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A New Self-Dual Gravitational Instanton Solution on a Local Conformal Kählerian Manifold in a Brane World Model

यह शोध पत्र एक ब्रैन वर्ल्ड मॉडल के भीतर एक स्थानीय रूप से कॉन्फॉर्मल कैलेरियन मैनिफोल्ड पर एक सटीक, स्व-द्वैत गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन समाधान प्रस्तुत करता है, जो एक पंचम घात बहुपद विलक्षणता द्वारा अभिलक्षित है जो मानक प्लेबंस्की-डेमियांस्की वर्गीकरण को चुनौती देता है और क्लेन बोतल पर प्रतिपक्षी सीमा स्थितियों के माध्यम से ब्लैक होल सूचना विरोधाभासों को हल करने के लिए एक नवीन टोपोलॉजिकल ढांचे की पेशकश करता है।

मूल लेखक: Reinoud Jan Slagter

प्रकाशित 2026-05-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Reinoud Jan Slagter

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक नए प्रकार के ब्लैक होल का ब्लूप्रिंट

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, जटिल मशीन है। दशकों से, भौतिक विज्ञानी यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि सूक्ष्म, क्वांटम दुनिया (जैसे परमाणु) विशाल, गुरुत्वाकर्षण वाली दुनिया (जैसे ब्लैक होल) के साथ कैसे फिट बैठती है। यह शोध पत्र एक विशिष्ट प्रकार के ब्लैक होल के लिए एक नए "ब्लूप्रिंट" या गणितीय मॉडल का प्रस्ताव करता है जो शायद बहुत शुरुआती ब्रह्मांड में बना होगा।

लेखक, रेनौड जान स्लैटर (Reinoud Jan Slagter), सुझाव देते हैं कि ये ब्लैक होल केवल अंतरिक्ष में साधारण छेद नहीं हैं; वे जटिल, आत्मनिर्भर संरचनाएं हैं जो "इंस्टेंटन" (instantons) की तरह व्यवहार करती हैं। भौतिकी में, एक इंस्टेंटन वास्तविकता के ताने-बाने में एक अचानक, अस्थायी लहर की तरह है जो अस्तित्व में आती है और फिर गायब हो जाती है, जिससे ब्रह्मांड पर एक विशिष्ट निशान छोड़ देती है।

मुख्य अवधारणाओं की उपमाओं के साथ व्याख्या

1. "ब्रेन वर्ल्ड" (Brane World) और अतिरिक्त आयाम

शोध पत्र कहता है: यह मॉडल एक "ब्रेन वर्ल्ड" परिदृश्य का उपयोग करता है जहाँ हमारा 4-आयामी ब्रह्मांड (3 स्थान + 1 समय) एक बड़े 5-आयामी स्थान (जिसे "बल्क" कहा जाता है) के भीतर तैरते हुए एक पन्ने की तरह है।
उपमा: कल्पना कीजिए कि हमारा ब्रह्मांड एक सपाट कागज (ब्रेन) है जो एक विशाल स्विमिंग पूल (5D बल्क) के भीतर तैर रहा है। गुरुत्वाकर्षण केवल कागज से चिपका नहीं है; यह पूल के पानी के माध्यम से लहरों की तरह बह सकता है और कागज पर वापस लौट सकता है। कागज का आकार पूल की लहरों से प्रभावित होता है। लेखक ब्लैक होल के खुरदरे किनारों को चिकना करने के लिए इस "अतिरिक्त आयाम" का उपयोग करते हैं।

