Symmetry-adapted qubit encoding with complete active space and Bravyi--Kitaev mapping for quantum chemistry on a quantum computer

तकनीकी सारांश: पूर्ण सक्रिय स्थान (Complete Active Space) और ब्रावी-किताएव (Bravyi–Kitaev) मैपिंग के साथ समरूपता-अनुकूलित क्वबिट एनकोडिंग

समस्या विवरण
निकट-अवधि (NISQ) और दोष-सहिष्णु (fault-tolerant) क्वांटम प्रोसेसरों पर क्वांटम रसायन विज्ञान सिमुलेशन महत्वपूर्ण संसाधन बाधाओं का सामना करते हैं, जो मुख्य रूप से आणविक इलेक्ट्रॉनिक संरचनाओं को एनकोड करने के लिए आवश्यक क्वबिट्स की संख्या और परिणामी हैमिल्टनियन (Hamiltonian) की जटिलता (पॉली वेट और सर्किट डेप्थ) द्वारा संचालित होते हैं। जबकि पूर्ण सक्रिय स्थान (Complete Active Space - CAS) सन्निकटन कोर ऑर्बिटल्स को फ्रीज करके और वर्चुअल ऑर्बिटल्स को हटाकर समस्या के आकार को कम करता है, मानक कार्यान्वयन अक्सर क्वबिट काउंट को और कम करने के लिए समरूपता (symmetries) का पूर्ण उपयोग करने में विफल रहते हैं। इसके अतिरिक्त, विभिन्न फर्मियन-टू-क्विबिट मैपिंग, जैसे कि जॉर्डन-विगनर (JW) और ब्रावी-किताएव (BK), ऐसे ट्रेड-ऑफ प्रदान करते हैं जो हमेशा समरूपता न्यूनीकरण तकनीकों के साथ इष्टतम रूप से एकीकृत नहीं होते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक एकीकृत ढांचा प्रस्तावित करते हैं जिसे Symmetry-Adapted Encoding with Complete Active Space (SAE-CAS) कहा जाता है। यह दृष्टिकोण CAS सन्निकटन को केवल हिल्बर्ट स्पेस के ट्रंकेशन के रूप में नहीं, बल्कि फ्रीज्ड-कोर और वर्चुअल ऑर्बिटल्स के लिए अनुमानित $Z$-समरूपताओं (symmetries) के आरोपण के रूप में मानता है।

1. सैद्धांतिक ढांचा:

   • अनुमानित समरूपताएं (Approximate Symmetries): यह विधि सटीक समरूपता-अनुकूलित एनकोडिंग (SAEs) को फ्रीज्ड-कोर और वर्चुअल ऑर्बिटल्स के अनुरूप अनुमानित समरूपताओं को शामिल करने के लिए विस्तारित करती है। इन्हें $Z$-समरूपताओं के रूप में मॉडल किया गया है जहाँ विशिष्ट क्वबिट्स को $-1$(फ्रीज्ड) या$+1$ (वर्चुअल) के आइजनवैल्यू (eigenvalues) के लिए बाधित किया जाता है।
   • एफाइन क्लिफोर्ड रूपांतरण (Affine Clifford Transformations): न्यूनीकरण एक एफाइन क्लिफोर्ड मैप के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। लेखक एक बाइनरी ऑर्बिटल-कैरेक्टर मैट्रिक्स $S$ को परिभाषित करते हैं जो समरूपताओं का प्रतिनिधित्व करता है। $\mathbb{F}_2$ पर एक प्रतिवर्ती (invertible) एफाइन मैप $T$ का निर्माण करके, वे कंप्यूटेशनल बेसिस को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं कि समरूपता बाधाएं विशिष्ट क्वबिट्स पर निश्चित मानों (आमतौर पर 0) के अनुरूप होती हैं।
   • क्वबिट निष्कासन: एक बार जब हैमिल्टनियन को क्लिफोर्ड ऑपरेटर द्वारा संयुग्मी (conjugated) कर दिया जाता है, तो बाधित क्वबिट्स पर $X$ या $Y$ वाले पदों को हटा दिया जाता है, और बाधित $Z$ ऑपरेटरों को स्केलर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह स्थायी रूप से अनावश्यक क्वबिट्स को हटा देता है, जिससे सिस्टम $n$ स्पिन-ऑर्बिटल्स से $n-k$ क्वबिट्स में बदल जाता है, जहाँ $k$ स्वतंत्र समरूपताओं की संख्या है।
   • तुल्यता प्रमाण: लेखक सिद्ध करते हैं कि परिणामी सक्रिय-स्थान क्वबिट हैमिल्टनियन, आणविक इलेक्ट्रॉनिक संरचना सिद्धांत में फ्रीज्ड-कोर और वर्चुअल-ऑर्बिटल प्रोजेक्शन के माध्यम से प्राप्त कैनोनिकल CAS हैमिल्टनियन के बिल्कुल समान है। अनुमान त्रुटि केवल सक्रिय स्थान के चयन से उत्पन्न होती है, एनकोडिंग से नहीं।

