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Bernstein-Schur Kernels: Random Features by Sketched Modulation and Radial Randomization

यह शोध पत्र बर्नस्टीन-शूर कर्नेल (Bernstein-Schur kernels) को प्रस्तुत करता है, जो परिमित-विशेषता (finite-feature) और पूर्णतः एकदिष्ट (completely monotone) शिफ्ट-इनवेरिएंट घटकों के गुणनफल से निर्मित नॉनस्टेशनरी कर्नेल का एक वर्ग है, और एक नवीन रैंडम फीचर निर्माण का प्रस्ताव करता है जो परिमित मॉड्यूलेशन के लिए स्केचिंग (sketching) को शिफ्ट-इनवेरिएंट कारक के लिए रेडियल रैंडमाइजेशन (radial randomization) के साथ जोड़ता है ताकि परिवेशी आयाम (ambient dimension) के बजाय आंतरिक आयाम (intrinsic dimension) पर निर्भर ऑपरेटर-नॉर्म बाउंड्स के साथ निष्पक्ष सन्निकटन प्राप्त किया जा सके।

मूल लेखक: Taha Bouhsine

प्रकाशित 2026-06-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Taha Bouhsine

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक सुपर-स्मार्ट कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो डेटा में पैटर्न पहचान सके। इसे करने के लिए, आपका प्रोग्राम एक गणितीय उपकरण का उपयोग करता है जिसे "कर्नेल" (kernel) कहा जाता है। कर्नेल को एक समानता कैलकुलेटर (similarity calculator) के रूप में समझें: यह दो डेटा पॉइंट्स को देखता है और बताता है कि उनमें कितनी समानता है।

लंबे समय तक, ये कैलकुलेटर या तो:

दूरी-आधारित (Distance-based): "ये दो बिंदु एक-दूसरे से कितनी दूर हैं?" (जैसे दो शहरों के बीच की सीधी दूरी मापना)।
कोण-आधारित (Angle-based): "ये दो बिंदु किस हद तक एक ही दिशा में इशारा कर रहे हैं?" (जैसे यह देखना कि क्या दो तीर एक ही दिशा में संकेत कर रहे हैं)।

अधिकांश आधुनिक AI तकनीकें इन दोनों में से किसी एक प्रकार के साथ बहुत अच्छा काम करती हैं। लेकिन इस शोध पत्र के लेखकों ने एक विशेष प्रकार के समानता कैलकुलेटर की खोज की जो दूरी और दिशा दोनों को एक बहुत ही विशिष्ट और जटिल तरीके से मिलाता है। वे इसे "बायस्ड $\Xi$ -कर्नेल" (Biased $\Xi$ -kernel) कहते हैं।

समस्या: "बदमाश" कैलकुलेटर

यह नया कैलकुलेटर थोड़ा विद्रोही है। यह उन मानक नियमों में फिट नहीं बैठता जो AI को तेज़ बनाते हैं।

यदि आप इस पर मानक "दूरी" वाले तरीके आज़माते हैं, तो वे विफल हो जाते हैं।
यदि आप इस पर मानक "दिशा" वाले तरीके आज़माते हैं, तो वे भी विफल हो जाते हैं।

आमतौर पर, जब कोई कैलकुलेटर इतना अनियंत्रित होता है, तो उसे उपयोग करने का एकमात्र तरीका हर एक तुलना का एक विशाल, संभालने में असंभव स्प्रेडशीट लिखना होता है। यदि आपके पास दस लाख डेटा पॉइंट्स हैं, तो यह स्प्रेडशीट पृथ्वी पर स्टोर करने के लिए भी बहुत बड़ी होगी।

समाधान: "डबल-डेकर" (दो मंजिला) ट्रिक

लेखकों ने इस अनियंत्रित कैलकुलेटर को दो सरल, प्रबंधनीय टुकड़ों में तोड़ने का एक चतुर तरीका खोजा। उन्होंने महसूस किया कि यह कैलकुलेटर वास्तव में दो चीजों का गुणनफल (multiplication) है:

"अलाइनमेंट" (Alignment) वाला हिस्सा: यह जांचता है कि डेटा पॉइंट्स एक ही दिशा में इशारा कर रहे हैं या नहीं (एक पॉलीनोमियल)।
"प्रॉक्सिमिटी" (Proximity) वाला हिस्सा: यह जांचता है कि पॉइंट्स एक-दूसरे के कितने करीब हैं (एक रेडियल कर्नेल)।

वे इसे बर्नस्टीन-शूर (Bernstein–Schur) दृष्टिकोण कहते हैं। इसे एक जटिल सैंडविच बनाने की तरह समझें। पूरे सैंडविच को एक साथ खाने के बजाय, आप ब्रेड (अलाइनमेंट) को भरने (प्रॉक्सिमिटी) से अलग करते हैं, उन्हें अलग-अलग संभालते हैं, और फिर उन्हें वापस जोड़ देते हैं।

उन्होंने इसे तेज़ कैसे बनाया: "स्केच" और "सैंपलर"

इसे वास्तविक दुनिया के उपयोग के लिए पर्याप्त तेज़ बनाने के लिए, उन्होंने दो जादुई उपकरणों का उपयोग किया:

सैंपलर (प्रॉक्सिमिटी के लिए): "कितने करीब" वाले हिस्से के लिए, उन्होंने रैंडम फूरियर फीचर्स (Random Fourier Features) नामक तकनीक का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि आप किसी शहर के औसत तापमान को जानना चाहते हैं। हर गली को मापने के बजाय, आप यादृच्छिक रूप से कुछ जगहों को चुनते हैं, उन्हें मापते हैं, और उनका औसत लेते हैं। यह सारा काम किए बिना आपको एक बहुत अच्छा अनुमान दे देता है। उन्होंने कैलकुलेटर के दूरी वाले हिस्से के लिए यही किया।
स्केच (अलाइनमेंट के लिए): "दिशा" वाले हिस्से के लिए, गणित को बहुत अधिक मेमोरी की आवश्यकता होती है (विशेष रूप से, यह फीचर्स की संख्या के वर्ग के साथ बढ़ती है, जो बहुत धीमा है)। इसे ठीक करने के लिए, उन्होंने एक टेंसरस्केच (TensorSketch) का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशाल, विस्तृत पेंटिंग है, लेकिन आपके पास केवल एक छोटा स्केच रखने की जगह है। हर ब्रशस्ट्रोक को पेंट करने के बजाय, आप एक विशेष एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं जो पेंटिंग को एक छोटे स्केच में संकुचित (compress) कर देता है जो अभी भी मुख्य आकृतियों और रंगों को बनाए रखता है। इसने उन्हें मेमोरी के उपयोग को भारी रूप से कम करने की अनुमति दी।

इन दोनों को जोड़कर, उन्होंने एक नई विधि बनाई जिसे RAY (Random Approximation of the $\Xi$ -kernel) कहा जाता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (परिणाम)

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि यह नई विधि उस धीमी, विशाल स्प्रेडशीट विधि जितनी ही अच्छी तरह काम करती है, लेकिन यह बहुत तेज़ है और कम मेमोरी लेती है।

यह वहां काम करता है जहां दूसरे विफल हो जाते हैं: उन्होंने इसका परीक्षण ऐसे डेटा पर किया जो एक पूर्ण गोले (sphere) पर नहीं है। इस "ऑफ-स्फीयर" डेटा पर, पुराने तरीके (जैसे निस्ट्रॉम/Nyström) डेटा जटिल होने के साथ खराब होते गए। RAY मजबूत और सटीक बना रहा।
यह "स्ट्रीमिंग" (Streaming) है: क्योंकि इसे विशाल स्प्रेडशीट को स्टोर करने की आवश्यकता नहीं है, यह डेटा को आते ही, एक-एक करके प्रोसेस कर सकता है। यह AI के अटेंशन मैकेनिज्म (Attention mechanisms) (आधुनिक चैटबॉट्स के पीछे की तकनीक) के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, जहाँ सिस्टम को मेमोरी खत्म किए बिना शब्दों के लंबे अनुक्रमों को देखने की आवश्यकता होती है।
"कपलिंग" (Coupling) प्रभाव: यह पेपर दिखाता है कि यह विशिष्ट कैलकुलेटर उन कार्यों के लिए अद्वितीय रूप से अच्छा है जहाँ आपको दिशा और दूरी दोनों को एक साथ ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है। यदि कोई कार्य केवल एक या दूसरे को ही महत्व देता है, तो सरल कैलकुलेटर ठीक काम करते हैं। लेकिन उन कठिन कार्यों के लिए जिन्हें दोनों की आवश्यकता होती है, यह नया तरीका विजेता है।

