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Prime Number Identification Demonstrated with Quantum Processors Using a New Rescaling-Based Noise Mitigation Technique

यह शोध पत्र एंटैंगमेंट डायनेमिक्स (entanglement dynamics) को अभाज्य संख्याओं (prime numbers) से जोड़कर IBM प्रोसेसरों पर अभाज्य संख्याओं की पहचान करने के लिए एक क्वांटम प्रोटोकॉल प्रदर्शित करता है, जिसमें शोर (noise) को कम करने के लिए एक नवीन ग्लोबल रीस्केलिंग तकनीक और NISQ उपकरणों पर अभाज्य और भाज्य संख्याओं के बीच अंतर को बढ़ाने के लिए एक नए विश्लेषणात्मक बाउंड (analytical bound) का उपयोग किया गया है।

मूल लेखक: Victor F. dos Santos, Victor P. Brasil, Pedro A. S. Contri, Jonas Maziero

प्रकाशित 2026-05-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Victor F. dos Santos, Victor P. Brasil, Pedro A. S. Contri, Jonas Maziero

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: क्वांटम लहरों के साथ अभाज्य संख्याओं (Primes) की खोज

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जादुई ढोल है। यदि आप इसे एक विशिष्ट तरीके से बजाते हैं, तो उससे निकलने वाली ध्वनि पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि आप किस संख्या के बारे में "सोच" रहे हैं। यदि वह संख्या एक अभाज्य संख्या (Prime Number) है (जैसे 2, 3, 5, 7, 11), तो ढोल एक बहुत ही धीमी, विशिष्ट गूँज पैदा करता है। यदि वह संख्या भाज्य (Composite) है (जैसे 4, 6, 8, 9, 10), तो ढोल एक बहुत तेज़, शोर भरा शोर पैदा करता है।

यह शोध पत्र बताता है कि वैज्ञानिकों की एक टीम ने एक वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर (IBM का प्रोसेसर) का उपयोग करके इस "जादुई ढोल" का एक डिजिटल संस्करण बनाया है। उनका लक्ष्य यह देखना था कि क्या वे क्वांटम एंटैंगलमेंट (Entanglement) की "ध्वनि" का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं को गैर-अभाज्य संख्याओं से अलग कर सकते हैं।

समस्या: क्वांटम ढोल शोर से भरा है

पेंच यह है कि वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर एक तूफान के बीच बज रहे ढोल की तरह हैं। वे "शोर वाले" (Noisy) हैं। हवा (प्रायोगिक त्रुटियां) ध्वनि को विकृत कर देती है, जिससे शांत अभाज्य-गूँज, एक तेज़ गर्जना जैसी लगने लगती है, या भाज्य का शोर धीमा पड़ जाता है। जब मशीन इतनी हिल रही हो, तो दोनों के बीच अंतर करना कठिन होता है।

समाधान: "ग्लोबल रीस्केलिंग" का तरीका

इसे ठीक करने के लिए, लेखकों ने एक नया तरीका ईजाद किया, जिससे वे शोर को साफ करते हैं, जिसे वे CFE (करेक्शन फैक्टर एक्सट्रपलेशन) कहते हैं।

इसे इस तरह समझें:

कैलिब्रेशन (Calibration): सबसे पहले उन्होंने अपने ढोल का परीक्षण छोटी, आसान संख्याओं (आयाम 4, 8, और 16) के साथ किया। वे जानते थे कि "परफेक्ट" ध्वनि वास्तव में कैसी होनी चाहिए (गणितीय सिद्धांत के अनुसार)।
विकृति को मापना: उन्होंने "परफेक्ट" ध्वनि की तुलना वास्तविक मशीन से आने वाली "शोर वाली" ध्वनि से की। उन्होंने महसूस किया कि मशीन लगातार ध्वनि को एक विशिष्ट मात्रा में बहुत धीमा या बहुत तेज़ कर रही थी।
जादुई सूत्र: उन्होंने उन छोटी संख्याओं के लिए एक "करेक्शन फैक्टर" (एक गुणक/multiplier) की गणना की।
एक्सट्रपलेशन (Extrapolation): हर एक संख्या का करेक्शन फैक्टर खोजने के लिए परीक्षण करने के बजाय, उन्होंने एक पैटर्न देखा। उन्होंने महसूस किया कि जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती गईं, करेक्शन फैक्टर एक सुचारू, अनुमानित वक्र (curve) का पालन करता है।
सुधार: उन्होंने बड़ी, कठिन संख्याओं के लिए करेक्शन फैक्टर का अनुमान लगाने के लिए इस वक्र का उपयोग किया जिनका उन्होंने अभी तक परीक्षण नहीं किया था। उन्होंने इस "जादुई गुणक" को शोर वाले डेटा पर लागू किया, जिससे प्रभावी रूप से वॉल्यूम नॉब को वापस सही सेटिंग पर लाया जा सका।

