होती है।

मूल लेखक: Galit Anikeeva, Raphaël Dulac, Zixia Wei, Mengyang Zhang

प्रकाशित 2026-05-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Galit Anikeeva, Raphaël Dulac, Zixia Wei, Mengyang Zhang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "A Tale of Two Hartle–Hawking Wave Functions" शोध पत्र का सरल भाषा और रचनात्मक उपमाओं के साथ हिंदी अनुवाद दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: ब्रह्मांड की फोटो लेने के दो तरीके

कल्पना कीजिए कि आप एक विशिष्ट समय पर पूरे ब्रह्मांड की तस्वीर लेने की कोशिश कर रहे हैं। भौतिक विज्ञान (physics) में, इस "फोटो" को हार्टल-हॉकिंग वेव फंक्शन (Hartle–Hawking wave function) कहा जाता है। यह एक गणितीय रेसिपी है जो हमें बताती है कि ब्रह्मांड के एक निश्चित रूप में होने की कितनी संभावना है।

आमतौर पर, इस फोटो को लेने के लिए भौतिक विज्ञानी "पाथ इंटीग्रल" (path integral) नामक विधि का उपयोग करते हैं। इसे ऐसे समझें जैसे कि आप ब्रह्मांड के हर उस संभावित इतिहास को जोड़ रहे हैं जो उस विशिष्ट क्षण तक पहुँचने के लिए आवश्यक था।

समस्या तब आती है जब ब्रह्मांड की एक सीमा (boundary) होती है (जैसे किसी कमरे का किनारा)। प्रसिद्ध एंटी-डी सिटर (Anti-de Sitter - AdS) ब्रह्मांड (एक विशिष्ट प्रकार का घुमावदार स्थान) में, हमारे कमरे का "फर्श" खुला होता है, बंद नहीं। इससे एक दुविधा पैदा होती है: क्या हम कमरे की दीवारों को स्थिर रखें, या उन्हें हिलने-डुलने दें?

यह शोध पत्र इन दो अलग-अलग तरीकों की जांच करता है, जिन्हें "पार्शियली फ्रोजन" (Partially Frozen - आंशिक रूप से जमी हुई) और "फुल्ली ग्रेविटेशनल" (Fully Gravitational - पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण आधारित) कहा जाता है।

पात्र 1: "पार्शियली फ्रोजन" ब्रह्मांड (कठोर वास्तुकार)

सेटअप: कल्पना कीजिए कि आप ब्रह्मांड का एक मॉडल बना रहे हैं, लेकिन आप कमरे की दीवारों को सुपर-स्ट्रॉन्ग टेप से चिपका देते हैं। आप दीवार के आकार और माप को स्थिर कर देते हैं। आप दीवारों को हिलने या बदलने की अनुमति नहीं देते।

यह कैसे काम करता है: यह भौतिक विज्ञान में काम करने का मानक तरीका है, विशेष रूप से जब गुरुत्वाकर्षण को क्वांटम मैकेनिक्स (AdS/CFT) से जोड़ा जाता है। वे कहते हैं, "हम केवल उन इतिहासों को गिनेंगे जहाँ दीवारें बिल्कुल वहीं रहती हैं जहाँ हमने उन्हें रखा था।"
परिणाम: जब लेखकों ने इस ब्रह्मांड की "संभावना" (या नॉर्म) की गणना की, तो गणित साफ और सकारात्मक (positive) आया। यह एक वास्तविक संख्या थी, जैसा कि एक संभावना के लिए अपेक्षित होता है। कोई अजीब सरप्राइज नहीं।

पात्र 2: "फुल्ली ग्रेविटेशनल" ब्रह्मांड (हलचल का खोजी)

सेटअप: अब, कल्पना कीजिए कि आप वह टेप हटा देते हैं। आप तय करते हैं कि कमरे की दीवारें एक लचीली, डगमगाती हुई सामग्री से बनी हैं। इस परिदृश्य में, आप केवल कमरे के अंदर के इतिहास को ही नहीं जोड़ते; बल्कि आप उन सभी संभावित तरीकों को भी जोड़ते हैं जिनसे दीवारें स्वयं हिल सकती हैं, खिंच सकती हैं और अपना आकार बदल सकती हैं।

