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Non-Gaussian Entanglement Hierarchy Based on the Schmidt Number

यह शोधपत्र एक मात्रात्मक साक्षी (क्वांटिटेटिव विटनेस), $E_{\rm NG}$ प्रस्तुत करता है, जो गौसियन रूपांतरणों द्वारा अपरिहार्य श्मिट संख्या (श्मिट नंबर) पर एक निचली सीमा प्रदान करके द्विपक्षीय बोसोनिक प्रणालियों में गैर-गौसियन एंटैंगलमेंट का एक स्वाभाविक पदानुक्रम स्थापित करता है, जो शुद्ध अवस्थाओं के लिए एक तीक्ष्ण सैद्धांतिक ढांचा और इन संसाधनों की पहचान करने के लिए एक प्रयोगात्मक रूप से किफायती मापन प्रोटोकॉल दोनों प्रदान करता है।

मूल लेखक: Jiajie Guo, Shuheng Liu, Matteo Fadel, Qiongyi He

प्रकाशित 2026-05-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jiajie Guo, Shuheng Liu, Matteo Fadel, Qiongyi He

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके शोध पत्र (paper) की व्याख्या दी गई है।

बड़ी तस्वीर: क्वांटम "अव्यवस्था" को व्यवस्थित करना

कल्पना कीजिए कि आप किताबों (क्वांटम अवस्थाओं/quantum states) के एक विशाल पुस्तकालय को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं। कुछ किताबें एक मानक फ़ॉन्ट (गौसियन अवस्थाओं/Gaussian states) में साफ़-साफ़ लिखी गई हैं, जबकि अन्य जंगली, अराजक और हाथ से लिखे गए टेढ़े-मेढ़े अक्षरों (नॉन-गौसियन अवस्थाओं/non-Gaussian states) में लिखी गई हैं।

क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, "एंटैंगलमेंट" (entanglement) एक जादुई धागे की तरह है जो दो किताबों को एक साथ बांधता है, जिससे एक के साथ जो होता है उसका प्रभाव तुरंत दूसरे पर पड़ता है। यह धागा भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों और अति-सटीक सेंसरों के लिए ईंधन है।

हालाँकि, सभी जादुई धागे एक समान नहीं होते। कुछ धागे साधारण, मानक उपकरणों (गौसियन ऑपरेशन्स/Gaussian operations) का उपयोग करके बांधे जा सकते हैं। दूसरों के लिए जटिल, कस्टम-निर्मित मशीनरी (नॉन-गौशियन ऑपरेशन्स/non-Gaussian operations) की आवश्यकता होती है। समस्या यह है: हम अंतर कैसे पहचानें? और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि, हम यह कैसे मापें कि उन जटिल धागों की "शक्ति" या "जटिलता" कितनी है?

यह शोध पत्र उन सवालों के जवाब देने के लिए एक नया उपकरण पेश करता है।

समस्या: "मानक" पैमाना काम नहीं करता

साफ़, मानक किताबों (गौसियन अवस्थाओं) के लिए, वैज्ञानिकों के पास जादुई धागों को मापने के लिए पहले से ही एक आदर्श पैमाना मौजूद है। लेकिन अराजक, टेढ़े-मेढ़े अक्षरों वाली किताबों (नॉन-गौसियन अवस्थाओं) के लिए, पुराना पैमाना टूट जाता है। यह उच्च-क्रम की लिखावट में छिपी जटिलता को देख नहीं पाता।

इसके अलावा, "सुपर-थ्रेड" का एक विशिष्ट प्रकार है जिसे नॉन-गौसियन एंटैंगलमेंट कहा जाता है। यह वह धागा है जिसे आप साधारण उपकरणों का उपयोग करके सरल, बिना एंटैंगल की हुई किताबों से नहीं बना सकते। इसके लिए विशेष, गैर-मानक उपकरणों की आवश्यकता होती। शोध पत्र नोट करता है कि कुछ प्रसिद्ध क्वांटम अवस्थाएँ (जैसे "NOON" स्टेट, जिसका उपयोग अति-सटीक माप के लिए किया जाता है) इसी विशेष प्रकार की हैं, लेकिन हमारे पास इसे सिद्ध करने या इसकी "गहराई" को मापने का कोई अच्छा तरीका नहीं था।