2. ब्रावी-किताएव (Bravyi–Kitaev) के साथ एकीकरण (SAE-CAS-BK):

   • ढांचे को ब्रावी-किताएव (BK) मैपिंग के लिए विस्तारित किया गया है। चूंकि BK रूपांतरण स्वयं कंप्यूटेशनल बिटस्ट्रिंग्स पर एक एफाइन क्लिफोर्ड बेसिस परिवर्तन है, इसलिए इसे SAE-CAS क्लिफोर्ड मैप के साथ संयोजित किया जा सकता है।
   • परिणामी SAE-CAS-BK एनकोडिंग, SAE-CAS के यूनिटरी रूप से तुल्य (unitarily equivalent) है। यह क्वबिट काउंट, पॉली टर्म्स की संख्या और वेरिएशनल पैरामीटर्स को संरक्षित करता है, लेकिन स्थानीयता संरचना (पॉली वेट प्रति टर्म) और परिणामी सर्किट डेप्थ/CNOT काउंट को बदल देता है।

3. संख्यात्मक बेंचमार्किंग:

   • विधि का परीक्षण न्यूनतम STO-3G बेसिस के साथ नौ छोटे अणुओं (H$_2$O, C$_2$H$_4$, O$_2$, N$_2$, और C$_4$H$_6$ सहित) पर किया गया।
   • दो वेरिएशनल एन्सैट्स (ansatzae) का उपयोग किया गया: यूनिटरी कपल्ड क्लस्टर विद सिंगल एंड डबल एक्साइटेशन्स (UCCSD) और हार्डवेयर-एफिशिएंट शिफ्टेड-सर्कुलर-अल्टरनेटिंग (HE-SCA) एन्सैट।
   • JW, JW-CAS (CAS के साथ JW लेकिन बिना समरूपता न्यूनीकरण के), और सर्किट स्तर पर JW-CAS (सिमेट्री फिल्टरिंग के साथ SF) के विरुद्ध तुलना की गई।