यह कैसे काम करता है: यह हार्टल-हॉकिंग प्रस्ताव के मूल विचार के करीब है, जहाँ सब कुछ गतिशील है। कुछ भी हाथ से तय नहीं किया गया है; सीमा (boundary) भी गुरुत्वाकर्षण के नृत्य का हिस्सा है।
परिणाम: जब लेखकों ने इस डगमगाते हुए ब्रह्मांड के लिए गणित किया, तो उन्हें कुछ अजीब मिला। संभावना केवल एक सकारात्मक संख्या नहीं निकली। यह एक अजीब, काल्पनिक फेज फैक्टर (imaginary phase factor) के साथ आई (गणितीय रूप से $\pm i$ द्वारा दर्शाया गया)।
उपमा: यह एक गुब्बारे का वजन मापने की कोशिश करने जैसा है, लेकिन क्योंकि रबर बहुत खिंचाव वाला और जीवित है, आपका तराजू घूमने लगता है और आपको एक ऐसा परिणाम देता है जिसमें एक "भूतिया" (ghost) संख्या शामिल है। यह "गलत" नहीं है, लेकिन यह एक साधारण संभावना के लिए मिलने वाली साफ, सकारात्मक संख्या जैसा भी नहीं है।

"फेज" की समस्या: वह भूतिया संख्या क्यों महत्वपूर्ण है?

क्वांटम मैकेनिक्स में, चीजों के पास "फेज" (जैसे तरंग का समय) हो सकते हैं। आमतौर पर, जब आप किसी चीज़ के होने की कुल संभावना की गणना करते हैं, तो ये फेज एक दूसरे को रद्द कर देने चाहिए, जिससे एक अच्छी, वास्तविक संख्या प्राप्त होती है।

"फ्रोजन" ब्रह्मांड में: फेज पूरी तरह से रद्द हो जाते हैं। परिणाम एक ठोस, सकारात्मक संख्या है।
"विगली" (Wiggly) ब्रह्मांड में: फेज रद्द नहीं होते हैं। वे पीछे एक "भूतिया" संख्या (काल्पनिक $i$ ) छोड़ देते हैं।

लेखकों ने महसूस किया कि यह केवल AdS ब्रह्मांड की कोई विचित्रता नहीं है। उन्होंने डी सिटर (de Sitter - dS) ब्रह्मांड (जो हमारे वास्तविक विस्तार करते ब्रह्मांड के अधिक करीब है) को भी देखा। dS में, मानक गणना भी इसी अजीब "भूतिया" फेज को उत्पन्न करती है, जो दशकों से भौतिक विज्ञानियों के लिए सिरदर्द बना हुआ है क्योंकि यह ब्रह्मांड की व्याख्या करना कठिन बना देता है।

"इक्वेटर" प्रयोग: बीच के हिस्से को जमाना

इस रहस्य को सुलझाने के लिए, लेखकों ने डी सिटर ब्रह्मांड पर एक चतुर प्रयोग किया। पूरे ब्रह्ध्य की सीमा को जमाने (freeze करने) के बजाय, उन्होंने केवल इक्वेटर (मध्य रेखा) को जमा दिया।

उपमा: एक ग्लोब की कल्पना करें। पूरी सतह को जमाने के बजाय, आप भूमध्य रेखा (equator) के चारों ओर एक कठोर छल्ला लगाते हैं। ऊपर और नीचे के हिस्से अभी भी हिल सकते हैं, लेकिन वे बीच में से जकड़े हुए हैं।
परिणाम: जब उन्होंने इस "पार्शियली फ्रोजन" इक्वेटर के साथ संभावना की गणना की, तो वह अजीब भूतिया फेज गायब हो गया। गणित फिर से साफ और सकारात्मक हो गया।

