📈 economics

Posterior and Likelihood Sensitivity in Bayesian Distributionally Robust Optimization

यह शोध पत्र बेयसियन मॉडलों में मजबूती के मात्रात्मक माप के रूप में वर्स्ट-केस पोस्टीरियर और लाइकलीहुड संवेदनशीलता को प्रस्तुत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि पैरामीटर लर्निंग पोस्टीरियर संवेदनशीलता को समाप्त कर देता है, यह लाइकलीहुड संवेदनशीलता को हल नहीं करता है, जिससे एक वितरण संबंधी सुदृढ़ अनुकूलन (डिस्ट्रीब्यूशनली रोबस्ट ऑप्टिमाइज़ेशन) ढांचे को प्रेरित करने में मदद मिलती है जो अपेक्षित प्रदर्शन को दोनों प्रकार के वितरण संबंधी परिवर्तनों के विरुद्ध मजबूती के साथ संतुलित करता है।

मूल लेखक: Jun-ya Gotoh, Andrew E. B. Lim, Michael Jong Kim

प्रकाशित 2026-06-01

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Jun-ya Gotoh, Andrew E. B. Lim, Michael Jong Kim

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप कोहरे भरे पानी में एक जहाज चला रहे हैं। आपके पास एक नक्शा है (आपका पूर्व विश्वास/prior belief) और एक दिशासूचक यंत्र (कम्पास) है जो लैंडमार्क देखते ही अपडेट होता है (संभावना/likelihood)। साथ मिलकर, वे आपको यह अनुमान लगाने में मदद करते हैं कि आप कहाँ हैं और ज़मीन कहाँ हो सकती है (पश्चवर्ती/posterior)।

आमतौर पर, आप बस अपने नक्शे पर भरोसा करते हैं और उस गंतव्य की ओर सीधे चलते हैं जो सबसे अच्छा दिखता है। लेकिन क्या होगा अगर आपका नक्शा थोड़ा गलत हो? क्या होगा अगर आपका कम्पास थोड़ा गलत हो? यदि आप एक थोड़े से गलत नक्शे के आधार पर दिशा तय करते हैं, तो आप उस चट्टान से टकरा सकते हैं जिसे आपने पहले नहीं देखा था।

यह शोध पत्र यह जांचने का एक नया तरीका पेश करता है कि आपकी योजना कितनी "नाजुक" (fragile) है। यह दो विशिष्ट प्रश्न पूछता है:

पोस्टीरियर संवेदनशीलता (Posterior Sensitivity): यदि मेरा नक्शा (मैं कहाँ हूँ इसके बारे में मेरा विश्वास) थोड़ा गलत है, तो मेरी योजना कितनी बदल जाती है?
लाइकलीहुड संवेदनशीलता (Likelihood Sensitivity): यदि मेरा कम्पास (दुनिया कैसे काम करती है इसके नियम) थोड़ा गलत है, तो मेरी योजना कितनी बदल जाती है?

यहाँ उनके निष्कर्षों का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. "नाजुकता" के दो प्रकार

लेखक परिभाषित करते हैं कि आपकी योजना त्रुटियों के प्रति दो तरह से संवेदनशील हो सकती है:

पोस्टीरियर संवेदनशीलता (नक्शे की समस्या): यह मापता है कि यदि अनिश्चित मापदंडों (parameters) के बारे में आपका विश्वास थोड़ा सा भी गलत है, तो आपकी अपेक्षित लागत (या इनाम) कितनी बदल जाती है।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्यमय बॉक्स के वजन का अनुमान लगा रहे हैं। यदि आपके पास बहुत कम डेटा है, तो आपका अनुमान एक विस्तृत रेंज होगा (जैसे, "1 से 100 पाउंड के बीच")। यदि आप औसत वजन के बारे में गलत हैं, तो आपकी योजना बहुत खराब हो सकती है।
- अच्छी खबर: यदि आप पर्याप्त डेटा एकत्र करते हैं, तो आपका अनुमान बहुत सटीक हो जाता है (जैसे, "यह ठीक 50 पाउंड है")। इस स्थिति में, पोस्टीरियर संवेदनशीलता समाप्त हो जाती है। यदि आप मापदंड को निश्चितता के साथ जानते हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपका "नक्शा" थोड़ा गलत है, क्योंकि नक्शा अब एक सटीक बिंदु बन गया है। सीखना इस प्रकार के जोखिम को खत्म कर देता है।
लाइकलीहुड संवेदनशीलता (कम्पास की समस्या): यह मापता है कि यदि खेल के नियम थोड़े गलत हैं, तो आपकी योजना कितनी बदल जाती है।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप जानते हैं कि बॉक्स का वजन ठीक 50 पाउंड है। हालाँकि, आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि यदि आप इसे गिराते हैं तो यह कितनी बार उछलेगा। भले ही आप वजन को पूरी तरह से जानते हों, आप इस उछाल के भौतिक विज्ञान (physics of the bounce) के बारे में गलत हो सकते हैं (लाइकलीहुड)।
- बुरी खबर: लाइकलीहुड संवेदनशीलता समाप्त नहीं होती है, भले ही आप मापदंडों के बारे में सब कुछ सीख लें। आप चाहे कितना भी डेटा एकत्र कर लें, परिणाम में हमेशा यादृच्छिकता (randomness) बनी रहती है (शोर या "बाउंस")। यदि आपके शोर के मॉडल में थोड़ी सी भी गलती है, तो आपकी योजना अभी भी असुरक्षित है। सीखना इस समस्या को ठीक नहीं कर सकता।

2. "मजबूती" (Robustness) का ट्रेड-ऑफ

यह शोध पत्र सुझाव देता है कि केवल सबसे अच्छे औसत परिणाम (एक "नॉमिनल" योजना) को प्राप्त करने के बजाय, आपको एक ऐसी योजना तलाशनी चाहिए जो प्रदर्शन (Performance) (एक अच्छा परिणाम प्राप्त करना) और मजबूती (Robustness) (यदि आपका नक्शा या कम्पास थोड़ा गलत हो तो दुर्घटनाग्रस्त न होना) के बीच संतुलन बनाए।

वे दिखाते हैं कि आप इसे एक "नियमित" (regularized) समस्या की तरह मान सकते हैं। एक कार चलाने की तरह सोचें:

प्रदर्शन (Performance) है जितनी तेज़ हो सके उतनी तेज़ी से गाड़ी चलाना।
मजबूती (Robustness) है सुरक्षित रूप से गाड़ी चलाना ताकि यदि सड़क फिसलन भरी हो तो आप दुर्घटनाग्रस्त न हों।

लेखक सिद्ध करते हैं कि एक विशिष्ट प्रकार की गणितीय समस्या (बेयसियन डिस्ट्रिब्यूशनली रोबस्ट ऑप्टिमाइज़ेशन) को हल करके, आप एक "लगभग-पूर्ण" संतुलन पा सकते हैं। आप थोड़ा धीमा चलने का विकल्प चुन सकते हैं (उच्च लागत स्वीकार करके) यह सुनिश्चित करने के लिए कि यदि आपका नक्शा थोड़ा गलत है, तो भी आप सुरक्षित रूप से पहुँच जाएँ।

3. प्रयोग: मूल्य निर्धारण (Pricing) का उदाहरण

इसकी जांच करने के लिए, लेखकों ने एक सरल व्यावसायिक परिदृश्य का उपयोग किया: किसी उत्पाद के लिए कीमत तय करना।

अनिश्चितता: वे ठीक से नहीं जानते थे कि एक निश्चित कीमत पर कितने लोग उत्पाद खरीदेंगे (मांग/demand)।
सीखना: उन्होंने एक व्यवसाय के मालिक का अनुकरण किया जो समय के साथ डेटा एकत्र करता है। जैसे-जैसे वे अधिक डेटा एकत्र करते हैं, मांग वक्र (demand curve) के बारे में उनका अनुमान अधिक सटीक होता जाता है (पोस्टीरियर वेरिएंस कम हो जाता है)।

