🤖 AI

Lipschitz Optimization for Formal Verification of Homographies

यह शोध पत्र एक औपचारिक सत्यापन ढांचा प्रस्तुत करता है जो लिप्सचिट्ज़ अनुकूलन (Lipschitz optimization) और होमोग्राफी की खंडवार निरंतरता (piecewise continuity) का लाभ उठाकर 3D कैमरा गति विक्षोभ के तहत पिक्सेल मानों पर सटीक रैखिक सीमाएं व्युत्पन्न करता है, जिससे जटिल सिमुलेशन या सरोगेट मॉडल पर निर्भर किए बिना प्लेनर दृश्यों में विजन न्यूरल नेटवर्क के लिए पहली कठोर सुदृढ़ता गारंटी सक्षम होती है।

मूल लेखक: Jean-Guillaume Durand, Panagiotis Kouvaros, Maxime Gariel, Alessio Lomuscio

प्रकाशित 2026-05-25

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Jean-Guillaume Durand, Panagiotis Kouvaros, Maxime Gariel, Alessio Lomuscio

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को कार चलाना या विमान उतारना सिखा रहे हैं। आपने उसे एक "दिमाग" (एक न्यूरल नेटवर्क) दिया है जो स्टॉप साइन, सड़क के निशान या रनवे जैसी चीजों को पहचानना सीख चुका है। लेकिन एक समस्या है: ये दिमाग बहुत नाजुक होते हैं। यदि आप रोशनी, रंग या फोटो के कोण (angle) में थोड़ा सा भी बदलाव करते हैं, तो रोबोट अचानक यह सोच सकता है कि स्टॉप साइन एक स्पीड लिमिट साइन है, या रनवे सिर्फ घास है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि ये रोबोट सुरक्षित रहें, हमें गणितीय रूप से यह सिद्ध करना होगा कि वे गलतियाँ नहीं करेंगे, भले ही चीजें थोड़ी अस्थिर (wobbly) क्यों न हों। यह शोध पत्र इस बात का प्रमाण देने का एक नया, अत्यंत सटीक तरीका पेश करता है, विशेष रूप से तब जब कैमरा 3D स्पेस में घूम रहा हो।

यहाँ उनके कार्य का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "रबर शीट" बनाम "वास्तविक दुनिया"

वर्तमान में AI के लिए अधिकांश सुरक्षा जाँच एक तस्वीर के ऊपर रबर शीट खींचने की तरह है। वे यह मान लेते हैं कि यदि आप पिक्सेल को थोड़ा हिलाते हैं (जैसे चमक बदलना या स्टैटिक नॉइज़ जोड़ना), तो भी AI काम करेगा। इसे " $\ell_p$ -norm" चेक कहा जाता है।

लेकिन वास्तविक दुनिया में, कैमरा केवल पिक्सेल को नहीं हिलाता; वह घूमता है। यदि आप अपना सिर घुमाते हैं (yaw), झुकाते हैं (pitch), या आगे बढ़ते हैं, तो छवि जटिल, ज्यामितीय (geometric) तरीके से बदल जाती है।

शोध पत्र की उपमा: कल्पना कीजिए कि एक कागज का सपाट टुकड़ा है जिस पर एक ड्राइंग बनी है। यदि आप केवल शोर (noise) जोड़ते हैं, तो यह कागज पर काली मिर्च छिड़कने जैसा है। लेकिन यदि आप कैमरा हिलाते हैं, तो यह उस कागज को एक अलग कोण से देखने जैसा है। ड्राइंग विकृत (distorted), खिंची हुई और दबी हुई दिखाई देगी। पुराने "रबर शीट" सुरक्षा चेक बहुत ढीले हैं; वे इस विकृति को एक विशाल, धुंधले बादल से ढकने की कोशिश करते हैं जिसमें असंभव छवियां भी शामिल होती हैं (जैसे कि एक स्टॉप साइन का पिज्जा में बदल जाना)। यह सुरक्षा जाँच को बेकार बना देता है क्योंकि यह सिद्ध नहीं कर पाता कि AI सुरक्षित है।