मुख्य निष्कर्ष: यह नियंत्रण के बारे में है

लेखकों का बड़ा निष्कर्ष यह है कि "भूतिया फेज" की समस्या ब्रह्मांड के अजीब होने के कारण नहीं है। यह इस कारण है कि सीमाओं को कितनी स्वतंत्रता दी गई है।

यदि आप सीमा को स्वतंत्र रूप से हिलने देते हैं (Fully Gravitational): तो आपको एक अस्त-व्यस्त, जटिल फेज मिलता है। गणित "पूर्णतः लोकतांत्रिक" है, लेकिन परिणाम को एक सरल संभावना के रूप में समझना कठिन है।
यदि आप सीमा के कुछ हिस्से को जमा देते हैं (Partially Frozen): तो फेज रद्द हो जाता है, और आपको एक साफ, सकारात्मक संभावना मिलती है।

रूपक (Metaphor):
ब्रह्मांड को एक अराजक जैज़ बैंड (jazz band) के रूप में सोचें।

फुल्ली ग्रेविटेशनल: हर कोई अपनी मर्जी से बजा रहा है, जिसमें ड्रमर और बेस वादक भी शामिल हैं। संगीत स्वतंत्र है, लेकिन यह बताना कठिन है कि क्या कोई लय (phase) है।
पार्शियली फ्रोजन: आप ड्रमर को एक स्थिर ताल बनाए रखने के लिए कहते हैं। अचानक, पूरा बैंड एक लय में आ जाता है, और आप स्पष्ट रूप से लय सुन पाते हैं (साफ संभावना)।

सारांश

लेखकों ने पाया कि क्वांटम ग्रेविटी में "फेज समस्या" इस बात से नियंत्रित होती है कि पाथ इंटीग्रल पूर्णतः गतिशील (fully dynamic) है या आंशिक रूप से जमी हुई (partially frozen) है।

AdS में (सैद्धांतिक ब्रह्मांड), सीमा को हिलने देने से एक फेज बनता है; उसे स्थिर करने से फेज हट जाता है।
dS में (हमारा ब्रह्मांड), केवल इक्वेटर को जमाने से वह फेज हट जाता है जो आमतौर पर गणना में बाधा डालता है।

यह सुझाव देता है कि सार्थक, भौतिक भविष्यवाणियां (जैसे ब्रह्मांड की स्पष्ट संभावना) प्राप्त करने के लिए, हमें शायद स्पेसटाइम की सीमा के कुछ हिस्सों को "जमाना" होगा, बजाय इसके कि सब कुछ स्वतंत्र रूप से उतार-चढ़ाव करे।

तकनीकी सारांश: दो हार्टले-हॉकिंग तरंग फलनों की एक कथा

समस्या विवरण
हार्टले-हॉकिंग (HH) प्रस्ताव ब्रह्मांड के तरंग फलन (wave function) को एक कॉम्पैक्ट यूक्लिडियन ज्यामिति (compact Euclidean geometries) पर गुरुत्वाकर्षण पथ समाकल (gravitational path integral - GPI) के माध्यम से परिभाषित करता है, जो "शून्य" और एक निर्दिष्ट स्थानिक स्लाइस (spatial slice) के बीच मध्यस्थता करता है। डी सिटर (dS) गुरुत्वाकर्षण में व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने के बावजूद, इस प्रस्ताव को निरंतर समस्याओं का सामना करना पड़ता है, विशेष रूप से नॉर्म (norm) की गणना में "फेज समस्या" (phase problem)। dS गुरुत्वाकर्षण में एक-लूप सुधारा गया स्फीयर विभाजन फलन (sphere partition function) एक गैर-तुच्छ फेज (nontrivial phase), $(\mp i)^{D+2}$ प्राप्त करता है, जो विभाजन फलन को एक धनात्मक-निश्चित नॉर्म या अवस्था-गणना माप (state-counting measure) के रूप में व्याख्या करने के विचार का विरोध करता है।