2. "केलर मैनिफोल्ड" (Kähler Manifold) और जटिल संख्याएँ

शोध पत्र कहता है: इस समाधान का वर्णन एक "लोकल कॉन्फॉर्मल केलरियन मैनिफोल्ड" का उपयोग करके किया गया है। इसमें जटिल संख्याएँ (complex numbers) और विशिष्ट ज्यामितीय नियम शामिल हैं।
उपमा: आमतौर पर, हम स्थान को वास्तविक संख्याओं (जैसे 1, 2, 3) के साथ वर्णित करते हैं। यह शोध पत्र सुझाव देता है कि इस ब्लैक होल के अंदर को वास्तव में समझने के लिए, आपको "जटिल संख्याओं" (वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग वाली संख्याएँ, जैसे $3 + 4i$ ) का उपयोग करना होगा। इसे एक 3D वस्तु के 2D मानचित्र को देखने जैसा समझें। "केलर" वाला हिस्सा नियमों का वह विशिष्ट सेट है जो यह सुनिश्चित करता है कि यह 2D मानचित्र बिना फटे या गलत तरीके से मुड़े, 3D आकार का सटीक प्रतिनिधित्व करे। यह एक जादुई लेंस की तरह है जो एक अस्त-व्यस्त, ऊबड़-खाबड़ आकार को एक चिकने, पूर्ण गोले में बदल देता है।

3. "सेल्फ-डुअल" (Self-Dual) प्रकृति

शोध पत्र कहता है: यह समाधान "सेल्फ-डुअल" है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक ऐसी समरूपता (symmetry) है जहाँ बायां हिस्सा दाएं हिस्से को गणितीय अर्थ में पूरी तरह से दर्पण की तरह दर्शाता है।
उपमा: एक स्नोफ्लेक (हिम कण) की कल्पना करें। यदि आप इसे बीच से मोड़ते हैं, तो पैटर्न पूरी तरह से मेल खाते हैं। इस ब्लैक होल मॉडल में, ज्यामिति इतनी पूर्ण रूप से सममित है कि यह अपने स्वयं के "दर्पण प्रतिबिंब" की तरह व्यवहार करती है। यह समरूपता महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणित को बहुत स्वच्छ बनाती है और यह सुझाव देती है कि ब्लैक होल एक स्थिर, मौलिक निर्माण खंड है, ठीक वैसे ही जैसे एक पूर्ण क्रिस्टल स्थिर होता है।

4. "क्लेन बॉटल" (Klein Bottle) टोपोलॉजी

शोध पत्र कहता है: इस ब्लैक होल का आकार (टोपोलॉजी) एक "क्लेन बॉटल" और एक "एंटीपोडल आइडेंटिफिकेशन" (antipodal identification) से संबंधित है।
उपमा: क्लाइन बॉटल एक ऐसा आकार है जिसका कोई "अंदर" या "बाहर" नहीं होता। यदि आप इस पर चलने वाली एक चींटी होते, तो आप बिना किसी किनारे को पार किए "बाहर" से "अंदर" जा सकते थे।
लेखक सुझाव देते हैं कि ब्लैक होल की सतह इसी तरह की है। एक ऐसे बिंदु के बजाय जहाँ सब कुछ टकराकर टूट जाता है (सिंगुलैरिटी), यहाँ स्थान स्वयं पर वापस मुड़ जाता है।

एंटीपोडल आइडेंटिफिकेशन: एक ग्लोब की कल्पना करें जहाँ उत्तरी ध्रुव सीधे दक्षिणी ध्रुव से जुड़ा हुआ है। यदि आप ऊपर से नीचे उतरते हैं, तो आप तुरंत नीचे प्रकट हो जाते हैं। शोध पत्र इस विचार का उपयोग यह कहने के लिए करता है कि ब्लैक होल का "केंद्र" कोई मृत अंत नहीं है; बल्कि यह एक लूप है जो खुद से वापस जुड़ता है, जिससे "सिंगुलैरिटी" (अनंत संकुचन) होने से रोका जा सके।

5. "लिटिल रेड डॉट्स" (Little Red Dots) और प्राइमोर्डियल ब्लैक होल

शोध पत्र कहता है: लेखक इस सिद्धांत को जेम्स वेब स्पेस टेलीस्कोप द्वारा देखे गए "लिटिल रेड डॉट्स" (छोटे, दूर स्थित पिंड) के हालिया अवलोकनों से जोड़ते हैं।
उपमा: खगोलविदों ने गहरे ब्रह्मांड में ऐसे छोटे, प्राचीन पिंड पाए हैं जो मानक सिद्धांतों के अनुसार अस्तित्व में नहीं होने चाहिए। लेखक सुझाव देते हैं कि ये "प्राइमोर्डियल ब्लैक होल" हो सकते हैं—ऐसे ब्लैक होल जो मरते हुए सितारों से नहीं बने (सामान्य ब्लैक होल की तरह), बल्कि बिग बैंग के तुरंत बाद इन गणितीय इंस्टेंटन द्वारा "स्नैप" होकर अस्तित्व में आए थे। वे ब्रह्मांड के "बीजों" की तरह हैं, जो स्थान की ज्यामिति द्वारा निर्मित हुए हैं।