उन्होंने क्या पाया:

जैसे-जैसे उन्होंने अधिक सीखा (अधिक डेटा): "पोस्टीरियर संवेदनशीलता" शून्य हो गई। मालिक मांग वक्र के बारे में बहुत आश्वस्त हो गया, इसलिए औसत मांग के बारे में गलत होने का जोखिम समाप्त हो गया।
हालाँकि: "लाइकलीहुड संवेदनशीलता" उच्च बनी रही। भले ही वे औसत मांग को पूरी तरह से जानते थे, दैनिक बिक्री में अभी भी यादृच्छिक शोर (random noise) मौजूद था (कुछ दिन व्यस्त होते हैं, कुछ धीमे)। यदि इस यादृच्छिकता के उनके मॉडल में थोड़ी सी भी गलती थी, तो उनकी मूल्य निर्धारण रणनीति अभी भी जोखिम में थी।
परिणाम: "डिस्ट्रिब्यूशनली रोबस्ट" दृष्टिकोण ने उन्हें अपनी कीमत समायोजित करने की अनुमति दी। जब वे मांग के बारे में बहुत अनिश्चित थे (कम डेटा), तो उन्होंने कीमत को बहुत सुरक्षित बनाने के लिए समायोजित किया। जैसे-जैसे उन्होंने अधिक सीखा, उन्होंने कीमत को अधिक आक्रामक बनाया, लेकिन उन्होंने यादृच्छिक शोर (लाइकलीहुड संवेदनशीलता) के जोखिम को कभी पूरी तरह से नजरअंदाज नहीं किया।

सारांश

समस्या: मानक मॉडल मानते हैं कि आपका नक्शा और कम्पास पूर्ण हैं। वे नहीं हैं।
समाधान: यह मापें कि आपकी योजना आपके विश्वासों (पोस्टीरियर) में त्रुटियों और आपके मॉडल नियमों (लाइकलीहुड) में त्रुटियों के प्रति कितनी संवेदनशील है।
मुख्य अंतर्दृष्टि: आप "विश्वास की त्रुटियों" (पर्याप्त डेटा के साथ पोस्टीरियर संवेदनशीलता समाप्त हो जाती है) से सीखकर बाहर निकल सकते हैं, लेकिन आप "मॉडल की त्रुटियों" (लाइकलीहुड संवेदनशीलता बनी रहती है) से कभी नहीं सीख सकते।
निष्कर्ष: एक स्मार्ट निर्णय लेने वाला इन संवेदनशीलता मापों का उपयोग यह खोजने के लिए करता है कि कौन सी योजना लाभदायक होने के लिए पर्याप्त अच्छी है, लेकिन यदि उनके अनुमान थोड़े गलत हो जाएं तो जीवित रहने के लिए पर्याप्त मजबूत भी है। यह "पैसा कमाने" और "दुर्घटना से बचने" के बीच सही संतुलन खोजने के बारे में है।

तकनीकी सारांश: बेयसियन डिस्ट्रीब्यूशनल रोबस्ट ऑप्टिमाइज़ेशन में पोस्टीरियर और लाइकलीहुड संवेदनशीलता