यह शोध पत्र जांच करता है कि क्या ये समस्याएं dS गुरुत्वाकर्षण के प्रति अंतर्निहित हैं या क्या वे गुरुत्वाकर्षण पथ समाकल की विशिष्ट संरचना से उत्पन्न होती हैं। लेखक आसिम्टोटिकली एंटी-डी सिटर (AdS) स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जहाँ प्राकृतिक स्थानिक स्लाइस 'ओपन' (open) होते हैं और उनकी एक सीमा (boundary) होती है। यह विशेषता एक अतिरिक्त स्पेसटाइम बाउंड्री घटक, $B_-$ , की आवश्यकता उत्पन्न करती है, जिससे HH तरंग फलन के दो अलग-अलग निर्माण होते हैं:

पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण संबंधी HH तरंग फलन (Fully Gravitational HH Wave Function): स्पेसटाइम बाउंड्री $B_-$ पर मेट्रिक का समाकलन किया जाता है (उस पर योग किया जाता है)। यह ओपन स्लाइस के लिए मूल 'नो-बाउंड्री' प्रस्ताव का एक स्वाभाविक विस्तार है।
आंशिक रूप से जमी हुई HH तरंग फलन (Partially Frozen HH Wave Function): $B_-$ पर मेट्रिक को स्थिर (डिरिचलेट बाउंडरी कंडीशन) रखा जाता है। यह AdS/CFT में मानक प्रारूप है।

केंद्रीय प्रश्न यह है कि क्या नॉर्म गणना में फेज समस्या इस बात पर निर्भर करती है कि बाउंड्री गतिशील (fully gravitational) है या स्थिर (partially frozen)।

कार्यप्रणाली
लेखक विभिन्न गुरुत्वाकर्षण मॉडलों में सेमीक्लासिकल सैडल-पॉइंट विश्लेषण और एक-लूप परटर्बेशन थ्योरी के संयोजन का उपयोग करते हैं:

AdS $_3$ और AdS $_2$ में सेमीक्लासिकल विश्लेषण:
- AdS $_3$ आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण: लेखक एक हाइपरबोलिक डिस्क स्थानिक स्लाइस $\Sigma$ पर एक गतिशील बाउंड्री $B_-$ के साथ HH तरंग फलन का विश्लेषण करते हैं। वे एक मिनीसुपरस्पेस सन्निकटन (minisuperspace approximation) का उपयोग करते हैं जो $\Sigma$ के क्षेत्रफल $A$ और बाउंड्री लंबाई $L$ द्वारा पैरामीटराइज्ड है। वे छोटे $L$ के लिए वास्तविक यूक्लिडियन सैडल्स (real Euclidean saddles) और बड़े $L$ के लिए जटिल सैडल्स (complex saddles - जिनमें लॉरेंट्ज़ियन क्षेत्रों में विश्लेषणात्मक निरंतरता शामिल है) की पहचान करते हैं। प्रमुख सैडल का चयन स्टेपिस्ट-डिसेंट कंटूर (steepest-descent contour) प्रेस्क्रिप्शन द्वारा निर्देशित होता है, जो मिनीसुपरस्पेस मापदंडों (एक्सट्रिंसिक कर्वेचर) के संयुग्मी (conjugate) मात्राओं की धनात्मकता की मांग करता है।
- AdS $_2$ जैक्विक-टेइटलम (JT) गुरुत्वाकर्षण: एक समानांतर विश्लेषण डाइलटन प्रोफाइल और एक्सट्रिंसिक कर्वेचर के लिए मिनीसुपरस्पेस एंसेटल (ansatz) का उपयोग करता है। वे "मैक्सिमली-सिमेट्रिक बबल्स" का परीक्षण करते हैं और $\partial_n \Phi$ के सामान्य व्युत्पन्न के चिह्न के आधार पर $+$ और $-$ सैडल्स के बीच अंतर करते हैं।
AdS $_D$ में एक-लूप नॉर्म गणना:
- लेखक $D$ -आयामी AdS गुरुत्वाकर्षण में हाइपरबोलिक-बॉल विभाजन फलन के लिए एक-लूप सुधार की गणना करते हैं।
- पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण मामला (Fully Gravitational Case): बाउंड्री $B$ गतिशील है (न्यूमैन-प्रकार की बाउंड्री स्थितियां जो एक्शन के वेरिएशन से उत्पन्न होती हैं)। वे ऑफ-शेल्फ बाउंड्री स्थितियों के साथ लीनियरलाइज्ड आइंस्टीन समीकरणों को हल करके बाउंड्री ग्रेविटॉन्स के लिए एक प्रभावी एक्शन व्युत्पन्न करते हैं।
- आंशिक रूप से जमी हुई स्थिति (Partially Frozen Case): बाउंड्री स्थिर है (डिरिचलेट बाउंड्री स्थितियां), जो मानक AdS/CFT सेटअप के अनुरूप है।
आंशिक रूप से जमी हुई dS स्फीयर:
- AdS परिणामों से प्रेरित होकर, लेखक dS में एक 'स्फीयर विभाजन फलन' की जांच करते हैं जहाँ भूमध्य रेखा (एक को-डायमेंशन-1 सतह) पर मेट्रिक स्थिर है। वे एक निश्चित बाउंड्री कंडीशन के साथ दो आधे गोलार्द्धों को जोड़ने का विश्लेषण करते हैं, जिसमें यूक्लिडियन समय दिशा के ओरिएंटेशन और न्यूटन स्थिरांक के $i\epsilon$ -प्रेस्क्रिप्शन का सावधानीपूर्वक लेखा-जोखा रखा जाता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