सारांश में

लेखकों ने एक ऐसे गणितीय उपकरण को लिया जो बहुत जटिल और धीमा था, उसे दो सरल भागों में तोड़ा, और प्रत्येक भाग पर दो अलग-अलग "कंप्रेशन" ट्रिक्स लागू कीं। परिणाम एक तेज़, मेमोरी-कुशल तरीका है जो एक शक्तिशाली नए प्रकार के समानता कैलकुलेटर का उपयोग करने का तरीका प्रदान करता है जो पिछले तरीकों के मुकाबले जटिल, वास्तविक दुनिया के डेटा को बेहतर ढंग से संभाल सकता है। उन्होंने इसे AI अटेंशन मैकेनिज्म को तेज़ करने और विशाल डेटासेट पर मॉडल को प्रशिक्षित करने के लिए उपयोग करके प्रदर्शित किया, जो पहले असंभव था।

तकनीकी सारांश: स्केच्ड मॉड्यूलेशन और रेडियल रैंडमाइजेशन के माध्यम से बर्नस्टीन-शूर कर्नेल्स (Bernstein–Schur Kernels)

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कर्नेल विधियाँ (जैसे, SVMs, कर्नेल रिज रिग्रेशन, गॉसियन प्रोसेस, और ट्रांसफॉर्मर अटेंशन लेयर्स) $N \times N$ ग्राम मैट्रिक्स $K_{ij} = k(x_i, x_j)$ पर निर्भर करती हैं। बड़े डेटासेट ( $N > 10^5$ ) के लिए इन विधियों को स्केल करना $O(N^2)$ स्टोरेज और $O(N^3)$ फैक्टराइजेशन लागतों के कारण बाधित होता है। रैंडम फीचर मैप्स, जो कम-आयामी $z$ के साथ $k(x, w) \approx z(x)^\top z(w)$ का सन्निकटन (approximation) प्रदान करते हैं, एक $O(NM)$ विकल्प पेश करते हैं।

हालाँकि, मौजूदा रैंडम फीचर निर्माण संरचनात्मक रूप से सीमित हैं:

रैंडम फूरियर फीचर्स (RFF) बोचनर के प्रमेय (Bochner's theorem) के माध्यम से शिफ्ट-इनवेरिएंट (shift-invariant) कर्नेल्स पर लागू होते हैं।
पॉलीनोमियल स्केच (Polynomial Sketches) (जैसे, TensorSketch) डॉट-प्रोडक्ट (dot-product) कर्नेल्स पर लागू होते हैं।
निस्ट्रॉम (Nyström) विधियाँ तेज़ स्पेक्ट्रल क्षय (spectral decay) पर निर्भर करती हैं और डेटा-निर्भर होती हैं।

यह शोध बायस्ड $\mathcal{T}$ -कर्नेल को संबोधित करता है:
$k_{\mathcal{T},b}(w, x) = \frac{(w^\top x + b)^2}{\|w - x\|^2 + \varepsilon}, \quad b \ge 0, \varepsilon > 0$
यह कर्नेल अलाइनमेंट (alignment) (अंश में स्क्वेयर्ड इनर प्रोडक्ट) और प्रॉक्सिमिटी (proximity) (हर में इनवर्स स्क्वेयर्ड डिस्टेंस) को जोड़ता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह न तो शिफ्ट-इनवेरिएंट है और न ही डॉट-प्रोडक्ट कर्नेल (केवल यूनिट स्फीयर पर जहाँ दूरी और इनर प्रोडक्ट एक दूसरे के द्वैत/bijective होते हैं)। फलस्वरूप, मानक RFF और पॉलीनोमियल स्केचिंग को सीधे पूर्ण कर्नेल पर लागू नहीं किया जा सकता है, जिससे गणना के लिए जटिल $O(N^2)$ ग्राम मैट्रिक्स की ओर वापसी करनी पड़ती है।

