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Weisfeiler-Leman Is Incomplete on Simple Spectrum Graphs, so Canonicalize Them

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि वेइसफेलर-लेमैन पदानुक्रम और उससे जुड़े ग्राफ न्यूरल नेटवर्क स्वाभाविक रूप से गैर-आइसोमोर्फिक सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों के बीच अंतर करने के लिए अपूर्ण हैं, और PRiSM को पेश करता है, जो एक प्रमाणित पूर्ण कैनोनिकलाइजेशन विधि है जो इस सीमा को हल करती है और ऐसे ग्राफों पर सार्वभौमिक सन्निकटन (यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन) को सक्षम बनाती है।

मूल लेखक: Snir Hordan, Nadav Dym, Tim Seppelt

प्रकाशित 2026-05-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Snir Hordan, Nadav Dym, Tim Seppelt

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ सरल भाषा और रचनात्मक उपमाओं का उपयोग करके पेपर का स्पष्टीकरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: "ग्राफ डिटेक्टिव" की समस्या

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं: क्या बिंदुओं से जुड़े दो चित्र (ग्राफ) वास्तव में एक ही चित्र हैं, बस उनके नाम बदल दिए गए हैं?

कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, ये चित्र रासायनिक अणुओं से लेकर सोशल नेटवर्क तक सब कुछ दर्शाते हैं। इसे हल करने के लिए, कंप्यूटर वेइसफिलेर-लेमैन (WL) टेस्ट नामक नियमों के एक सेट का उपयोग करते हैं। WL टेस्ट को एक ऐसे जासूस के रूप में सोचें जो एक चित्र को देखता है, उसके पड़ोसियों के आधार पर बिंदुओं को रंग देता है, और फिर यह जाँचता है कि क्या रंग के पैटर्न मेल खाते हैं।

लंबे समय तक, वैज्ञानिकों ने सोचा कि यदि आप जासूस को अधिक स्मार्ट और शक्तिशाली बनाते हैं (k-WL में "k" बढ़ाकर), तो वे अंततः दो चित्रों के बीच किसी भी अंतर को पकड़ पाएंगे।

आश्चर्य: जासूस की एक अंध बिंदु (Blind Spot) है

यह पेपर कुछ चौंकाने वाला साबित करता है: यहाँ तक कि सबसे स्मार्ट WL जासूस की भी एक स्थायी अंध बिंदु (blind spot) होती है।

लेखकों ने "सिंपल स्पेक्ट्रम ग्राफ" नामक एक विशिष्ट प्रकार का चित्र खोजा है। आप इन्हें ऐसे चित्रों के रूप में सोच सकते हैं जहाँ प्रत्येक बिंदु का एक पूरी तरह से अद्वितीय "वाइब" या आवृत्ति (frequency) होती है, जिससे वे सैद्धांतिक रूप से गणितीय रूप से पहचानने में आसान हो जाते हैं (जैसे घास के ढेर में सुई ढूंढना)।

हालाँकि, यह पेपर सिद्ध करता है कि चाहे WL जासूस कितना भी शक्तिशाली क्यों न हो जाए, वह इन विशिष्ट चित्रों के कुछ जोड़ों के बीच अंतर करने में हमेशा विफल रहेगा। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे दो जुड़वां भाई जो बिल्कुल एक जैसे कपड़े पहनते हैं; जासूस उनके स्थानीय परिवेश को कितनी भी बारीकी से देखे, वह उनमें अंतर नहीं कर सकता।

यह क्यों मायने रखता है?
ग्राफ के लिए अधिकांश आधुनिक AI मॉडल (ग्राफ न्यूरल नेटवर्क) बिल्कुल इसी WL जासूस की तरह काम करते हैं। यदि जासूस अंतर नहीं कर सकता, तो AI भी नहीं कर सकता। इसका मतलब है कि वर्तमान AI मॉडल इन विशिष्ट प्रकार के ग्राफों के साथ काम करते समय मौलिक रूप से सीमित हैं।

