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Generalized measurement incompatibility

यह शोध पत्र आंशिक संयुक्त-मापनीयता (partial joint-measurability) की अवधारणा को उन परिदृश्यों में सामान्यीकृत करता है जहाँ केवल मापन परिणामों के एक उपसमुच्चय को शास्त्रीय रूप से निर्धारित किया जाना आवश्यक है, इसके सत्यापन के लिए अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग (semidefinite programming) मानदंड प्रदान करता है और यह स्थापित करता है कि यह गुण शास्त्रीय पार्श्व सूचना (classical side information) वाले एक विरोधी द्वारा परिणामों की पूर्ण भविष्यवाणी करने की क्षमता को सटीक रूप से अभिलक्षणिक बनाता है, जिससे डिवाइस-स्वतंत्र क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में महत्वपूर्ण डिटेक्शन दक्षता थ्रेशोल्ड और पोस्टसेलेक्शन कमजोरियों का अनावरण होता है।

मूल लेखक: Edwin Peter Lobo, Maria Balanzó-Juandó, Stefano Pironio

प्रकाशित 2026-05-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Edwin Peter Lobo, Maria Balanzó-Juandó, Stefano Pironio

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: "अविश्वसनीय बॉक्स" की समस्या

कल्पना कीजिए कि आप एक अत्यंत सुरक्षित संचार प्रणाली (जैसे एक डिजिटल लॉक) बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो गणित के बजाय भौतिकी के नियमों पर निर्भर करती है। आपके पास एक उपकरण है (मान लीजिए "बॉब का बॉक्स") जो प्रकाश के कणों को मापता है। आप भौतिकी के नियमों पर भरोसा करते हैं, लेकिन आप उस बॉक्स पर भरोसा नहीं करते। हो सकता है कि किसी हैकर (मान लीजिए "ईव") ने इसे बनाया हो या इसमें छेड़छाड़ की हो।

क्वांटम दुनिया में, माप अक्सर "असंगत" (incompatible) होते हैं। इसका अर्थ यह है कि आप एक ही समय में दो अलग-अलग चीजों को पूर्ण सटीकता के साथ नहीं माप सकते। यह असंगतता सुरक्षा के लिए एक अच्छी बात है; यह ऐसी अनिश्चितता पैदा करती है जिसे ईव अनुमानित नहीं कर सकती।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया के उपकरण दोषपूर्ण होते हैं। वे कणों को खो देते हैं (जैसे एक गंदे लेंस के कारण कैमरा फोटॉन को मिस कर देता है)। जब कोई उपकरण किसी कण को मिस करता है, तो वह "नो-क्लिक" (no-click) परिणाम देता है। यह शोध पत्र पूछता है: यदि ईव को ठीक से पता हो कि कौन से कण मिस हुए और कौन से डिटेक्ट हुए, तो क्या वह उपकरण के परिणामों की पूरी तरह से नकल कर सकती है?

मूल अवधारणा: "आंशिक संयुक्त-मापनीयता" (Partial Joint-Measurability)

लेखक यह समझने के लिए एक नया तरीका पेश करते हैं कि कोई उपकरण कितना "नकली" हो सकता है। वे इसे सामान्यीकृत आंशिक संयुक्त-मापनीयता (G-JM) कहते हैं।

इसे समझने के लिए, एक गेम शो की कल्पना करें जिसमें एक "जादुई बॉक्स" है जो सवालों के जवाब देता है।

