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Coherent Swap Regret and Channel-Proof Learning

यह शोध पत्र स्थानीय CPTP मैप विचलन के विरुद्ध एक क्वांटम लर्निंग बेंचमार्क के रूप में कोहेरेंट स्वैप रिग्रेट (coherent swap regret) को प्रस्तुत करता है, विचलन कठोरता का एक तीन-स्तरीय परिदृश्य स्थापित करता है जो यह दर्शाता है कि गैर-यूनिटल (non-unital) चैनल $\Omega(\sqrt{dT\log d})$ रिग्रेट दर को संचालित करते हैं, और इस सीमा को प्राप्त करने वाले एक एल्गोरिदम को प्रस्तुत करता है ताकि चैनल-प्रूफ क्वांटम कोरिलेटेड इक्विलिब्रिया (quantum correlated equilibria) की विकेंद्रीकृत लर्निंग को सक्षम किया जा सके।

मूल लेखक: Sohail Sarkar

प्रकाशित 2026-06-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sohail Sarkar

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक उच्च-दांव वाले खेल में खेल रहे हैं जहाँ एक रहस्यमय "मध्यस्थ" (Mediator) आपको एक सीलबंद लिफाफा देता है जिसमें एक गुप्त निर्देश (एक क्वांटम अवस्था) होता है। आप उसे खोलते हैं, देखते हैं कि उसके अंदर क्या है, और फिर अपनी चाल चलते हैं।

सोचने के पुराने तरीके में (जिसे "एक्सटर्नल रिग्रेट" कहा जाता है), केवल एक ही प्रश्न पूछा जाता था: "यदि आपने लिफाफे को पूरी तरह से अनदेखा कर दिया होता और केवल मेनू से एक अलग, निश्चित निर्देश चुन लिया होता, तो क्या आप बेहतर प्रदर्शन करते?"

यह शोध पत्र तर्क देता है कि क्वांटम दुनिया के लिए यह प्रश्न बहुत कमजोर है। क्वांटम दुनिया में, आपको केवल "लिफाफे को रखने" या "उसे फेंक देने" के बीच चुनाव नहीं करना है। आप वास्तव में लिफाफे को खोल सकते हैं, निर्देशों को देख सकते हैं, और उन पर एक भौतिक रूपांतरण (physical transformation) कर सकते हैं और फिर कार्य कर सकते हैं। शायद आप निर्देश को घुमाते हैं, उसमें कुछ शोर (noise) मिलाते हैं, या उससे एक नया निर्देश प्राप्त करने के लिए उसका मापन (measurement) करते हैं।

यह पेपर एक नया, अधिक सख्त परीक्षण पेश करता है जिसे कोहेरेंट स्वैप रिग्रेट (Coherent Swap Regret) कहा जाता है। यह पूछता है: "क्या आप किसी दूसरे निर्देश से उसे बदलने के बजाय, प्राप्त विशिष्ट निर्देश पर एक स्मार्ट भौतिक मशीन लागू करके बेहतर कर सकते थे?"

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके इस शोध पत्र के मुख्य विचारों का विवरण दिया गया है:

1. "धोखाधड़ी" के तीन प्रकार

लेखक तीन अलग-अलग तरीकों का परीक्षण करते हैं जिनसे एक खिलाड़ी "धोखाधड़ी" करने या अपने स्कोर को सुधारने की कोशिश कर सकता है:

"प्रतिस्थापन" धोखाधड़ी (पुराना मानक) [The "Replacement" Cheat]: आप लिफाफे को फेंक देते हैं और एक नया, पहले से तय किया गया निर्देश चुन लेते हैं।
- परिणाम: इसे संभालना आसान है। पेपर दिखाता है कि आप मध्यम अभ्यास के साथ इसके विरुद्ध अच्छी तरह से खेलना सीख सकते हैं।
"यूनिटल" धोखाधड़ी (निष्पक्ष शोर) [The "Unital" Cheat]: आप एक ऐसी मशीन लागू करते हैं जो निर्देश को इधर-उधर घुमाती है लेकिन सिस्टम के समग्र "संतुलन" को समान रखती है (जैसे कि एक निष्पक्ष सिक्के को घुमाना)।
- परिणाम: यह वास्तव में मुफ्त (free) है। यदि आप केवल एक "पूरी तरह से यादृच्छिक" (completely random) निर्देश खेलते हैं (मैक्सिमली मिक्स्ड स्टेट), तो ये मशीनें कुछ भी नहीं बदल सकतीं। आप इनसे धोखा नहीं खा सकते।
"मापन-और-तैयारी" धोखाधड़ी (असली बॉस) [The "Measurement-and-Preparation" Cheat]: आप निर्देश को देखते हैं, उसका मापन करते हैं (जैसे कि कार्ड को पढ़ना), और फिर जो आपने देखा उसके आधार पर एक पूरी तरह से नया निर्देश तैयार करते हैं।
- परिणाम: यही कठिन हिस्सा है। पेपर सिद्ध करता है कि यदि खिलाड़ी ऐसा कर सकते हैं, तो खेल को सीखना बहुत कठिन हो जाता है। एक स्थिर अवस्था तक पहुँचने के लिए आपको काफी अधिक अभ्यास (विशेष रूप से, $\sqrt{d}$ का कारक अधिक, जहाँ $d$ निर्देश स्थान का आकार है) की आवश्यकता होती है।

बड़ी खोज: कठिनाई "क्वांटम विचित्रता" (जैसे एंटैंगलमेंट) के कारण नहीं है। कठिनाई केवल निर्देश को पढ़ने और उसे पढ़ने के आधार पर फिर से लिखने की क्षमता से आती है।

2. समाधान: "स्व-सुधार करने वाला दर्पण" (The "Self-Correcting Mirror")

आप इन स्मार्ट धोखेबाजों के खिलाफ कैसे सीख सकते हैं? लेखक एक ऐसा एल्गोरिदम प्रस्तावित करते हैं जो एक स्व-सुधार करने वाले दर्पण की तरह काम करता है।

मानचित्र (The Map): केवल निर्देशों की एक सूची याद रखने के बजाय, शिक्षार्थी एक "मानचित्र" (एक गणितीय वस्तु जिसे चोई स्टेट/Choi state कहा जाता है) बनाता है जो यह बताता है कि किसी भी प्राप्त निर्देश को कैसे रूपांतरित किया जाए।
लूप (The Loop):
- शिक्षार्थी अपने वर्तमान मानचित्र को देखता है और एक "फिक्स्ड पॉइंट" (fixed point) पाता है—एक ऐसा निर्देश जिसे यदि आप मानचित्र के माध्यम से चलाते हैं, तो वह उसी तरह बाहर आता है।
- वह उस निर्देश के साथ खेलता है।
- वह परिणाम (पे-ऑफ) देखता है।
- वह अपने मानचित्र को थोड़ा बेहतर बनाने के लिए अपडेट करता है ताकि वह निर्देशों को जीतने के लिए कैसे रूपांतरित किया जाए, इसकी भविष्यवाणी कर सके।
जादुई ट्रिक (वेरिएंस कोलैप्स): आमतौर पर, यह गणना करना कि आपको कितना सीखने की आवश्यकता है, जैसे-जैसे खेल अधिक जटिल होता जाता है, बहुत अस्त-व्यस्त और विशाल हो जाता है। लेखकों ने एक गणितीय "शॉर्टकट" (वेरिएंस कोलैप्स लेम्मा) खोजा है। क्योंकि खेल के नियम यह आवश्यक बनाते हैं कि मानचित्र "निष्पक्ष" (trace-preserving) हो, इसलिए सारी जटिल गणनाएँ एक विशिष्ट तरीके से रद्द हो जाती हैं। यह गणना के एक विशाल हिस्से को बचा लेता है, जिससे सीखने की दर व्यावहारिक रूप से कुशल हो जाती है।

3. लक्ष्य: "चैनल-प्रूफ" सिफारिशें (Channel-Proof Recommendations)

