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Nonlinear Hamiltonians and Boolean satisfiability

यह शोध पत्र विशिष्ट गैररेखीय श्रोडिंगर समीकरणों के तहत विकसित होने वाले अनिसिला क्वबिट्स (ancilla qubits) के साथ जुड़े क्वांटम कंप्यूटेशन के एक मॉडल का प्रस्ताव करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि ऐसे सिस्टम संतुष्ट असाइनमेंट की संख्या के बीच अंतर करने के लिए विशिष्ट गैररेखीय हैमिल्टोनियन का उपयोग करके UNIQUE SAT, 3SAT, और #SAT समस्याओं को कुशलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

मूल लेखक: Michael R. Geller, Victoria S. Ordonez, Yohannes Abate

प्रकाशित 2026-05-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Michael R. Geller, Victoria S. Ordonez, Yohannes Abate

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक सुपर-स्मार्ट कंप्यूटर है जो एक साथ कई संभावनाओं की खोज करके समस्याओं को हल कर सकता है। यह एक मानक क्वांटम कंप्यूटर है। हालाँकि, इसमें एक पेंच है: यह "रैखिकता" (linearity) के कड़े नियमों का पालन करता है। इसे एक बहुत ही विनम्र, कठोर डांस फ्लोर की तरह समझें: यहाँ डांसर (क्वांटम अवस्थाएँ) घूम तो सकते हैं, लेकिन वे कभी भी एक-दूसरे से उतने दूर नहीं जा सकते जितना वे शुरू में थे। यदि दो डांसर एक-दूसरे के बहुत करीब खड़े हैं, तो नियम कहते हैं कि उन्हें इतना दूर नहीं धकेला जा सकता कि उन्हें स्पष्ट रूप से अलग पहचाना जा सके। यह चीज़ कंप्यूटर के लिए एक सरल प्रश्न का उत्तर देना अविश्वसनीय रूप से कठिन बना देती है: "क्या इस पहेली का कोई समाधान है, या क्या केवल एक ही समाधान है?" या "कितने समाधान हैं?"

यह शोध पत्र एक काल्पनिक अपग्रेड का प्रस्ताव देता है: क्या होगा यदि हम एक "गैर-रैखिक" (nonlinear) डांस मूव जोड़ सकें? यह डांसरों को एक-दूसरे को जबरदस्त बल के साथ दूर धकेलने की अनुमति देगा, जिससे उन्हें पहचानना आसान हो जाएगा। लेखक तीन विशिष्ट प्रकार के "सुपर मूव्स" (nonlinear Hamiltonians) का पता लगाते हैं और दिखाते हैं कि एक आदर्श, शोर-मुक्त (noise-free) दुनिया में, वे कंप्यूटर विज्ञान की सबसे कठिन पहेलियों को तुरंत हल कर सकते हैं।

वे इसे तीन अलग-अलग उपमाओं (analogies) का उपयोग करके करते हैं, जो यहाँ दी गई हैं:

सेटअप: "सॉल्यूशन काउंटर" (समाधान गणक)

सबसे पहले, लेखक एक मानक क्वांटम ट्रिक का उपयोग करके एक जटिल पहेली (जैसे कि एक लॉजिक ग्रिड) को एक एकल, नन्हे क्वांटम सिक्के (एक "एन्सिला क्यूबिट") में बदल देते हैं।

उपमा: कल्पना करें कि आपके पास $2^n$ संभावित उत्तरों वाली एक पहेली है। क्वांटम कंप्यूटर उन सभी की एक साथ जाँच करता है और सही उत्तरों की संख्या ( $s$ ) को एक घूमते हुए सिक्के के कोण (angle) में एनकोड करता है।
समस्या: यदि 0 सही उत्तर हैं, तो सिक्का सीधा नीचे की ओर इशारा करता है। यदि 1 सही उत्तर है, तो सिक्का लगभग सीधा नीचे की ओर ही होता है, लेकिन एक बहुत ही सूक्ष्म, सूक्ष्म अंश डिग्री की ओर थोड़ा सा झुका हुआ होता है। एक सामान्य क्वांटम दुनिया में, ये दोनों स्थितियाँ इतनी करीब होती हैं कि आप बिना अरबों बार जाँच किए उन्हें पहचान नहीं पाएंगे।