मुख्य परिणाम

• संसाधन न्यूनीकरण: SAE-CAS लगातार JW-CAS की तुलना में क्वबिट संख्या, पॉली ऑपरेटर काउंट, सर्किट डेप्थ, CNOT काउंट और वेरिएशनल पैरामीटर्स को कम करता है। उदाहरण के लिए, C$_4$H$_4$ (4,4) CAS में, SAE-CAS ने क्वबिट काउंट को 8 (JW-CAS) से घटाकर 4 कर दिया और पॉली काउंट को 97 से घटाकर 46 कर दिया।
• अभिसरण और सटीकता (Convergence and Accuracy):
  • UCCSD: SAE-CAS ने JW-CAS और JW-CAS (SF) के तुल्य अभिसरण ऊर्जा तक पहुँच बनाई, लेकिन इसके लिए काफी कम अनुकूलन पुनरावृत्तियों (iterations) की आवश्यकता पड़ी (जैसे, N$_2$ के लिए 109 के मुकाबले 21)। विशेष रूप से, C$_4$H$_4$ और C$_4$H$_6$ के लिए, JW-CAS और JW-CAS (SF) UCCSD एन्सैट्स बड़ी संख्या में एक्साइटेशन्स के कारण मेमोरी की कमी के कारण विफल रहे, जबकि SAE-CAS मैपिंग चरण में ही एक्साइटेशन लिस्ट को फ़िल्टर करके सफल रहा।
  • HE-SCA: SAE-CAS ने बेहतर अभिसरण गुण प्रदर्शित किए। बेंचमार्क किए गए सभी अणुओं के लिए, SAE-CAS ने परीक्षण किए गए लेयर बजट के भीतर CAS संदर्भ ऊर्जा तक अभिसरण किया। इसके विपरीत, JW-CAS, O$_2$ और CO के लिए 200 लेयर्स के भीतर भी अभिसरण करने में विफल रहा। लेखक इसका श्रेय "बेरेन प्लेटो" (barren plateau) प्रभाव और JW-CAS में सेक्टर लीकेज को देते हैं, जहाँ वेरिएशनल मैनिफोल्ड गलत स्पिन-पैरिटी सेक्टर्स में फैल जाता है, जबकि SAE-CAS स्वाभाविक रूप से खोज को सही समरूपता क्षेत्र तक सीमित रखता है।
  • SAE-CAS बनाम SAE-CAS-BK: दोनों एनकोडिंग ने समान अभिसरण ऊर्जा और पुनरावृत्ति गणना उत्पन्न की, जो उनकी यूनिटरी तुल्यता की पुष्टि करती है। अंतर केवल सर्किट डेप्थ और CNOT काउंट में देखे गए, जो अधिकांश अणुओं के लिए 6% से कम भिन्न थे (CO को छोड़कर, जिसमें BK के लिए +20% की वृद्धि देखी गई)। लेखक नोट करते हैं कि BK का $O(\log n)$ लोकैलिटी लाभ अभी इन छोटे सक्रिय स्थान आकारों पर दिखाई नहीं दे रहा है।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि SAE-CAS संसाधन-कुशल आणविक सिमुलेशन के लिए एक व्यवस्थित और कंपोजेबल मार्ग प्रदान करता है। यह सक्रिय-स्थान ट्रंकेशन को सटीक समरूपता-अनुकूलित एनकोडिंग (SAE) के साथ एकीकृत करके समरूपता को एक सेट के रूप में उपयोग करता है। इसकी प्राथमिक महत्ता निम्नलिखित में निहित है:

1. नेटिव समरूपता प्रवर्तन (Native Symmetry Enforcement): एनकोडिंग स्तर पर समरूपता लागू करने से (एन्सैट में पोस्ट-हॉक के बजाय) अनावश्यक खोज दिशाओं को हटाया जाता है और ऑप्टिमाइज़र को गलत कण-संख्या या स्पिन सेक्टर्स में जाने से रोका जाता है।
2. स्केलेबिलिटी: यह विधि उन बड़े सक्रिय स्थानों के सिमुलेशन को सक्षम बनाती है जो एन्सैट बनाने में मेमोरी बाधाओं (जैसा कि C$_4$H$_4$ और C$_4$H$_6$ के मामलों में देखा गया) के कारण अन्यथा अव्यावहारिक होते।
3. लचीलापन: यह ढांचा किसी भी फर्मियन-टू-क्विबिट मैपिंग के अनुकूल है जो एक एफाइन क्लिफोर्ड बेसिस परिवर्तन द्वारा व्यक्त की जा सकती है, जैसा कि यहाँ JW और BK दोनों के साथ प्रदर्शित किया गया है।

लेखक इसका एक ओपन-सोर्स कार्यान्वयन पायथन पैकेज QuantumSymmetry में प्रदान करते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि SAE-CAS निकट-अवधि और दोष-सहिष्णु दोनों प्रकार के क्वांटम प्रोसेसरों पर संसाधन-कुशल आणविक सिमुलेशन के लिए एक व्यवहार्य मार्ग है।