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Pseudoentanglement in constant depth: How trivial states can have non-trivial entanglement structure

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि निरंतर-गहराई वाले क्वांटम सर्किट डेंस-स्पार्स एलपीएन (Dense-Sparse LPN) धारणा के आधार पर अनestimable (अनुमान न लगाने योग्य) एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी वाले छद्म-एंटैंगल्ड (pseudoentangled) अवस्थाओं को उत्पन्न कर सकते हैं, जिससे उथले-सर्किट शासन (shallow-circuit regime) में छद्म-एंटैंगलमेंट (pseudoentanglement) को छद्म-यादृच्छिकता (pseudorandomness) से अलग किया जा सकता है और स्थानीय हैमिल्टोनियन ग्राउंड स्टेट्स की एंटैंगलमेंट संरचना को सीखने के लिए क्वांटम कठिनाई स्थापित की जा सकती है।

मूल लेखक: Alexandru Gheorghiu

प्रकाशित 2026-06-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alexandru Gheorghiu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "Pseudoentanglement in constant depth" पेपर का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करते हुए हिंदी अनुवाद दिया गया है।

मुख्य विचार: सरल सर्किट का "जादू"

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मशीन है जो सिक्कों (क्यूबिट्स) का एक समूह लेती है और एक विशिष्ट पैटर्न बनाने के लिए उन्हें इधर-उधर घुमाती है। क्वांटम दुनिया में, इस मशीन को क्वांटम सर्किट कहा जाता है।

आमतौर पर, यदि कोई मशीन बहुत सरल और तेज़ है (जिसे वैज्ञानिक "कॉन्स्टेंट डेप्थ" (constant depth) और "लोकल" (local) कहते हैं), तो वह केवल सरल पैटर्न ही बना सकती है। यह लेगो (Legos) के साथ खेलने वाले एक बच्चे की तरह है: यदि वे केवल कुछ ब्लॉक तक ही पहुँच सकते हैं और बहुत ऊँचा नहीं बना सकते, तो वे एक जटिल किला नहीं बना सकते। वे केवल एक सपाट, सरल आकार ही बना सकते हैं।

क्वांटम भौतिकी में, इन "सरल" आकारों को ट्रिवियल स्टेट्स (trivial states) कहा जाता है। ये उबाऊ होते हैं क्योंकि सिस्टम के हिस्से एक-दूसरे से गहराई से जुड़े नहीं होते। "जटिल" आकार एंटैंगल्ड स्टेट्स (entangled states) होते हैं, जहाँ हिस्से एक-दूसरे से इस तरह जुड़े होते हैं कि एक में बदलाव होने पर दूसरे पर तुरंत प्रभाव पड़ता है, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों।

पेपर की मुख्य खोज एक आश्चर्य है: लेखक ने एक ऐसा तरीका खोजा है जिससे एक ऐसी मशीन बनाई जा सके जो बहुत सरल और तेज़ हो (उस बच्चे की तरह जिसकी पहुँच सीमित है), फिर भी वह एक ऐसा स्टेट (अवस्था) उत्पन्न करे जो अविश्वसनीय रूप से जटिल और गहराई से जुड़ा हुआ दिखता है।

हालाँकि, इसमें एक पेंच है। जबकि मशीन सरल है और उसके निर्देश सार्वजनिक हैं (कोई भी देख सकता है कि यह कैसे काम करती है), इसके द्वारा बनाई गई जुड़ाव (entanglement) की मात्रा एक ऐसा रहस्य है जिसे जल्दी से समझना गणनात्मक रूप से असंभव है।

मूल अवधारणा: स्यूडोएंटैंगलमेंट (Pseudoentanglement)

इसे समझने के लिए, क्रिप्टोग्राफी में दो प्रकार की "छिपी हुई" चीजों को देखें:

स्यूडो रैंडमनेस (Pseudorandomness): कल्पना कीजिए कि ताश की एक गड्डी है जो देखने वाले को पूरी तरह से बिखरी हुई (रैंडम) लगती है, लेकिन वास्तव में इसे एक विशिष्ट, सरल नियम द्वारा बनाया गया था। यदि आप नियम नहीं जानते, तो आप इस गड्डी और वास्तव में रैंडम गड्डी के बीच अंतर नहीं कर पाएंगे।
स्यूडोएंटैंगलमेंट (Pseudoentanglement - नई खोज): कल्पना कीजिए कि ताश की एक गड्डी है जो देखने में ऐसी लगती है जैसे उसमें कार्डों के बीच कनेक्शन का एक बहुत ही विशिष्ट, जटिल पैटर्न है। एक पर्यवेक्षक के लिए, यह बताना असंभव है कि गड्डी में "उच्च जुड़ाव" (high connection) वाला पैटर्न है या "निम्न जुड़ाव" (low connection) वाला पैटर्न, भले ही गड्डी को एक बहुत ही सरल मशीन द्वारा बनाया गया हो।

बड़ी सफलता:
लंबे समय तक वैज्ञानिकों ने सोचा था कि यदि कोई मशीन इतनी सरल है कि उसे जल्दी "सीखा" (learn) जा सकता है (जैसा कि सरल क्वांटम मशीनें होती हैं), तो वह कुछ भी छिपा नहीं सकती। आप मशीन को देख सकते हैं, उसे समझ सकते हैं, और जान सकते हैं कि वह क्या करती है।

यह पेपर साबित करता है कि आप गलत हो सकते हैं। आप मशीन को देख सकते हैं, देख सकते हैं कि वह सरल है, और फिर भी यह जानने में पूरी तरह असमर्थ हो सकते हैं कि उसका आउटपुट कितना "जुड़ा हुआ" (connected) है। मशीन सार्वजनिक है, लेकिन एंटैंगलमेंट छिपा हुआ है।

उन्होंने यह कैसे किया: "गुप्त कोड" का उदाहरण

लेखक ने रैंडमाइज्ड एनकोडिंग (Randomized Encoding) नामक एक चतुर ट्रिक का उपयोग किया।

कल्पना कीजिए कि आप अपने दोस्त को एक संदेश (एक गणना) भेजना चाहते हैं, लेकिन आप संदेश को छिपाना चाहते हैं जबकि उसे परिणाम प्राप्त करने की अनुमति भी देना चाहते हैं।

पुराना तरीका: आपको संदेश को स्कैम्बल (scramble) करने के लिए एक बहुत बड़ी, जटिल मशीन की आवश्यकता हो सकती है ताकि कोई इसे पढ़ न सके।
नया तरीका (यह पेपर): आप एक सरल, लोकल मशीन का उपयोग करते हैं जो संदेश में एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से बहुत सारा "शोर" (noise/randomness) जोड़ देती है।

इसे इस तरह सोचें:

आपके पास एक सरल गणितीय समस्या है: $y = M \times x$ ।
सामान्यतः, यदि संख्याएँ बहुत बड़ी हैं, तो इसकी गणना करने के लिए एक गहरे, जटिल सर्किट की आवश्यकता होती है।
लेखक ने एक "रैपर" (wrapper/randomized encoding) बनाया। यह रैपर सरल इनपुट और रैंडम शोर को लेता है, और उन्हें छोटे, सरल स्विचों (CNOT गेट्स) के ग्रिड के माध्यम से गुजारता है।
आउटपुट रैंडम बिट्स के ढेर जैसा दिखता है।
जादू: यदि आप गुप्त "डिकोडर" को जानते हैं, तो आप उस ढेर को साफ कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन यदि आप केवल उस ढेर को देखते हैं, तो आप यह नहीं बता सकते कि मूल गणितीय समस्या "आसान" (कम जुड़ाव) थी या "कठिन" (उच्च जुड़ाव)।

लेखक ने इस रैपर को इस तरह बनाया कि हर स्विच केवल अपने निकटतम पड़ोसियों को छूता है (जैसे कि लोगों का एक 2D ग्रिड जो एक-दूसरे को नोट्स पास कर रहे हों)। यह पूरे मशीन को कॉन्स्टेंट डेप्थ (इसका मतलब है कि आकार की परवाह किए बिना यह एक ही समय में पूरा हो जाता है) और लोकल (कोई लंबी दूरी के तार नहीं) बनाता है।