समाधान: एक नया "जटिलता साक्षी" (ENG)

लेखकों ने एक नया मापने वाला डंडा बनाया है जिसे ENG कहा जाता है। इसे क्वांटम अवस्थाओं के लिए एक "स्ट्रेस टेस्ट" (तनाव परीक्षण) समझें।

यह परीक्षण कैसे काम करता है, यहाँ एक रसोई का उदाहरण दिया गया है:

सेटअप: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक अस्त-व्यस्त, जटिल व्यंजन (एक क्वांटम अवस्था) है।
परीक्षण: आपको उन व्यंजनों को सरल बनाने के लिए मानक रसोई उपकरणों (गौसियन ऑपरेशन्स) के एक सेट का उपयोग करने की अनुमति है। आप उन्हें काट सकते हैं, मिला सकते हैं और गर्म कर सकते हैं, लेकिन केवल मानक उपकरणों के साथ।
लक्ष्य: क्या आप केवल उन मानक उपकरणों का उपयोग करके इस जटिल व्यंजन को एक सरल, सादे सैंडविच (एक सेपेरेबल अवस्था/separable state) में बदल सकते हैं?
- यदि हाँ: तो वह व्यंजन केवल एक "गौसियन-एंटैंगलेबल" अवस्था थी। वह जटिल दिख रहा था, लेकिन वास्तव में वह एक साधारण सैंडविच का ही एक शानदार संस्करण था। परीक्षण का परिणाम 1 है।
- यदि नहीं: तो हर संभव संयोजन को आज़माने के बाद भी, वह व्यंजन एक जटिल, अनूठा स्टू (stew) बना रहता है जिसे सरल नहीं किया जा सकता। इसका मतलब है कि इसमें नॉन-गौसियन एंटैंगलमेंट है। परीक्षण का परिणाम 1 से अधिक है।

पदानुक्रम: जटिलता की परतों को गिनना

शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि "हाँ, यह जटिल है" या "नहीं, यह सरल है।" यह जटिलता की एक सीढ़ी बनाता है।

स्तर 1: व्यंजन को एक सादे सैंडविच में बदला जा सकता है। (कोई विशेष नॉन-गौसियन एंटैंगलमेंट नहीं)।
स्तर 2: आप इसे सरल बना सकते हैं, लेकिन आपके पास कम से कम 2 सामग्रियों (ingredients) वाला एक "कोर" बचता है।
स्तर 3: कोर को 3 सामग्रियों की आवश्यकता होती है।
और इसी तरह...

परीक्षण से प्राप्त संख्या (जिसे पूर्णांक में बदला गया है) उस "कोर" का वर्णन करने के लिए आवश्यक न्यूनतम सामग्रियों की संख्या बताती है, जिसे आपने उन सब चीजों को हटा देने के बाद निकाला है जिन्हें मानक उपकरण हटा सकते थे।

यह क्यों मायने रखता है?
शोध पत्र इसे सीखने (learning) से जोड़ता है। यदि आप कंप्यूटर को इस विशिष्ट क्वांटम व्यंजन को पहचानना सिखाना चाहते हैं, तो सीढ़ी पर स्तर जितना ऊंचा होगा, इसे सीखना उतना ही कठिन होगा।

स्तर 1: सीखना आसान है (जैसे सैंडविच को पहचानना सीखना)।
स्तर 10: सीखना बहुत कठिन है (जैसे एक जटिल, बहु-स्तरीय केक को पहचानना सीखना)।

परीक्षण किए गए वास्तविक उदाहरण

लेखकों ने अपने नए पैमाने का परीक्षण प्रसिद्ध क्वांटम "व्यंजनों" पर किया:

NOON States: ये क्वांटम मेट्रोलॉजी में उपयोग किए जाने वाले सुपर-सेंसिटिव रूलर की तरह हैं। शोध पत्र पुष्टि करता है कि छोटे संस्करणों (1 या 2 फोटॉन) के लिए, वे वास्तव में केवल शानदार सैंडविच (स्तर 1) हैं। लेकिन जैसे ही आप 3 या अधिक फोटॉन तक पहुँचते हैं, वे वास्तविक "जटिल स्टू" (स्तर 2 या उच्चतर) बन जाते हैं जिन्हें मानक उपकरण सरल नहीं कर सकते।
Squeezed Kerr States: ये अवस्थाएँ एक विशिष्ट प्रकार की नॉन-लीनियर इंटरेक्शन (जैसे एक स्प्रिंग जो खींचने पर और सख्त हो जाता है) द्वारा बनाई जाती हैं। शोध पत्र दिखाता है कि जैसे-जैसे आप स्प्रिंग को ज़ोर से खींचते हैं, जटिलता का स्तर बढ़ जाता है, जिससे अवस्था को सीखना कठिन हो जाता है लेकिन संभावित रूप से अधिक शक्तिशाली हो जाता है।

मजबूती और व्यावहारिकता

शोध पत्र यह भी जाँचता है कि यदि "व्यंजन" खराब हो जाए (शोर या नुकसान/noise or loss के कारण) तो क्या यह परीक्षण विफल हो जाता है।

परिणाम: यह परीक्षण आश्चर्यजनक रूप से मज़बूत है। भले ही व्यंजन कुछ सामग्रियाँ खो दे (शोर के कारण), परीक्षण अभी भी जटिलता का पता लगा सकता है, हालांकि स्कोर थोड़ा कम हो जाता है।

अंत में, लेखकों ने महसूस किया कि हर एक व्यंजन पर पूर्ण "स्ट्रेस टेस्ट" करना बहुत धीमा और महंगा है (इसके लिए फुल स्टेट टोमोग्राफी की आवश्यकता होती है, जो व्यंजन के हर एक परमाणु की फोटोग्राफी करने जैसा है)।

शॉर्टकट: विशिष्ट "NOON" व्यंजनों के लिए, उन्होंने एक त्वरित-जांच संस्करण (quick-check version) बनाया है। पूरे व्यंजन का विश्लेषण करने के बजाय, आपको केवल चार विशिष्ट स्थानों (चार माप) की जाँच करने की आवश्यकता है। यदि वे चार स्थान एक निश्चित पैटर्न दिखाते हैं, तो आप तुरंत जान जाएंगे कि व्यंजन एक "जटिल स्टू" है न कि एक साधारण सैंडविच।

सारांश

लक्ष्य: यह मापने का एक तरीका खोजना कि क्वांटम एंटैंगलमेंट वास्तव में कितना "जटिल" है, विशेष रूप से उस प्रकार का जिसे मानक उपकरण नहीं बना सकते।
उपकरण: एक नया नंबर (ENG) जो एक स्ट्रेस टेस्ट के रूप में कार्य करता है। यदि नंबर 1 है, तो यह सरल है। यदि यह 1 से अधिक है, तो यह जटिल है।
लाभ: यह जटिलता की एक सीढ़ी बनाता है। आप स्तर जितना ऊंचे होंगे, अवस्था को सीखना उतना ही कठिन होगा, लेकिन यह क्वांटम कार्यों के लिए उतनी ही अधिक शक्तिशाली होगी।
अनुप्रयोग: यह वैज्ञानिकों को यह पहचानने में मदद करता है कि कौन से क्वांटम संसाधन "प्रीमियम" (नॉन-गौसियन) हैं और प्रयोगशाला में महंगे, पूर्ण-स्तरीय उपकरणों के बिना उनके लिए एक व्यावहारिक, त्वरित तरीका प्रदान करता है।

तकनीकी सारांश: श्मिट संख्या (Schmidt Number) पर आधारित गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट पदानुक्रम