समाधान: PRiSM (एक नया सॉर्टिंग एल्गोरिदम)

चूँकि जासूस फंस गया है, लेखकों ने PRiSM नामक एक नया टूल बनाया है (जिसका अर्थ है Partition, Refine, Solve, Match)।

इस समस्या को ताश की एक गड्डी की तरह समझें जिसे फेंटा गया है।

समस्या: कार्ड (ग्राफ की गणितीय विशेषताएं) सही हैं, लेकिन वे या तो पलट गए हो सकते हैं (sign ambiguity) या गलत क्रम में हो सकते हैं (permutation ambiguity)। पिछले तरीकों ने उन्हें सॉर्ट करने की कोशिश की लेकिन अक्सर वे अटक गए या गलतियाँ कीं।
PRiSM का समाधान: PRiSM एक सख्त, चरण-दर-चरण सॉर्टिंग मशीन है जो यह गारंटी देती है कि गड्डी हमेशा ठीक उसी तरह व्यवस्थित होगी, चाहे उसे शुरू में कैसे भी फेंटा या पलटा गया हो।
- Partition (विभाजन): यह उन कार्डों को समूह में बाँटता है जो समान दिखते हैं।
- Refine (परिष्करण): यह गहराई से देखता है कि क्या वे समूह वास्तव में अलग हैं।
- Solve (हल करना): यह प्रत्येक कार्ड के लिए सही "पलट" (धनात्मक या ऋणात्मक) का पता लगाता है।
- Match (मिलान): यह उन्हें एक आदर्श, मानक क्रम में व्यवस्थित करता है।

क्योंकि PRiSM इन ग्राफों के लिए एक पूर्ण, अद्वितीय "फिंगरप्रिंट" बनाता है, यह AI मॉडल को अंततः उन अंतरों को देखने की अनुमति देता है जिन्हें पुराने जासूस ने छोड़ दिया था।

परिणाम: क्या यह काम करता है?

लेखकों ने वास्तविक दुनिया के डेटा पर PRiSM का परीक्षण किया, विशेष रूप से:

अणु (Molecules): रासायनिक यौगिकों के गुणों (जैसे घुलनशीलता या विषाक्तता) की भविष्यवाणी करना।
बेंचमार्क्स: मानक परीक्षण जो यह देखने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं कि एक AI ग्राफों में अंतर पहचानने में कितना अच्छा है।

परिणाम:
PRiSM मौजूदा तरीकों के बराबर या उनसे बेहतर प्रदर्शन करता है। इसने उन ग्राफ जोड़ों के बीच अंतर करने में सफलता प्राप्त की जिन्हें अन्य तरीके नहीं पहचान सके। जब इसे शक्तिशाली AI मॉडल (जैसे ट्रांसफॉर्मर) के साथ उपयोग किया गया, तो इसने AI को अधिक प्रभावी ढंग से सीखने में सक्षम बनाया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि "सॉर्टिंग" की समस्या को ठीक करने से पूरा सिस्टम बेहतर काम करता है।

दावों का सारांश (जो पेपर वास्तव में कहता है)

सीमा (The Limitation): मानक "WL" पदानुक्रम (hierarchy) के ग्राफ परीक्षण अपूर्ण (incomplete) हैं। यह सभी गैर-समान ग्राफों को नहीं पहचान सकता जिनमें "सिंपल स्पेक्ट्रम" होता है, चाहे परीक्षण कितना भी जटिल क्यों न हो।
परिणाम (The Consequence): इसका अर्थ है कि सभी वर्तमान ग्राफ न्यूरल नेटवर्क (GNNs) जो इन परीक्षणों पर निर्भर करते हैं, इन विशिष्ट ग्राफों के लिए भी अपूर्ण हैं।
नवाचार (The Innovation): लेखकों ने PRiSM बनाया है, जो सरल-स्पेक्ट्रम वाले ग्राफों के गणितीय "फिंगरप्रिंट" (eigendecomposition) को सॉर्ट करने के लिए पहला तरीका है जो सिद्ध रूप से पूर्ण (provably complete) है।
प्रमाण (The Proof): उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया है कि PRiSM को मानक AI मॉडल (जैसे DeepSets या Transformers) के साथ जोड़ने से AI इन ग्राफों पर किसी भी फंक्शन का अनुमान लगा सकता है (यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन)।
साक्ष्य (The Evidence): प्रयोगों में, PRiSM ने आणविक डेटासेट और एक्सप्रेसिविटी बेंचमार्क पर पिछले तरीकों से बेहतर प्रदर्शन किया, यह दिखाते हुए कि यह उन ग्राफ जोड़ों के बीच अंतर कर सकता है जिन्हें अन्य तरीके मिस कर देते हैं।