इस सीखने का अंतिम लक्ष्य एक चैनल-प्रूफ इक्विलिब्रियम तक पहुँचना है।

कल्पना कीजिए कि एक मध्यस्थ खिलाड़ियों के एक समूह को सिफारिशें भेज रहा है।

पुराना मानक: सिफारिशें तब सुरक्षित होती हैं जब कोई उन्हें फेंककर एक अलग विकल्प चुनने का नहीं चाहता।
नया मानक (चैनल-प्रूफ): सिफारिशें तभी सुरक्षित होती हैं जब कोई भी अपनी निजी जानकारी को एक क्वांटम मशीन के साथ प्रोसेस करके, उसे खोलने और फिर उस पर कार्य करके लाभ उठाने में सक्षम न हो।

पेपर सिद्ध करता है कि यदि सभी इस "स्व-सुधार करने वाले दर्पण" के खेल को खेलते हैं, तो वे अंततः एक ऐसी स्थिति में पहुँच जाएंगे जहाँ कोई भी अपनी निजी जानकारी को प्रोसेस करके धोखाधड़ी नहीं कर पाएगा।

4. पुराने परीक्षण क्यों विफल होते हैं ("रॉक-पेपर-सिज़र्स" का उदाहरण)

पेपर एक ठोस उदाहरण देता है ताकि यह दिखाया जा सके कि पुराने परीक्षण क्यों खतरनाक हैं।

कल्पना कीजिए कि रॉक-पेपर-सिज़र्स का एक खेल है जहाँ मध्यस्थ दोनों खिलाड़ियों को "रॉक" खेलने के लिए कहता है।
पुराना परीक्षण: यदि खिलाड़ी 1 "रॉक" नोट को फेंक देता है और एक नया, पूर्व-निर्धारित "पेपर" चुन लेता है, तो वह जीत जाता है। लेकिन यदि वह हर बार "पेपर" चुनता है, तो वह अंततः हार जाता है। पुराना परीक्षण कह सकता है, "हे, 'रॉक' पर टिके रहना ठीक है क्योंकि आप इसे एक बेहतर निश्चित रणनीति से बदल नहीं सकते।"
नया परीक्षण: खिलाड़ी 1 "रॉक" नोट को देखता है, महसूस करता है कि प्रतिद्वंद्वी भी "रॉक" खेल रहा है, और एक मशीन का उपयोग करके तुरंत अपने "रॉक" को "पेपर" में बदल देता है। वह हर बार जीतता है।
निष्कर्ष: पुराने परीक्षण ने कहा कि खेल "स्थिर" था, लेकिन नया परीक्षण प्रकट करता है कि यह वास्तव में एक आपदा का इंतज़ार कर रहा था।

सारांश

यह पेपर क्वांटम खेलों में निष्पक्षता के लिए एक नया, अधिक कठिन मानक बनाता है। यह दिखाता है कि वास्तव में निष्पक्ष होने के लिए, एक प्रणाली को न केवल लोगों द्वारा कार्ड बदलने के विरुद्ध, बल्कि लोगों द्वारा कार्ड को पढ़ने और उन्हें फिर से लिखने के विरुद्ध भी मजबूत होना चाहिए। लेखक एक लर्निंग एल्गोरिदम प्रदान करते हैं जो इसे प्राप्त करता है, यह सिद्ध करते हुए कि हालांकि यह पुराने तरीके की तुलना में कठिन है, फिर भी यह सीखना और एक स्थिर संतुलन तक पहुँचना संभव है।

तकनीकी सारांश: कोहेरेंट स्वैप रिग्रेट और चैनल-प्रूफ लर्निंग

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्वांटम खेलों (quantum games) में नो-रिग्रेट लर्निंग (no-regret learning) को लागू करने की एक मौलिक सीमा को संबोधित करता है। मानक एक्सटर्नल रिग्रेट (external regret) एक लर्नर की तुलना निश्चित प्रतिस्थापन अवस्थाओं (fixed replacement states) से करता है (अर्थात, "क्या मैं बेहतर करता यदि मैं हमेशा अवस्था $\sigma$ ही खेलता?")। क्वांटम सेटिंग में, यह बेंचमार्क अपर्याप्त है क्योंकि यह इस भौतिक वास्तविकता की अनदेखी करता है कि एक खिलाड़ी उस क्वांटम अवस्था $\rho_t$ पर, जिसे उसने प्राप्त किया या तैयार किया है, एक स्थानीय कम्प्लीटली पॉजिटिव ट्रेस-प्रिजर्विंग (CPTP) मैप $\Lambda$ लागू कर सकता है।