समस्या विवरण
बेयसियन मॉडल एक लाइकलीहुड फंक्शन $L_\theta(\cdot)$ और एक प्रायर डिस्ट्रीब्यूशन $\rho$ को मिलाकर एक प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन बनाने द्वारा डेटा से सीखने के लिए एक ढांचा प्रदान करते हैं। हालांकि, निर्णय लेने वालों (DMs) को मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन (मॉडल की गलत संरचना) के प्रति चिंता हो सकती है। विशेष रूप से, एक निर्णय की अपेक्षित लागत (expected cost) अनुमानित प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन से विचलन के प्रति अत्यधिक संवेदनशील हो सकती है। जबकि मौजूदा साहित्य एम्पिरिकल ऑप्टिमाइज़ेशन में मजबूती (robustness) को संबोधित करता है, दो विशिष्ट घटकों में विचलन के प्रति बेयसियन निर्णयों की संवेदनशीलता को मापने की आवश्यकता है: पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन (जो पैरामीटर अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है) और लाइकलीहुड फंक्शन (जो डेटा जनरेशन प्रक्रिया के स्ट्रक्चरल मॉडल का प्रतिनिधित्व करता है)। यह शोध पत्र पोस्टीरियर और लाइकलीहुड दोनों प्रकार की अनिश्चितता के विरुद्ध प्रदर्शन (अपेक्षित लागत) और मजबूती के बीच के ट्रेड-ऑफ को चरित्रित करने के प्रश्न को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक वर्स्ट-केस पोस्टीरियर सेंसिटिविटी (worst-case posterior sensitivity) और वर्स्ट-केस लाइकलीहुड सेंसिटिविटी (worst-case likelihood sensitivity) की अवधारणाओं को पेश करते हैं। इन्हें एक बेयसियन डिस्ट्रीब्यूशनल रोबस्ट ऑप्टिमाइज़ेशन (DRO) ढांचे के भीतर परिभाषित किया गया है।

अनिश्चितता सेट (Uncertainty Sets): कार्यप्रणाली पोस्टीरियर $\eta$ और लाइकलीहुड $Q_\theta$ के लिए विचलन मापों $d(\cdot|\cdot)$ का उपयोग करके अनिश्चितता सेट को परिभाषित करती है।
- $P(\epsilon) = \{ \eta \mid d(\eta|\rho) \le \epsilon \}$ नाममात्र (nominal) पोस्टीरियर से विचलन को दर्शाता है।
- $L_\theta(\delta) = \{ Q \mid d(Q|L_\theta) \le \delta \}$ प्रत्येक पैरामीटर $\theta$ के लिए नाममात्र लाइकलीहुड से विचलन को दर्शाता है।
वर्स्ट-केस अपेक्षित लागत (Worst-Case Expected Cost): लेखक वर्स्ट-केस अपेक्षित लागत $V(\epsilon, \delta)$ को एक नेस्टेड मैक्सिमाइजेशन समस्या के रूप में तैयार करते हैं:
$V(\epsilon, \delta) = \max_{\eta \in P(\epsilon)} \mathbb{E}_\eta \left[ \max_{Q_\theta \in L_\theta(\delta)} \mathbb{E}_{Q_\theta}[f(\theta, Y)] \right]$
यहाँ, आंतरिक (inner) मैक्सिमाइजेशन $\theta$ पर आधारित वर्स्ट-केस लाइकलीहुड विचलन को ध्यान में रखता है, और बाहरी (outer) मैक्सिमाइजेशन पैरामीटर स्पेस पर वर्स्ट-केस पोस्टीरियर विचलन को ध्यान में रखता है।
रेगुलराइजेशन और सेंसिटिविटी एक्सपेंशन: रोबस्ट एम्पिरिकल ऑप्टिमाइज़ेशन की तकनीकों का उपयोग करते हुए (विशेष रूप से [8, 9, 10] के कार्यों का संदर्भ देते हुए), यह शोध पत्र छोटे अनिश्चितता सेट आकारों ( $\epsilon, \delta$ ) के लिए वर्स्ट-केस लागत का एक लोकल एक्सपेंशन व्युत्पन्न करता है। धारणा 4.1 (एम्बिग्युटी कॉस्ट के व्यवहार के संबंध में) के तहत, यह दिखाया गया है कि वर्स्ट-केस लागत लगभग नाममात्र अपेक्षित लागत और सेंसिटिविटी टर्म्स के एक भारित योग (weighted sum) के बराबर होती है:
$V(\epsilon, \delta) \approx \mathbb{E}_\rho[\mathbb{E}_{L_\theta}[f]] + g(\delta)\mathbb{E}_\rho[S_{L_\theta}(f)] + g(\epsilon)S_\rho(\mathbb{E}_{L_\theta}[f])$
जहाँ $g(\cdot)$ विचलन माप द्वारा निर्धारित एक फलन है, $S_{L_\theta}$ लाइकलीहुड सेंसिटिविटी है, और $S_\rho$ पोस्टीरियर सेंसिटिविटी है।
विशिष्ट विचलन माप (Specific Deviation Measures): यह शोध पत्र स्मूथ $\phi$ -डाइवर्जेंस (smooth $\phi$ -divergences) के लिए इन संवेदनशीलताओं को स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न करता है। इस मामले में, सेंसिटिविटी माप मानक विचलन (standard deviations) के अनुरूप होते हैं:
- पोस्टीरियर सेंसिटिविटी: पोस्टीरियर के तहत कंडीशनल अपेक्षित लागत के मानक विचलन $\sigma_\rho(\mathbb{E}_{L_\theta}[f])$ के समानुपाती है।
- लाइकलीहुड सेंसिटिविटी: लागत के कंडीशनल मानक विचलन के पोस्टीरियर एक्सपेक्टेशन $\mathbb{E}_\rho[\sigma_{L_\theta}(f)]$ के समानुपाती है।
  यह ढांचा "मिक्स एंड मैच" परिदृश्यों की भी अनुमति देता है जहाँ विभिन्न विचलन मापों (जैसे, पोस्टीरियर के लिए $\phi$ -डाइवर्जेंस और लाइकलीहुड के लिए CVaR-आधारित माप) का उपयोग किया जा सकता है।