6. "जेनिस-न्यूमैन-विनिकोर" (Janis-Newman-Winicour) संबंध

शोध पत्र कहता है: यह नया समाधान जेनिस, न्यूमैन और विनिकोर द्वारा एक द्रव्यमान रहित स्केलर फील्ड (massless scalar field) से जुड़े पुराने समाधान से गणितीय रूप से जुड़ा हुआ है।
उपमा: लेखक को गणित में एक "बैकडोर" मिला। आइंस्टीन के समीकरणों का एक पुराना, थोड़ा अजीब समाधान (जिसमें एक भूत जैसे क्षेत्र/फील्ड शामिल था जो कुछ भी नहीं करता था) वास्तव में इस नए, पूर्ण ब्लैक होल आकार की कुंजी रखता है। यह एक ऐसी पुरानी, टूटी हुई चाबी खोजने जैसा है जो वास्तव में एक नए, हाई-टेक दरवाजे को खोल सकती है, यदि आप उसे सही दिशा में घुमाएं।

इस ब्लैक होल के लिए इसका क्या अर्थ है?

मानक ब्लैक होल सिद्धांत में, यदि आप अंदर गिरते हैं, तो आप एक "सिंगुलैरिटी" से टकराते हैं—एक अनंत घनत्व वाला बिंदु जहाँ भौतिकी विफल हो जाती है।

इस नए मॉडल में:

कोई सिंगुलैरिटी नहीं: "क्लेन बॉटल" के आकार और अतिरिक्त आयाम के कारण, ब्लैक होल का केंद्र एक बिंदु में नहीं कुचला जाता। यह चिकना है।
शुद्ध सूचना: चूंकि कोई सिंगुलैरिटी सूचना को नष्ट करने के लिए नहीं है, इसलिए बाहर निकलने वाले कण (हॉकिंग रेडिएशन) "शुद्ध" रहते हैं। वे अपना इतिहास या स्वरूप नहीं खोते।
कोई "कट एंड पेस्ट" नहीं: लेखक का दावा है कि इसे काम करने के लिए आपको अंतरिक्ष के विभिन्न हिस्सों को कृत्रिम रूप से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। ज्यामिति स्वाभाविक रूप से बहती है, जैसे एक नदी जो वापस खुद पर ही घूम जाती है, जिससे सूचना सुरक्षित रहती है।

सारांश

यह शोध पत्र ब्लैक होल का वर्णन करने का एक नया, गणितीय रूप से सुंदर तरीका प्रस्तावित करता है। एक हिंसक, सिंगुलर बिंदु के बजाय जहाँ भौतिकी विफल हो जाती है, यह ब्लैक होल एक उच्च-आयामी स्थान में मौजूद एक चिकना, स्व-सममित लूप (क्लाइन बॉटल की तरह) है। यह आकार शुरुआती ब्रह्मांड में देखे गए रहस्यमय, छोटे पिंडों की व्याख्या कर सकता है और यह सुझाव देता है कि ब्लैक होल केवल ढहते हुए तारों के बजाय मौलिक, स्थिर "इंस्टेंटन" हो सकते हैं। लेखक जटिल ज्यामिति का उपयोग यह दिखाने के लिए करते हैं कि ब्लैक होल का "अंदर" वास्तव में एक साफ, निरंतर पथ है, न कि कोई मृत अंत।