यह शोध पत्र कोहेरेंट स्वैप रिग्रेट (Coherent Swap Regret) को औपचारिक रूप देता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\text{CReg}_T = \sup_{\Lambda \in \text{CPTP}(d)} \sum_{t=1}^T \text{Tr}\left[ G_t \left( \Lambda(\rho_t) - \rho_t \right) \right]$
जहाँ $\rho_t$ खेले गए स्टेट्स हैं और $G_t$ पेऑफ इफेक्ट्स हैं ( $0 \preceq G_t \preceq I$ )। लक्ष्य एक ऐसा लर्निंग एल्गोरिदम बनाना है जो न केवल निश्चित स्टेट रिप्लेसमेंट के विरुद्ध, बल्कि सभी स्थानीय CPTP विचलन (deviations) के विरुद्ध इस रिग्रेट को न्यूनतम करे।

मुख्य प्रश्न यह पहचानना है कि कौन सी भौतिक विचलनों की श्रेणियाँ इस समस्या को कठिन बनाती हैं। शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि क्या कठिनाई कोहेरेंस (यूनिटरी ऑपरेशन्स), शोर (noise), या रिकमेंडेशन रजिस्टर में सूचना का उपयोग करने की क्षमता (नॉन-यूनिटल ऑपरेशन्स के माध्यम से) से उत्पन्न होती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित समाधान एक एल्गोरिदम है जिसे कोहेरेंट फिक्स्ड-पॉइंट चोई डिसेंट (Coherent Fixed-Point Choi Descent) कहा जाता है। यह विधि एक ऑरेकल या परिमित-आयामी कन्वेक्स-ऑप्टिमाइज़ेशन मॉडल के भीतर कार्य करती है, जो दो प्रिमिटिव्स पर निर्भर करती है:

फिक्स्ड-पॉइंट सॉल्वर: वर्तमान सीखे गए चैनल $\Lambda_t$ के लिए एक ऐसी अवस्था $\rho_t$ खोजना ताकि $\Lambda_t(\rho_t) = \rho_t$ हो।
मिरर एसेंट सॉल्वर: CPTP चोई बॉडी (Choi body) पर एंट्रोपिक मिरर एसेंट का उपयोग करके चैनल के प्रतिनिधित्व को अपडेट करना।

मुख्य तकनीकी घटक

नॉर्मलाइज्ड चोई रिप्रेजेंटेशन: लर्नर अपने CPTP मैप $\Lambda_t$ को उसके नॉर्मलाइज्ड चोई ऑपरेटर $J_t \in \mathcal{C}_d$ के माध्यम से बनाए रखता है, जहाँ $\mathcal{C}_d = \{ J \in \mathcal{D}(\mathcal{H}_{out} \otimes \mathcal{H}_{in}) : \text{Tr}_{out} J = I/d \}$ । चैनल की क्रिया को $\Lambda(\rho) = d \text{Tr}_{in}[(I \otimes \rho^T)J]$ के माध्यम से पुनः प्राप्त किया जाता है।
मिरर डिसेंट अपडेट: प्रत्येक राउंड $t$ में, पेऑफ $G_t$ देखने के बाद, लर्नर चोई स्टेट को अपडेट करता है:
$J_{t+1} = \arg\max_{J \in \mathcal{C}_d} \left\{ \eta \langle A_t, J \rangle - D(J \| J_t) \right\}$
जहाँ $A_t = d(G_t \otimes \rho_t^T)$ और $D(\cdot\|\cdot)$ क्वांटम रिलेटिव एंट्रॉपी है।
फिक्स्ड-पॉइंट प्ले: लर्नर वर्तमान चैनल $\Lambda_t$ का एक फिक्स्ड पॉइंट $\rho_t$ खेलता है (जो परिमित-आयामी CPTP मैप्स के लिए ब्रौवर के प्रमेय द्वारा गारंटीकृत है)।

वेरिएंस कोलैप्स लेम्मा (The Variance Collapse Lemma)