समस्या विवरण
एंटैंगलमेंट (उलझाव) क्वांटम संचार, गणना और संवेदन के लिए एक मौलिक संसाधन है। निरंतर-चर (continuous-variable - CV) बोसोनिक प्रणालियों में, अवस्थाओं और ऑपरेशनों को स्वाभाविक रूप से गॉसियन और गैर-गॉसियन वर्गों में विभाजित किया जाता है। जबकि गॉसियन ऑपरेशन अलग-अलग (separable) इनपुट से एंटैंगलमेंट उत्पन्न कर सकते हैं, वे मौलिक रूप से सीमित हैं; वे एंटैंगलमेंट डिस्टिलेशन (distillation), लूपहोल-फ्री बेल असमानता उल्लंघन, या सार्वभौमिक क्वांटम गणना प्राप्त करने में असमर्थ हैं। फलस्वरूप, अगली पीढ़ी की बोसोनिक क्वांटम प्रौद्योगिकियों के लिए गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट आवश्यक है।

हालाँकि, गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट का लक्षण वर्णन करना एक महत्वपूर्ण चुनौती बनी हुई है। गॉसियन अवस्थाओं के विपरीत, जहाँ सहप्रसरण आव्यूह (covariance matrix) और पेरेस-होरोडेकी (Peres-Horodecki) पॉजिटिव पार्शियल ट्रांसपोज़ (PPT) स्थिति जैसे मानदंड पूर्ण विवरण प्रदान करते हैं, गैर-गॉसियन अवस्थाओं के लिए उच्च-क्रम सहसंबंधों (higher-order correlations) की आवश्यकता होती है। मौजूदा उपकरण, जैसे कि उच्च-क्रम मोमेंट्स पर आधारित विटनेस (witnesses) या पूर्ण स्टेट टोमोग्राफी, अक्सर अपूर्ण या प्रयोगात्मक रूप से महंगे होते हैं। इसके अलावा, जबकि श्मिट संख्या परिमित-आयामी प्रणालियों में एंटैंगलमेंट आयामीता का एक पदानुक्रम प्रदान करती है, गैर-गॉसियन बोसोनिक एंटैंगलमेंट के लिए एक समान मात्रात्मक पदानक्रम—विशेष रूप से वह जो गॉसियन रूपांतरणों द्वारा अपरिहार्य एंटैंगलमेंट को अलग कर सके—एक खुला विषय रहा है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक मात्रात्मक विटनेस प्रस्तुत करते हैं, जिसे $E_{NG}$ द्वारा दर्शाया गया है, जिसे द्वि-कण (bipartite) बोसोनिक प्रणालियों में गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट को प्रमाणित और श्रेणीबद्ध करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