तीन "सुपर मूव्स"

लेखक इन सिक्कों को एक-दूसरे से दूर धकेलने के लिए तीन अलग-अलग "नॉनलीनियर इंजन" डिजाइन करते हैं ताकि हम उत्तर पढ़ सकें।

1. ट्विस्टिंग इंजन (UNIQUE SAT को हल करना)

लक्ष्य: यह निर्धारित करना कि शून्य समाधान हैं या ठीक एक समाधान है।
उपमा: कल्पना करें कि सिक्का एक घूमते हुए टर्नटेबल पर है। "ट्विस्टिंग इंजन" टर्नटेबल को तब तेज़ घुमाता है जब सिक्का ऊपरी आधे हिस्से में होता है और धीमा (या उल्टा) घुमाता है जब वह निचले आधे हिस्से में होता है।
यह कैसे काम करता है: सिक्का लगभग नीचे की ओर होता है। इंजन आसपास के स्थान को मरोड़ता (twist) है। क्योंकि सिक्का केंद्र से थोड़ा हटकर है, इसलिए यह मरोड़ने वाली गति एक लीवर की तरह काम करती है, जो "एक समाधान" वाले सिक्के को सीधे ऊपर (उत्तर ध्रुव) की ओर और "शून्य समाधान" वाले सिक्के को सीधे नीचे (दक्षिण ध्रुव) की ओर फेंक देती है।
परिणाम: थोड़े समय में, दोनों संभावनाएँ दुनिया के विपरीत छोरों पर होती हैं। आप आसानी से बता सकते हैं कि उत्तर "हाँ" है या "नहीं"। यह एक ऐसी समस्या को हल करता है जिसे वर्तमान में कंप्यूटरों के लिए बहुत कठिन माना जाता है।

2. वॉटरफॉल इंजन (3SAT को हल करना)

लक्ष्य: यह निर्धारित करना कि शून्य समाधान हैं या कोई भी समाधान (चाहे वह दस लाख ही क्यों न हों)।
उपमा: कल्पना करें कि सिक्का एक चिकनी, घुमावदार पहाड़ी पर है जो एक फनल (कीप) के आकार की है। पहाड़ी का शीर्ष एक "स्रोत" (source) है (जहाँ से पानी शुरू होता है), और नीचे का हिस्सा एक "सिंक" (sink) है (जğı जहाँ पानी बहकर जाता है)।
यह कैसे काम करता है: "वॉटरफॉल इंजन" एक प्रवाह बनाता है जो सब कुछ ऊपर से दूर और नीचे की ओर धकेलता है। यदि सिक्का बिल्कुल शीर्ष पर है (जिसका अर्थ है शून्य समाधान), तो वह वहीं रहता है। लेकिन यदि वह कहीं भी और से शुरू होता है (अर्थात 1 या अधिक समाधान), तो प्रवाह उसे नीचे की ओर खींच लेता है।
परिणाम: कुछ समय के बाद, आप सिक्के की जाँच करते हैं। यदि वह नीचे है, तो पहेली का एक समाधान है। यदि वह ऊपर है, तो इसका कोई समाधान नहीं है। यह प्रसिद्ध "3SAT" समस्या को हल करता है, जो कई कंप्यूटर विज्ञान चुनौतियों की नींव है।

3. फोर्किंग इंजन (#SAT को हल करना)