मानक संयुक्त-मापनीयता (Standard Joint-Measurability): बॉक्स पूरी तरह से नकली है। उसके पास एक पहले से लिखा हुआ स्क्रिप्ट है। आप चाहे जो भी सवाल पूछें, जवाब पहले से ही एक छिपे हुए चर (hidden variable) द्वारा तय किया जा चुका है। बॉक्स कोई "जादू" (क्वांटम चीज़ें) नहीं कर रहा है; वह सिर्फ एक कैलकुलेटर है।
आंशिक संयुक्त-मापनीयता (पुरानी धारणा): बॉक्स एक हाइब्रिड है। वह कुछ सवालों के लिए जवाब नकली बनाता है (जैसे, "रंग क्या है?") लेकिन अन्य सवालों के लिए (जैसे, "आकार क्या है?") अभी भी असली जादू कर सकता है।
सामान्यीकृत आंशिक संयुक्त-मापनीयता (नई धारणा): यह इस शोध पत्र का मुख्य नवाचार है। बॉक्स एक फिल्टर वाला हाइब्रिड है।
- कल्पना कीजिए कि बॉक्स के पास एक "की राउंड" (Key Round - जहाँ आप गुप्त पासवर्ड जनरेट करते हैं) और एक "टेस्ट राउंड" (Test Round - जहाँ आप जाँचते हैं कि बॉक्स काम कर रहा है या नहीं) है।
- नई परिभाषा कहती है: बॉक्स की राउंड के परिणामों के लिए पूरी तरह से नकली हो सकता है, लेकिन वह टेस्ट राउंड के परिणामों के लिए अभी भी एक वास्तविक क्वांटम उपकरण हो सकता है।
- और भी विशिष्ट रूप से, यदि "की राउंड" में तीन संभावित उत्तर हैं (लाल, नीला, हरा), तो बॉक्स लाल और नीले के लिए पूरी तरह से नकली हो सकता है, लेकिन हरे के लिए अभी भी वास्तविक क्वांटम जादू कर सकता है।

उपमा (Analogy):
एक जादूगर के सहायक के बारे में सोचें।

यदि सहायक पूरी तरह से नकली है, तो उसे हर ट्रिक होने से पहले ही उसका परिणाम पता होता है।
यदि सहायक आंशिक रूप से नकली है, तो उसे "आदमी को बीच से चीरने" वाली ट्रिक का परिणाम पता हो सकता है, लेकिन "हवा में तैरने" वाली ट्रिक का नहीं।
यह पेपर एक सुपर-फाइन-ग्रेन्डेड नकली (super-fine-grained fake) को परिभाषित करता है: सहायक को "चीरने" वाली ट्रिक का परिणाम पता होता है केवल तभी जब व्यक्ति ने लाल शर्ट पहनी हो। यदि उसने नीली शर्ट पहनी है, तो सहायक वास्तव में हैरान रह जाता है।

मुख्य खोज: "नो-क्लिक" लूपहोल (The "No-Click" Loophole)

यह शोध पत्र एक महत्वपूर्ण नियम सिद्ध करता है: यदि उपकरण "आंशिक रूप से संयुक्त रूप से मापने योग्य" (Partially Jointly Measurable) है, तो ईव जीत सकती है।

यदि उपकरण इस तरह से सेट किया गया है जो इस "G-JM" परिभाषा में फिट बैठता है, तो ईव (हैकर):

कणों को बीच में ही रोक लेती है।
एक विशिष्ट "कमजोर माप" (weak measurement - एक हल्की सी झलक) करती है जो क्वांटम अवस्था को नष्ट नहीं करती है लेकिन उसे एक सुराग देती है।
कण को बॉब के बॉक्स तक भेज देती है।
जब डिटेक्टर वास्तव में क्लिक करता है, तो वह "की राउंड" के परिणाम का सटीक भविष्यवाणी कर सकती है।

यदि ईव की (key) का सटीक अनुमान लगा सकती है, तो कोई गुप्त कुंजी (secret key) नहीं बचती। सिस्टम टूट जाता है।

"डिटेक्शन एफिशिएंसी" (Detection Efficiency) थ्रेशोल्ड

शोध पत्र एक विशिष्ट "टिपिंग पॉइंट" की गणना करता है जिसे डिटेक्शन एफिशिएंसी ( $\eta$ ) कहा जाता है। यह उन कणों का प्रतिशत है जिन्हें उपकरण सफलतापूर्वक पकड़ लेता है।

उच्च दक्षता (High Efficiency): यदि उपकरण लगभग सब कुछ पकड़ लेता है, तो क्वांटम "जादू" मजबूत होता है। ईव नकल नहीं कर सकती।
कम दक्षता (Low Efficiency): यदि उपकरण बहुत अधिक कण खो देता है, तो "नकली" रणनीति संभव हो जाती है।

लेखकों ने पाया कि कई सामान्य सेटअपों के लिए, यह थ्रशोल्ड आश्चर्यजनक रूप से कम है।