दो परिणाम: 2D और 1D

पेपर दिखाता है कि यह दो अलग-अलग भौतिक सेटअपों में काम करता है:

2D ग्रिड (सपाट फर्श):
कल्पना कीजिए कि एक फर्श है जो वर्गाकार टाइलों से बना है। मशीन सीधे टाइल्स पर बनी है। कनेक्शन केवल फर्श पर पड़ोसियों के बीच होते हैं। लेखक सिद्ध करते हैं कि इस सरल 2D फर्श पर भी, आप एक ऐसा स्टेट बना सकते हैं जहाँ "एंटैंगलमेंट गैप" (एक सरल स्टेट और एक जटिल स्टेट के बीच का अंतर) बहुत बड़ा है, लेकिन कोई भी इसे माप नहीं सकता।
1D लाइन (ट्रेन ट्रैक):
कल्पना कीजिए कि टाइलें एक ट्रेन ट्रैक की तरह एक एकल रेखा में व्यवस्थित हैं। आमतौर पर, 1D लाइनें 2D ग्रिड की तुलना में अधिक प्रतिबंधित होती हैं। लेखक 2D मशीन को लेते हैं, उसे एक लंबी रेखा में समतल करते हैं, और एक "इतिहास" (मशीन द्वारा उठाए गए हर कदम का रिकॉर्ड) जोड़ते हैं।

परिणाम: यहाँ तक कि इस सरल 1D लाइन में भी, सिस्टम का ग्राउंड स्टेट (सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था) में एक छिपा हुआ एंटैंगलमेंट गैप होता है।
यह क्यों मायने रखता है: यह साबित करता है कि सबसे प्रतिबंधित 1D दुनिया में भी, आप केवल उन नियमों को देखकर कि उन्होंने सिस्टम को कैसे बनाया, यह अनुमान नहीं लगा सकते कि सिस्टम कितना "क्वांटम" है।

"हमें इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?" (बिना बढ़ा-चढ़ाकर कहे)

यह पेपर यह दावा नहीं करता कि इससे एक नई बैटरी बनेगी या किसी बीमारी का इलाज होगा। इसके बजाय, यह कंप्यूटर विज्ञान और भौतिकी में एक सैद्धांतिक पहेली को हल करता है:

"रैंडमनेस" को "एंटैंगलमेंट" से अलग करना: यह साबित करता है कि आपको एंटैंगलमेंट को छिपाने के लिए "ब्लैक बॉक्स" (एक गुप्त मशीन) की आवश्यकता नहीं है। आप एक सार्वजनिक, सरल मशीन रख सकते हैं जो फिर भी एंटैंगलमेंट की मात्रा को छिपा सकती है। यह "स्यूडो-रैंडमनेस" (पूरे स्टेट को छिपाना) और "स्यूडो-एंटैंगलमेंट" (केवल जुड़ाव की ताकत को छिपाना) की अवधारणाओं को अलग करता है।
सीखने की कठिनाई (Hardness of Learning): यह दिखाता है कि कुछ प्रकार के क्वांटम सिस्टम के लिए (विशेष रूप से जो "लोकल हैमिल्टोनियन" द्वारा वर्णित हैं), यह सीखना गणनात्मक रूप से असंभव है कि वे कितने एंटैंगल्ड हैं। भले ही आपके पास सिस्टम के ब्लूप्रिंट हों, एक कंप्यूटर उचित समय में उत्तर नहीं निकाल सकता।

एक वाक्य में सारांश

लेखक ने एक सरल, सार्वजनिक और तेज़ क्वांटम मशीन बनाई है जो एक ऐसा स्टेट बनाती है जहाँ कणों का "जुड़ाव" (connectedness) इतना कठिन है कि उसे कैलकुलेट करना लगभग असंभव है, जो यह सिद्ध करता है कि सबसे सरल क्वांटम मशीनें भी जटिल क्वांटम रहस्य छिपा सकती हैं।

तकनीकी सारांश: स्थिर गहराई में छद्म-उलझाव (Pseudoentanglement in Constant Depth)