तकनीकी सारांश: एक ब्रैन वर्ल्ड मॉडल में स्थानीय कॉन्फॉर्मल काहलरियन मैनिफोल्ड पर एक नया स्व-द्वैत गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन समाधान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र ब्लैक होल के बड़े पैमाने के ऊष्मप्रवैगिकी (thermodynamic) गुणों और उनके अंतर्निहित क्वांटम विवरणों के बीच सामंजस्य बिठाने की चुनौती को संबोधित करता है, विशेष रूप से आदिम ब्लैक होल (primordial black holes) और जेम्स वेब स्पेस टेलीस्कोप द्वारा प्रारंभिक ब्रह्मांड में देखे गए "लिटिल रेड डॉट्स" के संदर्भ में। एक केंद्रीय कठिनाई ब्लैक होल विलक्षणताओं (singularities) की प्रकृति और स्पेसटाइम के आंतरिक टोपोलॉजी से जुड़ी है। लेखक का तर्क है कि मानक श्वार्जचाइल्ड (Schwarzschild) और केर (Kerr) समाधानों को क्वांटम प्रभावों को समायोजित करने के लिए, विशेष रूप से केंद्रीय विलक्षणताओं को हटाने और सूचना हानि विरोधाभासों (information loss paradoxes) के बिना हॉकिंग विकिरण का वर्णन करने के लिए, टोपोलॉजिकल संशोधन की आवश्यकता हो सकती है। यह कार्य एक वॉर्डेड (warped) 5D रैंडल-सुंड्रम (RS) ब्रैन वर्ल्ड में एक कॉन्फॉर्मल डाइलटन ग्रेविटी फ्रेमवर्क के भीतर एक सटीक, समय-निर्भर इंस्टेंटन समाधान स्थापित करने का लक्ष्य रखता है, जिसका उद्देश्य गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन, स्व-द्वैत (self-duality), और स्थानीय कॉन्फॉर्मल काहलरियन मैनिफोल्ड के बीच संबंध स्थापित करना है।

कार्यप्रणाली
यह शोध आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक विश्लेषणात्मक समाधानों, जटिल निर्देशांक रूपांतरणों (complex coordinate transformations), और विशिष्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर विभेदक ज्यामिति (differential geometry) के संयोजन का उपयोग करता है।

ब्रैन वर्ल्ड फ्रेमवर्क: मॉडल एक रैंडल-सुंड्रम (RS) वॉर्डेड स्पेसटाइम का उपयोग करता है जिसमें एक कॉन्फॉर्मल इनवेरिएंट डाइलटन-ग्रेविटी लैग्रेंजियन है। 5D मेट्रिक को एक "अभौतिक" (un-physical) मेट्रिक $\tilde{g}_{\mu\nu}$ और एक वॉर्ड फैक्टर $\omega$ (जिसे डाइलटन क्षेत्र के रूप में पुनर्व्याख्यायित किया गया है) में विभाजित किया गया है। 5D बल्क और प्रभावी 4D ब्रैन के लिए क्षेत्र समीकरणों को बल्क से प्रक्षेपित वेइल टेंसर ( $E_{\mu\nu}$ ) को शामिल करते हुए एक साथ हल किया जाता है।
सटीक समाधान और PDEs: लेखक मेट्रिक फलनों $N(t,r)$ और डाइलटन $\omega(t,r)$ के लिए आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) की एक प्रणाली व्युत्पन्न करते हैं। उल्लेखनीय रूप से, मेट्रिक घटक $N$ के लिए समाधान एक प्रथम-क्रम PDE में बदल जाता है, जो स्व-द्वैत से संबंध की अनुमति देता है। समाधान के विलक्षण बिंदु एक क्विंटिक बहुपद (quintic polynomial) के मूलों द्वारा निर्धारित होते हैं।
जटिलता (Complexification) और काहलर ज्यामिति: समाधान के स्थिर यूक्लिडियन समकक्ष का विश्लेषण जटिल निर्देशांकों का उपयोग करके किया जाता है। शोध इस बात की जांच करता है कि क्या मैनिफोल्ड एक स्थानीय रूप से कॉन्फॉर्मल काहलर (LCK) संरचना को स्वीकार करता है। इसमें एक काहलर पोटेंशियल $K$ को परिभाषित करना और यह सत्यापित करना शामिल है कि मेट्रिक को (एक कॉन्फॉर्मल कारक के रूप में) $\partial \bar{\partial} K$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
टोपोलॉजिकल निर्माण: समाधान की टोपोलॉजी को क्लेन सतह (एक गैर-अभिविन्यास योग्य मैनिफोल्ड जो दो प्रोजेक्टिव प्लेन $\mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2$ का कनेक्टेड सम है) के माध्यम से 3-स्फीयर ( $S^3$ ) के डबल कवर का उपयोग करके निर्मित किया गया है। क्षितिज (horizon) पर प्रतिवर्ती (antipodal) सीमा स्थिति लागू की जाती है, जिसमें $S^3$ को ब्लैक होल क्षितिज $S^2$ में मैप करने के लिए हॉफ फाइब्रेशन (Hopf fibration) का उपयोग किया जाता है।
ज्ञात समाधानों के साथ तुलना: यह कार्य नए समाधान की तुलना एगुची-हैनसन (Eguchi-Hanson - EH) गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन, $\mathbb{C}P^2$ पर फुबिनी-स्टडी (Fubini-Study) मेट्रिक, और मासलेस स्केलर फील्ड वाले जेनिस-न्यूमैन-विनिकोर (JNW) समाधान से करता है। यह श्वार्जचाइल्ड और केर ज्यामितिओं को जोड़ने के लिए न्यूमैन-जेनिस (NJ) कॉम्प्लेक्स ट्रांसफॉर्मेशन ट्रिक ( $r \to r - ia \cos \theta$ ) का भी पुनरावलोकन करता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