उदाहरण: दो मापों वाले एक विशिष्ट परिदृश्य में, यदि उपकरण केवल 2/3 (66%) कणों को पकड़ता है, तो ईव "की राउंड" (महत्वपूर्ण भाग) के परिणामों का सटीक अनुमान लगा सकती है (मिस हुए कणों को छोड़कर)।
ट्विस्ट: पिछले सुरक्षा प्रमाणों (security proofs) ने दावा किया था कि 66% दक्षता पर भी सिस्टम सुरक्षित है। यह पेपर दिखाता है कि वे प्रमाण गलत थे क्योंकि उन्होंने इस विशिष्ट प्रकार की "आंशिक नकली" रणनीति और पोस्टसेलेक्शन (postselection) (नो-क्लिक परिणामों को फेंक देना) को ध्यान में नहीं रखा था।

"पोस्टसेलेक्शन" का जाल (The "Postselection" Trap)

यह सबसे महत्वपूर्ण व्यावहारिक निष्कर्ष है। कई क्वांटम प्रोटोकॉल में, जब एक डिटेक्टर किसी कण को मिस कर देता है (एक "नो-क्लिक"), तो डेटा को हटा दिया जाता है (पोस्टसेलेक्शन) ताकि की (key) को साफ रखा जा सके।

पेपर तर्क देता है: "नो-क्लिक" डेटा को फेंक देना खतरनाक है।

दोष: सुरक्षा प्रमाण अक्सर यह मान लेते हैं कि चूंकि ईव यह नहीं जानती कि कौन से कण मिस हुए, इसलिए वह बाकी का अनुमान नहीं लगा सकती।
वास्तविकता: पेपर दिखाता है कि ईव मिस हुए कणों के तथ्य का उपयोग अपने फायदे के लिए कर सकती है। मिस होने के पैटर्न को जानकर, वह "क्लिक" परिणामों का सटीक पुनर्निर्माण कर सकती है।
परिणाम: एक प्रोटोकॉल जिसे 66% दक्षता पर सुरक्षित माना गया था, वह वास्तव में उस स्तर पर असुरक्षित है यदि आप मिस हुए इवेंट्स को हटा देते हैं।

परिणामों का सारांश

नई परिभाषा: उन्होंने एक गणितीय उपकरण (G-JM) बनाया है जो यह जांचने के लिए है कि क्या कोई उपकरण अन्य परिणामों के लिए वास्तविक क्वांटम कार्य करते हुए भी विशिष्ट परिणामों के लिए नकली हो सकता है।
हमला (The Attack): उन्होंने दिखाया कि यदि कोई उपकरण G-JM है, तो बिना क्वांटम मेमोरी वाला हैकर (सिर्फ एक क्लासिकल कंप्यूटर के साथ) महत्वपूर्ण परिणामों का सटीक अनुमान लगा सकता है।
सीमा (The Limit): उन्होंने ठीक से गणना की कि सुरक्षित रहने के लिए डिटेक्टर को कितनी कुशल होना चाहिए। कुछ सेटअपों के लिए, आपको 66% से अधिक दक्षता की आवश्यकता होती है, न कि केवल "कुछ" दक्षता की।
चेतावनी: उन्होंने एक विशिष्ट, प्रसिद्ध सुरक्षा प्रमाण (2012 के एक पेपर से) में खामी की पहचान की। उस प्रमाण ने 66% दक्षता पर सुरक्षा का दावा किया था, लेकिन यह पेपर दिखाता है कि "पोस्टसेलेक्शन" लूपहोल के कारण वह सिस्टम वास्तव में असुरक्षित है।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह पेपर क्वांटम क्रिप्टोग्राफी के लिए एक "सुरक्षा ऑडिट" है। यह कहता है: "अपने 'विफल' मापों को फेंकने के बारे में बहुत सावधान रहें। यदि आप ऐसा करते हैं, तो एक हैकर आपके गुप्त कोड का सटीक अनुमान लगाने में सक्षम हो सकता है, भले ही आपका उपकरण काम करता हुआ प्रतीत हो।" यह सुनिश्चित करने के लिए एक नया गणितीय परीक्षण प्रदान करता है कि आपका क्वांटम लॉक वास्तव में अटूट है।

सामान्यीकृत मापन असंगति (Generalized Measurement Incompatibility): एक तकनीकी सारांश