विटनेस की परिभाषा: विटनेस को सभी दो-मोड गॉसियन यूनिटरी $\hat{U}_G$ पर अनुकूलन (optimization) के बाद, अवस्था $\rho$ के पार्शियल ट्रांसपोज़ के न्यूनतम ट्रेस नॉर्म (trace norm) के रूप में परिभाषित किया गया है:
$E_{NG} := \inf_{\hat{U}_G \in \mathcal{G}_2} \left\| (\hat{U}_G \rho \hat{U}_G^\dagger)^{T_A} \right\|_1$
यहाँ, $\mathcal{G}_2$ सभी दो-मोड गॉसियन यूनिटरी का सेट है, और $T_A$ मोड A के सापेक्ष पार्शियल ट्रांसपोज़ है।
अवस्थाओं का वर्गीकरण:
- गॉसियन-एंटैंगलैबल (GE) अवस्थाएँ: वे अवस्थाएँ जिन्हें एक गॉसियन यूनिटरी लागू करके एक अलग (separable) इनपुट (जो गैर-गॉसियन हो सकता है, जैसे फॉक अवस्थाएँ) से उत्पन्न किया जा सकता है। सभी GE अवस्थाओं के लिए, $E_{NG} = 1$ होता है।
- गैर-गॉसियन एंटैंगल्ड (NGE) अवस्थाएँ: ऐसी अवस्थाएँ जहाँ $E_{NG} > 1$ है। यह प्रमाणित करता है कि एंटैंगलमेंट को अलग-अलग इनपुट पर कार्य करने वाले गॉसियन ऑपरेशनों द्वारा हटाया या उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
- जेनुइनली नॉन-गॉसियन एंटैंगल्ड (GNGE) अवस्थाएँ: एक सख्त वर्ग जो GE अवस्थाओं के उत्तल आवरण (convex hull) से बाहर की अवस्थाओं द्वारा परिभाषित है। शुद्ध अवस्थाओं (pure states) के लिए, $E_{NG} > 1$ एक सटीक स्थिति है।
पदानुक्रम निर्माण: लेखक विटनेस के सीलिंग (ceiling) $d = \lceil E_{NG} \rceil$ के आधार पर एक पदानुक्रम परिभाषित करते हैं। यह पूर्णांक $d$ श्मिट संख्या के निचले स्तर (lower bound) के रूप में कार्य करता है जो गॉसियन रूपांतरणों के अनुकूलन के बाद शेष रहता है।
- $d=1$ : अवस्था गॉसियन-एंटैंगलैबल है।
- $d > 1$ : अवस्था में कम से कम $d$ आयाम की गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट मौजूद है।
स्टेट लर्निंग के साथ संबंध: शुद्ध अवस्थाओं के लिए, पदानुक्रम स्टेट लर्निंग की जटिलता से जुड़ा हुआ है। यदि एक गॉसियन यूनिटरी $\hat{U}_G^{(opt)}$ इन्फिममम (infimum) प्राप्त करती है, तो अवस्था को एक "कोर" अवस्था $|\psi_{core}\rangle$ में मैप किया जा सकता है। लक्षित अवस्था को सीखने के लिए आवश्यक वास्तविक मापदंडों की संख्या $N = 2d(2D - d) - 2$ द्वारा निम्न-बद्ध (lower-bounded) है, जहाँ $D$ स्थानीय हिल्बर्ट स्पेस आयाम है। इस प्रकार, उच्च $d$ उच्च लर्निंग जटिलता को दर्शाता है।
प्रयोगात्मक व्यावहारिकता: $E_{NG}$ की गणना के लिए आवश्यक पूर्ण स्टेट टोमोग्राफी की लागत से बचने के लिए, लेखक NOON-प्रकार की अवस्थाओं के लिए एक विशिष्ट, प्रयोगात्मक रूप से किफायती विटनेस व्युत्पन्न करते हैं। यह विटनेस, $f = \text{Tr}[F\rho]$ , केवल चार प्रक्षेपिक मापन (projective measurements) की आवश्यकता रखता है। गॉसियन-एंटैंगलैबल अवस्थाओं के लिए एक विश्लेषणात्मक थ्रेशोल्ड $f_G$ निकाला गया है; कोई भी अवस्था जिसमें $f > f_G$ है, उसे जेनुइनली नॉन-गॉसियन एंटैंगल्ड के रूप में प्रमाणित किया जाता है।