2. समाधान: "जादुई मानचित्र" (Homography)

लेखकों ने महसूस किया कि जिन चीजों की रोबोटों को परवाह होती है—जैसे सड़क के सपाट संकेत, जमीन, या रनवे—उनके लिए कैमरे के हिलने से होने वाला विरूपण एक विशिष्ट, अनुमानित गणितीय नियम का पालन करता है जिसे होमोग्राफी (homography) कहा जाता है।

उपमा: कैमरे के हिलने को एक जादुई मानचित्र के रूप में सोचें। यदि आप जानते हैं कि कैमरा ठीक कैसे हिला है (जैसे, "5 डिग्री बाईं ओर मुड़ा"), तो आप एक सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म मैप बना सकते हैं जो आपको ठीक-ठीक बताता है कि नई छवि का प्रत्येक पिक्सेल पुरानी छवि से कहाँ से आया है। यह कोई अनुमान नहीं है; यह एक सटीक ज्यामितीय रेसिपी है।

3. विधि: "लिप्सचिट्ज़ ऑप्टिमाइज़ेशन" (गति सीमा)

अब जब उनके पास जादुई मानचित्र है, तो उन्हें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि AI भ्रमित नहीं होगा। चुनौती यह है कि मानचित्र नॉन-लीनियर (non-linear) है (यह मुड़ता और घूमता है), जिससे सटीक गणना करना कठिन हो जाता है।

उन्होंने लिप्सचिट्ज़ ऑप्टिमाइज़ेशन (Lipschitz Optimization) नामक तकनीक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक पहाड़ (पिक्सेल मान) पर चढ़ रहे हैं और आप जानना चाहते हैं कि एक निश्चित क्षेत्र के भीतर आप अधिकतम कितनी ऊंचाई तक पहुँच सकते हैं। आपको हर इंच चढ़ने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, आप जानते हैं कि पहाड़ की एक गति सीमा (speed limit) है (लिप्सचिट्ज़ कॉन्स्टेंट)। आप जानते हैं कि रास्ता कितना भी ढाल वाला क्यों न हो, आप एक निश्चित दर से तेज़ नहीं चढ़ सकते।
पहाड़ के कुछ बिंदुओं का नमूना लेकर और इलाके की "गति सीमा" को जानकर, वे गणितीय रूप से गारंटी दे सकते हैं कि शिखर (सबसे खराब स्थिति वाला पिक्सेल मान) एक निश्चित ऊंचाई से अधिक नहीं हो सकता। यह उन्हें सभी संभावित विकृत छवियों के चारों ओर एक सटीक, तंग बॉक्स बनाने की अनुमति देता है।

4. परिणाम: तेज़ और सटीक

टीम ने इस गणित को स्वचालित रूप से करने के लिए एक उपकरण बनाया।

गति: उन्होंने इसे पिछले तरीकों की तुलना में 89% तेज़ बनाया। यह इन सुरक्षा जाँचों के लिए साइकिल से स्पोर्ट्स कार में अपग्रेड करने जैसा है।
सटीकता: उनका "सुरक्षा बॉक्स" 7% अधिक सटीक (tighter) है। इसका मतलब है कि वे असंभव परिदृश्यों की जाँच करने में समय बर्बाद नहीं कर रहे हैं। वे ठीक वही जाँच रहे हैं जो वास्तव में हो सकता है।
खोज: जब उन्होंने मानक AI बेंचमार्क (जैसे अंकों या ट्रैफिक संकेतों को पहचानना) पर इसका परीक्षण किया, तो उन्होंने पाया कि कई AI मॉडल 3D कैमरा मूवमेंट के प्रति बहुत नाजुक (fragile) हैं। उदाहरण के लिए, एक मॉडल जो ट्रैफिक संकेतों को पहचानने के लिए प्रशिक्षित है, वह पूरी तरह से विफल हो सकता है यदि कैमरा थोड़ा सा भी झुक जाए, भले ही वह सभी पुराने "नॉइज़" परीक्षणों में पास हो जाए।