मुख्य विश्लेषणात्मक नवाचार वेरिएंस कोलैप्स लेम्मा है। मानक मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेटिव वेट्स विश्लेषण में, दूसरा-क्रम का पद गेन मैट्रिक्स के वर्ग द्वारा सीमित होता है, जिससे $O(d\sqrt{T \log d})$ का रिग्रेट बाउंड मिलता है। हालांकि, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि विशिष्ट CPTP चोई बॉडी संरचना के लिए:
$\langle A_t^2, J_t \rangle \leq d \text{Tr}(\rho_t^2) \leq d$
यह बाउंड ट्रेस-प्रिजर्विंग बाधा ( $\text{Tr}_{out} J_t = I/d$ ) का लाभ उठाता है। वर्स्ट-केस वेरिएंस $d^2$ को $d \text{Tr}(\rho_t^2)$ से बदलकर, एल्गोरिदम एक $\sqrt{d}$ का कारक बचाता है, जिससे इष्टतम दर प्राप्त होती है।

3. मुख्य परिणाम (Key Results)

रिग्रेट बाउंड्स (Regret Bounds)

अपर बाउंड (Upper Bound): एल्गोरिदम एक कोहेरेंट स्वैप रिग्रेट प्राप्त करता है:
$\text{CReg}_T \leq O\left( \sqrt{dT \log d} \right)$
मध्यम-क्षितिज शासन (moderate-horizon regime) ( $T \gtrsim d \log d$ ) में। एक प्योरिटी-सेंसिटिव संस्करण इसे $O(\sqrt{V_T \log d})$ में परिष्कृत करता है जहाँ $V_T = \sum d \text{Tr}(\rho_t^2)$ ।
लोअर बाउंड (Lower Bound): शोध पत्र एक मिलान करने वाला मिनिमैक्स लोअर बाउंड $\Omega(\sqrt{dT \log d})$ सिद्ध करता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह लोअर बाउंड एंटैंगलमेंट-ब्रेकिंग (मेजरमेंट-एंड-प्रिपरेशन) चैनलों और डायगोनल पेऑफ इफेक्ट्स तक सीमित होने पर भी बना रहता है।
ट्रिवियल केस (Trivial Cases):
- यूनिटल चैनल्स (Unital Channels): यदि तुलनात्मक वर्ग को यूनिटल CPTP मैप्स (यूनिटरी सहित) तक सीमित किया जाता है, तो मिनिमैक्स रिग्रेट बिल्कुल शून्य है। लर्नर बस मैक्सिमली मिक्स्ड स्टेट $I/d$ खेल सकता है, जो सभी यूनिटल मैप्स के लिए एक फिक्स्ड पॉइंट है।
- रिप्लेसमेंट चैनल्स (Replacement Channels): यदि इसे निश्चित रिप्लेसमेंट स्टेट्स तक सीमित किया जाता है, तो रिग्रेट मानक एक्सटर्नल रिग्रेट $O(\sqrt{T \log d})$ के रूप में स्केल करता है।

इक्विलिब्रियम कन्वर्जेंस (Equilibrium Convergence)

शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि इस एल्गोरिदम का उपयोग करके विकेंद्रीकृत लर्निंग (decentralized learning) एक $\epsilon$ -एप्रोक्सिमेट सेपरेबल क्वांटम कोरिलेटेड इक्विलिब्रियम की ओर ले जाती है।

दर (Rate): अभिसरण (Convergence) $T = O(\max_i d_i \log d_i / \epsilon^2)$ राउंड्स में प्राप्त किया जाता है।
चैनल-प्रूफनेस (Channel-Proofness): परिणामी इक्विलिब्रियम "चैनल-प्रूफ" है, जिसका अर्थ है कि कोई भी खिलाड़ी अपने निजी रजिस्टर पर कोई भी स्थानीय CPTP मैप लागू करके लाभ नहीं उठा सकता है। यह एक्सटर्नल रिग्रेट द्वारा प्रदान की गई "कोर्स" स्थिरता की तुलना में एक अधिक मजबूत स्थिति है।

ऑडिट और एक्सप्लोइटेबिलिटी (Audit and Exploitability)