पेपर क्या दावा नहीं करता है:

यह दावा नहीं करता कि यह सीधे तौर पर बीमारियों का इलाज करता है या नई दवाओं की खोज करता है (हालांकि बेहतर आणविक मॉडलिंग भविष्य में मदद कर सकती है)।
यह दावा नहीं करता कि यह हर प्रकार के ग्राफ पर पूरी तरह से काम करता है (विशेष रूप से, यह उन ग्राफों के साथ अपनी सीमाओं को स्वीकार करता है जिनमें दोहराए गए आइजनवैल्यू होते हैं, हालांकि वे उनके लिए एक ह्यूरिस्टिक समाधान प्रदान करते हैं)।
यह दावा नहीं करता कि विधि "निरंतर" (continuous) है; वास्तव में, वे स्वीकार करते हैं कि यह विधि "असंतत" (discontinuous) है, जो एक गणितीय समझौता है जो उन्हें पूर्ण सटीकता प्राप्त करने के लिए करना पड़ा।

तकनीकी सारांश: वीसफाइलर-लेमैन (Weisfeiler–Leman) सरल स्पेक्ट्रम वाले ग्राफों पर अपूर्ण है, इसलिए उन्हें कैनोनिकल (Canonicalize) करें

समस्या विवरण

ग्राफ न्यूरल नेटवर्क (GNNs) ग्राफ-संरचित डेटा पर सीखने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, फिर भी उनकी अभिव्यंजक शक्ति अक्सर वीसफाइलर-लेमैन (WL) पदानुक्रम द्वारा सीमित होती है। यह एक ज्ञात परिणाम है कि $k$ -आयामी WL परीक्षण ( $k$ -WL) सभी गैर-आइसोमोर्फिक (non-isomorphic) ग्राफों के बीच अंतर नहीं कर सकता। हालाँकि, ग्राफों का एक विशिष्ट वर्ग—वे जिनका सरल स्पेक्ट्रम (simple spectrum) होता है (जहाँ एडजेसेंसी मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यूज़ विशिष्ट होते हैं)—क्यूबिक-टाइम आइसोमोर्फिज्म टेस्टिंग की अनुमति देता है। इस सैद्धांतिक सुलभता के बावजूद, यह एक खुला प्रश्न बना हुआ था कि क्या WL पदानुक्रम, जो कई GNNs की अभिव्यक्तता को ऊपरी सीमा प्रदान करता है, सभी सरल-स्पेक्ट्रम वाले ग्राफों के बीच अंतर कर सकता है।

इसके अतिरिक्त, जबकि स्पेक्ट्रल पोजीशनल एनकोडिंग (जैसे लैपलेसियन आइगेनवेक्टर्स) को अभिव्यक्तता बढ़ाने के लिए सामान्यतः GNNs में एकीकृत किया जाता है, वे अंतर्निहित अस्पष्टताओं से ग्रस्त होते हैं: सरल स्पेक्ट्रा के लिए साइन अस्पष्टता (sign ambiguity) और पुनरावृत्त आइगेनवैल्यूज़ के लिए बेसिस अस्पष्टता (basis ambiguity)। इन अस्पष्टताओं को हल करने के मौजूदा तरीके (जैसे SignNet, MAP, और OAP) सरल-स्पेक्ट्रम वाले ग्राफों पर प्रमाणित रूप से अपूर्ण हैं, जो कुछ गैर-आइसोमोर्फिक जोड़ियों के बीच अंतर करने में विफल रहते हैं। यह अपूर्णता स्पेक्ट्रल GNNs को इस वर्ग के लिए यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन (universal approximation) प्राप्त करने से रोकती है।