5. वास्तविक दुनिया का परीक्षण: रनवे

यह दिखाने के लिए कि यह कैसे काम करता है, उन्होंने एक सिस्टम पर परीक्षण किया जिसे पायलट को यह बताने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि रनवे दिखाई दे रहा है या नहीं।

परिणाम: पाया गया कि यह सिस्टम बहुत नाजुक है। छोटे कैमरा मूवमेंट (जैसे हल्का झटका या मोड़) के तहत, सिस्टम यह गारंटी नहीं दे सका कि वह रनवे की सही पहचान करेगा। यह एक वास्तविक भेद्यता (vulnerability) को उजागर करता जिसे विमानन में उपयोग के लिए प्रमाणित करने से पहले ठीक करने की आवश्यकता है।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र कहता है: "यह अनुमान लगाना बंद करें कि कैमरा मूवमेंट AI को कैसे प्रभावित करता है। हमने इसके लिए एक सटीक गणितीय मानचित्र खोज लिया है, और हमने यह सिद्ध करने के लिए एक 'गति सीमा' नियम का उपयोग किया है कि कैमरा मूवमेंट से AI कितना भ्रमित हो सकता है। हमने पाया कि वर्तमान AI, मूवमेंट के प्रति हमारी सोच से कहीं अधिक नाजुक है, और हमने इसे सिद्ध करने के लिए एक तेज़, बेहतर टूल बनाया है।"

यह कार्य ड्रोन उड़ाने, कार चलाने या विमान उतारने जैसे सुरक्षा-महत्वपूर्ण कार्यों के लिए AI को प्रमाणित करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है, जहाँ एक गलत अनुमान केवल एक त्रुटि नहीं—एक आपदा है।

तकनीकी सारांश: होमोग्राफी के औपचारिक सत्यापन के लिए लिप्सचिट्ज़ अनुकूलन (Lipschitz Optimization)

1. समस्या विवरण

स्वायत्त ड्राइविंग (autonomous driving), एयरोस्पेस और स्वास्थ्य सेवा जैसे सुरक्षा-महत्वपूर्ण डोमेन में डीप न्यूरल नेटवर्क (DNNs) की तैनाती के लिए औपचारिक मजबूती (formal robustness) गारंटी की आवश्यकता होती है। वर्तमान औपचारिक सत्यापन विधियाँ मुख्य रूप से $\ell_p$ -नॉर्म बाउंडेड परटर्बेशन (जैसे शोर, कंट्रास्ट परिवर्तन) पर ध्यान केंद्रित करती हैं जो सीधे पिक्सेल स्पेस पर कार्य करते हैं। हालाँकि, ये दृष्टिकोण उन परटबेशन को पर्याप्त रूप से मॉडल करने में विफल रहते हैं जो भौतिक 3D दुनिया से उत्पन्न होते हैं, जैसे कैमरा मोशन, व्यू पॉइंट परिवर्तन, या सीन ज्योमेट्री शिफ्ट।

जबकि $\ell_p$ -बॉल्स सैद्धांतिक रूप से परिवर्तित छवियों के वास्तविक मैनिफोल्ड को समाहित कर सकते हैं, वे परिवर्तित छवियों के वास्तविक मैनिफोल्ड का अति-अनुमान (over-approximate) लगाते हैं, जिससे ढीले और अनभिज्ञ बाउंड्स प्राप्त होते हैं जो अक्सर नेटवर्क की मजबूती को सिद्ध करने में विफल रहते हैं। मौजूदा 3D मजबूती विधियाँ या तो सांख्यिकीय दृष्टिकोणों (कमजोर गारंटी), 2D एफाइन ट्रांसफॉर्म्स (परिप्रेक्ष्य प्रभावों को मॉडल करने में असमर्थ), या स्पष्ट 3D सीन मॉडल की आवश्यकता वाले जटिल सिमुलेशन तक सीमित हैं। प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री ट्रांसफॉर्म्स, विशेष रूप से होमोग्राफी (homographies) के औपचारिक सत्यापन में एक महत्वपूर्ण अंतराल है, जो विभिन्न दृश्यों के बीच प्लेन-टू-प्लेन मैपिंग का वर्णन करते हैं।