परिणाम: इस सुधार को लागू करने के बाद, "शोर वाला" डेटा लगभग बिल्कुल "परफेक्ट" सैद्धांतिक डेटा जैसा दिखने लगा। अभाज्य संख्याएँ शांत स्थानों के रूप में स्पष्ट रूप से उभर आईं और भाज्य संख्याएँ शोर वाले स्थानों के रूप में।

नया सिद्धांत: एक बेहतर सुरक्षा जाल

शोध पत्र ने गणितीय सुरक्षा की एक नई परत भी जोड़ी।

पुराना नियम: "यदि ध्वनि बहुत धीमी है, तो यह शायद अभाज्य है। यदि यह तेज़ है, तो यह भाज्य है।"
समस्या: कभी-कभी, एक भाज्य संख्या (जैसे अर्ध-अभाज्य, उदाहरण के लिए $2 \times 3$ ) गलती से थोड़ी धीमी आवाज़ कर सकती है, जिससे सिस्टम धोखा खा सकता है।
नया नियम: लेखकों ने एक नया गणितीय "फ्लोर" (न्यूनतम सीमा) सिद्ध किया। उन्होंने दिखाया कि अधिकांश भाज्य संख्याओं के लिए, ध्वनि बहुत अधिक धीमी नहीं हो सकती। इसकी एक न्यूनतम आवाज़ होनी चाहिए जो इसके ऊपर बनी रहे।
लाभ: यह एक "सुरक्षा क्षेत्र" बनाता है। यदि किसी संख्या की ध्वनि एक निश्चित रेखा से नीचे गिरती है, तो वह लगभग निश्चित रूप से अभाज्य है। यदि वह "सुरक्षा क्षेत्र" में है (अभाज्य रेखा और नए भाज्य फ्लोर के बीच), तो कंप्यूटर को बस एक त्वरित, सरल जाँच (जैसे यह देखना कि संख्या 2 या 3 से विभाज्य है या नहीं) करने की आवश्यकता होती है ताकि सुनिश्चित किया जा सके। यह पूरी प्रक्रिया को बहुत अधिक विश्वसनीय बनाता है।

उन्होंने वास्तव में क्या किया (और क्या नहीं किया)

उन्होंने क्या किया: इस एल्गोरिदम को वास्तविक IBM हार्डवेयर पर छोटे सिस्टम साइज (आयाम 4, 8, और 16) के लिए चलाया। वे अपने नए सुधार पद्धति की मदद से हार्डवेयर के शोर के बावजूद अभाज्य संख्याओं की सफलतापूर्वक पहचान करने में सफल रहे।
उन्होंने क्या किया: उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यह विधि केवल अनुमान लगाने से बेहतर काम करती है, और यह अभाज्य और भाज्य संख्याओं के बीच एक स्पष्ट अंतर बनाती है।
उन्होंने क्या नहीं किया: उन्होंने इसका उपयोग वास्तविक दुनिया के एन्क्रिप्शन कोड तोड़ने (जैसे बैंक सुरक्षा तोड़ना) के लिए नहीं किया। शोध पत्र सख्ती से संख्या की पहचान करने के बारे में है कि वह अभाज्य है या नहीं, न कि क्रिप्टोग्राफी के लिए बड़ी संख्याओं के गुणनखंड (factoring) करने के बारे में।
उन्होंने क्या नहीं किया: उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह अभी विशाल संख्याओं के लिए काम करता है। वर्तमान प्रयोग छोटे आयामों तक सीमित थे क्योंकि क्वांटम कंप्यूटर अभी भी अपने शुरुआती, "शोर वाले" चरणों में हैं।