लक्ष्य: समाधानों की सटीक संख्या गिनना (जैसे, क्या यह 5 है? 100 है? 1,000,000 है?)।
उपमा: कल्पना करें कि सड़क में एक दोराहा (fork) है। सड़क का ऊपरी आधा हिस्सा "हाँ" गंतव्य की ओर जाता है, और निचला आधा हिस्सा "नहीं" गंतव्य की ओर जाता है। सड़क का मध्य भाग एक चट्टान का किनारा है।
यह कैसे काम करता है: यह इंजन उन सिक्कों को ऊपर धकेलता है जो ऊपरी आधे हिस्से में हैं और उन सिक्कों को नीचे धकेलता है जो निचले आधे हिस्से में हैं। लेखक "बाइनरी सर्च" (जैसे 1 से 100 के बीच संख्या का अनुमान लगाना कि "क्या यह 50 से अधिक है या कम?") नामक एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं।
प्रक्रिया:
1. वे सड़क को इस तरह झुकाते हैं कि संभावित उत्तरों का "मध्य" चट्टान के किनारे पर आ जाए।
2. वे इंजन को चलने देते हैं। यदि सिक्का ऊपर जाता है, तो वे जानते हैं कि उत्तर ऊपरी आधे हिस्से में है। यदि वह नीचे जाता है, तो उत्तर निचले आधे हिस्से में है।
3. वे इस प्रक्रिया को दोहराते हैं, एक डिजिटल ज़ूम की तरह सीमा को कम करते जाते हैं, जब तक कि वे सटीक समाधानों की संख्या तक नहीं पहुँच जाते।
परिणाम: यह कंप्यूटर को कुशलतापूर्वक समाधानों को गिनने की अनुमति देता है, जिससे "#SAT" नामक समस्या हल होती है, जो पिछले दोनों से भी अधिक कठिन है।

बड़ी तस्वीर और सावधानियां (The Big Picture and Caveats)

लेखक बहुत स्पष्ट हैं कि इसका क्या अर्थ है:

शक्ति: यदि हम एक ऐसा क्वांटम कंप्यूटर बना सकें जिसमें ये विशिष्ट "नॉनलीनियर" नियम हों, तो यह उन समस्याओं को तुरंत हल कर सकता है जिन्हें किसी भी कंप्यूटर (क्लासिकल या मानक क्वांटम) के लिए जल्दी से हल करना असंभव है। यह "कठिन" गणितीय समस्याओं को "आसान" बना देगा।
पेंच: ये "नॉनलीनियर" नियम वर्तमान में केवल एक सिद्धांत हैं। हमारे वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों में ये मौजूद नहीं हैं। शोध पत्र सुझाव देता है कि इन्हें अति-ठंडे परमाणुओं (ultra-cold atoms) के समूहों का उपयोग करके सिम्युलेट किया जा सकता है, लेकिन यह एक "मीन फील्ड" (mean field) सन्निकटन है (कई कणों के बीच परस्पर क्रिया का एक सरलीकृत दृश्य)।
सीमा: लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह एक "शोर-मुक्त" (noise-free) दुनिया की धारणा पर आधारित है। वास्तविक दुनिया में, क्वांटम कंप्यूटर अव्यवस्थित होते हैं और गलतियाँ करते हैं। वे यह भी नोट करते हैं कि ये विशिष्ट नॉनलीनियर मूव सामान्य तरीके से ऊर्जा को संरक्षित नहीं करते हैं, जिससे संकेत मिलता है कि वे केवल जटिल, समय-परिवर्तित प्रणालियों के प्रभावी व्यवहार के रूप में अस्तित्व में हो सकते हैं, न कि सरल, स्थिर भौतिक नियमों के रूप में।

संक्षेप में: यह शोध पत्र एक विचार प्रयोग (thought experiment) है जो दिखाता है कि यदि हम क्वांटमान मैकेनिक्स के "विनम्रता" के नियम को तोड़ सकें और क्वांटम अवस्थाओं को एक-दूसरे को हिंसक रूप से दूर धकेलने की अनुमति दे सकें, तो हम दुनिया की सबसे कठिन तार्किक पहेलियों को तुरंत हल कर सकते हैं। यह एक संभावित महाशक्ति का मानचित्र है, लेकिन उसे चलाने वाला वाहन अभी मौजूद नहीं है।

तकनीकी सारांश: नॉनलीनियन हैमिल्टोनियन और बुलियन सैटिस्फिएबिलिटी (Boolean Satisfiability)