2. कार्यप्रणाली: बर्नस्टीन-शूर रैंडम फीचर्स (Methodology: Bernstein–Schur Random Features)

लेखक RAY (The $\mathcal{T}$ -kernel का रैंडम एप्रोक्सिमेशन) प्रस्तावित करते हैं, जो बर्नस्टीन-शूर कर्नेल्स के एक व्यापक वर्ग के लिए एक रैंडम फीचर निर्माण है। ये कर्नेल्स एक परिमित-फीचर कर्नेल और एक पूरी तरह से मोनोटोन (completely monotone) शिफ्ट-इनवेरिएंट कर्नेल के शूर उत्पाद (Schur product/element-wise product) के रूप में परिभाषित हैं।

कार्यप्रणाली $\mathcal{T}$ -कर्नेल को दो सुलभ कारकों में विभाजित करती है:

पॉलीनोमियल मॉड्यूलेशन (Polynomial Modulation): $p_b(w, x) = (w^\top x + b)^2$ । इसका एक सटीक, परिमित-आयामी फीचर मैप $p_b(x) \in \mathbb{R}^{d^2+d+1}$ है।
रेडियल फैक्टर (Radial Factor): $h_\varepsilon(w, x) = (\|w - x\|^2 + \varepsilon)^{-1}$ । यह $\|w-x\|^2$ में पूरी तरह से मोनोटोन है और एक एकल स्केल पैरामीटर $t \sim \text{Exp}(\varepsilon)$ पर गॉसियन कर्नेल्स के मिश्रण के रूप में बर्नस्टीन-विडर (Bernstein–Widder) प्रतिनिधित्व स्वीकार करता है।

निर्माण के चरण (Construction Steps):

कारक विभाजन (Factorization): $k_{\mathcal{T},b} = p_b \cdot h_\varepsilon$ के रूप में व्यक्त करें।
रेडियल सैंपलिंग (Radial Sampling): स्केल पैरामीटर $t_j \sim \text{Exp}(\varepsilon)$ को सैंपल करें।
गॉसियन RFF (Gaussian RFF): प्रत्येक $t_j$ के लिए, परिणामी गॉसियन कर्नेल $e^{-t_j \|x-w\|^2}$ पर रैंडम फूरियर फीचर्स लागू करें।
मॉड्यूलेशन स्केचिंग (Modulation Sketching): सटीक $O(d^2)$ पॉलीनोमियल फीचर $p_b(x)$ का उपयोग करने के बजाय, मॉड्यूलेशन को आयाम $m$ में संकुचित करने के लिए TensorSketch (डिग्री-2) लागू करें।
टेन्सर उत्पाद (Tensor Product): अंतिम फीचर मैप $z(x)$ स्केच्ड मॉड्यूलेशन और रेडियल RFFs के टेन्सर उत्पाद का संयोजन (concatenation) है।

परिणामी फीचर डायमेंशन $D \times m$ है, जहाँ $D$ रेडियल ड्रॉ का संख्या है और $m$ स्केच का आकार है। यह डायमेंशन सटीक पॉलीनोमियल फीचर से जुड़े $O(d^2)$ फ्लोर से मुक्त है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

यह शोध निम्नलिखित सैद्धांतिक और प्रायोगिक योगदान देता है:

एक नया कर्नेल वर्ग (Bernstein–Schur): लेखक एक ऐसे कर्नेल वर्ग को परिभाषित करते हैं जो एक परिमित-फीचर कर्नेल और एक पूरी तरह से मोनोटोन रेडियल कर्नेल के उत्पाद से बना है। वे केवल $\mathcal{T}$ -कर्नेल के लिए ही नहीं, बल्कि इस पूरे वर्ग के लिए एक एकीकृत रैंडम फीचर एस्टीमेटर प्रदान करते हैं।
अनबायस्डनेस और वेरिएंस विश्लेषण (Unbiasedness and Variance Analysis):
- सिद्ध किया गया कि एस्टीमेटर अनबायस्ड (unbiased) है ( $E[z(x)^\top z(w)] = k(x, w)$ )।
- "फ्लैट" एस्टीमेटर (एक आवृत्ति प्रति स्केल) के लिए एक सटीक वेरिएंस फॉर्मूला निकाला गया, जो $(R^2 + b)^4 / (D\varepsilon^2)$ के साथ स्केल करता है।
- सिद्ध किया गया कि पदानुक्रमित बजट (hierarchical budget) के भीतर एक आवृत्ति प्रति स्केल ( $D'=1$ ) का उपयोग करना वेरिएंस-इष्टतम (variance-optimal) है।
ऑपरेटर-नॉर्म गारंटी (Operator-Norm Guarantees):
- ग्राम मैट्रिक्स सन्निकटन के लिए एक एक्सपेक्टेड मैट्रिक्स-बर्नस्टीन ऑपरेटर-नॉर्म बाउंड स्थापित किया गया। $N$ के साथ स्केल होने वाले कच्चे एंट्रीवाइज बाउंड के विपरीत, यह बाउंड इंट्रिन्सिक डायमेंशन (intrinsic dimension) और कर्नेल तथा मॉड्यूलेशन ग्राम मैट्रिसेस के टॉप आइजनवैल्यू पर निर्भर करता है।
- इस सन्निकटन के तहत कर्नेल रिज रिग्रेशन (KRR) के लिए डिटरमिनिस्टिक रिलेटिव-स्पेक्ट्रल स्टेबिलिटी सिद्ध की गई।
डबली-रैंडमाइज्ड एस्टीमेटर (RAY):
- मॉड्यूलेशन फैक्टर की स्केचिंग पेश की गई। सैद्धांतिक विश्लेषण दिखाता है कि स्केच पर कंडीशनिंग करने से इंट्रिन्सिक-डायमेंशन ऑपरेटर-नॉर्म गारंटी सुरक्षित रहती है, जो केवल एक एकल, ट्यूनेबल एडिटिव एरर टर्म जोड़ती है जिसे स्केच साइज $m$ द्वारा नियंत्रित किया जाता है।
- यह प्रदर्शित किया गया कि यह दृष्टिकोण $O(d^2)$ फीचर डायमेंशन बैरियर को हटा देता है, जिससे यह उच्च आयामों के लिए स्केलेबल हो जाता है।
एरर डिकम्पोजिशन (Error Decomposition): एक मॉड्यूलेशन-रेडियल एरर डिकम्पोजिशन प्रदान किया गया जो दिखाता है कि रेडियल नॉइज़ को अलाइनमेंट फैक्टर द्वारा मॉड्यूलेट किया जाता है, जबकि मॉड्यूलेशन एरर रेडियल प्रॉक्सिमिटी द्वारा स्थानीयकृत (localized) होता है। यह समझाता है कि क्यों उत्पाद प्रभावी रहता है भले ही मॉड्यूलेशन संकुचित हो।

4. प्रायोगिक परिणाम (Experimental Results)

प्रयोग मुख्य रूप से ऑफ-स्फीयर (off-sphere) शासन (बदलते नॉर्म्स के साथ बाउंड बॉल्स) में किए गए थे, जहाँ $\mathcal{T}$ -कर्नेल वास्तव में नॉन-डॉट-प्रोडक्ट है।