दो HH तरंग फलनों के बीच अंतर:
पत्र स्पष्ट रूप से दो पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण संबंधी और आंशिक रूप से जमी हुई HH तरंग फलनों का निर्माण और तुलना करता है। AdS $_3$ और AdS $_2$ में, पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण संबंधी निर्माण में बाउंड्री ज्योमेट्री का योग शामिल है, जिससे कंटूर प्रेस्क्रिप्शन (जैसे AdS $_3$ में $s_{small}$ सैडल और AdS $_2$ में $+$ -सैडल) द्वारा निर्धारित विशिष्ट सैडल्स का चयन होता है।
AdS में नॉर्म का फेज:
- आंशिक रूप से जमी हुई (निश्चित बाउंड्री): डिरिचलेट बाउंडरी स्थितियों के साथ हाइपरबोलिक बॉल पर एक-लूप विभाजन फलन वास्तविक और धनात्मक पाया जाता है। यह AdS/CFT के अनुरूप है, जहाँ विभाजन फलन एक यूनिटरी CFT के द्वैत (dual) होता है।
- पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण (गतिशील बाउंड्री): एक गतिशील बाउंड्री के साथ हाइपरबोलिक बॉल पर एक-लूप विभाजन फलन में एक गैर-तुच्छ फेज $(\mp i)^{D+1}$ विकसित होता है। यह फेज बाउंड्री ग्रेविटॉन्स (विशेष रूप से ट्रेस मोड और कॉन्फॉर्मल किलिंग वेक्टर मोड) के प्रभावी एक्शन के नेगेटिव मोड्स से उत्पन्न होता है।
जमाने (Freezing) के माध्यम से dS में फेज समस्या का समाधान:
लेखक प्रदर्शित करते हैं कि dS गुरुत्वाकर्षण में फेज समस्या केवल धनात्मक कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट वाले गुरुत्वाकर्षण की अंतर्निहित विशेषता नहीं है। एक आंशिक रूप से जमी हुई स्फीयर विभाजन फलन (जहाँ भूमध्य रेखा स्थिर है) पर विचार करके, वे दिखाते हैं कि एक-लूप फेज गैर-तुच्छ रूप से रद्द (cancel) हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक वास्तविक और धनात्मक विभाजन फलन प्राप्त होता है।
- यह रद्दीकरण इसलिए होता है क्योंकि दोनों आधे गोलार्द्धों (जो भूमध्य रेखा पर जुड़े हुए हैं) को न्यूटन स्थिरांक के विश्लेषणात्मक निरंतरता (analytic continuation) के लिए विपरीत $i\epsilon$ -प्रेस्क्रिप्शन की आवश्यकता होती है ताकि सुसंगत समय ओरिएंटेशन बना रहे। इससे फेज का गुणनफल $(-i) \times (i) = +1$ होता है।
सेमीक्लासिकल तरंग फलन व्यवहार:
AdS $_3$ और AdS $_2$ दोनों में, सेमीक्लासिकल HH तरंग फलन स्थानिक स्लाइस के एक महत्वपूर्ण आकार ( $L_{crit}$ ) पर पीक (peak) करता है। इस क्रिटिकल मान से अधिक आकार के लिए, सैडल पॉइंट्स जटिल हो जाते हैं, और तरंग फलन जटिल सैडल्स का एक ऑसिलेटरी योग बन जाता है, जो dS गुरुत्वाकर्षण के समान व्यवहार है।