समस्या विवरण
मानक क्वांटम कंप्यूटेशन श्रोडिंगर समीकरण की रैखिकता (linearity) द्वारा बाधित है, जो अवस्था विभेदन (state distinguishability) पर मौलिक सीमाएं आरोपित करता है। विशेष रूप से, रैखिक संचालन गैर-ऑर्थोगोनल अवस्थाओं के ट्रेस डिस्टेंस (trace distance) को नहीं बढ़ा सकते, जिससे पूर्ण क्वांटम स्टेट डिस्क्रिमिनेशन (quantum state discrimination) बिना घातांकीय संसाधनों के असंभव हो जाता है। यह सीमा कुछ कठिन कम्प्यूटेशनल समस्याओं को कुशलतापूर्वक हल करने में बाधा डालती है, जैसे कि किसी बुलियन फॉर्मूला के लिए संतुष्ट असाइनमेंट की संख्या निर्धारित करना। यह शोध पत्र एक विस्तारित क्वांटम कंप्यूटेशन मॉडल की जांच करता है जहाँ एक स्केलेबल, फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटर को एक या अधिक अनसिला क्वबिट्स (ancilla qubits) के साथ जोड़ा जाता है, जो एक नॉनलीनियन श्रोडिंगर समीकरण के तहत विकसित होते हैं। इसका लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि क्या सिंगल-क्वबिट नॉनलिनियलिटी के विशिष्ट रूप बुलियन सैटिस्फिएबिलिटी समस्याओं, जिनमें UNIQUE SAT, 3SAT, और #SAT शामिल हैं, को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए मानक जटिलता सीमाओं को पार कर सकते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक नॉनलीनियन हैमिल्टोनियन के निर्माण के लिए एक 'इनवर्स डिजाइन' दृष्टिकोण अपनाते हैं। किसी भौतिक प्रणाली से शुरू करने के बजाय, वे ब्लॉच स्फीयर (Bloch sphere) पर एक वांछित फेज पोर्ट्रेट (वेग क्षेत्र $\vec{v}$ ) को परिभाषित करके शुरुआत करते हैं जो विशिष्ट गतिक लक्ष्यों (जैसे अवस्थाओं को अलग करना या फिक्स्ड पॉइंट्स बनाना) को प्राप्त करता है। इसके बाद, वे संबंध $\vec{v} = \vec{u} \times \vec{r}$ का उपयोग करके संबंधित नॉनलीनियन हैमिल्टोनियन $H$ व्युत्पन्न करते हैं, जहाँ $\vec{u}$ अवस्था के एक्सपेक्टेशन वैल्यूज $\langle \vec{\sigma} \rangle$ पर निर्भर एक क्षेत्र है।

कम्प्यूटेशनल प्रोटोकॉल अब्राम्स और लॉयड की एम्प्लीट्यूड एनकोडिंग विधि का अनुसरण करता है:

एनकोडिंग (Encoding): एक बुलियन फंक्शन $f(x)$ को कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म में $n$ क्वबिट्स के सुपरपोजिशन पर मूल्यांकित किया जाता है। हैडामार्ड गेट्स और पहले रजिस्टर पर पोस्ट-सिलेक्शन के माध्यम से, संतुष्ट असाइनमेंट की संख्या $s$ को एकल अनसिला क्वबिट के एम्प्लीट्यूड में एनकोड किया जाता है। परिणामी अवस्था $|\psi_s\rangle = \cos(\theta_s/2)|0\rangle + \sin(\theta_s/2)|1\rangle$ होती है, जहाँ $\theta_s$ , $s$ पर निर्भर करता है।
डिस्क्रिमिनेशन (Discrimination): एक विशिष्ट नॉनलीनियन हैमिल्टोनियन द्वारा जनरेट किया गया नॉनलीनियन क्वांटम स्टेट डिस्क्रिमिनेशन गेट अनसिला पर लागू किया जाता है। यह गेट अवस्था को विकसित करता है ताकि $s$ के विशिष्ट मान (या $s$ के गुण) मैक्रोस्कोपिक रूप से अलग दिखने वाली अवस्थाओं (जैसे $|0\rangle$ बनाम $|1\rangle$ ) में बहुपद समय (polynomial time) में मैप हो सकें।