समस्या विवरण
क्वांटम मापन असंगति—एक एकल जनक मापन (parent measurement) के शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग के माध्यम से कई मापों को साकार करने की असंभवता—बेल नॉनलोकैलिटी (Bell nonlocality), क्वांटम स्टीयरिंग (quantum steering) और कॉन्टेक्स्टुअलिटी (contextuality) जैसी गैर-शास्त्रीय घटनाओं के लिए एक मौलिक संसाधन है। क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में, विशेष रूप से डिवाइस-इंडिपेंडेंट (DI) और सेमी-डिवाइस-इंडिपेंडेंट (semi-DI) प्रोटोकॉल में, असंगति एक हमलावर (ईव) द्वारा एक्सेस किए जा सकने वाली सूचना को सीमित करती है। यदि मापन संगत (compatible) हैं, तो ईव अविश्वसनीय उपकरण को एक शास्त्रीय उपकरण से बदल सकती है ताकि परिणामों का सटीक अनुमान लगाया जा सके, जिससे प्रोटोकॉल असुरक्षित हो जाता है।

हाल ही में मासिनी और अन्य द्वारा "आंशिक संयुक्त-मापनीयता" (partial joint-measurability) का परिचय दिया गया था, जो एक कमजोर धारणा है जहाँ केवल मापों का एक उपसमुच्चय (जैसे, कुंजी निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले) शास्त्रीय रूप से निर्धारित होना चाहिए। हालाँकि, यह ढांचा पोस्टसेलेक्शन (postselection) को पूरी तरह से ध्यान में नहीं रखता था, जो क्वांटम संचार प्रोटोकॉल की एक सामान्य विशेषता है जहाँ परिणामों के एक विशिष्ट उपसमुच्चय (जैसे, निर्णायक "क्लिक" इवेंट्स) को बनाए रखा जाता है, जबकि अन्य (जैसे, "नो-क्लिक" इवेंट्स) को हटा दिया जाता है। लेखक मौजूदा सुरक्षा विश्लेषणों में एक अंतराल की पहचान करते हैं: वर्तमान डिटेक्शन एफिशिएंसी (detection efficiency) के बंड्स अक्सर उन विशिष्ट परिणामों के उपसमुच्चय को ध्यान में रखने में विफल रहते हैं जिन्हें पोस्टसेलेक्शन परिदृश्यों में एक हमलावर लक्षित कर सकता है।

कार्यप्रणाली
लेखक $G$ -संयुक्त मापनीयता ( $G$ -JM) के लिए एक सामान्यीकृत ढांचे का प्रस्ताव करते हैं। यह सामान्यीकरण यह अनुमति देता है कि प्रत्येक मापन के किन परिणामों को शास्त्रीय रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए, इसका सूक्ष्म विवरण दिया जा सके।