सटीक इंस्टेंटन समाधान: शोध पत्र एक वैक्यूम केर-जैसे वॉर्डेड स्पेसटाइम के लिए एक सटीक, समय-निर्भर समाधान प्रस्तुत करता है। समाधान एक मेट्रिक घटक $N$ द्वारा अभिलक्षित है जो एक प्रथम-क्रम समीकरण को संतुष्ट करता है, जिससे इसके शून्य (zeros) के लिए एक क्विंटिक बहुपद प्राप्त होता है।
क्विंटिक विलक्षणता संरचना: ब्लैक होल के प्लेबेंकी-डेमियांन्स्की वर्गीकरण के विपरीत, जो एक चतुर्थ-क्रम बहुपद द्वारा निर्धारित होता है, इस समाधान की विलक्षणताएं एक क्विंटिक बहुपद द्वारा शासित होती हैं। इन शून्यों का वितरण एक आइसोसहेड्रोन (icosahedron) के स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन से जुड़ा है, जो $A_5$ समरूपता समूह के साथ संबंध का सुझाव देता है।
स्थानीय रूप से कॉन्फॉर्मल काहलरियन मैनिफोल्ड: प्रभावी 4D यूक्लिडियन मैनिफोल्ड को एक आवर्ती कॉन्फॉर्मल संरचना के साथ एक स्थानीय रूप से कॉन्फॉर्मल काहलरियन मैनिफोल्ड के रूप में दिखाया गया है। काहलर पोटेंशियल को स्पष्ट रूप से निर्मित किया गया है, और समाधान को स्व-द्वैत सिद्ध किया गया है, जो इसे एक गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन के रूप में पहचानता है।
विलक्षणता का टोपोलॉजिकल समाधान: क्लेन सतह के माध्यम से $S^3$ के डबल कवर का उपयोग करके और प्रतिवर्ती सीमा स्थितियों को लागू करके, यह मॉडल केंद्रीय वक्रता विलक्षणता (central curvature singularity) को हटा देता है। ब्लैक होल का आंतरिक भाग एक स्थानीय पर्यवेक्षक के लिए बिना केंद्रीय विलक्षणता के वर्णित है; विलक्षणता प्रभावी रूप से अनंत भविष्य में चली जाती है जहाँ मैनिफोल्ड समतल (flat) हो जाता है।
हॉकिंग विकिरण के साथ संबंध: क्षितिज पर प्रतिवर्ती पहचान (antipodal identification) वाष्पीकरण के दौरान हॉकिंग कणों के वर्णन की अनुमति देती है, जिससे "कट एंड पेस्ट" संचालन की आवश्यकता नहीं होती है। यह सुझाव देता है कि हॉकिंग कण शुद्ध (pure) रहते हैं, जिससे तात्कालिक सूचना परिवहन से बचा जा सकता है और सूचना विरोधाभास के पहलुओं को हल किया जा सकता है।
अनावश्यक स्केलर क्षेत्र: JNW समाधान के समान, शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि डाइलटन क्षेत्र का समीकरण अनावश्यक है; समाधान पूरी तरह से आइंस्टीन समीकरणों द्वारा निर्धारित होता है। डाइलटन एक गेज स्वतंत्रता (gauge freedom) के रूप में कार्य करता है जो विभिन्न पर्यवेक्षकों (स्थानीय बनाम दूरस्थ) को वाष्पीकरण के दौरान अलग-अलग अनुभव करने की अनुमति देता है।
आदिम वस्तुओं से संबंध: लेखक अनुमान लगाते हैं कि प्रारंभिक ब्रह्मांड में हाल ही में देखे गए "लिटिल रेड डॉट्स" ऐसे इंस्टेंटन द्वारा निर्मित आदिम ब्लैक होल से जुड़े हो सकते हैं।