2. कार्यप्रणाली

लेखक एक औपचारिक सत्यापन ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो कैप्चरिंग कैमरा के 3D मोशन परटबेशन के प्रति मजबूती को लक्षित करता है, विशेष रूप से उन दृश्यों के लिए जिनमें प्रमुख रूप से समतलीय संरचनाएं (planar structures) होती हैं (जैसे सड़क के निशान, ट्रैफिक संकेत, ग्राउंड प्लेन)।

2.1. क्लोज्ड-फॉर्म होमोग्राफी व्युत्पत्ति (Closed-Form Homography Derivation)

विधि एक कैमरा पोज परटबेशन से पिक्सेल मानों तक एक क्लोज्ड-फॉर्म मैपिंग स्थापित करके शुरू होती है।

ज्यामितीय मॉडलिंग (Geometric Modeling): पिनहोल कैमरा मॉडल और एक प्लेनर सीन फीचर (जैसे वर्ल्ड फ्रेम में $z=0$ ) को मानते हुए, लेखक 6-DOF कैमरा पोज परटबेशन (रोल, पिच, या, और ट्रांसलेशन) द्वारा प्रेरित होमोग्राफी मैट्रिक्स $H(\kappa)$ व्युत्पन्न करते हैं।
पैरामीट्राइजेशन (Parameterization): होमोग्राफी को एक वेक्टर $\kappa$ द्वारा पैरामीटराइज किया जाता है जो संदर्भ कैमरा के सापेक्ष पोज के डेल्टा को दर्शाता है। विशिष्ट परिदृश्यों (जैसे शुद्ध याव रोटेशन) के लिए, लेखक $H(\kappa)$ और उसके व्युत्क्रम $H^{-1}(\kappa)$ के लिए स्पष्ट विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ व्युत्पन्न करते हैं।
पिक्सेल वैल्यू फंक्शन: एक रूपांतरित पिक्सेल के मान $G(\kappa)$ की गणना मूल छवि में रूपांतरित निर्देशांकों को $T^{-1}(\kappa)$ के माध्यम से मैप करके और बाइलिनियर इंटरपोलेशन लागू करके की जाती है। इसके परिणामस्वरूप एक गैर-रेखीय फलन $G(\kappa) = I \circ T^{-1}(\kappa)$ प्राप्त होता है।

2.2. पीसवाइज़-लीनियर (PWL) सन्निकटन और लिप्सचिट्ज़ अनुकूलन

नेटवर्क को सत्यापित करने के लिए, गैर-रेखीय फलन $G(\kappa)$ को लीनियर बाउंड्स द्वारा ओवर-एप्रोक्सिमेट किया जाना चाहिए जिन्हें सत्यापनकर्ता (verifier) के माध्यम से प्रसारित किया जा सके।