कार्यप्रणाली

1. सरल स्पेक्ट्रा पर WL अपूर्णता का प्रमाण

लेखक पहले यह स्थापित करते हैं कि संपूर्ण WL पदानुक्रम सरल-स्पेक्ट्रम वाले ग्राफों पर अपूर्ण है।

निर्माण (Construction): वे Cai–Fürer–Immerman (CFI) निर्माण का उपयोग करते हैं, जो उन गैर-आइसोमोर्फिक ग्राफ जोड़ियों को उत्पन्न करता है जिन्हें $k$ -WL द्वारा पहचाना नहीं जा सकता।
एन्कोडिंग (Encoding): चूँकि मानक CFI ग्राफों में सरल स्पेक्ट्रम नहीं होता है, लेखक एक नवीन इंटीग्रल एन्कोडिंग तंत्र पेश करते हैं। वे CFI एडजेसेंसी पैटर्न को एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स $\tilde{X}$ में मैप करते हैं जो पूर्णांक (integer) प्रविष्टियों से बना होता है।
मल्टीग्राफ निर्माण: इस ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स और विशिष्ट पूर्णांक आइगेनवैल्यूज़ के डायगोनल मैट्रिक्स का उपयोग करके, वे सरल स्पेक्ट्रा वाले सममित मल्टीग्राफ ( $A_{G,0}$ और $A_{G,1}$ ) की एक जोड़ी का निर्माण करते हैं।
परिणाम: वे सिद्ध करते हैं कि ये निर्मित सरल-स्पेक्ट्रम वाले मल्टीग्राफ $k$ -WL परीक्षण द्वारा भी अविभेद्य रहते हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि कोई भी स्तर का WL पदानुक्रम इस वर्ग के लिए आइसोमोर्फिज्म समस्या को हल नहीं कर सकता, बावजूद इसके कि यह समस्या क्यूबिक समय में हल करने योग्य है।

2. PRiSM: एक पूर्ण कैनोनिकलाइजेशन (Complete Canonicalization)

मौजूदा स्पेक्ट्रल विधियों की सीमाओं को दूर करने के लिए, लेखक PRiSM (Partition, Refine, Solve, Match) प्रस्तावित करते हैं, जो सरल-स्पेक्ट्रम वाले ग्राफों के आइजनडिकंपोजिशन के लिए एक प्रमाणित पूर्ण कैनोनिकलाइजेशन प्रक्रिया है।