यह शोध पत्र तीन अलग-अलग नॉनलीनियन मॉडलों का विश्लेषण करता है:

द टोरशन मॉडल ( $\langle \sigma_z \rangle \sigma_z$ ):
- हैमिल्टोनियन: $H = B\sigma_x + g\langle \sigma_z \rangle \sigma_z$ ।
- गतिकी (Dynamics): यह मॉडल एक z-अक्ष रोटेशन फ्रीक्वेंसी उत्पन्न करता है जो ब्लॉच वेक्टर के z-कोऑर्डिनेट के समानुपाती होती है। एक रैखिक x-रोटेशन टर्म जोड़कर, लेखक ऐसी ट्राजेक्टरीजियाँ बनाते हैं जो ऊपरी अर्धगोले (hemisphere) की अवस्थाओं को उत्तरी ध्रुव (north pole) पर और निचले अर्धगोले की अवस्थाओं को दक्षिणी ध्रुव (south pole) पर मैप करती हैं।
- अनुप्रयोग: UNIQUE SAT (यह निर्धारित करना कि $s=0$ या $s=1$ है, यह मानते हुए कि $0 \le s \le 1$ ) को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह गेट $s=0$ और $s=1$ के बीच के अत्यधिक निकटवर्ती अवस्थाओं को कुशलतापूर्वक अलग करता है।
द मोर्स-स्मेल मॉडल ( $\langle \sigma_x \rangle \sigma_y - \langle \sigma_y \rangle \sigma_x$ ):
- हैमिल्टोनियन: $H = g(\langle \sigma_x \rangle \sigma_y - \langle \sigma_y \rangle \sigma_x)$ ।
- गतिकी: यह मॉडल एक प्रवाह (flow) बनाता है जिसमें उत्तरी ध्रुव ( $|0\rangle$ ) पर एक अस्थिर फिक्स्ड पॉइंट (सोर्स) और दक्षिणी ध्रुव ( $|1\rangle$ ) पर एक स्थिर फिक्स्ड पॉइंट (सिंक) होता है। $|0\rangle$ के अलावा अन्य सभी अवस्थाएँ $|1\rangle$ की ओर प्रवाहित होती हैं।
- अनुप्रयोग: 3SAT (यह निर्धारित करना कि $s=0$ या $s>0$ है, बिना किसी प्रतिबंध के $s$ के लिए) को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह गेट किसी भी संतुष्ट होने वाली इंस्टेंस ( $s>0$ ) को $|1\rangle$ और असंतोषजनक इंस्टेंस ( $s=0$ ) को $|0\rangle$ में बहुपद समय में मैप करता है।
द सुपरक्रिटिकल पिचफोर्क मॉडल ( $\langle \sigma_y \rangle \langle \sigma_z \rangle \sigma_x - \langle \sigma_x \rangle \langle \sigma_z \rangle \sigma_y$ ):
- हैमिल्टोनियन: $H = g(\langle \sigma_y \rangle \langle \sigma_z \rangle \sigma_x - \langle \sigma_x \rangle \langle \sigma_z \rangle \sigma_y)$ ।
- गतिकी: इस मॉडल में ध्रुवों ( $|0\rangle$ और $|1\rangle$ ) पर दो आकर्षक फिक्स्ड पॉइंट और भूमध्य रेखा (equator) पर एक प्रतिकर्षक (repulsive) फिक्स्ड पॉइंट होता है। यह एक द्वि-स्थिर (bistable) प्रवाह बनाता है जहाँ भूमध्य रेखा एक सेपरेट्रिक्स (separatrix) के रूप में कार्य करती है।
- अनुप्रयोग: #SAT (सटीक $s$ का मान गिनना) को हल करने के लिए। बाइनरी सर्च एल्गोरिदम (आरोंसन की विधि) के साथ इस गेट को जोड़कर, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि $s$ के सटीक मान को बिट-दर-बिट बहुपद समय में निर्धारित किया जा सकता है।