महत्व और दावे

शोध पत्र दावा करता है कि यह एक नया सटीक समाधान प्रदान करता है जो शास्त्रीय ब्लैक होल ऊष्मप्रवैगिकी और क्वांटम गुरुत्वाकर्षण विवरणों के बीच के अंतर को पाटता है। एक स्थानीय रूप से कॉन्फॉर्मल काहलरियन मैनिफोल्ड पर एक स्व-द्वैत गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन के रूप में समाधान स्थापित करके, यह एक ऐसा ढांचा प्रदान करता है जहाँ:

विलक्षणताएं हटाने योग्य हैं: टोपोलॉजिकल पहचान (क्लेन सतह पर प्रतिवर्ती मानचित्र) के माध्यम से केंद्रीय विलक्षणता को समाप्त कर दिया जाता है, जो स्थानीय पर्यवेक्षकों के लिए एक गैर-विलक्षण आंतरिक भाग का सुझाव देता है।
क्वांटम प्रभाव एकीकृत हैं: मॉडल स्वाभाविक रूप से क्वांटम प्रभावों (इंस्टेंटन प्रकृति और जटिलता के माध्यम से) को शामिल करता है और आदिम ब्लैक होल निर्माण के लिए एक तंत्र का सुझाव देता है।
समरूपता और वर्गीकरण: समाधान एक क्विंटिक बहुपद पर आधारित अक्षीय सममित मैनिफोल्ड के लिए एक नया वर्गीकरण पेश करता है, जो मानक पेटरोव टाइप D वर्गीकरण से भिन्न है, और ज्यामिति को आइसोसहेड्रल समूह $A_5$ से जोड़ता है।
टोपोलॉजिकल निरंतरता: क्लेन बोतल टोपोलॉजी और $S^3$ के डबल कवर का उपयोग वाष्पीकरण प्रक्रिया के लिए एक सुसंगत ज्यामितीय विवरण प्रदान करता है, जिससे हॉकिंग विकिरण की शुद्धता बनी रहती है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि इस मॉडल को स्केलर क्षेत्रों को शामिल करके गैर-वैक्यूम स्थितियों में विस्तारित किया जा सकता है, जिन्हें डाइलटन के साथ, प्लैंक स्केल के पास क्वांटम क्षेत्रों के रूप में माना जा सकता है। कार्य यह सुझाव देता है कि ब्लैक होल के "आंतरिक भाग" के लिए एक संशोधित ज्यामिति की आवश्यकता है, जो संभावित रूप से मैनिफोल्ड के जटिलीकरण (complexification) और ब्रैन वर्ल्ड मॉडल के विशिष्ट टोपोलॉजिकल प्रतिबंधों से जुड़ी है।