गणितीय सूत्रीकरण:
- मापों के एक सेट $\{B_y\}$ के लिए, प्रत्येक मापन $y$ के परिणाम सेट को एक उपसमुच्चय $G_y$ (वे परिणाम जिन्हें शास्त्रीय रूप से निर्धारित किया जाना आवश्यक है) और उसके पूरक में विभाजित किया जाता है।
- लेखक एक क्वांटम इंस्ट्रूमेंट $\mathcal{I} = \{I_c\}$ और कंडीशनल POVMs $\{M_{b|y,c}\}$ के माध्यम से एक सिमुलेशन प्रक्रिया का उपयोग करके $G$ -JM को परिभाषित करते हैं। शर्त यह है कि परिणामों $b \in G_y$ के लिए, मापन ऑपरेटर एक सामान्य ऑपरेटर के समानुपाती होते हैं जो शास्त्रीय परिणाम $c$ द्वारा निर्धारित होता है।
- वे प्रदर्शित करते हैं कि यह परिभाषा "पार्शियल पेरेंट" (PP) POVMs $\{E_{c,b|y}\}$ के अस्तित्व के बराबर है जो नो-सिग्नलिंग और कंसिस्टेंसी शर्तों को संतुष्ट करते हैं, जहाँ विशिष्ट परिणाम $G_y$ एक शास्त्रीय रिस्पॉन्स फंक्शन द्वारा निर्धारित होते हैं।
- महत्वपूर्ण रूप से, वे दिखाते हैं कि यह तय करना कि मापों का एक सेट $G$ -JM है या नहीं, इसे एक एकल सेमीडेफिनेट प्रोग्राम (SDP) के रूप में तैयार किया जा सकता है, जिससे यह समस्या कुशलतापूर्वक निर्णय योग्य बन जाती है।
परिचालन व्याख्या (Operational Interpretation):
- लेख $G$ -JM और हमलावर की क्षमता के बीच एक समानता स्थापित करता है: एक हमलावर ईव, जो शास्त्रीय साइड इंफॉर्मेशन (कोई क्वांटम मेमोरी नहीं) तक सीमित है, सभी इनपुट स्टेट्स के लिए $G_y$ के परिणामों का सटीक अनुमान लगा सकती है यदि और केवल यदि मापन $G$ -JM हैं।
- यह गणितीय गुण और विशिष्ट गेसिंग हमलों के विरुद्ध क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल की सुरक्षा के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करता है।
विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति (Analytical Derivations):
- लेखक डिटेक्शन एफिशिएंसी $\eta$ के लिए तीखे (tight) विश्लेषणात्मक थ्रेशोल्ड निकालते हैं जिसके नीचे जेनेरिक मापन $G$ -JM बन जाते हैं।
- वे चार विशिष्ट मामलों का विश्लेषण करते हैं:
  - (a) पूर्ण JM: सभी परिणाम (नो-क्लिक सहित) अनुमानित होने चाहिए।
  - (b) आंशिक-इनपुट JM: केवल एक विशिष्ट मापन सेटिंग का अनुमानित होना चाहिए।
  - (c) आंशिक-आउटकम JM: सभी मापों के निर्णायक परिणाम अनुमानित होने चाहिए।
  - (d) आंशिक इनपुट और आउटकम JM: केवल एक मापन सेटिंग के निर्णायक परिणाम अनुमानित होने चाहिए।
- वे इन परिणामों को क्यूबिट ऑब्जर्वेबल्स (qubit observables) के लिए विशिष्ट करते हैं, जिससे मापन अक्षों के कोणीय एपर्चर (angular aperture) पर निर्भर बंड्स प्राप्त होते हैं।

प्रमुख परिणाम

सामान्यीकृत बंड्स: यह शोध पत्र $G$ -JM के लिए डिटेक्शन एफिशिएंसी के नए थ्रेशोल्ड प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, आंशिक-आउटकम JM (मामला c) के मामले में, बंड जेनेरिक $\eta \leq 1/n$ से सुधरकर $\eta \leq \max\{1/n, 1/k\}$ (जहाँ $k$ परिणामों की संख्या है) और आगे क्यूबिट ऑब्जर्वेबल्स के लिए $\eta \leq 1/(1+\sin(\theta/2))$ हो जाता है, जहाँ $\theta$ मापन अक्षों का कोणीय एपर्चर है।
बेहतर हमला रणनीतियाँ: लेखक ईव के लिए स्पष्ट हमला रणनीतियाँ निर्मित करते हैं जो पोस्टसेलेक्शन का लाभ उठाती हैं। मामले (d) में, जहाँ ईव केवल एक मापन सेटिंग के निर्णायक परिणामों को लक्षित करती है, वे दो क्यूबिट मापों के लिए एक बंड $\eta \leq 2/(2+\sin(\theta))$ निकालते हैं, जो $\theta < \pi/2$ के लिए पिछले जेनेरिक बंड्स से बेहतर है।
संदर्भ [13] के लिए सुरक्षा निहितार्थ: लेखक स्टीयरिंग पर आधारित संदर्भ [13] में प्रस्तावित वन-साइडेड DIQKD प्रोटोकॉल पर अपने परिणामों को लागू करते हैं। वे प्रदर्शित करते हैं कि क्यूबिट ऑब्जर्वेबल्स $\{Z, X\}$ के लिए, मापन $G$ -JM होते हैं जब भी $\eta \leq 2/3$ हो। यह संदर्भ [13] के सुरक्षा दावे का खंडन करता है, जो $\eta > 0.659$ के लिए सुरक्षा का दावा करता है।
पोस्टसेलेक्शन दोष: यह शोध पत्र संदर्भ [13] के सुरक्षा प्रमाण में पोस्टसेलेक्शन के उपचार के संबंध में एक दोष की पहचान करता है। लेखक दिखाते हैं कि स्मूथ मिन-एन्ट्रॉपी (smooth min-entropy) को पोस्टसेलेक्टेड स्ट्रिंग पर कंडीशन करना (नो-क्लिक्स को हटाने के बाद) प्री-सेलेक्शन डेटा की तुलना में ईव की सूचना को स्पष्ट रूप से बढ़ा सकता है। विशेष रूप रूप से, वे दिखाते हैं कि $H_{\min}^\epsilon(A|E') < H_{\min}^\epsilon(A|E)$ , जहाँ $E'$ में यह सार्वजनिक घोषणा शामिल है कि किन राउंड्स को हटाया गया था। यह इस धारणा को अमान्य करता है कि ईव की सूचना प्री-सेलेक्शन एंट्रॉपी द्वारा सीमित है।
नो-क्लिक इवेंट्स की भूमिका: शोध पत्र इस बात पर प्रकाश डालता है कि जबकि नो-क्लिक इवेंट्स को हटाने से ईव को शेष की-बिट्स का सटीक अनुमान लगाने की अनुमति मिलती है (यदि $\eta$ पर्याप्त कम है), नो-क्लिक इवेंट्स को रॉ की (raw key) में शामिल करना गोपनीयता बनाए रख सकता है (भले ही वे अनकोरिलेटेड हों)। वे एक उदाहरण प्रदान करते हैं जहाँ प्रत्यक्ष रिकंसिलिएशन (direct reconciliation) के माध्यम से एक सकारात्मक की रेट प्राप्त किया जा सकता है, भले ही ईव सभी निर्णायक परिणामों को जानती हो, बशर्ते नो-क्लिक इवेंट्स को हटाया न जाए।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र एक सामान्यीकृत $G$ -संयुक्त मापनीयता (G-JM) के सिद्धांत का दावा करता है जो क्वांटम संचार प्रोटोकॉल में पोस्टसेलेक्शन को स्पष्ट रूप से ध्यान में रखता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