ऑफ-स्फीयर प्रदर्शन: एक बाउंड बॉल पर बदलते नॉर्म्स के साथ, RAY आयाम $d$ के बढ़ने के बावजूद $O(1/\sqrt{D})$ कन्वर्जेंस रेट बनाए रखता है। इसके विपरीत, यूनिफॉर्म और k-means निस्ट्रॉम विधियाँ, समान लैंडमार्क काउंट के साथ भी, $d$ बढ़ने पर काफी खराब प्रदर्शन करती हैं।
कॉस्ट-मैच्ड तुलना: मैच की गई रिप्रेजेंटेशन कॉस्ट पर, एडेप्टिव निस्ट्रॉम विधियाँ (जो डेटा-निर्भर हैं) मध्यम- $N$ के लिए RAY की तुलना में अधिक सटीक हो सकती हैं। हालाँकि, RAY, निस्ट्रॉम की तुलना में डेटा-स्वतंत्र, अनबायस्ड और स्ट्रीमिंग फीचर्स प्रदान करता है।
कपल्ड टारगेट प्रेफरेंस (Coupled Target Preference): अलाइनमेंट और प्रॉक्सिमिटी दोनों कारकों की आवश्यकता वाले सिंथेटिक टारगेट्स के नियंत्रित परीक्षणों में, $\mathcal{T}$ -कर्नेल (जिसे RAY द्वारा अनुमानित किया गया है) ने केवल एक कारक (गॉसियन, IMQ, या पॉलीनोमियल अकेले) को मॉडल करने वाले कर्नेल्स से बेहतर प्रदर्शन किया। यह कर्नेल के इंडक्टिव बायस को मान्य करता है।
लीनियर-टाइम अटेंशन (Linear-Time Attention): RAY को एक लीनियर-टाइम अटेंशन प्रिमिटिव के रूप में लागू किया गया। इसने सफलतापूर्वक सटीक $\mathcal{T}$ -अटेंशन का सन्निकटन किया, जहाँ फीचर डायमेंशन $M$ बढ़ने के साथ मीडियन एरर कम होता गया, जबकि $O(NM)$ मेमोरी बनाए रखी और कैजुअल, स्ट्रीमिंग डिकोडिंग को सक्षम किया (जो लैंडमार्क-आधारित विधियों के लिए असंभव है)।
लार्ज-स्केल ट्रेनिंग: HIGGS डेटासेट (11 मिलियन उदाहरण) पर, RAY ने एक स्ट्रीमिंग सेटिंग में प्रिमल ट्रेनिंग को सक्षम किया जहाँ ग्राम मैट्रिक्स को स्टोर करना असंभव है, और मैच की गई बजट के साथ सटीक मॉड्यूलेशन सीमाओं से बेहतर प्रदर्शन किया।

5. महत्व और दावे (Significance and Claims)

लेखक तीन मुख्य क्षेत्रों में महत्व का दावा करते हैं:

स्ट्रक्चरल गैप्स को पाटना: यह उन कर्नेल्स के लिए पहला रैंडम फीचर निर्माण प्रदान करता है जो न तो शिफ्ट-इनवेरिएंट हैं और न ही डॉट-प्रोडक्ट, क्योंकि यह उन्हें उन घटकों में विभाजित करता है जो सुलभ हैं (स्केचिंग और RFF द्वारा)।
डेटा निर्भरता के बिना स्केलेबिलिटी: यह नॉन-स्टेशनरी कर्नेल्स के लिए एक स्ट्रीमिंग, डेटा-स्वतंत्र विकल्प प्रदान करता है, जो $O(N^2)$ ग्राम मैट्रिक्स और $O(d^2)$ फीचर डायमेंशन बैरियर दोनों से बचता है।
सैद्धांतिक कठोरता: इसका विश्लेषण केवल एंट्रीवाइज बाउंड्स से आगे बढ़कर इंट्रिन्सिक डायमेंशन द्वारा नियंत्रित ऑपरेटर-नॉर्म गारंटी प्रदान करता है, जो स्ट्रक्चर्ड कर्नेल्स के लिए सन्निकटन त्रुटि की अधिक सूक्ष्म समझ प्रदान करता है।

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि RAY स्ट्रीमिंग और बड़े पैमाने के सेटिंग्स के लिए अत्यधिक प्रभावी है, फिर भी एडेप्टिव निस्ट्रॉम विधियाँ मध्यम- $N$ वाली फिक्स्ड-बजट समस्याओं के लिए बेहतर हो सकती हैं जहाँ डेटा-डिपेंडेंस स्वीकार्य है। स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए इसे बाउंड-नॉर्म इनपुट्स की आवश्यकता होती है, और पॉलीनोमियल फैक्टर के कारण इसका वेरिएंस कांस्टेंट मानक RFF की तुलना में अधिक है।