मुख्य परिणाम

प्रतिमान अवस्थाओं पर बेंचमार्किंग:
- NOON अवस्थाएँ: ढांचा NOON अवस्थाओं $|N, 0\rangle + |0, N\rangle$ को $N=1, 2$ के लिए गॉसियन-एंटैंगलैबल ( $E_{NG}=1$ ) के रूप में सही ढंग से पहचानता है, लेकिन उन्हें $N \ge 3$ के लिए जेनुइनली नॉन-गॉसियन एंटैंगल्ड के रूप में प्रमाणित करता है ( $E_{NG} > 1$ )।
- स्क्वीज़्ड अवस्थाएँ (Squeezed States): टू-मोड स्क्वीज़्ड वैक्यूम (TMSV) अवस्थाओं और तीन-फोटॉन स्पोंटेनियस पैरामीट्रिक डाउन-कन्वर्जन (SPDC) द्वारा उत्पन्न ट्राई-स्क्वीज़्ड अवस्थाओं के सुपरपोजिशन, नॉन-लीनियर स्ट्रेंथ के साथ बढ़ते हुए $E_{NG}$ और $d$ को दर्शाते हैं, जो बढ़ती गैर-ग meskipun एंटैंगलमेंट आयामीता का संकेत देते हैं।
- केर नॉन-लिनियैरिटी (Kerr Nonlinearity): एक टू-मोड स्क्वीज़्ड केर सिस्टम में, सेल्फ-केर नॉन-लिनियैरिटी और टू-मोड स्क्वीजिंग के बीच का परस्पर प्रभाव गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट का एक पदानुक्रम उत्पन्न करता है, जहाँ $d$ , डिट्यूनिंग और स्क्वीजिंग स्ट्रेंथ के फलन के रूप में बढ़ता है।
मजबूती (Robustness): विटनेस $E_{NG}$ फोटॉन लॉस के प्रति मजबूती प्रदर्शित करता है। लॉस वाले केर अवस्थाओं में, जबकि मानक एंटैंगलमेंट विटनेस और $E_{NG}$ दोनों लॉस के साथ घटते हैं, गैर-गॉसियन चरित्र का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बरकरार रहता है (उदाहरण के लिए, 10% लॉस रेट पर ~89% प्रतिधारण)।
एंटैंगलमेंट डिस्टिलेशन: पेपर यह प्रदर्शित करता है कि गैर-गॉसियन एंटैंगल्ड अवस्थाएँ (जहाँ $E_{NG} > 1$ है) गॉसियन सेटिंग्स में एंटैंगलमेंट डिस्टिलेशन के लिए प्रभावी संसाधन के रूप में कार्य करती हैं। गॉसियन यूनिटरी और होमोडाइन मापन के साथ दो-कॉपी डिस्टिलेशन प्रोटोकॉल का उपयोग करके, लेखक दिखाते हैं कि डिस्टिल्ड अवस्था इनपुट की तुलना में उन्नत एंटैंगलमेंट प्रदर्शित करती है, जो कि शुद्ध रूप से गॉसियन संसाधनों के साथ असंभव है।
NOON-प्रकार का विटनेस: NOON अवस्थाओं के लिए व्युत्पन्न व्यावहारिक विटनेस को केवल चार डेंसिटी-मैट्रिक्स तत्वों की आवश्यकता होती है। विश्लेषणात्मक थ्रेशोल्ड $f_G$ , $N$ के साथ ( $3 \le N \le 8$ ) घटता है, जिसका अर्थ है कि उच्च- $N$ वाली NOON अवस्थाओं को जेनुइनली नॉन-गॉसियन एंटैंगल्ड के रूप में प्रमाणित करना आसान है।

महत्व और दावे
यह पेपर निरंतर-चर प्लेटफार्मों में गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट संसाधनों की पहचान करने के लिए एक ऑपरेशनल रूप से सार्थक और प्रयोगात्मक रूप से सुलभ ढांचा स्थापित करता है। सी (Schmidt-number) प्रतिमान को सीवी (CV) गैर-गॉसियन क्षेत्र तक विस्तारित करके, यह कार्य निम्नलिखित प्रदान करता है:

गैर-गॉसियन एंटैंगलमेंट आयामीता का एक मात्रात्मक पदानक्रम जो गॉसियन रूपांतरणों द्वारा अपरिहार्य है।
इस पदानक्रम और क्वांटम अवस्थाओं को सीखने की जटिलता के बीच एक सीधा संबंध।
उन कार्यों के लिए संसाधनों की पहचान करने का एक व्यावहारिक मार्ग जो केवल गॉसियन संसाधनों के साथ अप्राप्य हैं, जैसे कि एंटैंगलमेंट डिस्टिलेशन।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनके परिणाम क्वांटम मेट्रोलॉजी, कंप्यूटिंग और संचार सहित क्वांटम प्रौद्योगिकियों के लिए आवश्यक संसाधनों की पहचान करने और एंटैंगलमेंट को चरित्रित करने के लिए एक नया मार्ग प्रदान करते हैं। कार्य में जेनुइन नॉन-गॉसियन एंटैंगलमेंट के लिए फिडेलिटी-आधारित प्रमाणन विधियों के हालिया स्वतंत्र विकास का भी उल्लेख किया गया है।