शोध पत्र किसी भी कैंडिडेट रिकमेंडेशन स्टेट (सेपरेबल या एंटैंगल्ड) की एक्सप्लोइटेबिलिटी का परीक्षण करने के लिए एक सेमीडेफिनेट प्रोग्रामिंग (SDP) ऑडिट प्रदान करता है।

एक्सप्लोइटेबिलिटी को स्थानीय चोई बॉडी पर एक लीनियर फंक्शन को मैक्सिमाइज करने के रूप में तैयार किया गया है।
उदाहरण:
- एक क्यूबिट उदाहरण दिखाता है कि एक स्टेट रिप्लेसमेंट चैनल्स के विरुद्ध स्थिर हो सकता है लेकिन CPTP एक्सप्लोइटेबिलिटी $1/2$ (बनाम रिप्लेसमेंट्स के लिए $1/(2\sqrt{2})$ ) रख सकता है।
- एक रॉक-पेपर-सिज़र उदाहरण एक ऐसा स्टेट दिखाता है जो एक कोर्स कोरिलेटेड इक्विलिब्रियम (शून्य एक्सटर्नल रिग्रेट) है, लेकिन इसमें एक स्थानीय CPTP विचलन है जो पेऑफ को ठीक 1 से सुधार देता है (लीनियर रिग्रेट)।

4. महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र दावा करता है कि यह स्थानीय भौतिक ऑपरेशन्स के विरुद्ध क्वांटम खेलों में इंटरनल रिग्रेट के लिए इष्टतम दर स्थापित करता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

सही बेंचमार्क को परिभाषित करना: यह तर्क देता है कि क्वांटम रिकमेंडेशन के लिए, निश्चित रिप्लेसमेंट के विरुद्ध स्थिरता अपर्याप्त है। इक्विलिब्रियम की सही धारणा के लिए सभी स्थानीय CPTP मैप्स (चैनल-प्रूफनेस) के विरुद्ध स्थिरता की आवश्यकता होती है।
कठिनाई के स्रोत की पहचान करना: कठिनाई क्वांटम कोहेरेंस (यूनिटरी ऑपरेशन्स) या एंटैंगलमेंट के कारण नहीं है। इसके बजाय, कठिनाई नॉन-यूनिटल ऑपरेशन्स (विशेष रूप से मेजरमेंट-एंड-प्रिपरेशन मैप्स) से उत्पन्न होती है जो रजिस्टर में मौजूद सूचना के आधार पर रिकमेंडेशन स्टेट को फिर से लिख सकते हैं।
इष्टतम एल्गोरिदम: यह एक लर्निंग एल्गोरिदम प्रदान करता है जो पूरे CPTP क्लास के लिए क्लासिकल स्वैप-रिग्रेट लोअर बाउंड (डायमेंशन फैक्टर्स तक) से मेल खाता है, जो विश्लेषण को कड़ा करने के लिए वेरिएंस कोलैप्स लेम्मा का उपयोग करता है।
ऑपरेशनल इक्विलिब्रियम: यह नो-रिग्रेट लर्निंग को सेपरेबल क्वांटम कोरिलेटेड इक्विलिब्रियम के संश्लेषण (synthesis) से जोड़ता है, जो ऐसे स्टेट्स उत्पन्न करने के लिए एक डायनेमिक विधि प्रदान करता है जो स्थानीय क्वांटम प्रीप्रोसेसिंग के विरुद्ध मजबूत हैं।

शोध पत्र स्पष्ट रूप से कहता है कि ये परिणाम एक कन्वेक्स-ऑप्टिमाइज़ेशन मॉडल के भीतर परिमित-समय गारंटी (finite-time guarantees) हैं। यह दावा नहीं करता है कि अपडेट्स को पॉलीलॉगारिदमिक समय में क्वांटम सर्किट पर किया जा सकता है, क्योंकि यह नोट करता है कि मिरर स्टेप में एक नॉन-कम्यूटेटिव मैट्रिक्स-स्केलिंग समस्या को हल करना शामिल है। लोअर बाउंड को एक क्लासिकल डायगोनल सबगेम से प्राप्त किया गया है, जो बिना किसी वास्तविक नॉन-कम्यूटेटिव एडवर्सरियल कंस्ट्रक्शन के वर्स्ट-केस ऑप्टिमैलिटी को सिद्ध करता है।