प्रमुख परिणाम

UNIQUE SAT: टोरशन मॉडल $s=0$ और $s=1$ के बीच कुशलतापूर्वक अंतर करने की अनुमति देता है। गेट का समय $O(n)$ स्केल करता है, जो बिट्स की संख्या में बहुपद है। चूंकि UNIQUE SAT, रैंडमाइज्ड पॉलिनॉमियल-टाइम रिडक्शन के तहत NP-हार्ड है, इसलिए यह संकेत मिलता है कि ऐसा नॉनलीनियन मॉडल NP-हार्ड समस्याओं को कुशलतापूर्वक हल कर सकता है।
3SAT: मोर्स-स्मेल मॉडल $s=0$ और $s>0$ के बीच कुशलतापूर्वक अंतर करता है। गेट का समय $O(n)$ स्केल करता है, जिससे NP-कम्प्लीट समस्या 3SAT का कुशल समाधान संभव होता है।
#SAT: सुपरक्रिटिकल पिचफोर्क मॉडल, बाइनरी सर्च फ्रेमवर्क के भीतर उपयोग किए जाने पर, $s$ के सटीक पूर्णांक मान को कुशलतापूर्वक मापने की अनुमति देता है। कुल समय जटिलता $O(n \log(2^n \epsilon^{-1}))$ है, जो #SAT के लिए एक कुशल समाधान प्रदान करती है, जो कि एक #P-कम्प्लीट समस्या है।
जटिलता निहितार्थ (Complexity Implications): यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि शोर-मुक्त सीमा (noise-free limit) में, विशिष्ट सिंगल-क्विबिट नॉनलिनियलिटीज को शामिल करने से एक क्वांटम कंप्यूटर की कम्प्यूटेशनल शक्ति BQP से बढ़कर उन वर्गों तक पहुँच जाती है जो NP-हार्ड और #P-कम्प्लीट समस्याओं को बहुपद समय में हल करने में सक्षम हैं।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र विभिन्न प्रकार की नॉनलिनियलिटी और उनके परिणामस्वरूप होने वाली कम्प्यूटेशनल शक्ति के बीच अंतर्संबंध की जांच करने का दावा करता है। यह स्थापित करता है कि:

मीन-फील्ड (mean-field) प्रकार के नॉनलीनियन हैमिल्टोनियन सैद्धांतिक रूप से अवस्था विभेदन के संबंध में रैखिक क्वांटम मैकेनिक्स की सीमाओं को पार कर सकते हैं।
विशिष्ट इंजीनियर किए गए फेज पोर्ट्रेट्स (टोरशन, मोर्स-स्मेल फ्लो, और बाइसटेबल फ्लो) को विशिष्ट नॉनलीनियन हैमिल्टोनियन में मैप किया जा सकता है जो बढ़ती जटिलता वाली सैटिस्फिएबिलिटी समस्याओं को हल करते हैं।
हालांकि ये मॉडल काल्पनिक हैं, वे नॉनलिनियलिटी की उपस्थिति में कम्प्यूटेशनल जटिलता की सीमाओं को समझने के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करते हैं।

लेखक अपने भौतिक कार्यान्वयन के संबंध में विनम्र बने हुए हैं। वे उल्लेख करते कि उनके परिणाम एक स्केलेबल, फॉल्ट-टोरेंट कार्यान्वयन को मानकर चलते हैं, जिसे यहाँ संबोधित नहीं किया गया है। वे सुझाव देते हैं कि $\langle \sigma_z \rangle \sigma_z$ नॉनलिनियलिटी को अल्ट्राकोल्ड एटम्स (ultracold atoms) के साथ सिम्युलेट किया जा सकता है, लेकिन मोर्स-स्मेल और सुपरक्रिटिकल पिचफोर्क मॉडलों को "अत्यधिक विलक्षण" (exotic) और संभवतः उभरती हुई घटना (जैसे कि फ्लोकेट प्रभावी हैमिल्टोनियन) के रूप में वर्णित करते हैं, न कि मौलिक अंतःक्रियाओं के रूप में। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि ये मॉडल नॉनलिनियलिटी की उपस्थिति में कम्प्यूटेशनल जटिलता की सीमाओं को परखने के लिए एक सैद्धांतिक उपकरण के रूप में कार्य करते हैं।