समस्या विवरण
उलझाव (Entanglement) का अध्ययन क्वांटम सूचना के केंद्र में है, फिर भी क्वांटम अवस्थाओं की एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी (entanglement entropy) का अनुमान लगाना सामान्यतः गणनात्मक रूप से कठिन है, यहाँ तक कि क्वांटम कंप्यूटरों के लिए भी। यह 'छद्म-उलझाव' (pseudoentanglement) की अवधारणा को प्रेरित करता है: ऐसे क्वांटम अवस्थाओं के परिवार जहाँ उलझाव की संरचना अलग-अलग एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी वाली अवस्थाओं से गणनात्मक रूप से अविभेद्य (indistinguishable) होती है, बावजूद इसके कि वे अवस्थाएँ स्वयं कुशलतापूर्वक तैयार की जा सकती हैं।

एक महत्वपूर्ण खुला प्रश्न छद्म-उलझाव और छद्म-यादृच्छिकता (pseudorandomness) के बीच संबंध से संबंधित है। जबकि छद्म-यादृच्छिक अवस्थाओं (PRSs) और यूनिटरीज (PRUs) के लिए तैयारी सर्किट को छिपा हुआ (या सर्किट की गहराई पर्याप्त होनी चाहिए) होना आवश्यक है, हाल के परिणाम संकेत देते हैं कि स्थिर-गहराई, सीमित-फैन-इन क्वांटम सर्किट ( $QNC^0$ ) को पॉलिनोमियल नमूनों (samples) से कुशलतापूर्वक सीखा जा सकता है। यह सीखने की क्षमता $QNC^0$ में छद्म-यादृच्छिक अवस्थाओं के अस्तित्व को खारिज करती है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या छद्म-उलझी हुई अवस्थाएँ ऐसी उथली (shallow), ज्यामितीय रूप से स्थानीय सर्किट द्वारा तैयार की जा सकती हैं। क्या "तुच्छ" अवस्थाएँ (वे जो स्थिर-गहराई वाले सर्किट द्वारा तैयार की जा सकती हैं) जटिल उलझाव संरचनाएँ प्रदर्शित कर सकती हैं जिन्हें अनुमानित करना गणनात्मक रूप से कठिन हो?

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र 2D-स्थानीय, स्थिर-गहराई वाले क्वांटम सर्किट का एक परिवार निर्मित करता है जो छद्म-उलझी हुई अवस्थाओं को आउटपुट देता है। इस निर्माण में तीन मुख्य तकनीकी घटक शामिल हैं:

क्रिप्टोग्राफिक धारणा: Dense-Sparse Learning Parity with Noise (Dense-Sparse LPN) समस्या की कठिनाई, जिसे Dao और Jain [DJ25] द्वारा पेश किया गया है। यह धारणा दो रैखिक मानचित्रों (linear maps), $F_{low}$ और $F_{high}$ , का एक जोड़ा प्रदान करती है, जो स्पार्स (sparse) इनपुट पर गणनात्मक रूप से अविभेद्य हैं लेकिन अलग-अलग एंट्रॉपी गुण रखते हैं। विशेष रूप से, $F_{high}$ स्पार्स इनपुट पर इंजेक्टिव (injective) है (उच्च एंट्रॉपी yielding), जबकि $F_{low}$ मैनी-टू-वन (many-to-one) है (निम्न एंट्रॉपी yielding)।
सीमित-फैन-इन रैंडमाइज्ड एनकोडिंग: मुख्य तकनीकी योगदान एक नया परफेक्ट रैंडमाइज्ड एनकोडिंग है जो डेंस लीनियर मैप्स $x \mapsto Mx$ $x \mapsto M x$ के लिए है। यह निर्माण अनबाउंडेड फैन-आउट गेट्स की आवश्यकता के बिना, केवल बाउंडेड फैन-इन और बाउंडेड फैन-आउट (विशेष रूप से, फैन-इन/फैन-आउट $\le 3$ $\leq 3$ ) का उपयोग करता है।
- यह एनकोडिंग यूनिफॉर्म रैंडम मास्क $r$ और $s$ पेश करता है।
- यह बिट्स $w$ और $z$ आउटपुट करता है ताकि एक नियतात्मक डिकोडर (deterministic decoder) $Mx$ को पुनः प्राप्त कर सके।
- महत्वपूर्ण रूप से, एनकोडेड आउटपुट की एंट्रॉपी ठीक $H(Mx)$ प्लस एक निश्चित, मास्क-निर्भर पद (term) है जो मैट्रिक्स $M$ से स्वतंत्र है। यह मूल लीनियर मैप के 'लो' और 'हाई' शाखाओं के बीच एंट्रॉपी अंतराल को संरक्षित करता है।
- इस एनकोडिंग को निकटतम-पड़ोसी (nearest-neighbor) CNOT गेट्स का उपयोग करके 2D ग्रिड के स्थिर-आकार के प्लेक्वेट्स (plaquettes) के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि सर्किट 2D-स्थानीय और स्थिर-गहराई वाला है।
अवस्था तैयारी (State Preparation): लेखक इनपुट बिट्स (जो एक स्पार्स बर्नौली वितरण से लिए गए हैं) और रैंडम मास्क की एक कोहेरेंट सुपरपोजिशन (coherent superposition) तैयार करते हैं। वे रैंडम एनकोडिंग सर्किट को कोहेरेंट रूप से लागू करते हैं। इनपुट और मास्क रजिस्टरों को ट्रेस-आउट करने से आउटपुट रजिस्टरों पर एक डायगोनल डेंसिटी मैट्रिक्स प्राप्त होता जिसकी शैनन एंट्रॉपी (Shannon entropy) रैंडमाइज्ड एनकोडिंग की एंट्रॉपी के बराबर होती है। एंट्रॉपी संरक्षण गुण के कारण, इनपुट-आउटपुट कट के माध्यम से एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी मूल लीनियर मैप्स के एंट्रॉपी गैप को दर्शाती है।

मुख्य योगदान और परिणाम

प्रमेय 1.1 (स्थिर-गहराई छद्म-उलझाव): यह मानते हुए कि क्वांटम पॉलिनोमियल-टाइम (QPT) विरोधियों के लिए Dense-Sparse LPN की जटिलता बनी रहती है, टुपल्स $(C_{low}, C_{high}, W)$ पर एक कुशलतापूर्वक सैंपलिंग वितरण मौजूद है, जहाँ $C_{low}$ और $C_{high}$ 2D-स्थानीय स्थिर-गहराई वाले सर्किट हैं। आउटपुट अवस्थाएँ $|\psi_{low}\rangle$ और $|\psi_{high}\rangle$ एक निश्चित कट $W$ के पार $\omega(\log n)$ का एडिटिव एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी गैप रखती हैं, फिर भी सर्किट विवरण गणनात्मक रूप से अविभेद्य हैं।
- महत्व: यह प्रदर्शित करता है कि $QNC^0$ शासन में छद्म-उलझाव संभव है, जबकि छद्म-यादृच्छिकता नहीं है। ये अवस्थाएँ "पब्लिक-की" छद्म-उलझी हुई हैं: उनकी तैयारी सर्किट सार्वजनिक और उथली है, फिर भी उनका एंटैंगलमेंट स्ट्रक्चर छिपा हुआ है।
प्रमेय 1.2 (रैंडमाइज्ड एनकोडिंग): यह शोध पत्र डेंस लीनियर मैप्स के लिए बाउंडेड-फैन-इन, बाउंडेड-फैन-आउट रैंडमाइज्ड एनकोडिंग का औपचारिक प्रमाण प्रदान करता है। यह एनकोडिंग लीनियर मैप की सटीक एंट्रॉपी को एक एडिटिव कांस्टेंट तक संरक्षित करती है और लो-डेप्थ क्रिप्टोग्राफी (जैसे, रैंडम-कोड धारणाओं से कोलिजन-रेसिस्टेंट हैश का निर्माण) के लिए स्वतंत्र रूप से रुचिकर है।
प्रमेय 1.3 (2D हैमिल्टोनियन हार्डनेस): स्थानीय प्रोजेक्टरों को छद्म-उलझी हुई सर्किटों के साथ कंजुगेट करके, लेखक 2D स्थानीय हैमिल्टोनियन का एक परिवार निर्मित करते हैं जिनका एक स्थिर स्पेक्ट्रल गैप (गैप = 1) है। इन हैमिल्टोनियन के अद्वितीय ग्राउंड स्टेट्स एंटैंगलमेंट गैप को विरासत में प्राप्त करते हैं, जिससे एक निश्चित कट के पार एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी को सीखना क्वांटम रूप से कठिन हो जाता है।
प्रमेय 1.4 (1D हैमिल्टोनियन हार्डनेस): एक पैडेड 1D फeynman–Kitaev हिस्ट्री-स्टेट निर्माण का उपयोग करते हुए, लेखक इस परिणाम को 1D स्थानीय हैमिल्टोनियन तक विस्तारित करते हैं। इन हैमिल्टोनियन का एक इनवर्स-पॉलिनोमियलियल स्पेक्ट्रल गैप है। इनके अद्वितीय ग्राउंड स्टेट्स एंटैंगलमेंट गैप को बनाए रखते हैं (एक छोटे एडिटिव लॉस के साथ), जो एक पोस्ट-क्वांटम कोड-आधारित धारणा पर आधारित 1D सिस्टम के लिए कठिनाई स्थापित करता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह उथले-सर्किट शासन में छद्म-यादृच्छिकता और छद्म-उलझाव के बीच एक स्पष्ट पृथक्करण स्थापित करता है। जबकि स्थिर-डेप्थ सर्किट छद्म-यादृच्छिक अवस्थाएँ उत्पन्न नहीं कर सकते (कुशल सीखने की क्षमता के कारण), वे छद्म-उलझी हुई अवस्थाएँ उत्पन्न कर सकते हैं।