सारांश उपमा

कल्पना कीजिए कि आप तूफान में एक विशिष्ट पक्षी की पहचान करने की कोशिश कर रहे हैं।

एल्गोरिदम: पक्षी का गीत इस आधार पर बदलता है कि वह एक "अभाज्य पक्षी" है या "भाज्य पक्षी"।
शोर: तूफान (हार्डवेयर त्रुटियां) सभी गीतों को अस्पष्ट बना देता है।
CFE विधि: वैज्ञानिकों ने कुछ ज्ञात पक्षियों पर तूफान के प्रभाव को रिकॉर्ड किया। उन्होंने एक नियम निकाला: "तूफान हमेशा पिच को X मात्रा में कम कर देता है।" उन्होंने अन्य पक्षियों (जिनका उन्होंने अध्ययन नहीं किया था) के रिकॉर्डिंग को ठीक करने के लिए इस नियम का उपयोग किया, जिससे शोर साफ हो गया।
नया सिद्धांत: उन्होंने यह भी महसूस किया कि "भाज्य पक्षियों" का एक नियम है: वे कभी भी बहुत अधिक धीरे नहीं गा सकते। यदि कोई पक्षी उस सीमा से नीचे गाता है, तो वह निश्चित रूप से एक अभाज्य पक्षी है (जब तक कि वह एक बहुत ही विशिष्ट, दुर्लभ प्रकार का पक्षी न हो, जिसे उन्होंने जाँचने का तरीका भी निकाल लिया है)।

यह शोध पत्र दिखाता है कि सही "नॉइज़-कैंसलिंग" गणित के साथ, हम आज के अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करके पुराने संख्या सिद्धांत (number theory) की पहेलियों को हल करना शुरू कर सकते हैं।

तकनीकी सारांश: एक नए रीस्केलिंग-आधारित शोर न्यूनीकरण तकनीक का उपयोग करके क्वांटम प्रोसेसरों के साथ अभाज्य संख्या पहचान का प्रदर्शन

समस्या विवरण
अभाज्य संख्याओं (prime numbers) की पहचान और वर्गीकरण संख्या सिद्धांत (number theory) में मौलिक चुनौतियां बनी हुई हैं, जिनके क्रिप्टोग्राफी और कम्प्यूटेशनल जटिलता में महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं। जबकि शास्त्रीय एल्गोरिदम उन्नत हुए हैं, क्वांटम दृष्टिकोण संख्या-सैद्धांतिक गुणों को क्वांटम अवलोकनीय (observables) में एनकोड करके वैकल्पिक तरीके प्रदान करते हैं। विशेष रूप से, "एंटैंगलमेंट डायनेमिक्स के माध्यम से अभाज्य पहचान" (PIED) एल्गोरिदम, जो पूर्व में सैद्धांतिक कार्य में प्रस्तावित किया गया था, एक द्विपक्षीय क्वांटम प्रणाली (bipartite quantum system) की रिड्यूस्ड प्योरिटी (एंटैंगलमेंट) के फूरियर स्पेक्ट्रम में विशिष्ट हस्ताक्षरों (signatures) के साथ पूर्णांक की अभाज्यता को जोड़ता है। हालांकि, इस एल्गोरिदम को शास्त्रीय सिमुलेशन से वास्तविक हार्डवेयर, जैसे कि नॉइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों पर स्थानांतरित करना महत्वपूर्ण चुनौतियां पेश करता है, क्योंकि प्रयोगात्मक शोर (experimental noise) उन सूक्ष्म अंतरों को धुंधला कर सकता है जो अभाज्य और भाज्य (composite) संख्याओं के बीच होते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखकों ने $d = 4, 8,$ और $16$ के सिस्टम आयामों के लिए IBM क्वांटम प्रोसेसरों (विशेष रूप से हेरोन r2 "आचेन" डिवाइस) पर PIED एल्गोरिदम को लागू किया। प्रोटोकॉल में शामिल हैं:

सिस्टम सेटअप: एक द्विपक्षीय प्रणाली $AB $जिसमें समान आयाम$ d$ वाले उप-तंत्र (subsystems) होते हैं, जो समान रूप से अंतराल वाले ऊर्जा स्तरों के तहत एक विकर्ण हैमिल्टोनियन (diagonal Hamiltonian) के अंतर्गत विकसित होते हैं।
स्टेट प्रिपरेशन: प्रणाली को एक यूनिफॉर्म सुपरपोजिशन स्टेट में प्रारंभिक अवस्था दी जाती है (हैडामार्ड गेट्स के माध्यम से तैयार) और इसे हैमिल्टोनियन से प्राप्त यूनिटरी ऑपरेटर के तहत विकसित किया जाता है।
मापन: समय के साथ उप-तंत्र $A$ की रिड्यूस्ड प्योरिटी $\gamma_A(t)$ को SWAP टेस्ट प्रोटोकॉल का उपयोग करके मापा जाता है, जिसके लिए प्रणाली की दो समान प्रतियों और एक एन्सिल (ancilla) क्यूबिट की आवश्यकता होती है।
सिग्नल निष्कर्षण: फूरियर मोड $\alpha_n$ निकालने के लिए समय-निर्भर प्योरिटी का फूरियर रूपांतरण किया जाता है। सैद्धांतिक रूप से, अभाज्य संख्याएं इन मोडों के न्यूनतम मानों के अनुरूप होती हैं, जबकि भाज्य संख्याएं बड़े मान देती हैं।

हार्डवेयर शोर को संबोधित करने के लिए, लेखकों ने एक करेक्शन फैक्टर एक्सट्रैपोलेशन (CFE) तकनीक विकसित की और लागू की। इस पद्धति में शामिल हैं:

कैलिब्रेशन: सिस्टम आयामों के एक उपसमुच्चय ( $d=4, 8, 16$ ) के लिए सर्किट निष्पादन करना जहाँ फूरियर मोड के आदर्श विश्लेषणात्मक मान ज्ञात हैं।
अनुकूलन (Optimization): शोर युक्त प्रयोगात्मक डेटा और विश्लेषणात्मक संदर्भ के बीच विचलन को कम करके प्रत्येक आयाम के लिए एक इष्टतम वैश्विक रीस्केलिंग कारक $\Lambda_{opt}(d)$ की गणना करना।
एक्सट्रैपोलेशन: गणना किए गए $\Lambda_{opt}(d)$ मानों के लिए एक कार्यात्मक रूप (functional form) को फिट करना (विशेष रूप से $\Lambda_{opt}(d) = \Lambda_0 + \kappa d^\eta$ ), ताकि अन्य कॉन्फ़िगरेशन के लिए सुधार कारकों की भविष्यवाणी की जा सके या प्रवृत्ति को मान्य किया जा सके। यह व्यवस्थित पूर्वाग्रह (systematic bias) को कम करने के लिए शोर वाले फूरियर मोड को पुनर्गठित (rescale) करने की अनुमति देता है, बिना प्रति सर्किट इंस्टेंस कई शोर-स्तर मापों की आवश्यकता के (जैसा कि ज़ीरो-नॉइज़ एक्सट्रैपोलेशन में होता है)।

प्रमुख योगदान

हार्डवेयर कार्यान्वयन: वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर पर PIED एल्गोरिदम का पहला प्रदर्शन, जो शास्त्रीय सिमुलेशन से NISQ उपकरणों तक सफलतापूर्वक संक्रमण को दर्शाता है।
शोर न्यूनीकरण रणनीति (CFE): एक कम्प्यूटेशनल रूप से किफायती, रीस्केलिंग-आधारित त्रुटि न्यूनीकरण तकनीक का परिचय। पारंपरिक तरीकों के विपरीत, जिनमें विभिन्न शोर स्तरों पर बार-बार सर्किट निष्पादन की आवश्यकता होती है, CFE विभिन्न सिस्टम आयामों में एल्गोरिदम के ज्ञात विश्लेषणात्मक व्यवहार का लाभ उठाकर एक सुधार कारक का निर्माण करता है।
परिमार्जित सैद्धांतिक सीमाएं (Refined Theoretical Bounds): फूरियर मोड के लिए एक नया विश्लेषणात्मक निचला स्तर (lower bound), $P_n$ , व्युत्पन्न करना (विशेष रूप से $n=k^2$ के रूप वाले पूर्णांकों के लिए जहाँ $k$ अभाज्य है)। यह सीमा पहले से ज्ञात ट्रिवियल बाउंड $B_n$ की तुलना में भाज्य संख्याओं के लिए अधिक सटीक अलगाव प्रदान करती है। लेखकों ने कठोरता से पहचाना कि इस सीमा के अपवाद केवल कुछ विशिष्ट अर्ध-अभाज्य (semiprimes) संख्याओं के लिए होते हैं जिनमें कुछ उप-अंतरालों के भीतर 2 और 3 शामिल हैं, जिससे एक अधिक मजबूत वर्गीकरण ढांचा मिलता है।
वैकल्पिक प्रारंभिक अवस्थाएं: स्पिन कोहेरेंट स्टेट्स (spin coherent states) का उपयोग करके प्रारंभिक स्थितियों के रूप में संख्यात्मक सिमुलेशन का अन्वेषण। हालांकि इनकी तैयारी अधिक जटिल है, ये अवस्थाएं यूनिफॉर्म सुपरपोजिशन स्टेट्स की तुलना में सटीक फूरियर एकीकरण के लिए आवश्यक टाइम पार्टीशन की संख्या को कम करने की क्षमता दिखाती हैं।