पीसवाइज़-लीनियर बाउंड्स: पैरामीटर स्पेस $B$ को सबडोमेन में विभाजित किया गया है। प्रत्येक सबडोमेन के भीतर, $G(\kappa)$ को सैंपल किए गए बिंदुओं से प्राप्त लीनियर बाउंड्स ($LB $और$ UB$) द्वारा अनुमानित किया जाता है, जो बैटन एट अल [7] के दृष्टिकोण का अनुसरण करता है।
लिप्सचिट्ज़ निरंतरता (Lipschitz Continuity): यह सुनिश्चित करने के लिए कि बाउंड्स साउंड (अर्थात वे वास्तविक फलन मानों को सख्ती से समाहित करते हैं) हों, लेखक $G(\kappa)$ की लिप्सचिट्ज़ निरंतरता का विश्लेषण करते हैं। वे $T^{-1}(\kappa)$ के ग्रेडिएंट की गणना करके लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक $L$ के लिए विश्लेषणात्मक ऊपरी बाउंड व्युत्पन्न करते हैं।
असंततता को संभालना (Handling Discontinuities): लेखक क्रिटिकल एंगल्स पर होमोग्राफी इनवर्स की गैर-निरंतरता को संबोधित करते हैं (जहाँ डिनोमिनेटर शून्य के करीब पहुँच जाता है)। वे डिफरेंशिएबिलिटी का डोमेन $Diff(B)$ परिभाषित करते हैं और अधिकतम ग्रेडिएंट के संभावित स्थानों (सीमाओं और विशिष्ट आर्कटैंजेंट मानों) की पहचान करते हैं ताकि वैध लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक की गणना की जा सके।
अनुकूलन (Optimization): लिप्सचिट्ज़ अनुकूलन का उपयोग करते हुए, एल्गोरिदम पुनरावृत्ति के साथ बाउंड्स को परिष्कृत करता है। यह सैंपल पॉइंट्स पर फंक्शन का मूल्यांकन करता है और बाउंड उल्लंघन के ग्लोबल मैक्सिमम को बाउंड करने के लिए लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक का उपयोग करता है। यदि बाउंड उल्लंघन एक थ्रेशोल्ड $\epsilon$ से अधिक हो जाता है, तो सबडोमेन को विभाजित किया जाता है, और प्रक्रिया अभिसरण (convergence) तक दोहराई जाती है।

2.3. कार्यान्वयन

इस विधि को एक फ्रंट-एंड के रूप में लागू किया गया है जो किसी भी डाउनस्ट्रीम वेरिफायर के लिए लीनियर बाउंड्स उत्पन्न करता है। लेखकों ने VENUS वेरिफायर को इन पीसवाइज़-लीनियर बाउंड्स को संभालने के लिए अनुकूलित किया है, जिससे उनके बाउंड-प्रोपैगेशन फ्रेमवर्क को फिक्स्ड इंटरवल्स के बजाय लीनियर इनपुट कंस्ट्रेंट्स से प्री-एक्टिवेशन बाउंड्स निकालने के लिए बढ़ाया गया है।

3. मुख्य योगदान

प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्म्स का औपचारिक सत्यापन: यह शोध पत्र 6-DOF पोज परटबेशन द्वारा प्रेरित क्लोज्ड-फॉर्म होमोग्राफी को व्युत्पन्न करता है और पीसवाइज़-लीनियर कंस्ट्रेंट्स और लिप्सचिट्ज़ अनुकूलन के साथ उनकी अनुकूलता को प्रदर्शित करता है। यह पिक्सेल मानों पर प्रमाणित टाइट बाउंड्स को सक्षम बनाता है।
कुशल कार्यान्वयन: लेखक एक कुशल कार्यान्वयन प्रदान करते हैं जो मौजूदा PWL एल्गोरिदम [7] में सुधार करता है। इसमें सटीक ग्रेडिएंट्स के लिए हाफ-पिक्सेल करेक्शन, लिप्सचिट्ज़ कैंडिडेट सेट में छूटे हुए पैरामीटर मानों का समावेश, पैरामीटर स्पेस पर डाइकोटमी, और पिक्सेल-लेवल पैरेललाइजेशन शामिल हैं।
बेंचमार्किंग और केस स्टडी: इस विधि का मूल्यांकन VNN-COMP बेंचमार्क (MNIST, CIFCIF-10, GTSRB) और एक वास्तविक रनवे विजिबिलिटी क्लासिफायर पर किया गया है।