पब्लिक-की प्रकृति: छद्म-यादृच्छिक अवस्थाओं के विपरीत, जिन्हें तैयारी सर्किट को गुप्त रखने की आवश्यकता होती है, ये छद्म-उलझी हुई अवस्थाएँ सार्वजनिक सर्किट द्वारा उत्पन्न की जाती हैं। यह अनुमति देता है कि कठिनाई परिणामों को सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी मॉडल के बजाय कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी मॉडल (इनपुट एक सर्किट/हैमिल्टोनियन का क्लासिकल विवरण है) में फ्रेम किया जा सके।
पोस्ट-क्वांटम सुरक्षा: कठिनाई Dense-Sparse LPN पर निर्भर करती है, जो एक कोड-आधारित धारणा है जिसे क्वांटम विरोधियों के खिलाफ सुरक्षित माना जाता है, जो पिछले परिणामों (जैसे, [BZZ24]) के विपरीत है जो फैक्टरिंग (जो क्वांटम रूप से सुलभ है) पर निर्भर थे।
सीमाएँ: लेखक स्पष्ट रूप से सीमाओं का उल्लेख करते हैं। "छिपा हुआ" कट निश्चित और गैर-ज्यामितीय है (सर्किट संरचना द्वारा निर्धारित, न कि एक जुड़े हुए स्थानिक क्षेत्र द्वारा), जिसका अर्थ है कि परिणाम सीधे क्वांटम ग्रेविटी में एरिया-लॉ बनाम वॉल्यूम-लॉ विभाजनों के लिए प्रासंगिक ज्यामितीय कट्स को संबोधित नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, निर्माण विशिष्ट रूप से वॉन न्यूमैन (शैनन) एंट्रॉपी के लिए है; वर्तमान लॉसी-फंक्शन विश्लेषण के आधार पर अन्य रेनी एंट्रॉपी (Rényi entropies) तक इसका विस्तार गारंटीकृत नहीं है।

संक्षेप में, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि "तुच्छ" अवस्थाएँ (स्थिर-गहराई, स्थानीय) गैर-तुच्छ, गणनात्मक रूप से छिपी हुई एंटैंगलमेंट संरचनाएँ रख सकती हैं, बशर्ते कि एक प्रशंसनीय पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफिक धारणा को स्वीकार किया जाए।