परिणाम

अभाज्य/भाज्य पृथक्करण: हार्डवेयर कार्यान्वयन ने सफलतापूर्वक उस सैद्धांतिक प्रवृत्ति को पुनरुत्पादित किया जहाँ अभाज्य संख्याएं न्यूनतम फूरियर मोड मानों के अनुरूप होती हैं। CFE विधि के अनुप्रयोग ने प्रयोगात्मक डेटा और विश्लेषणात्मक भविष्यवाणियों के बीच सामंजस्य में महत्वपूर्ण सुधार किया, जिससे कच्चे डेटा में छिपे हुए अभाज्य और भाज्य हस्ताक्षरों के बीच का अंतर प्रभावी रूप से बहाल हो गया।
CFE प्रदर्शन: $\Lambda_{opt}(d)$ को आयाम $d$ के साथ बढ़ते हुए पाया गया, जो एसिम्प्टोटिक रूप से संतृप्त (saturate) होता है। रीस्केल किए गए डेटा ने प्रस्तावित कार्यात्मक मॉडल के साथ उत्कृष्ट सहमति दिखाई।
सैद्धांतिक सत्यापन: नया बाउंड $P_n$ अधिकांश भाज्य संख्याओं के लिए सत्य पाया गया। विश्लेषण ने पुष्टि की कि केवल विशिष्ट अर्ध-अभाज्य (रूप $2k$ या $3k$ वाले) ही इस बाउंड से नीचे के मान उत्पन्न कर सकते हैं, जिसके लिए उन क्षेत्रों में विशिष्ट विभाज्यता जांच (divisibility checks) की आवश्यकता होती है।
स्पिन कोहेरेंट स्टेट्स: सिमुलेशन ने संकेत दिया कि हालांकि स्पिन कोहेरेंट स्टेट्स को तैयार करना कठिन है, वे फूरियर एकीकरण के लिए आवश्यक टाइम सैंपल्स की संख्या के लिए अधिक अनुकूल स्केलिंग प्रदान कर सकते हैं, जिससे कम्प्यूटेशनल ओवरहेड कम हो सकता है।

महत्व
यह शोध दावा करता है कि ये परिणाम NISQ उपकरणों पर व्यावहारिक संख्या-सैद्धांतिक अनुप्रयोगों की ओर एक कदम हैं। PIED एल्गोरिदम को वास्तविक हार्डवेयर स्थितियों के तहत मान्य करके और एक विशेष, कम-ओवरहेड शोर न्यूनीकरण रणनीति (CFE) को प्रदर्शित करके, यह कार्य विश्लेषणात्मक अंतर्दृष्टि और हार्डवेयर-आधारित कार्यान्वयन के संयोजन की क्षमता को उजागर करता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका दृष्टिकोण शोर युक्त क्वांटम गतिकी (quantum dynamics) से संरचित जानकारी निकालने के लिए एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करता है, जो अन्य क्वांटम एल्गोरिदम के लिए भी व्यापक प्रयोज्यता का सुझाव देता है जो भौतिक अवलोकनीयों (physical observables) के स्पेक्ट्रल हस्ताक्षरों पर निर्भर करते हैं। यह कार्य बड़े पैमाने पर पूर्णांक गुणनखंडन (integer factorization) को हल करने का दावा नहीं करता है, बल्कि एंटैंगलमेंट डायनेमिक्स का उपयोग करके छोटे पैमाने की क्वांटम प्रणालियों में अभाज्य हस्ताक्षरों की पहचान करने की व्यवहार्यता को प्रदर्शित करता है।