4. परिणाम

प्रदर्शन सुधार: PWL एल्गोरिदम [7] के पुन: कार्यान्वयन की तुलना में, प्रस्तावित विधि रनटाइम में 89% तक की गति वृद्धि और जटिल पिक्सेल कर्व्स पर 7% टाइट बाउंड्स प्राप्त करती है। छोटे ट्रांसफॉर्म्स पर, Branch-and-Bound (BaB) इटरेशन में 71% से अधिक की कमी आई।
भेद्यता की खोज (Vulnerability Discovery): VNN-COMP बेंचमार्क पर मूल्यांकन से पता चलता है कि मानक डेटा ऑग्मेंटेशन (जिसमें $\ell_p$ -नॉर्म अटैक्स शामिल हैं) के साथ प्रशिक्षित नेटवर्क 3D ज्यामितीय परटबेशन के प्रति व्यवस्थित कमजोरी प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, GTSRB (स्वायत्त ड्राइविंग) मॉडल ने 3D परटबेशन (रोल, पिच, याव और ट्रांसलेशन) के प्रति 0% प्रमाणित मजबूती दिखाई। यहाँ तक कि MNIST और CIFAR मॉडल भी $\ell_p$ -नॉर्म परटबेशन की तुलना में पिच, याव और ट्रांसलेशन के प्रति काफी कम मजबूती दिखाते हैं।
वास्तविक केस स्टडी: रनवे विजिबिलिटी क्लासिफायर (LARD डेटासेट पर प्रशिक्षित) पर लागू करने पर, यह विधि 10 सेमी ट्रांसलेशन के तहत केवल 16% टेस्ट इमेजेस और 1° रोटेशन के तहत 1% के लिए प्रमाणित मजबूती प्रदान करती है, जो सुरक्षा-महत्वपूर्ण धारणा प्रणालियों (perception systems) में व्यावहारिक कमजोरियों को उजागर करती है।
संवेदनशीलता विश्लेषण (Sensitivity Analysis): अध्ययन पुष्टि करता है कि जैसे-जैसे ट्रांसफॉर्म का आयाम (amplitude) बढ़ता है (जैसे याव एंगल), प्रमाणित मजबूती कम हो जाती है, जो औपचारिक सत्यापन के लिए एक ज्ञात चुनौती है जिसके लिए डोमेन स्प्लिटिंग की आवश्यकता होती है।

5. महत्व और दावे

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री ट्रांसफॉर्म्स के लिए पहला औपचारिक सत्यापन ढांचा प्रस्तुत करता है जो जटिल सिमुलेशन, सरोगेट नेटवर्क, या स्पष्ट इमेज-फॉर्मेशन मॉडल पर निर्भर नहीं करता है। होमोग्राफी के विश्लेषणात्मक सामर्थ्य का लाभ उठाकर, लेखक 2D एफाइन सत्यापन और पूर्ण 3D सीन मॉडलिंग के बीच के अंतर को पाटते हैं।

इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

नियामक अनुपालन (Regulatory Compliance): उन गणितीय गारंटी प्रदान करना जो विमानन, स्वायत्त वाहनों जैसे सुरक्षा-महत्वपूर्ण उद्योगों में AI को प्रमाणित करने के लिए आवश्यक हैं, जहाँ कैमरा मोशन अनिश्चितता का एक प्राथमिक स्रोत है।
पद्धतिगत प्रगति (Methodological Advancement): गैर-एफाइन, पर्सपेक्टिव-डिस्टॉर्टिंग ट्रांसफॉर्म्स को संभालने के लिए लिप्सचिट्ज़ अनुकूलन और PWL तकनीकों को विस्तारित करना, जिन्हें पहले विश्लेषणात्मक रूप से कठिन माना जाता था।
व्यावहारिक अंतर्दृष्टि: यह प्रदर्शित करना कि वर्तमान अत्याधुनिक नेटवर्क वास्तविक 3D परटबेशन के प्रति नाजुक हैं, जो यह सुझाव देता है कि मजबूती प्रशिक्षण या सत्यापन को $\ell_p$ -नॉर्म बाधाओं से आगे बढ़कर भौतिक दुनिया के विविधताओं को संबोधित करने के लिए विकसित होना चाहिए।

लेखक एक संतुलित लहजा बनाए रखते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि बड़े ट्रांसफॉर्म्स नॉन-लिनियैरिटी को बढ़ा देते हैं और यह विधि वर्तमान में मुख्य रूप से प्लेनर सीन्स के लिए सबसे उपयुक्त है जिनमें सीमित पैरलैक्स और ऑक्लूजन (occlusion) होता है। वे अपने कार्य को रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न के उपयोग के मामलों को सत्यापित करने के लिए एक सिद्धांत-आधारित मध्य मार्ग के रूप में प्रस्तुत करते हैं।