इनपुट: आइगेनवेक्टर्स का एक कॉलम-वाइज ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स $U$ ।
अस्पष्टता समूह (Ambiguity Group): यह प्रक्रिया $S_n \times \{-1, 1\}^k$ अस्पष्टता समूह (परम्यूटेशन और साइन फ्लिप) को संभालती है।
चार चरण:
1. पार्टीशन (Partition): वर्टिक्स को उनके साइन-इनवेरिएंट सिग्नेचर (आइगेनवेक्टर प्रविष्टियों के पूर्ण मान) के आधार पर समूहीकृत किया जाता है।
2. रिफाइन (Refine): पार्टीशन पर एक स्पेक्ट्रल वेरिएंट के रूप में WL कलर रिफाइनमेंट प्रक्रिया लागू की जाती है। यह वर्टेक्स क्लासेस को आइगेनवेक्टर प्रविष्टियों के एलिमेंट-वाइज प्रॉडक्ट्स ( $U_v \odot U_u$ ) द्वारा परिभाषित एज फीचर्स के मल्टीसेट का उपयोग करके पुन: परिष्कृत करती है जब तक कि पार्टीशन स्थिर न हो जाए।
3. सॉल्व (Solve): स्थिर पार्टीशन $\mathbb{Z}_2$ के क्षेत्र पर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को परिभाषित करता है। यह प्रणाली यह सुनिश्चित करती है कि प्रत्येक पार्टीशन क्लास में कम से कम एक रो (row) हो जिसमें गैर-ऋणात्मक (non-negative) प्रविष्टियाँ हों। इस प्रणाली को हल करना आइगेनवेक्टर्स के अद्वितीय कैनोनिकल साइन को निर्धारित करता है (ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म के अधीन)।
4. मैच (Match): एक बार साइन फिक्स हो जाने के बाद, परम्यूटेशन अस्पष्टता को हल करने के लिए रो को लेक्सिकोग्राफिकल रूप से सॉर्ट किया जाता है, जिससे एक अद्वितीय कैनोनिकल मैट्रिक्स प्राप्त होता है।
विस्तार (Extension): पुनरावृत्त आइगेनवैल्यूज़ (गैर-सरल स्पेक्ट्रम) वाले ग्राफों के लिए, PRiSM को ह्यूरिस्टिक रूप से विस्तारित किया गया है। यह सरल-स्पेक्ट्रम ब्लॉक ( $m=1$ ) पर मूल प्रक्रिया लागू करता है और उच्च-क्रम आइगेनस्पेस ( $m > 1$ ) को हल करने के लिए QR डिकंपोजिशन और पिवट सिलेक्शन का उपयोग करता है।

3. सैद्धांतिक गारंटी

पूर्णता (Completeness): PRiSM को एक वैध कैनोनिकलाइजेशन के रूप में सिद्ध किया गया है, जिसका अर्थ है कि यह आइसोमोर्फिक ग्राफों के लिए समान आउटपुट और गैर-आइसोमोर्फिक सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों के लिए भिन्न आउटपुट प्रदान करता है।
यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन: PRiSM को एक यूनिवर्सल सेट नेटवर्क (जैसे DeepSets या Transformers) के साथ संयोजित करके, परिणामी मॉडल सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों के लिए किसी भी आइसोमोर्फिज्म-इनवेरिएंट फंक्शन के लिए यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन प्राप्त करता है। यह सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों के लिए पूर्णता प्राप्त करने के खुले प्रश्न को हल करता है।

मुख्य परिणाम

सैद्धांतिक निष्कर्ष

थ्योरम 1: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए, $\Theta(k)$ नोड्स वाले ऐसे गैर-आइसोमोर्फिक सरल-स्पेक्ट्रम मल्टीग्राफ मौजूद हैं जिन्हें $k$ -WL एल्गोरिदम द्वारा अलग नहीं किया जा सकता है। यह दर्शाता है कि सभी $k$ -WL-अलाइन्ड GNN परिवार (जिसमें PPGN, $k$ -GNNs, और ग्राफ ट्रांसफॉर्मर शामिल हैं) सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों पर अपूर्ण हैं।
थ्योरम 2: PRiSM सरल-स्पेक्ट्रम आइजनडिकंपोजिशन के लिए एक वैध कैनोनिकलाइजेशन प्रदान करता है।
थ्योरम 3: PRiSM और यूनिवर्सल सेट नेटवर्क से बने मॉडल सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों पर यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन प्राप्त करते हैं।

अनुभवजन्य प्रदर्शन (Empirical Performance)

लेखकों ने तीन बेंचमार्क पर PRiSM का मूल्यांकन किया:

BREC एक्सप्रेसिविटी बेंचमार्क: PRiSM ने गैर-आइसोमोर्फिक ग्राफ जोड़ियों के बीच अंतर करने में प्रतिस्पर्धी कैनोनिकलाइजेशन (MAP, OAP) को पछाड़ दिया, विशेष रूप से रेगुलर और एक्सटेंशन श्रेणियों में। इसने MAP/OAP के 199/360 की तुलना में 212/360 जोड़ियों को सही ढंग से अलग किया।
मॉलिक्यूलर प्रॉपर्टी प्रेडिक्शन (ZINC, OGB-Mol): आणविक प्रतिगमन (ZINC) और वर्गीकरण (MOLTOX21, MOLPCBA) कार्यों के लिए PRiSM ने GatedGCN और PNA बैकबोन का उपयोग करके स्टेट-ऑफ-द-आर्ट या बेस्ट-टाइड प्रदर्शन प्राप्त किया।
ट्रांसफॉर्मर बैकबोन (OGB, Alchemy): ग्राफ ट्रांसफॉर्मर के लिए पोजीशनल एनकोडिंग के रूप में उपयोग किए जाने पर, PRiSM ने सभी चार डेटासेट्स (MOLHIV, MOLCLINTOX, MOLBBBP, ALCHEMY) में सभी बेसलाइन्स (LPE, MAP, OAP) को पछाड़ दिया। लेखक इसका श्रेय इसे देने के कारण देते हैं कि PRiSM ट्रांसफॉर्मर अटेंशन मैकेनिज्म के लिए महत्वपूर्ण एक नियत (deterministic) वर्टेक्स ऑर्डरिंग के साथ-साथ साइन-करेक्टेड आइगेनवेक्टर्स प्रदान करता है।

महत्व और दावे

यह शोध पत्र GNN अभिव्यक्तता और स्पेक्ट्रल विधियों की सैद्धांतिक समझ में एक मौलिक अंतर को हल करने का दावा करता है:

WL की अपूर्णता: यह निश्चित रूप से सिद्ध करता है कि WL पदानक्रम, अपनी बढ़ती शक्ति के बावजूद, सभी सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों के बीच अंतर नहीं कर सकता है, जो कि एक ऐसा वर्ग है जहाँ आइसोमोर्फिज्म सैद्धांतिक रूप से आसान है।
प्रथम पूर्ण कैनोनिकलाइजेशन: PRiSM को सरल-स्पेक्ट्रम आइजनडिकंपोजिशन के लिए पहला प्रमाणित पूर्ण साइन कैनोनिकलाइजेशन के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो MAP और OAP जैसे पिछले तरीकों की सीमाओं को पार करता है।
यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन: यह कार्य स्थापित करता है कि यदि PRiSM जैसे पूर्ण कैनोनिकलाइजेशन के साथ जोड़ा जाए, तो स्पेक्ट्रल GNNs सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों पर यूनिवर्सल एप्रोक्सिमेशन प्राप्त कर सकते हैं, जो कैनोनिकल लैपलेसियन पोजीशनल एनकोडिंग के उपयोग को न्यायसंगत बनाता है।
व्यावहारिक उपयोगिता: अनुभवजन्य रूप से, यह विधि दर्शाती है कि स्पेक्ट्रल अस्पष्टताओं को पूरी तरह से हल करने से डाउनस्ट्रीम कार्यों में वास्तविक सुधार होता है, जो मौजूदा साइन-इनवेरिएंट और कैनोनिकलाइजेशन दृष्टिकोणों से बेहतर प्रदर्शन करता है।

लेखक सीमाओं को नोट करते हैं, विशेष रूप से कि पूर्णता गारंटी केवल सरल-स्पेक्ट्रम ग्राफों (या प्रमाण में निर्मित मल्टीग्राफ) पर लागू होती है, और कैनोनिकलाइजेशन प्रक्रिया विच्छिन्न (discontinuous) है, एक गुण जिसे वे तर्क देते हैं कि पूर्ण साइन कैनोनिकलाइजेशन के लिए गणितीय रूप से अपरिहार्य है। वे सरल कॉम्बिनेटरियल ग्राफों (बिना मल्टीपल एडजेस के) तक अपूर्णता प्रमाण के विस्तार को भविष्य के कार्य के रूप में छोड़ देते हैं।