महत्व और दावे
पत्र का दावा है कि हार्टले-हॉकिंग तरंग फलन के नॉर्म से जुड़ी फेज समस्या पथ समाकल (path integral) में स्पेसटाइम बाउंड्री की गतिशील प्रकृति द्वारा नियंत्रित होती है, न कि कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट या स्पेसटाइम सिग्नेचर की अंतर्निहित विशेषता द्वारा।

फेज का नियंत्रण: फेज की उपस्थिति इस बात से जुड़ी है कि गुरुत्वाकर्षण पथ समाकल "पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण संबंधी" (बाउंड्री कॉन्फ़िगरेशन का योग करना) है या "आंशिक रूप से जमी हुई" (बाउंड्री डेटा को स्थिर करना)।
- पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण सेटअप (गतिशील बाउंड्री के साथ AdS, बिना किसी निश्चित उप-क्षेत्र के dS) गैर-तुच्छ फेज प्रदर्शित करते हैं।
- आंशिक रूप से जमी हुई सेटअप (निश्चित बाउंड्री के साथ AdS, एक निश्चित भूमध्य रेखा के साथ dS) धनात्मक, वास्तविक विभाजन फलन प्रदान करते हैं।
dS गुरुत्वाकर्षण के लिए निहितार्थ: परिणाम सुझाव देते हैं कि dS गुरुत्वाकर्षण में फेज समस्या को एक "जमे हुए" (frozen) स्पेसटाइम उप-क्षेत्र (एक ऑब्जर्वर या होलोग्राफिक स्क्रीन के समान) पेश करके हल किया जा सकता है, जो टाइम रीपैरामेटराइजेशन इनवेरिएंस को तोड़ता है। लेखक अपने 'फिक्स्ड-इक्वेटर' निर्माण और मैल्डसेना के 'ऑब्जर्वर प्रपोजल' के बीच समानता खींचते हैं, यह नोट करते हुए कि दोनों गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में हैमिल्टोनियन बाधा (Hamiltonian constraint) को तोड़ते हैं, हालांकि अलग-अलग तंत्रों के माध्यम से।
होलोग्राफिक व्याख्या: पूर्णतः गुरुत्वाकर्षण संबंधी AdS गणना को 'ब्रेन-वर्ल्ड होलोग्राफी' के माध्यम से व्याख्यायित किया जाता है, जहाँ गतिशील बाउंड्री एक निम्न-आयामी गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत के अनुरूप है जो एक होलोग्राफिक CFT से जुड़ा हुआ है। ब्रैन (brane) पर पाए गए फेज, बल्क AdS गणना के फेज से मेल खाते हैं।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि ब्रह्मांड के तरंग फलन के लिए भौतिक रूप से समझदारी भरे अनुमान निकालने के लिए एक आंशिक रूप से जमी हुई GPI से निष्कर्ष निकालना आवश्यक हो सकता है, हालांकि क्लोज्ड यूनिवर्स (जैसे dS) में जमी हुई उप-क्षेत्र के लिए एक मानक विकल्प अभी भी एक खुला प्रश्न बना हुआ है।