प्रमुख योगदान (Key Contributions)

नवीन सेंसिटिविटी मेट्रिक्स: शोध पत्र पोस्टीरियर मिसस्पेसिफिकेशन बनाम लाइकलीहुड मिसस्पेसिफिकेशन के प्रति बेयसियन निर्णयों की संवेदनशीलता के लिए अलग-अलग मात्रात्मक माप पेश करता है।
मजबूती का अपघटन (Decomposition of Robustness): यह प्रदर्शित करता है कि एक बेयसियन DRO समस्या को एक रेगुलराइज्ड नाममात्र समस्या के रूप में अनुमानित किया जा सकता है जहाँ रेगुलराइज़र पोस्टीरियर और लाइकलीहुड सेंसिटिविटी का एक भारित योग है। यह डिस्ट्रीब्यूशनल रोबस्टनेस और सेंसिटिविटी एनालिसिस के बीच एक सीधा संबंध स्थापित करता है।
एसिम्प्टोटिक व्यवहार (Asymptotic Behavior): एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक निष्कर्ष दोनों संवेदनशीलताओं का विभेदात्मक व्यवहार है जब लर्निंग (सीखना) होती है। शोध पत्र सिद्ध करता है कि पोस्टीरियर सेंसिटिविटी शून्य हो जाती है जब पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन एक पॉइंट मास (point mass) में बदल जाता है (अर्थात, जब लर्निंग के माध्यम से पैरामीटर अनिश्चितता समाप्त हो जाती है)। इसके विपरीत, लाइकलीहुड सेंसिटिविटी शून्य नहीं होती है, भले ही पैरामीटर्स ज्ञात हों, क्योंकि यह $\theta$ दिए जाने पर डेटा डिस्ट्रीब्यूशन $Y$ की अंतर्निहित अनिश्चितता को दर्शाती है।
पारेटो ट्रेड-ऑफ (Pareto Trade-offs): लेखक दिखाते हैं कि एक बेयसियन DRO समस्या को हल करना प्रदर्शन (अपेक्षित लागत) और मजबूती (पोस्टीरियर और लाइकलीहुड सेंसिटिविटी) के बीच एक लगभग पारेटो-ऑप्टिमल फ्रंटियर को ट्रेस करता है।

परिणाम (Results)
शोध पत्र एक प्राइसिंग एप्लीकेशन के माध्यम से इन सैद्धांतिक निष्कर्षों को मान्य करता है जहाँ डिमांड (मांग) सामान्य रूप से वितरित है जिसके अज्ञात पैरामीटर $a$ और $b$ हैं।