सैद्धांतिक ढांचा: एक एकीकृत गणितीय ढांचा ( $G$ -JM) जो संयुक्त मापनीयता और आंशिक संयुक्त मापनीयता की पिछली धारणाओं का सामान्यीकरण करता है, जिससे मापन अनुकूलता का सूक्ष्म लक्षण वर्णन संभव होता है।
कंप्यूटेशनल टूल: एक SDP सूत्रीकरण जो यह कुशलतापूर्वक निर्णय लेने की अनुमति देता है कि क्या दिया गया मापन सेट $G$ -JM है।
परिचालान सुरक्षा मानदंड: एक स्पष्ट परिचालन व्याख्या जो $G$ -JM को शास्त्रीय-साइड-इन्फॉर्मेशन-सीमित हमलावर द्वारा विशिष्ट मापन परिणामों का सटीक अनुमान लगाने की क्षमता से जोड़ती है।
महत्वपूर्ण सुरक्षा विश्लेषण: यह प्रदर्शन कि पोस्टसेलेक्शन के उपचार के संबंध में संदर्भ [13] में वर्णित कुछ वन-साइडेड DIQKD प्रोटोकॉल के सुरक्षा प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं। लेखक तर्क देते हैं कि असुरक्षा का थ्रेशोल्ड पहले से सोचे गए स्तर से अधिक है (अर्थात, प्रोटोकॉल पहले की तुलना में कम मजबूत हैं) जब पोस्टसेलेक्शन शामिल होता है।
व्यावहारिक बंड्स: डिटेक्शन एफिशिएंसी के विश्लेषणात्मक थ्रेशोल्ड का व्युत्पत्ति जो डिटेक्शन इनएफिशिएंसी के विरुद्ध DI और semi-DI क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल की मजबूती को सीधे सीमित करते हैं।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनके परिणाम सुरक्षा विश्लेषणों में पोस्टसेलेक्शन के सावधानीपूर्वक उपचार के महत्व को उजागर करते हैं और सुझाव देते हैं कि $G$ -JM यह निर्धारित करने के लिए एक व्यावहारिक मानदंड प्रदान करता है कि कब एक अविश्वसनीय मापन उपकरण DI या semi-DI अनुप्रयोगों के लिए बेकार है। वे नोट करते हैं कि उच्च आयामों और कई अविश्वसनीय उपकरणों वाले परिदृश्यों में इन परिणामों का विस्तार करना एक खुला प्रश्न बना हुआ है।