लर्निंग प्रभाव (Learning Effects): संख्यात्मक प्रयोग दिखाते हैं कि जैसे-जैसे पोस्टीरियर का वेरिएंस कम होता है (डेटा संचय का अनुकरण करते हुए), पोस्टीरियर सेंसिटिविटी कम होती जाती है और अंततः शून्य हो जाती है। हालांकि, लाइकलीहुड सेंसिटिविटी स्थिर रहती है, जो पुष्टि करती है कि लर्निंग पैरामीटर अनिश्चितता को तो कम करती है लेकिन मॉडल स्ट्रक्चरल अनिश्चितता को नहीं।
फ्रंटियर विश्लेषण (Frontier Analysis): रिवॉर्ड-सेंसिटिविटी फ्रंटियर्स दर्शाते हैं कि DRO अपेक्षित रिवॉर्ड में न्यूनतम लागत के साथ सेंसिटिविटी को काफी कम करने की अनुमति देता है, विशेष रूप से तब जब प्रारंभिक पैरामीटर अनिश्चितता अधिक हो।
स्वतंत्रता (Independence): इस विशिष्ट प्राइसिंग उदाहरण में, रिवॉर्ड-लाइकलीहुड सेंसिटिविटी फ्रंटियर पोस्टीरियर वेरिएंस से स्वतंत्र पाया गया, जबकि रिवॉर्ड-पोस्टीरियर सेंसिटिविटी फ्रंटियर लाइकलीहुड वेरिएंस से स्वतंत्र था (एक गुण जो इस उदाहरण की लीनियर-क्वाड्रेटिक संरचना के लिए विशिष्ट है)।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
शोध पत्र का दावा है कि यह उन निर्णयकर्ताओं के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण प्रदान करता है जो अपने धारणाओं (assumptions) की नाजुकता को लेकर चिंतित हैं। पोस्टीरियर और लाइकलीहुड सेंसिटिविटी को अलग करके, यह ढांचा निर्णयकर्ताओं को यह पहचानने की अनुमति देता है कि उनके मॉडल का कौन सा घटक (पैरामीटर एस्टीमेशन बनाम स्ट्रक्चरल फॉर्म) मजबूती संबंधी चिंताओं को संचालित कर रहा है।

मजबूती बनाम प्रदर्शन (Robustness vs. Performance): प्राथमिक महत्व "मजबूती की कीमत" (price of robustness) को अपेक्षित लागत और सेंसिटिविटी के बीच एक ट्रेड-ऑफ के रूप में औपचारिक रूप देने में निहित है।
सिस्टम डिज़ाइन के लिए मार्गदर्शन: लेखक सुझाव देते हैं कि ये सेंसिटिविटी मेट्रिक्स अनिश्चितता सेटों के चयन में मार्गदर्शन कर सकते हैं और यह पहचान सकते हैं कि कब मजबूती की लागत अधिक है, जो संभावित रूप से सिस्टम रीडिज़ाइन की ओर संकेत करती है।
लर्निंग की सीमाएं: एक प्रमुख अंतर्दृष्टि यह है कि जबकि डेटा लर्निंग पोस्टीरियर सेंसिटिविटी को समाप्त कर देती है, यह लाइकलीहुड सेंसिटिविटी को समाप्त नहीं करती है। इसलिए, एक रोबस्ट बेयसियन निर्णय को लाइकलीहुड मॉडल की संभावित मिसस्पेसिफिकेशन को भी ध्यान में रखना चाहिए, भले ही पैरामीटर्स का अच्छी तरह से अनुमान लगा लिया गया हो।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि एक डिस्ट्रीब्यूशनली रोबस्ट फॉर्मूलेशन प्रदर्शन और दोनों प्रकार की मॉडल अनिश्चितता के विरुद्ध मजबूती के बीच संतुलन बनाने के लिए एक लगभग पारेटो-ऑप्टिमल तंत्र प्रदान करता है।

1. "नाजुकता" के दो प्रकार

2. "मजबूती" (Robustness) का ट्रेड-ऑफ

3. प्रयोग: मूल्य निर्धारण (Pricing) का उदाहरण

सारांश

इसी तरह के और पेपर